Kako ?
Primjeri rješenja
Ako nešto negdje nedostaje, to znači da negdje nešto postoji
Nastavljamo s proučavanjem odjeljka „Funkcije i grafovi“, a sljedeća stanica na našem putovanju je. Aktivna rasprava o ovom konceptu započela je u članku o skupovima i nastavila se u prvoj lekciji na grafovi funkcija, gdje sam pogledao elementarne funkcije, a posebno njihove domene definicije. Stoga, preporučujem da lutke počnu s osnovama teme, jer se neću više zadržavati na nekim osnovnim točkama.
Pretpostavlja se da čitalac poznaje oblast definisanja sledećih funkcija: linearne, kvadratne, kubične funkcije, polinome, eksponencijalne, sinusne, kosinusne. Oni su definisani na (skup svih realnih brojeva). Za tangente, arksinuse, neka bude, opraštam ti =) - rjeđi grafovi se ne pamte odmah.
Čini se da je opseg definicije jednostavan i postavlja se logično pitanje: o čemu će članak biti? U ovoj lekciji ću se osvrnuti na uobičajene probleme pronalaženja domena funkcije. Štaviše, ponovićemo nejednakosti sa jednom promenljivom, čije će se vještine rješavanja zahtijevati iu drugim problemima više matematike. Materijal je, inače, sav školski materijal, tako da će biti koristan ne samo za učenike, već i za učenike. Informacija, naravno, ne pretenduje na enciklopediju, ali ovdje se ne radi o nategnutim “mrtvim” primjerima, već o pečenim kestenima, koji su preuzeti iz stvarnih praktičnih radova.
Počnimo s brzim uronom u temu. Ukratko o glavnoj stvari: govorimo o funkciji jedne varijable. Njegov domen definicije je mnoga značenja "x", za koji postoje značenja "igrača". Pogledajmo hipotetički primjer: 
Domen definicije ove funkcije je unija intervala:
(za one koji su zaboravili: - ikona ujedinjenja). Drugim riječima, ako uzmete bilo koju vrijednost “x” iz intervala , ili iz , ili iz , tada će za svaki takav “x” postojati vrijednost “y”.
Grubo govoreći, tamo gdje je domen definicije, postoji graf funkcije. Ali poluinterval i tačka “tse” nisu uključeni u područje definicije i tamo nema grafikona.
Kako pronaći domenu funkcije? Mnogi ljudi pamte dječju rimu: "kamen, papir, makaze", a u ovom slučaju se može sa sigurnošću parafrazirati: "korijen, razlomak i logaritam". Stoga, ako na svom životnom putu naiđete na razlomak, korijen ili logaritam, trebali biste odmah biti vrlo, vrlo oprezni! Tangenta, kotangens, arcsin, arkosinus su mnogo rjeđi, a o njima ćemo također govoriti. Ali prvo, skice iz života mrava:
Domena funkcije koja sadrži razlomak
Pretpostavimo da nam je dana funkcija koja sadrži neki razlomak. Kao što znate, ne možete podijeliti sa nulom: , dakle one Vrijednosti "X" koje pretvaraju nazivnik na nulu nisu uključene u opseg ove funkcije.
Neću se zadržavati na najjednostavnijim funkcijama kao što su 
itd., pošto svako savršeno vidi tačke koje nisu uključene u njihov domen definicije. Pogledajmo značajnije razlomke:
Primjer 1
Pronađite domenu funkcije
Rješenje: Nema ničeg posebnog u brojiocu, ali imenilac mora biti različit od nule. Postavimo ga na nulu i pokušamo pronaći "loše" točke:
Rezultirajuća jednačina ima dva korijena: 
. Vrijednosti podataka nisu u opsegu funkcije. Zaista, zamijenite ili u funkciju i vidjet ćete da imenilac ide na nulu.
Odgovori: domena: 
Unos glasi ovako: „domen definicije su svi realni brojevi sa izuzetkom skupa koji se sastoji od vrijednosti 
" Da vas podsjetim da simbol obrnute kose crte u matematici označava logičko oduzimanje, a vitičaste zagrade označavaju skup. Odgovor se može ekvivalentno napisati kao unija tri intervala:
Ko god voli.
U tačkama 
funkcija toleriše beskrajne pauze, i prave linije date jednadžbama 
su vertikalne asimptote za graf ove funkcije. Međutim, ovo je nešto drugačija tema i dalje se neću fokusirati na to.
Primjer 2
Pronađite domenu funkcije
Zadatak je u suštini usmeni i mnogi od vas će gotovo odmah pronaći područje definicije. Odgovor je na kraju lekcije.
Hoće li razlomak uvijek biti “loš”? br. Na primjer, funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj. Bez obzira koju vrijednost “x” uzmemo, imenilac neće ići na nulu, štoviše, uvijek će biti pozitivan: . Dakle, opseg ove funkcije je: .
Sve funkcije kao 
definisano i kontinuirano na .
Situacija je malo složenija kada je imenilac zauzet kvadratnim trinomom:
Primjer 3
Pronađite domenu funkcije 
Rješenje: Pokušajmo pronaći tačke u kojima imenilac ide na nulu. Za ovo ćemo odlučiti kvadratna jednačina:
Ispostavilo se da je diskriminant negativan, što znači da nema pravih korijena, a naša funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj osi.
Odgovori: domena:
Primjer 4
Pronađite domenu funkcije 
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije. Savjetujem vam da ne budete lijeni s jednostavnim problemima, jer će se nesporazumi gomilati s daljnjim primjerima.
