U ovoj lekciji ćemo detaljno pogledati funkciju y = sin x, njena osnovna svojstva i graf. Na početku lekcije daćemo definiciju trigonometrijske funkcije y = sin t na koordinatnoj kružnici i razmotriti graf funkcije na kružnici i pravoj. Pokažimo periodičnost ove funkcije na grafu i razmotrimo glavna svojstva funkcije. Na kraju lekcije riješit ćemo nekoliko jednostavnih problema korištenjem grafa funkcije i njenih svojstava.
Tema: Trigonometrijske funkcije
Lekcija: Funkcija y=sinx, njena osnovna svojstva i graf
Kada razmatrate funkciju, važno je povezati svaku vrijednost argumenta s jednom vrijednošću funkcije. Ovo zakon dopisivanja i naziva se funkcija.
Hajde da definiramo korespondencijski zakon za .
Bilo koji realan broj odgovara jednoj tački na jediničnom krugu. Tačka ima jednu ordinatu, koja se naziva sinusom broja (slika 1).
Svaka vrijednost argumenta je povezana s jednom vrijednošću funkcije.
Očigledna svojstva proizlaze iz definicije sinusa.
Slika to pokazuje 
jer je ordinata tačke na jediničnom krugu.
Razmotrimo graf funkcije. Prisjetimo se geometrijske interpretacije argumenta. Argument je centralni ugao, mjeren u radijanima. Duž ose ćemo iscrtati realne brojeve ili uglove u radijanima, duž ose odgovarajuće vrednosti funkcije.
Na primjer, ugao na jediničnom krugu odgovara tački na grafikonu (slika 2)
Dobili smo grafik funkcije u području, ali znajući period sinusa, možemo prikazati graf funkcije u cijelom domenu definicije (slika 3).
Glavni period funkcije je To znači da se graf može dobiti na segmentu, a zatim nastaviti kroz cijeli domen definicije.
Razmotrite svojstva funkcije:
1) Obim definicije:
2) Raspon vrijednosti: 
3) Neparna funkcija:
4) Najmanji pozitivni period:
5) Koordinate tačaka preseka grafika sa apscisom: 
6) Koordinate tačke preseka grafika sa ordinatnom osom:
7) Intervali u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti:
8) Intervali u kojima funkcija poprima negativne vrijednosti:
9) Povećani intervali:
10) Smanjenje intervala:
11) Minimum bodova: 
12) Minimalne funkcije:
13) Maksimalan broj bodova: 
14) Maksimalne funkcije:
Pogledali smo svojstva funkcije i njenog grafa. Svojstva će se više puta koristiti prilikom rješavanja problema.
Bibliografija
1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Udžbenik za opšteobrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematička analiza za 10. razred (udžbenik za učenike škola i odjeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dubinski studij algebre i matematičke analize.-M.: Obrazovanje, 1997.
5. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (priredio M.I. Skanavi - M.: Viša škola, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi iz algebre i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova - M.: Prosveshchenie, 2003).
8. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i principi analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. sa dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.
Zadaća
Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Dodatni web resursi
3. Edukativni portal za pripremu ispita ().
U ovoj lekciji ćemo detaljno pogledati funkciju y = sin x, njena osnovna svojstva i graf. Na početku lekcije daćemo definiciju trigonometrijske funkcije y = sin t na koordinatnoj kružnici i razmotriti graf funkcije na kružnici i pravoj. Pokažimo periodičnost ove funkcije na grafu i razmotrimo glavna svojstva funkcije. Na kraju lekcije riješit ćemo nekoliko jednostavnih problema korištenjem grafa funkcije i njenih svojstava.
Tema: Trigonometrijske funkcije
Lekcija: Funkcija y=sinx, njena osnovna svojstva i graf
Kada razmatrate funkciju, važno je povezati svaku vrijednost argumenta s jednom vrijednošću funkcije. Ovo zakon dopisivanja i naziva se funkcija.
Hajde da definiramo korespondencijski zakon za .
