Геометрические характеристики плоских сечений. Изменение моментов энергии при параллельном переносе осей Теорема о параллельном переносе осей инерции

Оси, проходящие через центр тяжести плоской фигуры, называют центральными осями.
Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

Теорема

Момент инерции относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно центральной оси, параллельной данной, и произведения площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим произвольную плоскую фигуру, площадь которой равна А , центр тяжести расположен в точке С , а центральный момент инерции относительно оси x будет I x .
Вычислим момент инерции фигуры относительно некоторой оси x 1 , параллельной центральной оси и отстоящей от нее на расстоянии а (рис) .

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA .

Анализируя полученную формулу, отмечаем, что первое слагаемое - осевой момент инерции относительно центральной оси, второе слагаемое - статический момент площади этой фигуры относительно центральной оси (следовательно, он равен нулю), а третье слагаемое после интегрирования может быть представлено в виде произведения a 2 A , т. е. в результате получим формулу:

I x1 = I x + а 2 А - теорема доказана.

На основании теоремы можно сделать вывод, что из ряда параллельных осей осевой момент инерции плоской фигуры будет наименьшим относительно центральной оси .

Главные оси и главные моменты инерции

Представим себе плоскую фигуру, моменты инерции которой относительно осей координат I x иI y , а полярный момент инерции относительно начала координат равен I ρ . Как было установлено ранее,

I x + I y = I ρ .

Если оси координат поворачивать в своей плоскости вокруг начала координат, то полярный момент инерции останется неизменным, а осевые моменты будут изменяться, при этом их сумма останется величиной постоянной. Поскольку сумма переменных величин постоянна, то одна из них уменьшается, а другая увеличивается, и наоборот.
Следовательно, при определенном положении осей один из осевых моментов достигнет максимального значения, а другой - минимального.

Оси, относительно которых моменты инерции имеют минимальное и максимальное значения, называют главными осями инерции.
Момент инерции относительно главной оси называется главным моментом инерции.

Если главная ось проходит через центр тяжести фигуры, она называется главной центральной осью, а момент инерции относительно такой оси - главным центральным моментом инерции.
Можно сделать вывод, что если фигура симметрична относительно какой-нибудь оси, то эта ось всегда будет одной из главных центральных осей инерции этой фигуры.

Центробежный момент инерции

Центробежным моментом инерции плоской фигуры называют взятую по всей площади сумму произведений элементарных площадок на расстояние до двух взаимно перпендикулярных осей:

I xy = Σ xy dA ,

где x , y - расстояния от площадки dA до осей x и y .
Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Центробежный момент инерции входит в формулы для определения положения главных осей несимметричных сечений.
В таблицах стандартных профилей содержится характеристика, которая называется радиусом инерции сечения , вычисляемая по формулам:

i x = √ (I x / A) , i y = √ (I y / A) , (здесь и далее знак "√" - знак корня)

где I x , I y - осевые моменты инерции сечения относительно центральных осей; А - площадь сечения.
Эта геометрическая характеристика используется при изучении внецентрального растяжения или сжатия, а также продольного изгиба.

Деформация кручения

Основные понятия о кручении. Кручение круглого бруса.

Кручением называют такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент , т. е. силовой фактор, вызывающий круговое перемещение сечения относительно оси, перпендикулярной этому сечению, либо препятствующий такому перемещению. Другими словами - деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных его оси приложить пару или пары сил.
Моменты этих пар сил называют скручивающими или вращающими. Вращающий момент обозначают Т .
Такое определение условно разделяет силовые факторы деформации кручения на внешние (скручивающие, вращающие моменты Т ) и внутренние (крутящие моменты М кр ).

В машинах и механизмах кручению наиболее часто подвергаются круглые или трубчатые валы, поэтому расчеты на прочность и жесткость чаще всего производят для таких узлов и деталей.

Рассмотрим кручение круглого цилиндрического вала.
Представьте резиновый цилиндрический вал у которого жестко закреплен один из концов, а на поверхности нанесена сетка из продольных линий и поперечных окружностей. К свободному концу вала приложим пару сил, перпендикулярно оси этого вала, т. е. закрутим его вдоль оси. Если внимательно рассмотреть линии сетки на поверхности вала, то можно заметить, что:
- ось вала, которую называют осью кручения, останется прямолинейной;
- диаметры окружностей останутся такими же, а расстояние между соседними окружностями не изменится;
- продольные линии на валу обратятся в винтовые линии.