Domena funkcije s korijenom
Funkcija kvadratnog korijena definirana je samo za one vrijednosti "x" kada radikalni izraz nije negativan: . Ako se korijen nalazi u nazivniku , onda je uvjet očito pooštren: . Slični izračuni vrijede za bilo koji korijen pozitivnog parnog stepena: 
, međutim, korijen je već 4. stepena u studije funkcije Ne sjećam se.
Primjer 5
Pronađite domenu funkcije 
Rješenje: radikalni izraz mora biti nenegativan:
Prije nego što nastavim sa rješenjem, da vas podsjetim na osnovna pravila za rad sa nejednakostima, poznata iz škole.
obraćam posebnu pažnju! Sada razmatramo nejednakosti sa jednom promenljivom- odnosno za nas postoji samo jedna dimenzija duž ose. Molimo nemojte brkati sa nejednakosti dvije varijable, gdje je cijela koordinatna ravan geometrijski uključena. Međutim, postoje i prijatne koincidencije! Dakle, za nejednakost su sljedeće transformacije ekvivalentne:
1) Uslovi se mogu prenositi s dijela na dio promjenom njihovih (uslova) znakovi.
2) Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti pozitivnim brojem.
3) Ako se obje strane nejednakosti pomnože sa negativan broj, onda morate promijeniti znak same nejednakosti. Na primjer, ako je bilo “više”, onda će postati “manje”; ako je bilo “manje ili jednako”, onda će postati “veće ili jednako”.
U nejednakosti pomeramo „trojku“ na desnu stranu sa promenom predznaka (pravilo br. 1):
Pomnožimo obje strane nejednakosti sa –1 (pravilo br. 3):
Pomnožimo obje strane nejednakosti sa (pravilo br. 2):
Odgovori: domena: 
Odgovor se također može napisati u ekvivalentnoj frazi: "funkcija je definirana na ."
Geometrijski, područje definicije je prikazano senčenjem odgovarajućih intervala na osi apscise. U ovom slučaju:
Još jednom vas podsjećam na geometrijsko značenje domene definicije - grafa funkcije 
postoji samo u zasjenjenom području i nema ga na .
U većini slučajeva, čisto analitičko određivanje domene definicije je prikladno, ali kada je funkcija vrlo komplikovana, trebalo bi da nacrtate os i napravite bilješke.
Primjer 6
Pronađite domenu funkcije
Ovo je primjer koji možete sami riješiti.
Kada se ispod kvadratnog korijena nalazi kvadratni binom ili trinom, situacija postaje malo složenija, a sada ćemo detaljno analizirati tehniku rješenja:
Primjer 7
Pronađite domenu funkcije 
Rješenje: radikalni izraz mora biti striktno pozitivan, odnosno moramo riješiti nejednakost. U prvom koraku pokušavamo rastaviti kvadratni trinom na faktore: 
Diskriminant je pozitivan, tražimo korijene: 
Dakle, parabola 
siječe osu apscise u dvije tačke, što znači da se dio parabole nalazi ispod ose (nejednakost), a dio parabole iznad ose (nejednakost koja nam je potrebna).
Budući da je koeficijent , grane parabole usmjerene su prema gore. Iz navedenog proizilazi da je nejednakost zadovoljena na intervalima (grane parabole idu prema gore u beskonačnost), a vrh parabole se nalazi na intervalu ispod x-ose, što odgovara nejednakosti:
! Bilješka:
Ako ne razumijete u potpunosti objašnjenja, nacrtajte drugu os i cijelu parabolu! Preporučljivo je da se vratite na članak i priručnik Vruće formule za školski kurs matematike.
Imajte na umu da su same tačke uklonjene (nisu uključene u rješenje), jer je naša nejednakost stroga.
Odgovori: domena:
Općenito, mnoge nejednakosti (uključujući i razmatranu) rješavaju se univerzalom intervalna metoda, ponovo poznat iz školskog programa. Ali u slučajevima kvadratnih binoma i trinoma, po mom mišljenju, mnogo je zgodnije i brže analizirati lokaciju parabole u odnosu na os. A glavnu metodu - metodu intervala - detaljno ćemo analizirati u članku. Funkcija nule. Intervali konstantnosti.
Primjer 8
Pronađite domenu funkcije
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Uzorak detaljno komentariše logiku rasuđivanja + drugu metodu rješenja i još jednu važnu transformaciju nejednakosti, bez znanja o kojoj će učenik šepati na jednu nogu..., ...hmm... možda sam se uzbudio o nozi, vjerovatnije na jednom prstu. Thumb.
Može li se funkcija kvadratnog korijena definirati na cijeloj brojevnoj pravoj? Svakako. Sva poznata lica: . Ili sličan zbroj s eksponentom: . Zaista, za bilo koje vrijednosti "x" i "ka": , dakle također i .
Evo manje očiglednog primjera: 
. Ovdje je diskriminant negativan (parabola ne siječe x-osu), dok su grane parabole usmjerene prema gore, otuda i domen definicije: .
Suprotno pitanje: može li domen definicije funkcije biti prazan? Da, i primitivan primjer se odmah nameće 
, gdje je izraz radikala negativan za bilo koju vrijednost “x”, a domen definicije: (ikona praznog skupa). Takva funkcija uopće nije definirana (naravno, i graf je iluzoran).
Sa čudnim korenima 
itd. sve je mnogo bolje - ovde radikalni izraz može biti negativan. Na primjer, funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj. Međutim, funkcija ima jednu tačku koja još uvijek nije uključena u domenu definicije, budući da je nazivnik postavljen na nulu. Iz istog razloga za funkciju 
bodovi su isključeni.
Domen funkcije s logaritmom
Treća uobičajena funkcija je logaritam. Kao primjer, nacrtat ću prirodni logaritam, koji se javlja u otprilike 99 primjera od 100. Ako određena funkcija sadrži logaritam, tada bi njena domena definicije trebala uključivati samo one vrijednosti “x” koje zadovoljavaju nejednakost. Ako je logaritam u nazivniku: , onda dodatno uslov je nametnut (od ).
