Doiralarni bitmap shakliga aylantirishning juda oddiy, ammo samarasiz usullari mavjud. Misol uchun, soddalik uchun boshlang'ichda markazlashtirilgan doirani ko'rib chiqing. Uning tenglamasi quyidagicha yoziladi x 2 + y 2 =R 2. uchun bu tenglamani yechish y, olamiz

Doiraning to'rtinchi qismini tasvirlash uchun biz o'zgartiramiz x 0 dan bir qadam bilan R va har bir qadamda hisoblang y. Ikkinchi oddiy usul rastrli skanerlash doirasi - hisoblashdan foydalanish x va y formulalar x=R kosa, y=R a burchakning 0 dan 90 gacha bosqichma-bosqich oʻzgarishi bilan sina.

Standart doirani rastrli skanerlash algoritmini soddalashtirish uchun siz uning koordinata o'qlari va to'g'ri chiziqlarga nisbatan simmetriyasidan foydalanishingiz mumkin. y= ± x; agar aylananing markazi koordinata boshiga to'g'ri kelmasa, bu chiziqlar aylana markazidan o'tishi uchun parallel ravishda siljishi kerak. Shunday qilib, aylananing 1/8 qismi uchun rastr tasvirini qurish va qolgan barcha nuqtalarni simmetriya bo'yicha olish kifoya (2.15-rasmga qarang).

Guruch. 2.15. Sakkiz tomonlama simmetriya

Ikkinchi oktantdan aylana kesmasini ko'rib chiqing xЄ. Keyinchalik, aylananing ushbu qismi uchun Brezenxaym algoritmini tasvirlaymiz.

Har bir qadamda algoritm nuqtani tanlaydi P i (x i , y i) qaysi haqiqiy aylanaga eng yaqin. Algoritm g'oyasi nazorat o'zgaruvchilari yordamida eng yaqin nuqtani tanlashdir, ularning qiymatlari oz sonli qo'shimchalar, ayirishlar va siljishlar yordamida bosqichma-bosqich hisoblab chiqilishi mumkin.

Keling, piksellar tarmog'ining kichik maydonini, shuningdek, haqiqiy doirani panjara orqali o'tkazishning mumkin bo'lgan usullarini (A dan E gacha) ko'rib chiqaylik (2.16-rasm).

Keling, fikrni taxmin qilaylik P i - 1 da doiraga eng yaqin deb tanlandi x=x men- bitta. Endi nuqtalardan qaysi birini topamiz ( S i yoki T i) da aylanaga yaqinroq joylashgan x=x men- 1 + 1.

Guruch. 2.16. Rastrli panjara orqali aylana o'tkazish variantlari

E'tibor bering, nuqta tanlashda xato P i (x i , y i) ga teng edi

D( P i) = (x i 2 + y i 2) –R 2 .

Nuqta tanlashda olingan xatolar uchun ifoda yozamiz S i yoki T i :

D( S i) = [(x i-1 + 1) 2 + (y i-1) 2 ] – R 2 ;

D( T i) = [(x i-1 + 1) 2 + (y i-1 – 1) 2 ] – R 2 .

Agar | D( S i) | ≥ |D( T i) |, keyin T i haqiqiy doiraga yaqinroq, aks holda S i .

Keling, tanishtiramiz d i= |D( S i) | – |D( T i) |.

T i da tanlanadi d i≥ 0, aks holda u o'rnatiladi S i .

Algebraik o'zgarishlarni qoldirib, biz yozamiz d i va d i + Turli nuqta tanlash variantlari uchun 1 S i yoki T i .

D 1 = 3 – 2R.

Tanlangan bo'lsa S i(qachon d i < 0), тоd i + 1 =d i + 4x i -1 + 6.

Tanlangan bo'lsa T i(qachon d i≥ 0), keyin d i + 1 =d i + 4 (x i - 1 –y i - 1) + 10.

Ellips uchun Brezenxaym algoritmining modifikatsiyasi mavjud.

1. Chegara rangi bilan belgilangan maydonni soya qilish

Berilgan rangdagi piksellar to'plami va nuqta bilan chegaralangan maydonni ko'rib chiqing ( x, y) shu hudud ichida.