Из этого можно заключить, что при кручении круглого цилиндрического бруса (вала) справедлива гипотеза плоских сечений, а также предположить, что радиусы окружностей остаются при деформации прямыми (поскольку их диаметры не изменились). А поскольку в сечениях вала отсутствуют продольные силы, то расстояние между ними сохраняется.

Следовательно, деформация кручения круглого вала заключается в повороте поперечных сечений относительно друг друга вокруг оси кручения, причем углы поворота их прямо пропорциональны расстояниям от закрепленного сечения - чем дальше от закрепленного конца вала находится какое-либо сечение, тем на больший угол относительно оси вала оно закручивается.
Для каждого сечения вала угол поворота равен углу закручивания части вала, заключенного между этим сечением и заделкой (закрепленным концом).

Угол (рис. 1 ) поворота свободного конца вала (концевого сечения) называется полным углом закручивания цилиндрического бруса (вала).
Относительным углом закручивания φ 0 называется отношение угла закручивания φ 1 к расстояниюl 1 от данного сечения до заделки (закрепленного сечения).
Если цилиндрический брус (вал) длиной l имеет постоянное сечение и нагружен скручивающим моментом на свободном конце (т. е. состоит из однородного геометрического участка), то справедливо утверждение:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = const - величина постоянная.

Если мы рассмотрим тонкий слой на поверхности вышеупомянутого резинового цилиндрического бруса (рис. 1 ), ограниченный ячейкой сетки cdef , то заметим, что эта ячейка при деформации перекашивается, и ее сторона, удаленная от закрепленного сечения, смещается в сторону закручивания бруса, занимая положение cde 1 f 1 .

Следует отметить, что аналогичная картина наблюдается при деформации сдвига, только в этом случае поверхность деформируется из-за поступательного перемещения сечений друг относительно друга, а не из-за вращательного перемещения, как при деформации кручения. На основании этого можно сделать вывод, что при кручении в поперечных сечениях возникают только касательные внутренние силы (напряжения), образующие крутящий момент.

Итак, крутящий момент есть результирующий момент относительно оси бруса внутренних касательных сил, действующих в поперечном сечении.

Рисунок 7.

где I x , I y – осевые моменты инерции относительно исходных осей;

I xy – центробежный момент инерции относительно исходных осей;

I xc , I yc – осевые моменты инерции относительно центральных осей;

I xcyc – центробежный момент инерции относительно центральных осей;

a, b – расстояние между осями.

Определение моментов инерции сечения при повороте осей

Известны все геометрические характеристики сечения относительно центральных осей х С , у С (рис. 8). Определим моменты инерции относительно осей х 1 , у 1 , повернутых относительно центральных на некоторый угол a .

Рисунок 8

где I x 1 , I y 1 – осевые моменты инерции относительно осей х 1 , у 1 ;

I x 1 y 1 – центробежный момент инерции относительно осейх 1 , у 1 .

Определение положения главных центральных осей инерции

Положение главных центральных осей инерции сечения определяется по формуле:

где a 0 – угол между центральными и главными осями инерции.

Определение главных моментов инерции

Главные моменты инерции сечения определяются по формуле:

Последовательность расчета сложного сечения

1) Разбить сложное сечение на простейшие геометрические фигуры [S 1 , S 2 ,…;x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 , …]

2) Выбрать произвольные оси XOY .

3) Определить положение центра тяжести сечения [x c , y c ].

4) Провести центральные оси X c OY c .

5) Вычислить моменты инерции Ix c , Iy c , используя теорему параллельного переноса осей.

6) Вычислить центробежный момент инерции Ix c y c .

7) Определить положение главных осей инерции tg2a 0 .

8) Вычислить главные моменты инерции I max , I min .

ПРИМЕР 2

Для фигуры, показанной на рисунке 13 определить главные моменты

инерции и положение главных осей инерции.

1) Разбиваем сложное сечение на простейшие геометрические фигуры

S 1 = 2000 мм 2 , S 2 = 1200 мм 2 , S = 3200 мм 2 .