Primjer 9
Pronađite domenu funkcije
Rješenje: u skladu sa navedenim, sastavićemo i rešiti sistem: 
Grafičko rješenje za lutke:
Odgovori: domena:
Zadržat ću se na još jednoj tehničkoj stvari - nemam naznačenu skalu i podjele duž ose nisu označene. Postavlja se pitanje: kako napraviti takve crteže u bilježnici na kariranom papiru? Treba li razmak između tačaka mjeriti ćelije striktno prema mjerilu? Kanonički je i stroži, naravno, u mjerilu, ali shematski crtež koji u osnovi odražava situaciju je također sasvim prihvatljiv.
Primjer 10
Pronađite domenu funkcije 
Da biste riješili problem, možete koristiti metodu iz prethodnog paragrafa - analizirajte kako se parabola nalazi u odnosu na x-os. Odgovor je na kraju lekcije.
Kao što vidite, u području logaritama sve je vrlo slično situaciji s kvadratnim korijenima: funkcija 
(kvadratni trinom iz primjera br. 7) definiran je na intervalima i funkciji 
(kvadratni binom iz primjera br. 6) na intervalu . Nezgodno je čak i reći da su funkcije tipa definirane na cijeloj brojevnoj liniji.
Korisne informacije
: tipična funkcija je zanimljiva, definirana je na cijeloj brojevnoj pravoj osim tačke. Prema svojstvu logaritma, "dva" se može množiti izvan logaritma, ali da se funkcija ne bi promijenila, "x" mora biti zatvoreno pod znakom modula: 
. Evo još jedne “praktične primjene” modula =). To je ono što trebate učiniti u većini slučajeva kada rušite čak stepen, na primjer: 
. Ako je osnova stepena očigledno pozitivna, na primer, onda nema potrebe za znakom modula i dovoljno je koristiti zagrade: .
Da bismo izbjegli ponavljanje, zakomplikujmo zadatak:
Primjer 11
Pronađite domenu funkcije 
Rješenje: u ovoj funkciji imamo i korijen i logaritam.
Radikalni izraz mora biti nenegativan: , a izraz pod predznakom logaritma mora biti striktno pozitivan: . Dakle, potrebno je riješiti sistem:
Mnogi od vas vrlo dobro znaju ili intuitivno nagađaju da sistemsko rješenje mora zadovoljiti svakome stanje.
Ispitujući položaj parabole u odnosu na osu, dolazimo do zaključka da je nejednakost zadovoljena intervalom (plavo sjenčanje):
Nejednakost očigledno odgovara “crvenom” poluintervalu.
Pošto oba uslova moraju biti ispunjena istovremeno, tada je rješenje sistema presjek ovih intervala. "Zajednički interesi" se ispunjavaju na poluvremenu.
Odgovori: domena:
Tipičnu nejednakost, kao što je pokazano u Primjeru br. 8, nije teško analitički riješiti.
Pronađena domena se neće promijeniti za “slične funkcije”, npr. 
ili 
. Također možete dodati neke kontinuirane funkcije, na primjer: , ili ovako: 
, ili čak ovako: . Kako kažu, korijen i logaritam su tvrdoglave stvari. Jedina stvar je da ako se jedna od funkcija "resetuje" na nazivnik, tada će se promijeniti domen definicije (iako u općem slučaju to nije uvijek tačno). Pa, u matan teoriji o ovom verbalnom... oh... postoje teoreme.
Primjer 12
Pronađite domenu funkcije 
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Korištenje crteža je sasvim prikladno, jer funkcija nije najjednostavnija.
Još nekoliko primjera za jačanje materijala:
Primjer 13
Pronađite domenu funkcije
Rješenje: sastavimo i riješimo sistem: 
Sve radnje su već razmotrene u cijelom članku. Opišimo interval koji odgovara nejednakosti na brojevnoj pravoj i, prema drugom uvjetu, eliminiramo dvije točke:
Ispostavilo se da je značenje potpuno nebitno.
Odgovori: domena
Mala matematička igra riječi na varijaciji 13. primjera:
Primjer 14
Pronađite domenu funkcije 
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Oni koji su propustili nemaju sreće ;-)
Završni dio lekcije posvećen je rijetkijim, ali i „radnim“ funkcijama:
Područja definicije funkcije
sa tangentama, kotangensima, arksinusima, arkosinusima
Ako neka funkcija uključuje , onda iz svoje domene definicije isključeno bodova 
, Gdje Z– skup cijelih brojeva. Konkretno, kao što je navedeno u članku Grafovi i svojstva elementarnih funkcija, funkcija ima sljedeće vrijednosti:
To jest, domen definicije tangente: 
.
Ne ubijajmo previše:
Primjer 15
Pronađite domenu funkcije
Rješenje: u ovom slučaju, sljedeće tačke neće biti uključene u domenu definicije:
Bacimo "dvojku" sa leve strane u imenilac desne strane:
Kao rezultat 
:
Odgovori: domena: 
.
U principu, odgovor se može napisati kao unija beskonačnog broja intervala, ali konstrukcija će biti vrlo glomazna:
Analitičko rješenje je u potpunosti u skladu sa geometrijska transformacija grafa: ako se argument funkcije pomnoži sa 2, tada će se njen graf dvaput smanjiti na os. Primijetite kako je period funkcije prepolovljen, i tačke prekida udvostručila frekvenciju. tahikardija.
Slična priča sa kotangensom. Ako neka funkcija uključuje , tada su točke isključene iz njezine domene definicije. Konkretno, za funkciju automatskog rafalnog snimanja snimamo sljedeće vrijednosti:
Drugim riječima:
Čestitamo, dragi čitaoci!