Agar bu joy konveks bo'lmasa, maydonni berilgan rang bilan to'ldirish vazifasi juda qiyin bo'lishi mumkin.

Eng oddiy rekursiv algoritm:

void PixelFill(int x, int y, int border_color, int color)

int c = getpixel (x, y);

agar ((c != border_color) && (c != color))

putpixel (x, y, rang);

PixelFill(x - 1, y, chegara_rang, rang);

PixelFill(x + 1, y, chegara_rangi, rang);

PixelFill(x, y - 1, chegara_rang, rang);

PixelFill(x, y + 1, chegara_rangi, rang);

Ushbu algoritm juda samarasiz, chunki allaqachon chizilgan har bir piksel uchun funktsiya yana 4 marta chaqiriladi va qo'shimcha ravishda, bu algoritm katta rekursiya chuqurligi tufayli juda ko'p stek maydoni talab qiladi. Shuning uchun, maydonni to'ldirish muammosini hal qilish uchun bir vaqtning o'zida barcha piksellar guruhlarini qayta ishlay oladigan algoritmlardan foydalanish, ya'ni ularning "bog'lanish qobiliyati" dan foydalanish afzalroqdir. Agar berilgan piksel biror hududga tegishli bo'lsa, ehtimol uning eng yaqin qo'shnilari ham shu hududga tegishli.

Bunday piksellar guruhi odatda o'ng piksel bilan aniqlangan tarmoqli hisoblanadi. To'g'ri aniqlovchi piksellarni saqlash uchun stek ishlatiladi. Piksel kogerentligidan foydalanadigan takomillashtirilgan algoritmni og'zaki tasvirlab beramiz.

Birinchidan, o'z ichiga olgan piksellarning gorizontal chizig'i boshlang'ich nuqtasi. Keyin, har bir satrning eng o'ng pikselini topish uchun to'ldirilgan satrdan oldingi qator o'ngdan chapga tekshiriladi. Topilgan piksellarning manzillari stekga suriladi. Xuddi shu narsa oxirgi to'ldirilgan satrdan keyingi va keyingi qator uchun ham amal qiladi. Satr shu tarzda qayta ishlansa, manzili stekdan olingan piksel yangi boshlanish nuqtasi sifatida ishlatiladi. Uning uchun tasvirlangan barcha protsedura takrorlanadi. Agar stek bo'sh bo'lsa, algoritm o'z ishini tugatadi.

Matematik kitobda, hatto mashhur kitobda ham, masalan, qo'ng'izlar haqida gapirish mumkinmi? Ma'lum bo'lishicha, siz qila olasiz. Lekin siz uzoqdan boshlashingiz kerak.

Guruch. 78. Doira ishlanmasi.

Aylana, biz bilganimizdek, evolyutsiyaga ega emas. Uning barcha normalari bir nuqtada - markazda kesishadi. Ba'zan aylana evolyutsiyasi nuqtaga "buziladi", deyiladi. Biroq, boshqa tomondan, u involyutga ega (bunda katta foyda yo'q: axir, har bir silliq egri chiziqqa ega). Bu evolventsiya sikloid egri chiziqlarning yaqin qarindoshi bo'lib chiqadi.

Keling, rasm chizishdan boshlaylik. Keling, kontrplakdan aylana yasaymiz, uni qog'ozga mahkamlaymiz, unga ipni yopishtiramiz va bu ipni doiramizning chetiga mahkam bog'laymiz.

Ipning oxirida biz qalamning uchini kiritadigan pastadir qilamiz (78-rasm). Agar biz endi ipni "shamollasak", qalam avtomatik ravishda chiziladi

Guruch. 79 Aylana bo‘ylab to‘g‘ri aylanish.

Ip, albatta, tarang bo'lishi kerak va qalam qog'ozga mahkam bosilgan bo'lishi kerak.

Doira rivojlanishini boshqa yo'l bilan olish mumkin. Radiusi c bo'lgan qo'zg'almas doirani va bu doiraga biror nuqtada tegib turgan AB to'g'ri chiziqni ko'rib chiqaylik (79-rasm).