2) Выбираем произвольные оси XOY.

3) Определяем положение центра тяжести сечения

x c = 25 мм, y c =35 мм .

4) Проводим центральные оси X c OY c

5) Вычисляем моменты инерции Ix c , Iy c

6) Вычисляем центробежный момент инерции Ix c y c

7) Определяем положение главных осей инерции

Если I x >I y и a 0 >0 , то угол a 0 откладывается от оси Х с против часовой стрелки.

8) Вычисляем главные моменты инерции I max , I min

ПРИМЕР 3

Для фигуры, показанной на рис. 8 определить положение главных осей

Рисунок 8.

инерции и главные моменты инерции.

1) Выписываем основные исходные данные для каждой фигуры

Швеллер

S 1 = 10,9 см 2

I x = 20,4 см 4

I y = 174 см 4

y 0 = 1,44 см

h = 10 см

Неравнополочный уголок

S 3 = 6,36 см 2

I x = 41,6 см 4

I y = 12,7 см 4

I min = 7,58 см 4

tga = 0,387

x 0 = 1,13 см

y 0 = 2,6 см

Прямоугольник

S 2 = 40 см 2

см 4

2) Вычерчиваем сечение в масштабе

3) Проводим произвольные оси координат

4) Определяем координаты центра тяжести сечения

5) Проводим центральные оси

6) Определяем осевые моменты инерции относительно центральных осей

7) Определяем центробежный момент инерции относительно центральных осей

Центробежный момент инерции для угловой прокатной стали относительно ее центра тяжести определяется по одной из следующих формул:

-4

Знак центробежного момента инерции для угловой прокатной стали определяется согласно рис. 9, поэтому I xy 3 = -13,17 см 4 .

8) Определяем положение главных осей инерции

a 0 = 21,84°

9) Определяем главные моменты инерции

ЗАДАЧА 4

Для заданных схем (табл. 6) необходимо:

1) Вычертить поперечное сечение в строгом масштабе.

2) Определить положение центра тяжести.

3) Найти величины осевых моментов инерции относительно центральных осей.

4) Найти величину центробежного момента инерции относительно центральных осей.

5) Определить положение главных осей инерции.

6) Найти главные моменты инерции.

Числовые данные взять из табл. 6.

Расчетные схемы к задаче № 4

Таблица 6

Исходные данные к задаче № 4

№	Уголок равнополочный	Уголок неравнополочный	Двутавр	Швеллер	Прямо-угольник	№ схемы
	30´5	50´32´4			100´30
	40´6	56´36´4			100´40
	50´4	63´40´8			100´20
	56´4	70´45´5			80´40
	63´6	80´50´6		14а	80´60
	70´8	90´56´6			80´100
	80´8	100´63´6	20а	16а	80´20
	90´9	90´56´8			60´40
	75´9	140´90´10	22а	18а	60´60
	100´10	160´100´12			60´40
	д	а	б	в	г	д

Указания к задаче 5

Изгибом называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает В.С.Ф. – изгибающий момент.

Для того, чтобы произвести расчет балки на изгиб, необходимо знать величину наибольшего изгибающего момента М и положение сечения, в котором он возникает. Точно также, надо знать и наибольшую поперечную силу Q . Для этой цели строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. По эпюрам легко судить о том, где будет максимальное значение момента или поперечной силы. Для определения величин М и Q используют метод сечений. Рассмотрим схему, показанную на рис. 9. Составим сумму сил на ось Y , действующих на отрезанную часть балки.

Рисунок 9.

Поперечная сила равна алгебраической сумме всех сил, действующих по одну сторону от сечения.

Составим сумму моментов, действующих на отрезанную часть балки, относительно сечения.

Изгибающий момент равен алгебраической сумме всех моментов, действующих на отсеченную часть бруса, относительно центра тяжести сечения.

Для того чтобы можно было вести расчет с любого конца балки, необходимо принять правило знаков для внутренних силовых факторов.

Для поперечной силы Q .

Рисунок 10.

Если внешняя сила вращает отрезанную часть балки по часовой стрелке, то сила является положительной, если внешняя сила вращает отрезанную часть балки против хода часовой стрелки, то сила является отрицательной.