Konačno smo stigli rješavanje trigonometrijskih jednačina. Sada ćemo riješiti nekoliko jednadžbi koje su slične zadacima Jedinstvenog državnog ispita. Naravno, na pravom ispitu zadaci će biti malo teži, ali suština će ostati ista.
Prvo, pogledajmo jednostavnu jednačinu (slične smo već rješavali u prethodnim lekcijama, ali njihovo ponavljanje je uvijek korisno).
$$(2\cos x + 1) (2\sin x - \sqrt(3)) = 0.$$
Mislim da su objašnjenja kako odlučiti nepotrebna.
$$2\cos x + 1 = 0 \text( ili ) 2\sin x - \sqrt(3) =0,$$
$$\cos x = -\frac(1)(2) \text( ili ) \sin x = \frac(\sqrt(3))(2),$$
Oznake horizontalne isprekidane linije rješenje za jednadžbu sa sinusom, okomito - sa kosinusom.
Tako se konačno rješenje može napisati, na primjer, ovako:
$$\left[ \begin(array)(l)x= \pm \frac(2\pi)(3),\\x = \frac(\pi)(3)+2\pi k. \end(niz)\desno.$$
Trigonometrijska jednadžba sa ODZ
$$(1+\cos x)\left(\frac(1)(\sin x) - 1\desno) = 0.$$
Važna razlika u ovom primjeru je u tome što se u nazivniku pojavljuje sinus. Iako smo slične jednadžbe malo riješili u prethodnim lekcijama, vrijedi se detaljnije zadržati na ODZ-u.
ODZ
`\sin x \neq 0 \Strelica desno x \neq \pi k`. Kada označimo rješenje na krugu, označit ćemo ovu seriju korijena sa posebno probušenim (otvorenim) tačkama da pokažemo da `x` ne može uzeti takve vrijednosti.
Rješenje
Svodimo na zajednički nazivnik, a zatim naizmjenično izjednačimo obje zagrade s nulom.
$$(1+\cos x)\left(\frac(1-\sin x)(\sin x)\desno) = 0,$$
$$1+\cos x = 0 \text( ili ) \frac(1-\sin x)(\sin x) = 0,$$
$$\cos x = -1 \text( ili ) \sin x=1.$$
Nadam se da rješavanje ovih jednačina neće uzrokovati poteškoće.
Serija korijena - rješenja jednadžbe - prikazana je ispod sa crvenim tačkama. ODZ je na slici označen plavom bojom.
Dakle, razumijemo da rješenje jednadžbe `\cos x = -1` ne zadovoljava ODZ.
Odgovor će biti samo niz korijena `x = \frac(\pi)(2) + 2\pi k`.
Rješavanje kvadratne trigonometrijske jednadžbe
Sljedeća tačka u našem programu je rješavanje kvadratne jednačine. Nema tu ništa komplikovano. Glavna stvar je vidjeti kvadratnu jednačinu i izvršiti zamjenu kao što je prikazano ispod.
$$3\sin^2 x + \sin x =2,$$
$$3\sin^2 x + \sin x -2=0.$$
Neka je `t= \sin x`, tada dobijamo:
$$3t^2 + t-2=0.$$
$$t_1 = \frac(2)(3), t_2 = -1.$$
Uradimo obrnutu zamjenu.
$$\sin x = \frac(2)(3) \text( ili ) \sin x = -1.$$
$$\left[\begin(array)(l)x = \arcsin \frac(2)(3) + 2\pi k, \\ x = \pi - \arcsin \frac(2)(3) + 2 \pi k, \\ x = -\frac(\pi)(2) + 2\pi k. \end(niz) \desno.$$
Rješavanje kvadratne jednadžbe s tangentom
Riješimo sljedeću jednačinu:
$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg)))(\tg)^2 2x - 6\tg 2x +5 =0, $$
Imajte na umu da je argument tangente `2x` i da biste dobili konačni odgovor morat ćete podijeliti sa `2`. Neka je `t=\tg 2x`, onda
$$t^2 - 6t +5 =0, $$
$$t_1 = 5, t_2 = 1.$$
Reverzna zamjena.
$$\tg x = 5,\tg x = 1.$$
$$\left[\begin(array)(l)2x = \arctan(5)+\pi k, \\ 2x = \frac(\pi)(4) + \pi k. \end(niz) \desno.$$
Sada podijelimo oba niza sa dva da saznamo koliko je `x` zapravo jednako.
$$\left[\begin(array)(l)x = \frac(1)(2)\arctan(5)+\frac(\pi k)(2), \\ 2x = \frac(\pi) (8) + \frac(\pi k)(2). \end(niz) \desno.$$
Tako da smo dobili odgovor.
Zadnja jednadžba (proizvod tangenta i sinusa)
$$\tg x \cdot \sin 2x = 0.$$
ODZ
Pošto je tangenta razlomak čiji je nazivnik kosinus, onda u ODZ dobijamo da je `\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac(\pi)(2)+\pi k.`
Rješenje
$$\tg x =0 \text( ili ) \sin 2x = 0.$$
Ove jednačine je lako riješiti. Dobijamo:
$$x = \pi k \text( ili ) 2x = \pi k,$$
$$x = \pi k \text( ili ) x = \frac(\pi k)(2).$$
Sada ono najzanimljivije: pošto smo imali ODZ, moramo izvršiti selekciju korijena. Označimo rezultirajući niz korijena na kružnici. (Kako to učiniti detaljno je prikazano u priloženom videu.)
ODZ je označen plavom bojom, rješenja su crvenom bojom. Može se vidjeti da će odgovor biti `x = \pi k`.
