Matrični redovi A formu linijski prostor R(A T).

Matrične kolone A formu razmak stupaca matrice i označeni su sa R(A).

Kernel ili matrica nula prostora

Skup svih rješenja jednadžbe ax=0, gdje A-m x n-matrica, x- vektor dužine n- forme nula prostora ili jezgro matrice A i označava se sa Ker(A) ili N / A).

Opposite Matrix

Za bilo koju matricu A postoji suprotna matrica -A takav da A+(-A)=0. Očigledno, kao matrica -A uzmi matricu (-1)A, čiji se elementi razlikuju od elemenata A sign.

Kososimetrična (kososimetrična) matrica

Kvadratna matrica se naziva kososimetrična ako se razlikuje od svoje transponirane matrice za faktor −1:

U koso-simetričnoj matrici, bilo koja dva elementa smještena simetrično u odnosu na glavnu dijagonalu razlikuju se jedan od drugog za faktor -1, a dijagonalni elementi su jednaki nuli.

Primjer iskrivljene matrice:

Matrična razlika

razlika C dvije matrice A i B ista veličina je određena jednakošću

Za označavanje razlike dvije matrice koristi se notacija:

Matrični stepen

Neka je kvadratna matrica veličine n×n. Tada se stepen matrice definira na sljedeći način:

gdje je E matrica identiteta.

Iz asocijativnog svojstva množenja slijedi:

gdje p,q- proizvoljni cijeli nenegativni brojevi.

Simetrična (Simetrična) matrica

Matrica koja zadovoljava uslov A=A T naziva se simetrična matrica.

Za simetrične matrice važi jednakost:

a ij = a ji ; i=1,2,...n, j=1,2,...n

Definicija 1. Veličina matrice Am n je pravougaona tabela od m redova i n kolona, ​​koja se sastoji od brojeva ili drugih matematičkih izraza (zvani matrični elementi), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, ili

Definicija 2. Dvije matrice
i
iste veličine se zovu jednaka, ako se poklapaju element po element, tj. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Uz pomoć matrica lako je zapisati neke ekonomske zavisnosti, na primjer tabele raspodjele resursa za pojedine sektore privrede.

Definicija 3. Ako se broj redova matrice poklapa sa brojem njenih kolona, ​​tj. m = n, tada se matrica zove kvadratni redn, inače pravougaona.

Definicija 4. Prijelaz iz matrice A u matricu A m, u kojoj se redovi i stupci zamjenjuju uz očuvanje reda, naziva se transpozicija matrice.

Vrste matrica: kvadratne (veličine 33) -
,

pravougaona (veličina 25) -
,

dijagonala -
, single -
, nula -
,

matrica-red -
, matrica-kolona -.

Definicija 5. Elementi kvadratne matrice reda n sa istim indeksima nazivaju se elementi glavne dijagonale, tj. ovo su elementi:
.

Definicija 6. Elementi kvadratne matrice reda n nazivaju se sekundarnim dijagonalnim elementima ako je zbroj njihovih indeksa jednak n + 1, tj. ovo su elementi: .

1.2. Operacije na matricama.

1 0 . suma dvije matrice
i
iste veličine naziva se matrica S = (s ij), čiji su elementi određeni jednakošću sa ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).

Osobine operacije sabiranja matrice.

Za bilo koje matrice A, B, C iste veličine vrijede sljedeće jednakosti:

1) A + B = B + A (komutativnost),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (asocijativnost).

2 0 . rad matrice
po broju  zove se matrica
iste veličine kao matrica A, a b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Svojstva operacije množenja matrice brojem.

(A) = ()A (asocijativnost množenja);

(A+V) = A+V (distributivnost množenja u odnosu na sabiranje matrice);

(+)A = A+A (distributivnost množenja u odnosu na sabiranje brojeva).

Definicija 7. Linearna kombinacija matrica
i
iste veličine naziva se izraz oblika A + B, gdje su  i  proizvoljni brojevi.