Bilo koji realan broj odgovara jednoj tački na jediničnom krugu. Tačka ima jednu ordinatu, koja se naziva sinusom broja (slika 1).
Svaka vrijednost argumenta je povezana s jednom vrijednošću funkcije.
Očigledna svojstva proizlaze iz definicije sinusa.
Slika to pokazuje jer je ordinata tačke na jediničnom krugu.
Razmotrimo graf funkcije. Prisjetimo se geometrijske interpretacije argumenta. Argument je centralni ugao, mjeren u radijanima. Duž ose ćemo iscrtati realne brojeve ili uglove u radijanima, duž ose odgovarajuće vrednosti funkcije.
Na primjer, ugao na jediničnom krugu odgovara tački na grafikonu (slika 2)
Dobili smo grafik funkcije u području, ali znajući period sinusa, možemo prikazati graf funkcije u cijelom domenu definicije (slika 3).
Glavni period funkcije je To znači da se graf može dobiti na segmentu, a zatim nastaviti kroz cijeli domen definicije.
Razmotrite svojstva funkcije:
1) Obim definicije:
2) Raspon vrijednosti:
3) Neparna funkcija:
4) Najmanji pozitivni period:
5) Koordinate tačaka preseka grafika sa apscisom:
6) Koordinate tačke preseka grafika sa ordinatnom osom:
7) Intervali u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti:
8) Intervali u kojima funkcija poprima negativne vrijednosti:
9) Povećani intervali:
10) Smanjenje intervala:
11) Minimum bodova:
12) Minimalne funkcije:
13) Maksimalan broj bodova:
14) Maksimalne funkcije:
Pogledali smo svojstva funkcije i njenog grafa. Svojstva će se više puta koristiti prilikom rješavanja problema.
Bibliografija
1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Udžbenik za opšteobrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematička analiza za 10. razred (udžbenik za učenike škola i odjeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dubinski studij algebre i matematičke analize.-M.: Obrazovanje, 1997.
5. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (priredio M.I. Skanavi - M.: Viša škola, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi iz algebre i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova - M.: Prosveshchenie, 2003).
8. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i principi analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. sa dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.
Zadaća
Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Dodatni web resursi
3. Edukativni portal za pripremu ispita ().
X y O Jedinični trigonometrijski krug
3 =180 3,14 rad R R O R M R Razmotrimo kružnicu poluprečnika R. Konstruiraj MOP: MR = R 1 radijan Vrijednost MOR je jednaka 1 radijanu MR =1rad MOR 57 17= 1rad radijanska mjera ugla
4 Obim kruga je izražen formulom C=2 R, gdje je R polumjer kružnice. 3, Krug čiji je poluprečnik jednak 1 naziva se... Tačke M, P, K, N - nazovimo ih čvornim tačkama. Označimo tačke A, B, C. Pogodno je izmjeriti dužinu jediničnog kruga u radijanima. Ako je R=1, onda je C=2 rad! Naziv radijani se obično izostavlja. y x K R S V A Dužina luka pola kruga jednaka je rad. M N rad – četvrtina obima rad – tri četvrtine obima Oko 1 jedinica radijanska mjera ugla uk-badge uk-margin-small-right"> Mjera 5 stepeni Radijanska mjera0 Dakle, vrijednost ugla rotacije tačke, kao i veličina luka jedinične kružnice, može se odrediti: I četvrtina II četvrtina III četvrtina IV četvrtina O u stepenu mjeri u radijanskoj mjeri Radijanska mjera ugla 0 2 I četvrtina II četvrtina III četvrtina IV četvrtina O 2