Ovim je završena peta lekcija. Obavezno vježbajte rješavanje jednačina. Jedna je stvar generalno znati napredak rješenja, a druga je orijentirati se kada rješavate konkretan problem. Postepeno vježbajte svaki element rješavanja problema. Sada je glavna stvar naučiti kako kompetentno raditi s trigonometrijskim krugom, pronaći rješenja uz njegovu pomoć, vidjeti ODZ i ispravno napraviti zamjene za kvadratne jednadžbe.
Zadaci za obuku
Riješite jednačine:
- `2 \cos^2 \frac(x)(2) + \sqrt(3) \cos \frac(x)(2) = 0`,
- `3 (\tg)^2 2x + 2\tg 2x -1= 0`,
- `2\cos^2 3x - 5\cos 3x -3 =0`,
- `\sin^2 4x + \sin x - \cos^2x =0` (primijeniti osnovni trigonometrijski identitet),
- `4\sin^2 \lijevo(x-\frac(\pi)(3) \desno) - 3 =0`.
To je dovoljno. Ako imate bilo kakvih pitanja, samo pitajte! Ostavite lajk ako je moj rad bio koristan :)
Frakcijske jednadžbe. ODZ.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Nastavljamo da savladavamo jednačine. Već znamo kako raditi s linearnim i kvadratnim jednačinama. Zadnji pogled lijevo - frakcione jednačine. Ili se zovu i mnogo uglednije - frakcione racionalne jednadžbe. To je isto.
Frakcijske jednadžbe.
Kao što naziv implicira, ove jednadžbe nužno sadrže razlomke. Ali ne samo razlomci, već razlomci koji imaju nepoznato u nazivniku. Barem u jednom. Na primjer:
Dozvolite mi da vas podsjetim da ako su imenioci samo brojevi, ovo su linearne jednadžbe.
Kako odlučiti frakcione jednačine? Prije svega, riješite se razlomaka! Nakon toga, jednadžba se najčešće pretvara u linearnu ili kvadratnu. I onda znamo šta da radimo... U nekim slučajevima može se pretvoriti u identitet, kao što je 5=5 ili netačan izraz, kao što je 7=2. Ali to se retko dešava. Ovo ću spomenuti u nastavku.
Ali kako se riješiti razlomaka!? Veoma jednostavno. Primjena istih identičnih transformacija.
Moramo pomnožiti cijelu jednačinu istim izrazom. Tako da su svi imenioci smanjeni! Sve će odmah postati lakše. Dozvolite mi da objasnim na primjeru. Hajde da rešimo jednačinu:
Kako su vas učili u osnovnoj školi? Sve pomeramo na jednu stranu, dovodimo do zajedničkog imenioca itd. Zaboravi kao ružan san! To je ono što trebate učiniti kada dodajete ili oduzimate razlomke. Ili radite sa nejednakostima. A u jednadžbama odmah množimo obje strane izrazom koji će nam dati priliku da sve imenioce svedemo (tj., u suštini, zajedničkim nazivnikom). A koji je to izraz?
Na lijevoj strani, smanjenje nazivnika zahtijeva množenje sa x+2. A na desnoj strani je potrebno množenje sa 2. To znači da se jednačina mora pomnožiti sa 2(x+2). pomnožiti:
Ovo je uobičajeno množenje razlomaka, ali ću ga detaljno opisati:
Imajte na umu da još ne otvaram zagradu (x + 2)! Dakle, pišem u celosti:
Na lijevoj strani se u potpunosti skuplja (x+2), a desno 2. Što se i tražilo! Nakon smanjenja dobijamo linearno jednadžba:
I svako može riješiti ovu jednačinu! x = 2.
Hajde da riješimo još jedan primjer, malo složeniji:
Ako se sjetimo da je 3 = 3/1, i 2x = 2x/ 1, možemo napisati:
I opet se oslobađamo onoga što nam se baš i ne sviđa - razlomaka.
Vidimo da da bismo smanjili nazivnik sa X, trebamo pomnožiti razlomak sa (x – 2). I nekoliko nam nije prepreka. Pa, pomnožimo. Sve lijevoj strani i sve desna strana:
Opet zagrade (x – 2) Ne otkrivam. Radim sa zagradom kao cjelinom kao da je jedan broj! To se uvijek mora raditi, inače se ništa neće smanjiti.
Sa osjećajem dubokog zadovoljstva smanjujemo (x – 2) i dobijamo jednačinu bez razlomaka, sa ravnalom!
Sada otvorimo zagrade:
Donosimo slične, pomeramo sve na lijevu stranu i dobijamo:
Ali prije toga ćemo naučiti rješavati druge probleme. Na kamatu. Usput, to je grabulja!
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Prilikom rješavanja različitih problema vrlo često moramo izvršiti identične transformacije izraza. Ali dešava se da je neka vrsta transformacije u nekim slučajevima prihvatljiva, au drugim ne. Značajnu pomoć u pogledu praćenja prihvatljivosti transformacija koje su u toku pruža ODZ. Pogledajmo ovo detaljnije.
Suština pristupa je sljedeća: upoređuje se ODZ varijabli za originalni izraz sa ODZ varijabli za izraz dobijen kao rezultat identičnih transformacija i na osnovu rezultata poređenja donose se odgovarajući zaključci.
Generalno, transformacije identiteta mogu
- ne utiču na DL;
- dovesti do širenja ODZ-a;
- dovesti do sužavanja ODZ.
Ilustrirajmo svaki slučaj primjerom.
Razmotrimo izraz x 2 +x+3·x, ODZ varijable x za ovaj izraz je skup R. Sada napravimo sljedeću identičnu transformaciju sa ovim izrazom - predstavljamo slične pojmove, kao rezultat će poprimiti oblik x 2 +4·x. Očigledno, varijabla x ovog izraza je također skup R. Dakle, izvršena transformacija nije promijenila DZ.