3 0 . Proizvod A  U matricama A i B, respektivno, veličine mn i nk, naziva se matrica C veličine mk, takva da je element sa ij jednak zbroju proizvoda elemenata i-tog reda matrice A i j-te kolone matrice B, tj. sa ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Proizvod AB postoji samo ako je broj stupaca matrice A isti kao i broj redova matrice B.

Svojstva operacije množenja matrice:

(AV)S = A(VS) (asocijativnost);

(A+V)S = AS+VS ​​(distributivnost u odnosu na dodavanje matrice);

A(V+S) = AV+AS (distributivnost u odnosu na dodavanje matrice);

AV  VA (ne komutativnost).

Definicija 8. Matrice A i B, za koje je AB = BA, nazivaju se komutirajuće ili permutirajuće.

Množenjem kvadratne matrice bilo kojeg reda s odgovarajućom matricom identiteta se matricu ne mijenja.

Definicija 9. Elementarne transformacije matrice se nazivaju sljedeće operacije:

Zamijenite dva reda (kolone).

Pomnožite svaki element reda (kolone) brojem koji nije nula.

Dodavanje elementima jednog reda (kolone) odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone).

Definicija 10. Matrica B dobijena iz matrice A uz pomoć elementarnih transformacija se zove ekvivalentno(označeno BA).

Primjer 1.1. Pronađite linearnu kombinaciju matrica 2A–3B ako

,
.

,
,

.

Primjer 1.2. Pronađite proizvod matrica
, ako

.

Rješenje: budući da je broj stupaca prve matrice isti kao i broj redova druge matrice, onda proizvod matrice postoji. Kao rezultat, dobijamo novu matricu
, gdje

Kao rezultat, dobijamo
.

Predavanje 2. Determinante. Izračunavanje determinanti drugog, trećeg reda. Svojstva kvalifikatoran-th red.

Definicija. Matrica veličine je tabela brojeva koja se sastoji od linije i kolone. Brojevi koji čine matricu nazivaju se matričnim elementima.

Matrice se označavaju velikim slovima latinice (npr A, B, C), a elementi matrice su malim slovima sa dvostrukim indeksiranjem: , gdje - broj reda - broj kolone.

Na primjer, matrica
,

ili u skraćenom obliku
, gdje
;
.

Vrste matrica.

Jednoredna matrica se zove matrica (vektor)–red, a iz jedne kolone - matrica (vektor)-kolona:
– matrica-red;

-matrix-kolona.

Matrica se zove kvadrat - reda ako je broj njegovih redova jednak broju stupaca i jednak je . Na primjer,
je kvadratna matrica trećeg reda.

Matrični elementi , čiji je broj reda jednak broju kolone
, su pozvani dijagonala i formu glavna dijagonala matrice.

Ako su svi vandijagonalni unosi kvadratne matrice nula, tada se matrica naziva dijagonala. Na primjer,

je dijagonalna matrica trećeg reda.

Ako je dijagonalna matrica th reda, svi dijagonalni elementi su jednaki jedan, tada se matrica zove single matrica reda i označava se slovom . Na primjer,
je matrica identiteta trećeg reda.

Operacije na matricama.

Na primjer, ako
, onda
.

Na primjer:
,
,
.

Primjer. Izračunajte proizvod matrica
, gdje

;
.

Pronađite veličinu matrice proizvoda (ako je moguće množenje matrice):
. Izračunajte elemente matrice . Element dobijeno množenjem th red matrice na -ti stupac matrice .

Dobijamo
.

,
.

Iz definicije slijedi da ako matrica ima veličinu
, zatim transponovana matrica ima veličinu
.

Na primjer:
;
.

Determinante kvadratnih matrica

Determinanta je broj koji karakterizira kvadratnu matricu.

Matrična determinanta označeno ili .

Determinanta matrice prvog reda
, ili odrednica prvog reda, naziva se element
:

. Na primjer, neka
, onda
.

Determinanta matrice drugog reda
, ili determinanta drugog reda, je broj koji se izračunava po formuli:

.