6 “Odmotajte” krug kao nit na koordinatnu zraku s početkom u tački 0. Uspostavimo korespondenciju između skupa realnih brojeva na brojevnoj pravoj i tačaka jedinične kružnice. Ovo „odmotavanje“ može se nastaviti u nedogled. 3.14 0 Iscrtavanje grafika x y=sin x
13 Transformacija grafova Funkcija Transformacija 1 y= f (x) + mParalelni prijenos duž ose OY za m jedinica 2 y= f (x – n) Paralelni prijenos duž ose OX za n jedinica 3 y=A f (x) Istezanje duž ose OY u odnosu na osu OX za A puta 4 y= f (k x) Kompresija duž ose OX u odnosu na os OY za k puta 5 y= – f (x) Simetrična refleksija u odnosu na osu OX 6 y= f (– x) Simetrična refleksija u odnosu na osu OY y =f(x)
20 Napravimo grafik funkcije y= 3 sin(2x+ /3)–2 Faze konstrukcije: 1. y= sin x – sinusoida 3. y= sin(2x+ /3) – pomjeriti /3 jedinice ulijevo 4. y= 3 sin( 2x+ /3) – istezanje 3 puta duž Oy ose 2. y= sin 2x – kompresija 2 puta duž ose Ox 5. y= 3 sin(2x+ /3)–2 – prijenos za 2 jedinice dole
26 Transformacija grafova Funkcija Transformacija 1 y=sin(kx) Kompresija duž ose OX u odnosu na osu OY k puta 2 y=sin(x–m) Paralelni transport duž ose OX za m jedinica 3 y=A sin x istezanje duž ose OY relativne ose OX u A puta 4 y=sin x+nParalelno prevođenje duž ose OY za n jedinica 5 y= – sin x Simetrična refleksija u odnosu na osu OX 6 y= sin (–x) Simetrična refleksija u odnosu na OY osa y = Asin(kx–n )+m
28 1. Funkcija y=sin x postoji za sve realne vrijednosti x, a njen graf je puna linija (bez prekida), tj. funkcija je kontinuirana. 2. Funkcija y=sin x je neparna, njen graf je simetričan u odnosu na ishodište 3. Najveća i najmanja vrijednost. Sve moguće vrijednosti funkcije sinx ograničene su nejednakošću -1 sinx 1, i 4. Nule funkcije (tačke presjeka grafa funkcije sa osom apscisa): sinx=0, ako je x= n. (n Z) Neka svojstva funkcije y=sinx sin x= – 1, ako je sin x=1, ako
Funkcijay = grijehx
Grafikon funkcije je sinusoida.
Kompletan dio sinusnog vala koji se ne ponavlja naziva se sinusni val.
Pola sinusnog vala naziva se polusinusni val (ili luk).
Svojstva funkcijey =
grijehx:
3) Ovo je čudna funkcija. 4) Ovo je kontinuirana funkcija.
6) Na segmentu [-π/2; π/2] funkcija raste na intervalu [π/2; 3π/2] – smanjuje se. 7) Na intervalima funkcija poprima pozitivne vrijednosti. 8) Intervali rastuće funkcije: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Minimalne tačke funkcije: -π/2 + 2πn. |
Za grafički prikaz funkcije y= grijeh x Pogodno je koristiti sljedeće vage:
Na listu papira sa kvadratom uzimamo dužinu dva kvadrata kao jedinicu segmenta.
Na osi x Izmjerimo dužinu π. Istovremeno, radi praktičnosti, predstavljamo 3.14 u obliku 3 - to jest, bez razlomka. Tada će na listu papira u ćeliji π biti 6 ćelija (tri puta 2 ćelije). I svaka ćelija će dobiti svoje prirodno ime (od prvog do šestog): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Ovo su značenja x.
Na y-osi označavamo 1, koja uključuje dvije ćelije.
Kreirajmo tablicu vrijednosti funkcije koristeći naše vrijednosti x:
√3 | √3 |
Zatim napravimo raspored. Rezultat je poluval, čija je najviša tačka (π/2; 1). Ovo je graf funkcije y= grijeh x na segmentu. Dodamo simetričan polutalas konstruisanom grafu (simetričan u odnosu na ishodište, odnosno na segmentu -π). Vrh ovog polutalasa je ispod x-ose sa koordinatama (-1; -1). Rezultat će biti talas. Ovo je graf funkcije y= grijeh x na segmentu [-π; π].
Možete nastaviti val tako što ćete ga konstruirati na segmentu [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], itd. Na svim ovim segmentima graf funkcije će izgledati isto kao na segmentu [-π; π]. Dobićete kontinuiranu talasastu liniju sa identičnim talasima.