Idemo dalje. Uzmimo izraz x+3/x−3/x. U ovom slučaju, ODZ je određen uslovom x≠0, koji odgovara skupu (−∞, 0)∪(0, +∞) . Ovaj izraz također sadrži slične pojmove, nakon što se reducira dolazi do izraza x, za koji je ODZ R. Ono što vidimo: kao rezultat transformacije, ODZ je proširen (broj nula je dodan ODZ-u varijable x za originalni izraz).
Ostaje razmotriti primjer sužavanja raspona prihvatljivih vrijednosti nakon transformacija. Uzmimo izraz 
. ODZ varijable x određen je nejednakošću (x−1)·(x−3)≥0, za njeno rješenje je pogodno, na primjer, kao rezultat imamo (−∞, 1]∪∪; uređeno S. A. Telyakovsky - 17- izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str.: ilustr. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Shakirova G. G. (MAOU licej br. 9)
1. http://www.school.ioffe.ru/library/online/geometry/ryzhik/35000/35000_part3.pdf.:
2. List “Matematika” br. 46.15. 1998.
3. List “Matematika” br. 15. 2002.
4. List “Matematika” br. 17. 2002.
5. F. P. Yaremchuk, P. A. Rudchenko Priručnik “Algebra i elementarne funkcije” Kijev: “Naukova Dumka”; 1976;
7. Zbirka priprema za OGE. Tipični testni zadaci, 9. razred, izdavačka kuća "EXAMEN", Moskva 2016.
8. Udžbenik algebre za 9. razred, A. G. Mordkovich, N. P. Nikolaev, izdavačka kuća MNEMOZINA, Moskva 2010.
Ovaj članak je apstraktan prikaz glavnog djela. Kompletan tekst naučnog rada, prijave, ilustracije i drugi dodatni materijali dostupni su na web stranici III Međunarodnog takmičenja naučnoistraživačkih i kreativnih radova studenata „Počni u nauci“ na linku: https://www.school- science.ru/0317/7/29329
Smatram da je matematika jedna od najvažnijih nauka u svijetu. Poseban značaj za ljude dobija u vezi sa razvojem nauke i tehnološkog napretka. Svi ljudi u svom životu morali su obavljati prilično složene proračune, koristiti kompjutersku tehnologiju, pronaći i primijeniti potrebne formule, savladati tehnike geometrijskih mjerenja, ali osoba ne uzima uvijek u obzir sve uvjete koji utječu na rezultat. Upravo zbog toga nastaje stanje ODZ-a.
Ova tema me je zainteresovala jer nisam u potpunosti razumio smisao i značaj pronalaženja ODZ-a, zbog čega nisam obraćao dužnu pažnju na značaj ODZ-a u nekim zadacima, te je između mene i ODZ-a došlo do „rata“.
Istovremeno, s matematičke tačke gledišta, pronalaženje ODZ-a nije nimalo obavezno, često nepotrebno, a ponekad čak i nemoguće - i sve to bez ikakve štete za rješenje. I zbog ove situacije sa ODZ-om nastaje “rat”.
Prilikom rješavanja zadataka određenih vrsta jednadžbi i nejednačina susreo sam se s činjenicom da se neki uvjeti ili ne uklapaju, ili su im nametnute određene vrijednosti, a kasnije sam shvatio da zaista postoji određena oblast u kojoj je dozvoljeno vrijednosti koje zadovoljavaju uvjete problema i jednadžbe proširuju neke vrste.
Ako damo grubo poređenje teniske loptice i funkcije (nejednakosti, jednačine ili problema), onda su školjka loptice i vanjski uvjeti naš ODZ, a način na koji se loptica odbija od poda je rješenje funkcije ( nejednakost, jednačina ili problem). Tada možemo reći da ako razbijemo školjku ove lopte (ili, jednostavnije rečeno, pocepamo je), onda lopta više neće odbijati kao prije, odnosno ako razbijemo ODZ, onda neće biti rješenje.
Relevantnost moje teme je u tome što čovjek prilikom rješavanja problema ne obraća pažnju na manje uslove. Možete dati i analogiju sa rješavanjem određenih zadataka iz matematike, gdje se ne uzima u obzir uvjet ODZ-a, a to utiče na rezultat rješenja. U drugom dijelu OGE ima mnogo takvih zadataka, koji mogu dovesti do neuspjeha na ispitu.
Dokažite važnost DL.
1. Objasnite svojstva i značenje ODZ-a u našim životima.
2. Analizirati različite metode rješavanja primjera koji uključuju DL.
Metode istraživanja:
- teorijska istraživanja (analiza literature, pretraživanje izvora);
- analiza glavnih zadataka i koncepata DL;
- ODZ metoda indukcije (zaključivanje iz činjenica u moju hipotezu)
- pravo istraživanje (rešavanje problema sa grupom ljudi).
Praktični dio:
Provođenje istraživanja za rješavanje jednostavnih problema i jednačina, opisivanje istraživanja.
hipoteza:
ODZ je posljedica nastanka raznih uslova u funkcijama, problemima, nejednačinama i jednačinama.
Istorija nastanka
Pa, hajde da se zadubimo u istoriju nastanka ODZ-a.