Для изгибающего момент момента М .

Рисунок 11.

Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид вогнутой чаши, такой, что идущий сверху дождь будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является положительным (рис. 11а). Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид выпуклой чаши, такой, что идущий сверху дождь не будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является отрицательным (рис. 11б).

Между интенсивностью распределенной нагрузки q , поперечной силой Q и изгибающим моментом М , действующим в некотором сечении, существуют следующие дифференциальные зависимости:

Указанные дифференциальные зависимости при изгибе позволяют установить некоторые особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

1) На тех участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси эпюры, а эпюра М , в общем случае, – наклонными прямыми (рис. 19).

2) На тех участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра М – квадратичными параболами (рис. 20). При построении эпюры М на сжатых волокнах, выпуклость параболы обращена в сторону, противоположную действию распределенной нагрузки (рис. 21а, б).

Рисунок 12.

Рисунок 13.

3) В тех сечениях, где Q = 0, касательная к эпюре М параллельна оси эпюры (рис. 12, 13). Изгибающий момент в таких сечениях балки экстремален по величине (М max , M min ).

4) На участках, где Q > 0, M возрастает, то есть слева на право положительные ординаты эпюры M увеличиваются, отрицательные – уменьшаются (рис. 12, 13); на тех участках, где Q < 0, M убывает (рис. 12, 13).

5) В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:

а) на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил (рис. 12, 13).

б) на эпюре M будут переломы (рис. 12, 13), острие перелома направлено против действия силы.

6) В тех, сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре M будут скачки на величину этих моментов, на эпюре Q никаких изменений не будет (рис.14).

Рисунок 14.

Рисунок15.

7) Если на конце консоли или в концевой опоре приложен сосредоточенный

момент, то в этом сечении изгибающий момент равен внешнему моменту (сечения C и B на рис. 15).

8) Эпюра Q представляет собой диаграмму производной от эпюры M . Значит, ординаты Q пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре M (рис. 14).

Порядок построения эпюр Q и М :

1) Составляется расчетная схема балки (в виде оси) с изображением действующих на нее нагрузок.

2) Влияние опор на балку заменяется соответствующими реакциями; указываются обозначения реакций и их принятые направления.

3) Составляются уравнения равновесия балки, решением которых определяются значения опорных реакций.

4) Балка разбивается на участки, границами которых являются точки приложения внешних сосредоточенных сил и моментов, а также точки начала и окончания действия или изменения характера распределенных нагрузок.

5) Составляются выражения изгибающих моментов М и поперечных сил Q для каждого участка балки. На расчетной схеме указываются начало и направление отсчета расстояний для каждого участка.

6) По полученным выражениям вычисляются ординаты эпюр для ряда сечений балки в количестве, достаточном для изображения этих эпюр.

7) Определяются сечения, в которых поперечные силы равны нулю и в которых, следовательно, действуют моменты M max или M min для данного участка балки; вычисляются значения этих моментов.

8) По полученным значениям ординат строятся эпюры.

9) Производится проверка построенных эпюр путем сопоставления их друг с другом.

Эпюры внутренних силовых факторов при изгибе строят для того, чтобы определить опасное сечение. После того, как опасное сечение будет найдено, балку рассчитывают на прочность. В общем случае поперечного изгиба, когда в сечениях стержня действуют изгибающий момент и поперечная сила, в сечении балки возникают нормальные и касательные напряжения. Поэтому, логично рассматривать два условия прочности:

а) по нормальным напряжениям

б) по касательным напряжениям

Поскольку основным разрушающим фактором для балок являются нормальные напряжения, то и размеры поперечного сечения балки принятой формы определяют из условия прочности по нормальным напряжениям:

Затем проверяют, удовлетворяет ли выбранное сечение балки условию прочности по касательным напряжениям.

Однако, такой подход к расчету балок еще не характеризует прочность балки. Во многих случаях в сечениях балок имеются точки, в которых одновременно действуют большие нормальные и касательные напряжения. В таких случаях возникает необходимость проверки балки на прочность по главным напряжениям. Наиболее применимы для такой проверки третья и четвертая теории прочности:

, .