Funkcijay = cosx.
Graf funkcije je sinusni val (ponekad se naziva kosinusni val).
Svojstva funkcijey = cosx:
1) Područje definicije funkcije je skup realnih brojeva. 2) Opseg vrijednosti funkcije je segment [–1; 1] 3) Ovo je parna funkcija. 4) Ovo je kontinuirana funkcija. 5) Koordinate presečnih tačaka grafa: 6) Na segmentu funkcija opada, na segmentu [π; 2π] – povećava se. 7) Na intervalima [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] funkcija uzima pozitivne vrijednosti. 8) Rastući intervali: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Minimalne tačke funkcije: π + 2πn. 10) Funkcija je ograničena odozgo i odozdo. Najmanja vrijednost funkcije je –1, 11) Ovo je periodična funkcija s periodom od 2π (T = 2π) |
Funkcijay = mf(x).
Uzmimo prethodnu funkciju y=cos x. Kao što već znate, njegov graf je sinusni talas. Ako pomnožimo kosinus ove funkcije sa određenim brojem m, tada će se val proširiti od ose x(ili će se smanjiti, ovisno o vrijednosti m).
Ovaj novi talas će biti graf funkcije y = mf(x), gde je m bilo koji realan broj.
Dakle, funkcija y = mf(x) je poznata funkcija y = f(x) pomnožena sa m.
Akom< 1, то синусоида сжимается к оси x po koeficijentum. Akom > 1, tada se sinusoida rasteže od osex po koeficijentum.
Kada izvodite istezanje ili kompresiju, prvo možete nacrtati samo jedan poluval sinusnog vala, a zatim dovršiti cijeli grafikon.
Funkcijay = f(kx).
Ako je funkcija y =mf(x) dovodi do istezanja sinusoida od ose x ili kompresija prema osi x, tada funkcija y = f(kx) vodi do rastezanja od ose y ili kompresija prema osi y.
Štaviše, k je bilo koji realan broj.
U 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y po koeficijentuk. Akok > 1, tada se sinusoida sabija prema osiy po koeficijentuk.
Kada sastavljate graf ove funkcije, prvo možete izgraditi jedan poluval sinusnog vala, a zatim ga koristiti za kompletiranje cijelog grafa.
Funkcijay = tgx.
Funkcijski graf y= tg x je tangenta.
Dovoljno je konstruisati dio grafa u intervalu od 0 do π/2, a zatim ga možete simetrično nastaviti u intervalu od 0 do 3π/2.
Svojstva funkcijey = tgx:
Funkcijay = ctgx
Funkcijski graf y=ctg x je takođe tangentoid (ponekad se naziva i kotangentoid).
Svojstva funkcijey = ctgx:
>>Matematika: Funkcije y = sin x, y = cos x, njihova svojstva i grafovi
Funkcije y = sin x, y = cos x, njihova svojstva i grafovi
U ovom dijelu ćemo raspravljati o nekim svojstvima funkcija y = sin x, y = cos x i konstruirati njihove grafove.
1. Funkcija y = sin X.
Iznad, u § 20, formulisali smo pravilo koje dozvoljava da svaki broj t bude povezan sa brojem cos t, tj. karakterizira funkciju y = sin t. Napomenimo neka njegova svojstva.
Svojstva funkcije u = sin t.
Područje definicije je skup K realnih brojeva.
Ovo proizilazi iz činjenice da bilo koji broj 2 odgovara tački M(1) na brojevnoj kružnici, koja ima dobro definiranu ordinatu; ova ordinata je cos t.
u = sin t je neparna funkcija.
Ovo proizilazi iz činjenice da je, kao što je dokazano u § 19, za bilo koje t jednakost
To znači da je graf funkcije u = sin t, kao i graf bilo koje neparne funkcije, simetričan u odnosu na početak u pravougaonom koordinatnom sistemu tOi.