Umjetnička djela
i
pozvao odrednica članova drugi red. Na primjer, neka
, onda
.

Neka je data kvadratna matrica trećeg reda:

.

Determinanta matrice trećeg reda, ili odrednica trećeg reda poziva se broj koji se izračunava po formuli:

Ovaj broj je algebarski zbir koji se sastoji od 6 članova, ili 6 članova determinante. Svaki pojam sadrži tačno jedan element iz svakog reda i svake kolone matrice. Znakovi sa kojima su članovi determinante uključeni u formulu lako se pamte pomoću šeme (slika 1.), koja se naziva pravilo trougla ili Sarus vlada.

Da bismo izračunali determinante viših redova, potrebni su nam neki dodatni koncepti.

Neka je data kvadratna matrica n-th red.

Minor
element matrice n red je determinanta matrice ( n– 1)-ti red dobijen iz matrice strikeout -ti red i -th kolona.

Na primjer, element je minor
matrice treći red će biti:

Algebarsko sabiranje element matrice n red je njegov manji, uzet sa znakom
:
, tj. algebarski komplement je isti kao i minor kada je zbir broja reda i stupca ( i+ j) je paran broj i razlikuje se od malog predznaka kada ( i+ j) - neparan broj. Na primjer, ;
.

Za izračunavanje determinanti kvadratnih matrica iznad trećeg reda koristi se Laplaceov teorem.

Laplaceov teorem.Determinanta kvadratne matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg reda (stupca) i njihovih algebarskih komplemenata:

(razlaganje po elementima i- th line;
);

(razlaganje po elementima j- th column;
);

Prema svojstvima determinanti, determinanta matrice se neće promeniti ako se elementi bilo kog reda (kolone) matrice dodaju elementima drugog reda (kolone), prethodno pomnoženim istim brojem. Ovo svojstvo determinanti i Laplasova teorema omogućavaju značajno pojednostavljenje izračunavanja determinanti višeg reda. Prilikom izračunavanja determinanti potrebno je transformirati originalnu matricu tako da transformirana matrica ima red (ili stupac) koji sadrži što više nula, a zatim pronaći determinantu proširivanjem ovog reda (kolone).

Primjer. Izračunajte determinantu četvrtog reda:

.

Transformirajmo matricu tako da se u 3. redu svi elementi, osim jednog, okrenu na 0. Da biste to učinili, pomnožite elemente treće kolone sa (-4) i sa 2 i dodajte ih elementima 1. i 2. kolona. Proširujući rezultujuću determinantu preko elemenata trećeg reda, nalazimo

.

Rezultirajuća determinanta trećeg reda može se izračunati korištenjem pravila trokuta ili korištenjem Laplaceove teoreme, međutim, možete nastaviti s pojednostavljivanjem matrice. "Resetuj" u matrici trećeg reda elemente 2. reda (osim jednog). Da biste to učinili, elementi treće kolone matrice, koji su prethodno pomnoženi sa (-13) i sa 4, dodaju se elementima 1. i 2. kolone, respektivno:

.

Proširujući elemente drugog reda i uklanjajući zajedničke faktore, dobijamo.

1. godina, viša matematika, studij matrice i osnovne radnje na njima. Ovdje sistematiziramo glavne operacije koje se mogu izvesti s matricama. Kako započeti s matricama? Naravno, od najjednostavnijih - definicija, osnovnih pojmova i najjednostavnijih operacija. Uvjeravamo vas da će matrice razumjeti svako ko im posveti barem malo vremena!

Definicija matrice

Matrix je pravougaona tabela elemenata. Pa, ako jednostavno rečeno - tabela brojeva.

Matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima. Na primjer, matrica A , matrica B i tako dalje. Matrice mogu biti različitih veličina: pravougaone, kvadratne, postoje i matrice redova i matrice kolona koje se nazivaju vektori. Veličina matrice je određena brojem redaka i stupaca. Na primjer, napišimo pravokutnu matricu veličine m na n , gdje m je broj linija, i n je broj kolona.