ПРИМЕР 1

Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М для балки, показанной на рис. 16, если: F 1 = 3 кН,F 2 = 1,5 кН, М = 5,1 кН∙м, q = =2кН/м, а = 2м, b = 1 м, с = 3м.

Рисунок 16.

1) Определяем опорные реакции.

;

Проверка:

Реакции найдены верно

2) Разбиваем балку на участки CA , AD , DE , EK , KB .

3) Определяем значения Q и М на каждом участке.

СА

, ; , .

АD

, ;

, .

, ;

, .

КВ

, , ;

, , .

Найдем максимум изгибающего момента на участке KB .

Приравняем уравнение Q на этом участке к нулю и выразим координатуz max , при которой Q = 0, а момент имеет максимальное значение. Далее подставим z max в уравнение момента на этом участке и найдем M max .

EК

, ;

, .

4) Строим эпюры (рис. 16)

ПРИМЕР 2

Для балки, изображенной на рис. 16 определить размеры круглого, прямоугольного (h/b = 2) и двутаврового сечения. Проверить прочность двутавра по главным напряжениям, если [s] = 150 МПа, [t] = 150 МПа.

1) Определяем из условия прочности необходимый момент сопротивления

2) Определяем размеры круглого сечения

3) Определяем размеры прямоугольного сечения

4) Подбираем по сортаменту двутавровую балку № 10 (ГОСТ 8239-89)

W X = 39,7 см 3 , S X * =23 см 3 , I X = 198 см 4 , h = 100 мм, b = 55 мм, d = 4,5 мм, t = 7,2 мм.

Для проверки прочности балки по главным напряжениям, необходимо построить эпюры нормальных и касательных напряжений в опасном сечении. Так как величина главных напряжений зависит и от нормальных и от касательных напряжений, то проверку прочности следует произвести в том сечении балки, где М и Q достаточно велики. На опоре В (рис. 16) поперечная сила Q имеет максимальное значение, однако здесь М = 0. поэтому считаем опасным сечение на опоре А , где изгибающий момент максимален и поперечная сила имеет сравнительно большое значение.

Нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, подчиняются линейному закону:

где y – координата точки сечения (рис. 24).

при у = 0, s = 0;

при y max ,

Закон изменения касательных напряжений определяются законом изменением статического момента площади, который, в свою очередь изменяется по высоте сечения по параболическому закону. Вычислив значение для характерных точек сечения, построим эпюру касательных напряжений. При вычислении значений t воспользуемся обозначениями размеров сечения, принятыми на рис. 17.

Условие прочности для слоя 3–3 выполняется.

ЗАДАЧА 5

Для заданных схем балок (табл. 12) построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М . Подобрать поперечное сечение для схемы а) круглое [s] = 10 МПа; б) двутавровое [s] = 150 МПа.

Числовые данные взять из табл. 7.

Таблица 7

Исходные данные к задаче № 6

№

а, м

q 1 =q 3 , кН/м

q 2 , кН/м

F 1 , кН

F 2 , кН

F 3 , кН

М 1 , кН∙м

М 2 , кН∙м

М 3 , кН∙м

№ схемы

0,8

1,2

Продолжение таблицы 12

Часто при решении практических задач необходимо определять моменты инерции сечения относительно осей, различным образом ориентированных в его плоскости. При этом удобно использовать уже известные значения моментов инерции всего сечения (или отдельных составляющих его частей) относительно других осей, приводимые в технической литературе, специальных справочниках и таблицах, а также подсчитываемые по имеющимся формулам. Поэтому очень важно установить зависимости между моментами инерции одного и того же сечения относительно разных осей.

В самом общем случае переход от любой старой к любой новой системе координат может рассматриваться как два последовательных преобразования старой системы координат:

1) путем параллельного переноса осей координат в новое положение и

2) путем поворота их относительно нового начала координат. Рассмотрим первое из этих преобразований, т. е. параллельный перенос координатных осей.

Предположим, что моменты инерции данного сечения относительно старых осей (рис. 18.5) известны.

Возьмем новую систему координат оси которой параллельны прежним. Обозначим а и b координаты точки (т. е. нового начала координат) в старой системе координат

Рассмотрим элементарную площадку Координаты ее в старой системе координат равны у и . В новой системе они равны

Подставим эти значения координат в выражение осевого момента инерции относительно оси

В полученном выражении -момент инерции статический момент сечения относительно оси равен площади F сечения.