Guruch. 80. Oddiy tebranish.

Agar AB to'g'ri chiziq aylana bo'ylab sirg'almasdan aylansa, u holda nuqta aylananing rivojlanishini aniq tasvirlaydi. Darhaqiqat, bu egri chiziqning istalgan M nuqtasi uchun KM aylanma to'g'ri chiziq normal bo'lib xizmat qiladi va KM segmentining uzunligi qo'zg'almas doira yoyi uzunligiga teng.

Shunday qilib, aylana involventi "ichkaridan tashqariga" sikloiddir. Tsikloidda aylana qat'iy belgilangan to'g'ri chiziq bo'ylab sirpanmasdan aylanadi. Doira rivojlanishi holatida to'g'ri chiziq qo'zg'almas doira bo'ylab sirpanmasdan aylanadi.

Shaklda. 80 eng oddiy belanchakni ko'rsatadi. Doska AB daraxtning poyasiga o'rnatiladi, shunda uning o'rtasi dumga tegadi. Agar taxta egilgan bo'lsa nima bo'ladi? Biz bilamizki, u o'zining dastlabki holatiga qaytadi, keyin inertsiya bilan u boshqa tomonga og'adi va muvozanat holati atrofida aylanadi. Bunday holda, albatta, taxta ham, qoziq ham qo'pol bo'lishi kerak, aks holda taxta chizmadagi o'q bilan ko'rsatilgan yo'nalishda siljiydi.

Nima uchun kengash asl holatiga qaytadi? Buni tasavvur qilish qiyin emas. Ma'lumki, har qanday jism tortishish kuchi ta'sirida shunday harakat qiladiki, uning og'irlik markazi tushadi. Savolimizga javob berish uchun taxtaning og'irlik markazi (o'rtasi) muvozanat holatidan kichik og'ishlari bilan qaysi yo'lda harakat qilishini bilish kifoya.

Ammo bu bizga endi tushunarli! Doskaning o'rtasi aylananing yoyini tasvirlaydi. Tozalashning bu qismi rasmda ko'rsatilgan. 80 chiziqli chiziq. Ko'ramizki, taxtaning kichik og'ishlari bilan uning og'irlik markazi ko'tariladi va shuning uchun taxta muvozanat holatiga qaytadi. Shubhasiz, muvozanat barqaror bo'ladi.

Tsikloidal egri chiziqli aylana rivojlanishining yaqinligini boshqa yo'l bilan ham aniqlash mumkin. Yuqorida aytib o'tgan edikki, epitsikloid yoki gipotsikloid (66-rasm), harakatlanuvchining doimiy radiusi bilan qo'zg'almas doira radiusining cheksiz o'sishi sikloidga olib keladi. Agar peritsikloidga murojaat qilsak (50-bet) va qo'zg'almas aylana radiusini o'zgarmagan holda, harakatlanuvchining radiusini cheksiz oshirib, uni "to'g'rilab" aytsak (81-rasm), u holda peritsikloid bo'ladi. doiraning rivojlanishiga aylanadi.

Biz bu erda aylananing evolvent yoyi uzunligi va uning sektori maydoni uchun formulalarni keltirib chiqarmaymiz.

Tayyor natijani taqdim etamiz (82-rasm). Supurish yoyining uzunligi l va sektorning S maydoni uchun biz ega bo'lamiz;

Ushbu formulalar qiziqarli, chunki ularga kiritilgan burchakning qiymati ikkinchi va uchinchi darajalarga ko'tarilishi kerak - bu yangi boshlanuvchini chalkashtirib yuborishi mumkin.

Guruch. 81. Harakatlanuvchi aylanada cheksiz o'sish.

Guruch. 82. Yoy uzunligi va aylananing evvolyut sektorining maydoni.