Kao i drugi koncepti matematike, pojam funkcije, naravno, nije nastao odmah, već je prošao dug put razvoja. U Uvodu i proučavanju ravnih i čvrstih mjesta Pierrea Fermata (objavljeno 1679.) stoji: „Kad god postoje dvije nepoznate veličine u konačnoj jednačini, postoji mjesto.” Kao što možete pretpostaviti, govorimo o funkcionalnoj zavisnosti i njenom grafičkom prikazu („mesto“ u Fermatu znači linija). Proučavanje linija prema njihovim jednačinama u Geometriji R. Descartesa (1637) također ukazuje na jasno razumijevanje međusobne zavisnosti između dvije promjenljive veličine. Ovo već ukazuje na potpuno jasno ovladavanje pojmom funkcije. Ovaj koncept nalazimo iu geometrijskom i mehaničkom obliku kod I. Newtona. Međutim, sam izraz “funkcija” prvi put se pojavljuje tek 1692. godine od G. Leibniza i, štaviše, ne baš u njegovom modernom razumijevanju. G. Leibniz različite segmente povezane sa krivom (na primjer, apscisa njenih tačaka) naziva funkcijom. U prvom štampanom kursu, “Analiza infinitezimala za poznavanje krivih linija” od L'Hopitala (1696), termin “funkcija” se ne koristi. Prva definicija funkcije, bliska modernoj, nalazi se kod I. Bernoullija (1718.): “Funkcija je veličina sastavljena od varijable i konstante.” Ova ne sasvim jasna definicija temelji se na ideji specificiranja funkcije analitičkom formulom.
Kao rezultat, došao sam do definicije ODZ-a za funkciju. Domen definicije (dozvoljene vrijednosti) funkcije Y je skup vrijednosti nezavisne varijable X za koju je definirana ova funkcija, odnosno domena promjene nezavisne varijable (argumenta).
Matematičari su bili u stanju da rešavaju jednačine i sisteme jednačina veoma dugo. "Aritmetika" grčkog matematičara iz Aleksandrije Diofanta (3. vek) još nije sadržala sistematski prikaz algebre, ali je sadržavala niz problema rešenih sastavljanjem jednačina. Sadrži sljedeći zadatak: “Pronađi dva broja na osnovu njihovog zbira 20 i proizvoda 96.”
Da bi se zaštitio od rješavanja kvadratne jednadžbe općeg oblika, koja dovodi do označavanja jednog od brojeva slovom, a koju još nisu znali riješiti, Diofant je označio nepoznate brojeve 10 + x i 10 - x (u modernoj notaciji) i dobio je nepotpunu kvadratnu jednačinu 100 - x2 = 96, za koju je pogodan samo pozitivan korijen 2.
Problemi o kvadratnim jednačinama su pronađeni u djelima indijskih matematičara od 5. stoljeća nove ere.
Kvadratne jednadžbe su klasificirane u raspravi “Kratka knjiga o algebri i almukabali” Muhameda al-Khwarizmija (787-850). Ispituje i rješava (u geometrijskom obliku) 6 tipova kvadratnih jednadžbi koje sadrže samo članove s pozitivnim koeficijentima na obje strane. U ovom slučaju su razmatrani samo pozitivni korijeni jednadžbi.
U najpoznatijem ruskom udžbeniku „Aritmetika“ Leontija Filipoviča Magnitskog (1669-1739) bilo je mnogo problema o kvadratnim jednačinama. Evo jednog od njih:
“Izvjesni general želi da započne bitku sa 5.000 ljudi, i to da ih bude duplo više ispred nego sa strane. Kolika će ova bitka biti sprijeda i sa strane?”, odnosno koliko vojnika treba postaviti na front, a koliko na potiljak, tako da broj vojnika na frontu bude 2 puta veći od broja vojnika koji se nalaze “na potiljku”?
U drevnim vavilonskim tekstovima (3000-2000 pne) postoje i problemi koji se danas rješavaju korištenjem sistema jednačina koji sadrže jednačine drugog stepena. Evo jednog od njih:
“Sabrao sam površine svoja dva kvadrata: . Stranica drugog kvadrata jednaka je strani prvog plus još 5.”
Odgovarajući sistem u modernoj notaciji izgleda ovako:
I tek u 17. vijeku, nakon rada Descartesa, Newtona i drugih matematičara, rješenje kvadratnih jednačina poprimilo je svoj moderni oblik.
Čini mi se da vas zanima odgovor na pitanje: "Zašto sam napisao istoriju nastanka funkcija i nejednakosti?" Odgovor je vrlo jednostavan. ODZ je samo posljedica nastanka raznih uslova u funkcijama, problemima, nejednačinama i jednačinama.
ODZ u nejednačinama i jednačinama
Prilikom rješavanja frakcionih racionalnih jednačina i nejednačina:
Znanje od 1. do 9. razreda mi ne dozvoljava da dijelim sa 0. „Ne možete dijeliti sa 0, jer je nemoguće bilo šta podijeliti prazninom“, rekli su mi učitelji u osnovnoj školi.
Rješavanje iracionalnih jednačina i nejednačina:
|
Jednačine
|
Nejednakosti
|
Studija
Proveo sam istraživanje kako bih otkrio koliko često učenici uzimaju u obzir DL prilikom rješavanja zadataka, jednačina, nejednačina itd. Da bih to uradio, odabrao sam 4 zadatka i sam ih riješio, a zatim ih ponudio 35 učenika devetog razreda, od kojih prva tri nije bilo potrebno uzeti u obzir ODZ, au četvrtom - obavezno. Svrha istraživačkog rada bila je dokazati da ljudi ne obraćaju dovoljno pažnje na DL.
Predloženi zadaci za učenike devetog razreda:
1) Autobus je otišao od tačke A do tačke B brzinom od 60 km/h. Sat vremena kasnije, auto ga je pratio do tačke B, a 4 sata kasnije sustigao je autobus na tački B (Stigli smo u isto vrijeme). Kolika je brzina automobila?