Следовательно,

Если ось z проходит через центр тяжести сечения, то статический момент и

Из формулы (25.5) видно, что момент инерции относительно любой оси, не проходящей через центр тяжести, больше момента инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, на величину которая всегда положительна. Следовательно, из всех моментов инерции относительно параллельных осей осевой момент инерции имеет наименьшее значение относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения.

Момент инерции относительно оси [по аналогии с формулой (24.5)]

В частном случае, когда ось у проходит через центр тяжести сечения

Формулы (25.5) и (27.5) широко используются при вычислении осевых моментов инерции сложных (составных) сечений.

Подставим теперь значения в выражение центробежного момента инерции относительно осей

Дано: моменты инерции фигуры относительно осей z, y; расстояния между этими и параллельными осями z 1 , y 1 – a, b.

Определить: моменты инерции относительно осей z 1 , y 1 (рис.4.7).

Координаты любой точки в новой системе z 1 Oy 1 можно выразить через координаты в старой системе так:

z 1 = z + b, y 1 = y + a.

Подставляем эти значения в формулы (4.6) и (4.8) и интегрируем почленно:

В соответствии с формулами (4.1) и (4.6) получим

, (4.13)

Если исходные данные оси zCy – центральные, то статические моменты S z и

S y равны нулю и формулы (4.13) упрощаются:

, (4.14)

Пример: определить осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z 1 , проходящей через основание (рис.4.6,а). По формуле (4.14)

4.4. Зависимость между моментами инерции при повороте осей

Дано: моменты инерции произвольной фигуры относительно координатных осей z, y; угол поворота этих осей α (рис.4.8). Считаем угол поворота против часовой стрелки положительным.

Определить: моменты инерции фигуры относительно z 1 , y 1 .

Координаты произвольной элементарной площадки dF в новых осях выражаются через координаты прежней системы осей следующим образом:

z 1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,

y 1 = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α.

Подставим эти значения в (4.6) и (4.8) и проинтегрируем почленно:

Учитывая формулы (4.6) и (4.8), окончательно находим:

. (4.16)

Складывая формулы (4.15), получим: (4.17)

Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции остаётся постоянной . При этом каждый из них меняется в соответствии с формулами (4.15). Ясно, что при каком-то положении осей моменты инерции будут иметь экстремальные значения: один из них будет наибольшим, другой – наименьшим.

4.5. Главные оси и главные моменты инерции

Наибольшее практическое значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю. Будем обозначать такие оси буквами u, υ. Следовательно, J uυ = 0. Начальную произвольную систему координат z, y надо повернуть на такой угол α 0 , чтобы центробежный момент инерции стал равным нулю. Приравняв нулю (4.16), получим

. (4.18)

Оказывается, что теория моментов инерции и теория плоского напряжённого состояния описываются одним и тем же математическим аппаратом, так как формулы (4.15) – (4.18) идентичны формулам (3.10), (3.11) и (3.18). Только вместо нормальных напряжений σ записываются осевые моменты инерции J z и J y , а вместо касательных напряжений τ zy – центробежный момент инерции J zy . Поэтому формулы для главных осевых моментов инерции приводим без вывода, по аналогии с формулами (3.18):

.(4.19)

Полученные из (4.18) два значения угла α 0 отличаются друг от друга на 90 0 , меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает 45 0 .

Радиус инерции и момент сопротивления

Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции :

, (4.20)

где i z – радиус инерции относительно оси z.

Из выражения (4.20) следует, что

,
. (4.21)

Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции

,
. (4.22)

Зная главные радиусы инерции, можно графическим способом найти радиус инерции (а, следовательно, и момент инерции) относительно произвольной оси.

Рассмотрим еще одну геометрическую характеристику, характеризующую прочность стержня при кручении и изгибе – момент сопротивления . Момент сопротивления равен моменту инерции, делённому на расстояние от оси (или от полюса) до наиболее удалённой точки сечения. Размерность момента сопротивления – единица длины в кубе (см 3).

Для прямоугольника (рис.4.6,а)
,
, поэтому осевые моменты сопротивления