Yana bir bor ta'kidlaymizki, bu holda burchak radianlarda aniq ifodalanishi kerak. Agar burchak darajalarda ifodalangan bo'lsa va masalan, (va darajalar radianlarga teng) teng bo'lsa, formulalar quyidagi shaklni oladi:

Keling, o'quvchilarning e'tiborini radianlarning burchagi (yoki daraja) bizning chizmamizning burchagi emas, balki involyut sektorining burchagi emasligiga qaratamiz!

matematik qo'ng'iz

Keling, qog'oz doirasini olaylik (83-rasm), uni chetidan markazga (masalan, BUT radiusi bo'ylab) kesib oling va rasmda ko'rsatilganidek, LCM sektorini naychaga buklang.

Naycha juda toza bo'lib chiqadi: axir, bu konusning sirtidir va bu sirtning barcha avlodlari, xuddi shu doiraning radiuslari kabi, bir-biriga teng.

Guruch. 83. Qog'oz konusni yopishtirish.

Shaklda ko'rsatilganidek, doirani kesib tashlasak. 84 bo'lsa, unda trubka egiluvchan bo'lib chiqdi: konusning sirtining generatorlari bir-biriga teng bo'lmaydi.

Keling, aylana bilan emas, balki boshqa silliq egri chiziq bilan chegaralangan varaqni olaylik, masalan, rasmda ko'rsatilgan. 85. Agar barg ichidagi biron bir nuqtani, masalan, O nuqtani olsangiz, OH bo'ylab kesma qiling va trubkani o'rab oling, u holda trubka yomon bo'lib chiqadi, chunki konusning sirtining generatriksi turli uzunlikda bo'ladi. . Va biz O nuqtasini qanday tanlamasligimizdan qat'iy nazar, biz yaxshi trubkaga erisha olmaymiz, chunki aylanadan tashqari hech qanday egri chiziq boshqa barcha nuqtalardan teng masofada joylashgan nuqtaga ega emas.

Guruch. 84. Noto'g'ri quvur.

Xo'sh? Keling, aqlli bo'laylik! Keling, varaq chetidagi H nuqtani olamiz (85-rasm) va kichik NK yoyini chizamiz. Biz bu yoyni aylananing yoyi deb hisoblaymiz va bu doiraning markazini topamiz. Shu maqsadda H va K nuqtalarda normalarni chizamiz. T normallarining kesishish nuqtasi kerakli markaz bo'ladi. Keyinchalik, KM yoyini ko'rib chiqing. Buni katta xatosiz aylananing yoyi deb ham hisoblash mumkin, ammo bu doiraning markazi K va M nuqtalarida varaqning konturiga normal chizish bilan mos kelmaydi, biz ularning kesishish nuqtasini topamiz. T nuqtasiga to'g'ri kelmaydi.

Guruch. 85. Choyshab qanday kesiladi?

Oxirgi qadamni qo'yish qoladi: kesiksiz, butunlay silliq naychani ta'minlash uchun markazlarning singan chizig'idan uzluksiz egri chiziqqa o'ting. Ko'rinib turibdiki, buning uchun bo'g'inlari "qo'shni" normalar juftlarining kesishish nuqtalarini bir-biriga bog'laydigan singan chiziqni silliq egri chiziq bilan - bu normalar konvertini, ya'ni TR egri chizig'ini almashtirish kifoya. Anjir. 86.

Lekin normalar konverti, biz bilganimizdek, berilgan egri chiziqning evolyutsiyasidir.

Bu shuni anglatadiki, varaqdan eng aniq trubkani o'rash uchun siz avval varaqni LT normal qismi bo'ylab, so'ngra uning konturining evolyutsiya TP bo'ylab kesishingiz kerak.

Guruch. 86. Niklardan qanday qutulish mumkin?

Va siz, o'quvchi, men va boshqalar qog'oz parchalarini naychalarga o'rashga muhtoj emasmiz (sigaretni buklash - "echkining oyog'i" - bu savol tug'ilmaydi: bu holda sizga kerak emas. Barcha generatorlar teng uzunlikda bo'lishiga e'tibor bering!). Shuning uchun biz hozir tahlil qilgan muammoning amaliy ahamiyati juda kam. Lekin bu erda nima qiziq: bir naycha ichiga dumalab, ularning kelajak avlodlari uchun barg uy qilish qo'ng'iz, to'g'rirog'i, bir necha zotlari bor.