2) (x+3)2+10=(x-2)2
3) 1/(x-2) = x-4
Provjeravajući ove zadatke, otkrio sam da se rješenja mogu podijeliti prema određenim kriterijima.
Kriteriji za odabir rješenja i broj ljudi uključenih u njih:
Izvršeno sve zadatke - 5 osoba; napisao ODZ u 4 zadatka, ali je pogriješio u 1 zadatku - 2 osobe, u 2 primjera - 8 osoba, u 3 primjera - 3 osobe; 17 osoba nije napisalo ODZ u primjeru 4. Glavne greške:
- Zaboravljaju na svoj invaliditet (zapisali su ga, ali zaboravili da ga uzmu u obzir);
- DZ je pogrešno sastavljen;
- Jednačine su pomnožene pogrešno;
- Nemojte koristiti odgovarajuće skraćene formule za množenje;
- Zbunjeni znaci (*, +, -,:);
- Nisu svi primjeri.
- Zaboravljaju na promjenu znakova pri prenošenju kroz jednake;
I došao sam do zaključka da oko polovina učenika 9. razreda, nažalost, nije uzelo u obzir ili pogrešno upisalo DL u predatim zadacima, zbog čega su napravili greške.
Gdje se ODZ pojavljuje u stvarnom životu?
U stvari, toliko često se susrećemo sa DL uslovima da ih jednostavno ne primećujemo. Na primjer, kada kupujete nešto; sa određivanjem djelovanja na različitim vanjskim temperaturama.
Primjer broj 1 iz studije (problem) može biti model realne situacije, ali previše uopšten (nijedan autobus ili auto ne mogu stalno voziti konstantnom brzinom zbog različitih faktora kao što su kvalitet asfalta na putu, uglovi i broj okreta, količina benzina itd.). Evo boljeg primjera:
Dobili smo 200 rubalja za hranu za mačke, koja košta 18 rubalja po vrećici, i veknu bele hrane koja košta 24 rubalja. Moramo izračunati koliko ćemo rubalja potrošiti na hranu. Uzmimo X kao broj vreća hrane.
ODZ: x ≥ 0,
x = (200-24)/18,
x = 9 (ostatak 14).
To znači da ćemo kupiti 9 vreća hrane sa stanjem od 14 rubalja, što odgovara našem ukupnom iznosu.
Opciono DL
Kao što sam vidio iz vlastitog iskustva, često nije potrebno naznačiti DL u primjerima, iako je to oznaka DL koja se zahtijeva zadacima na OGE-u i Jedinstvenom državnom ispitu, inače ćete dobiti manje bodova. To se može vidjeti na primjeru zadataka 1 i 2 iz studije. I zaista, prilikom rješavanja ovih brojeva, primjećujemo da se raspon prihvatljivih vrijednosti može izostaviti, jer njegov nedostatak ni na koji način neće utjecati na odgovor. Ali vrlo često u takvim slučajevima, dobro obavljen posao je ocijenjen sa C.
Pretrage za ODZ su često samo dodatni posao bez kojeg možete lako. Postoji mnogo drugih primjera koji se ovdje mogu navesti. Oni su dobro poznati, pa ih izostavljam. Glavno rješenje su ekvivalentne transformacije pri prelasku s jedne jednadžbe na drugu, odnosno na jednostavniju.
Primjeri zamki
Među zadacima koji koriste jednačine ili nejednakosti, postoje problemi sa zamkom (zadaci u kojima DL može odigrati okrutnu šalu s vama). Poznato je da kao rezultat nekih transformacija koje mijenjaju originalni ODZ možemo doći do pogrešnih odluka. Možete dati primjer zadataka 3 i 4 iz istraživačkog rada, ali evo još jednog primjera takvih jednačina:
Iz ODZ-a imamo x ≥ 5 (jer radikal izraza ne može biti negativan). Pošto je na desnoj strani pozitivan izraz, to znači x - 5 > 2x - 1. Rješavajući posljednju nejednačinu, dobijamo x< -4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.
Zaključak
Sumirajući neke od rezultata svih istraživačkih radova, mogu sa sigurnošću reći da su neki od uslova za DL za jednačine i nejednakosti slični. ODD, kao što sam dokazao, javlja se u stvarnom životu, i to vrlo često; Takođe sam pokazao da ne postoji univerzalni odgovor na pitanje „da li je potrebno naznačiti DL u svim primerima?“ ne u školskom kursu.
Dokazao sam i svoju hipotezu, koja je zvučala ovako: “ODD je, zapravo, posljedica nastanka raznih uslova u funkcijama, problemima, nejednačinama i jednačinama.”
Svaki put, ako želite razumjeti šta radite, a ne djelovati mehanički, postavlja se pitanje: koje rješenje je najbolje izabrati, konkretno tražiti ODZ ili ne? Vjerujem da sam u toku svog rada djelimično odgovorio na ovo pitanje.
Razlog za snimanje ODZ-a izgleda očigledan, ali ljudi će i dalje nerado snimati ODZ još jednom. I koliko god različitih izlaganja, objašnjenja u udžbenicima i objašnjenja nastavnika, rat, bez obzira na sve, još nije završio, a neće se ni završiti, što potvrđuje aktuelnost i važnost ove teme.
Ali, svima bih savjetovao da uvijek uzmu u obzir DL, jer nije uvijek moguće odmah reći da u određenom zadatku nema kvake.
Izveštaj koji sam predstavio mogu koristiti ne samo učenici, već i nastavnici da objasne važnost DLC-a.
Bibliografska veza
Severov O. S. RAT PROTIV DDZ-a // Međunarodni školski naučni glasnik. – 2017. – br. 5-1. – str. 84-87;URL: http://school-herald.ru/ru/article/view?id=400 (datum pristupa: 02.09.2019.).