Funkcija u = sin t raste na intervalu 
Ovo proizilazi iz činjenice da kada se tačka kreće duž prve četvrtine brojevnog kruga, ordinata se postepeno povećava (od 0 do 1 - vidi sliku 115), a kada se tačka kreće duž druge četvrtine brojevnog kruga, ordinata se postepeno smanjuje (od 1 do 0 - vidi sliku 116).
Funkcija u = sint je ograničena i odozdo i odozgo. Ovo sledi iz činjenice da je, kao što smo videli u § 19, za bilo koje t nejednakost
(funkcija dostigne ovu vrijednost u bilo kojoj tački forme 
(funkcija dostigne ovu vrijednost u bilo kojoj tački forme
Koristeći dobijena svojstva, konstruisaćemo graf funkcije koja nas zanima. Ali (pažnja!) umjesto u - sin t pisaćemo y = sin x (na kraju krajeva, više smo navikli pisati y = f(x), a ne u = f(t)). To znači da ćemo graf izgraditi u uobičajenom koordinatnom sistemu xOy (a ne tOy).
Napravimo tablicu vrijednosti funkcije y - sin x:
Komentar.
Navedimo jednu od verzija porijekla pojma "sinus". Na latinskom, sinus znači savijanje (tetiva luka).
Konstruisani graf donekle opravdava ovu terminologiju. 
Prava koja služi kao grafik funkcije y = sin x naziva se sinusni val. Onaj dio sinusoide koji je prikazan na sl. 118 ili 119 naziva se sinusni val, a onaj dio sinusnog vala koji je prikazan na sl. 117 se naziva poluval ili luk sinusnog vala.
2. Funkcija y = cos x.
Proučavanje funkcije y = cos x moglo bi se izvesti približno prema istoj shemi koja je gore korištena za funkciju y = sin x. Ali mi ćemo izabrati put koji brže vodi do cilja. Prvo ćemo dokazati dvije formule koje su same po sebi važne (vidjet ćete to u srednjoj školi), ali za sada imaju samo pomoćni značaj za naše potrebe.
Za bilo koju vrijednost t vrijede sljedeće jednakosti:
Dokaz. Neka broj t odgovara tački M numeričke kružnice n, a broj * + - tački P (sl. 124; radi jednostavnosti, u prvoj četvrtini uzeli smo tačku M). Lukovi AM i BP su jednaki, a pravougli trouglovi OKM i OLBP su shodno tome jednaki. To znači O K = Ob, MK = Pb. Iz ovih jednakosti i položaja trouglova OCM i OBP u koordinatnom sistemu izvodimo dva zaključka:
1) ordinata tačke P i po veličini i po predznaku poklapa se sa apscisom tačke M; to znači da
2) apscisa tačke P je po apsolutnoj vrednosti jednaka ordinati tačke M, ali se od nje razlikuje po znaku; to znači da
Približno isto razmišljanje se provodi u slučajevima kada tačka M ne pripada prvoj četvrtini.
Koristimo formulu 
(ovo je formula dokazana gore, ali umjesto varijable t koristimo varijablu x). Šta nam ova formula daje? To nam omogućava da tvrdimo da su funkcije
su identični, što znači da im se grafovi poklapaju.
Nacrtajmo funkciju 
Da bismo to uradili, pređimo na pomoćni koordinatni sistem sa ishodištem u tački (isprekidana linija je nacrtana na slici 125). Vežemo funkciju y = sin x na novi koordinatni sistem - ovo će biti graf funkcije 
(Sl. 125), tj. graf funkcije y - cos x. On se, kao i graf funkcije y = sin x, naziva sinusnim valom (što je sasvim prirodno).
Svojstva funkcije y = cos x.
y = cos x je parna funkcija.
Faze izgradnje su prikazane na sl. 126:
1) izgraditi grafik funkcije y = cos x (tačnije, jedan polutalas);
2) rastezanjem konstruisanog grafika od x-ose sa faktorom 0,5 dobijamo jedan polutalas traženog grafika;
3) koristeći rezultirajući poluval, konstruiramo cijeli graf funkcije y = 0,5 cos x.