Elementi za koje i=j (a11, a22, .. ) čine glavnu dijagonalu matrice i nazivaju se dijagonalom.

Šta se može uraditi sa matricama? Dodaj/Oduzmi, pomnožite brojem, umnožavaju među sobom, transponovati. Sada o svim ovim osnovnim operacijama na matricama po redu.

Matrične operacije sabiranja i oduzimanja

Odmah vas upozoravamo da možete dodati samo matrice iste veličine. Rezultat je matrica iste veličine. Dodavanje (ili oduzimanje) matrica je jednostavno − samo dodajte njihove odgovarajuće elemente . Uzmimo primjer. Izvršimo sabiranje dvije matrice A i B veličine dva po dva.

Oduzimanje se vrši po analogiji, samo sa suprotnim predznakom.

Bilo koja matrica se može pomnožiti sa proizvoljnim brojem. Da biste to učinili, potrebno je da pomnožite sa ovim brojem svaki njegov element. Na primjer, pomnožimo matricu A iz prvog primjera brojem 5:

Operacija množenja matrice

Ne mogu se sve matrice međusobno množiti. Na primjer, imamo dvije matrice - A i B. One se mogu množiti jedna s drugom samo ako je broj stupaca matrice A jednak broju redova matrice B. Štaviše, svaki element rezultirajuće matrice u i-tom redu i j-tom stupcu bit će jednak zbroju proizvoda odgovarajućih elemenata u i-tom redu prvog faktora i j-tog stupca drugog. Da bismo razumjeli ovaj algoritam, zapišimo kako se množe dvije kvadratne matrice:

I primjer sa realnim brojevima. Pomnožimo matrice:

Operacija transpozicije matrice

Transpozicija matrice je operacija u kojoj se zamjenjuju odgovarajući redovi i stupci. Na primjer, transponiramo matricu A iz prvog primjera:

Matrična determinanta

Determinanta, oh determinanta, je jedan od osnovnih pojmova linearne algebre. Nekada su ljudi smislili linearne jednadžbe, a nakon njih su morali izmisliti odrednicu. Na kraju, na vama je da se nosite sa svim ovim, pa zadnji guranje!

Determinanta je numerička karakteristika kvadratne matrice koja je potrebna za rješavanje mnogih problema.
Da biste izračunali determinantu najjednostavnije kvadratne matrice, morate izračunati razliku između proizvoda elemenata glavne i sekundarne dijagonale.

Determinanta matrice prvog reda, odnosno koja se sastoji od jednog elementa, jednaka je ovom elementu.

Šta ako je matrica tri sa tri? Ovo je teže, ali se može uraditi.

Za takvu matricu vrijednost determinante jednaka je zbroju proizvoda elemenata glavne dijagonale i proizvoda elemenata koji leže na trokutima s licem paralelnim s glavnom dijagonalom, iz kojeg je proizvod elemenata od sekundarne dijagonale i umnožak elemenata koji leže na trokutima s licem paralelnim sa sekundarnom dijagonalom oduzimaju se.

Srećom, rijetko je potrebno izračunati determinante velikih matrica u praksi.

Ovdje smo razmotrili osnovne operacije nad matricama. Naravno, u stvarnom životu nikada ne možete naići ni na nagoveštaj matričnog sistema jednačina, ili obrnuto, možete naići na mnogo složenije slučajeve kada zaista morate da se namučete. Za takve slučajeve postoji stručna studentska služba. Zatražite pomoć, dobijte kvalitetno i detaljno rješenje, uživajte u akademskom uspjehu i slobodnom vremenu.

Pravougaona matrica veličine mxn je kolekcija mxn brojeva raspoređenih u pravougaonu tabelu koja sadrži m redova i n kolona. Napisaćemo to u formularu

ili skraćeno kao A = (a i j) (i = ; j = ), brojevi a i j, nazivaju se njegovim elementima; prvi indeks pokazuje na broj reda, drugi indeks na broj kolone. A = (a i j) i B = (b i j) iste veličine nazivaju se jednakima ako su njihovi elementi na istim mjestima parno jednaki, odnosno A = B ako je a i j = b i j .

Matrica koja se sastoji od jednog reda ili jednog stupca naziva se vektor -red ili stupac, respektivno. Vektori stupaca i vektori reda se jednostavno nazivaju vektori.

Matrica koja se sastoji od jednog broja identificira se sa ovim brojem. A veličine mxn, čiji su svi elementi jednaki nuli, naziva se nula i označava se sa 0. Elementi sa istim indeksima nazivaju se elementi glavne dijagonale. Ako je broj redova jednak broju stupaca, tj. m = n, onda se kaže da je matrica kvadrat reda n. Kvadratne matrice u kojima su samo elementi glavne dijagonale različiti od nule nazivaju se dijagonalne matrice i pišu se na sljedeći način:

.

Ako su svi elementi a i i dijagonale jednaki 1, tada se naziva jedinica i označava se slovom E:

.

Kvadratna matrica se naziva trokutastom ako su svi elementi iznad (ili ispod) glavne dijagonale jednaki nuli. Transpozicija je transformacija u kojoj se redovi i stupci zamjenjuju uz zadržavanje njihovog broja. Transpozicija je označena sa T na vrhu.

Ako u (4.1) preuredimo redove sa stupcima, onda ćemo dobiti

,

koji će biti transponovan u odnosu na A. Konkretno, transponovanje vektora kolone rezultira vektorom reda i obrnuto.

Proizvod A brojem b je matrica čiji se elementi dobijaju iz odgovarajućih elemenata A množenjem brojem b: b A = (b a i j).

Zbir A = (a i j) i B = (b i j) iste veličine je C = (c i j) iste veličine, čiji su elementi određeni formulom c i j = a i j + b i j .

Proizvod AB definiran je pod pretpostavkom da je broj stupaca u A jednak broju redova u B.

Proizvod AB, gdje je A = (a i j) i B = (b j k), gdje je i = , j= , k= , dat određenim redom AB, je C = (c i k), čiji su elementi određeni pomoću sljedeće pravilo:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Drugim riječima, element proizvoda AB definiran je na sljedeći način: element i-tog reda i k-tog stupca C jednak je zbiru proizvoda i-tog reda A po odgovarajući elementi k-te kolone B.

Primjer 2.1. Pronađite proizvod AB i .

Rješenje. Imamo: A veličine 2x3, B veličine 3x3, tada proizvod AB = C postoji i elementi C su jednaki

S 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, s 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, s 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

, a proizvod BA ne postoji.

Primjer 2.2. U tabeli je prikazan broj jedinica proizvoda koji se dnevno otpremaju iz mlekara 1 i 2 u prodavnice M 1, M 2 i M 3, a dostava jedinice proizvodnje od svake mlekare do prodavnice M 1 košta 50 den. jedinica, u prodavnici M 2 - 70, au M 3 - 130 den. jedinice Izračunajte dnevne troškove transporta svake biljke.

Rješenje. Označimo sa A matricu koja nam je data u uslovu i sa
B - matrica koja karakteriše trošak isporuke jedinice proizvodnje u prodavnice, tj.

,

Tada će matrica troškova transporta izgledati ovako:

Dakle, prva fabrika troši 4750 den dnevno na transport. jedinica, drugi - 3680 den.un.

Primjer 2.3. Preduzeće za šivanje proizvodi zimske kapute, demisezonske kapute i kabanice. Planirani proizvod za jednu deceniju karakteriše vektor X = (10, 15, 23). Koriste se četiri vrste tkanina: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . Tabela prikazuje stope potrošnje tkanine (u metrima) za svaki proizvod. Vektor C = (40, 35, 24, 16) određuje cijenu metra tkanine svake vrste, a vektor P = (5, 3, 2, 2) - cijenu transporta metra tkanine svake vrste tip.