Bu quvur kuchli va toza bo'lishi kerak. U shamol va yomg'irdan parchalanmasligi, go'zal ko'rinishi va o'lchami bilan dushmanlarni o'ziga tortmasligi kerak. Va bizning barg qo'ng'izimiz (Rhynchites, Byctiscus va boshqalar avlodidan qo'ng'izlar) murakkab matematik masalani mukammal hal qiladi. U varaqni konturning evolyutsiyasi bo'ylab kemiradi va shundan keyingina uni katlaydi. Shaklda. 87 qayin bargini aylantiruvchi (hayot o'lchami) va u bilan kesilgan (aniqrog'i, kemirilgan) bargni ko'rsatadi.

Guruch. 87 qayin barglari (tabiiy o'lcham).

Guruch. 88. Uzum bargi-roligi va uning trubkasi (2x kattalashtirilgan).

Shaklda. 88-rasmda ikki baravar kattalashgan uzum varaqasi va uning trubkasi ko'rsatilgan.

Albatta, geometrik xato bu oddiy vazifadan uzoqda, butunlay ongsiz ravishda hal qiladi. Ko'p yillar davomida tabiiy tanlanish uylari ayniqsa toza bo'lgan hasharotlarni afzal ko'rdi. Natijada avloddan-avlodga meros bo'lib o'tadigan instinkt paydo bo'ldi. Bu instinkt, geometriyani bilmaydigan hasharotni murakkab muammoni hal qiladi. geometrik muammo. E'tibor bering, yana bir taniqli hasharot - asalarilar ham xuddi shunday qiyin vazifani hal qiladi (ongsiz ravishda, albatta): hujayralarning ma'lum soni va sig'imi uchun ularning yuzasi eng kichik bo'lishi uchun uyalar qurish.

Bunday sharoitlarda qurilish materialidan (mum) eng tejamkor foydalanishga erishiladi.

Biz kundalik hayotda, ishlab chiqarishda va qurilishda sirt skanerlarini tez-tez uchratamiz. Kitob uchun g‘ilof yasash (169-rasm), chamadon uchun g‘ilof, voleybol uchun shina va boshqalarni tikish uchun prizma, shar va boshqalarning yuzalarini supurib yasay bilish kerak. . geometrik jismlar. Rivojlanish - bu sirtni birlashtirish natijasida olingan raqam berilgan tana samolyot bilan. Ba'zi jismlar uchun supurish aniq bo'lishi mumkin, boshqalari uchun ular taxminiy bo'lishi mumkin. Aniq ishlanmalar barcha ko'pburchaklar (prizmalar, piramidalar va boshqalar), silindrsimon va konusning sirtlari va boshqalarga ega. Taxminiy supurishlar to'p, torus va egri chiziqli generatrixli inqilobning boshqa sirtlariga ega. Birinchi guruh yuzalar ishlab chiqilishi mumkin, ikkinchisi - rivojlanmaydigan deb nomlanadi.

TBegin-->TEnd-->

TBoshlash-->
Mayli-->

Ko'pburchaklarning ishlanmalarini qurishda proyeksiya tekisliklarini aylantirish yoki o'zgartirish orqali ushbu ko'pburchaklarning qirralari va yuzlarining haqiqiy hajmini topish kerak bo'ladi. Rivojlanmaydigan yuzalar uchun taxminiy ishlanmalarni qurishda, ikkinchisining qismlarini shakli bo'yicha ularga yaqin bo'lgan rivojlanadigan yuzalar bilan almashtirish kerak bo'ladi.

Prizmaning lateral yuzasini supurish uchun (170-rasm) skanerlash tekisligi prizmaning AADD yuziga to'g'ri keladi deb hisoblanadi; prizmaning boshqa yuzlari rasmda ko'rsatilganidek, bir xil tekislik bilan birlashtirilgan. Face CCBB yuz AABB bilan oldindan birlashtirilgan. GOST 2.303-68 ga muvofiq katlama chiziqlari qalinligi s / 3-s / 4 bo'lgan ingichka qattiq chiziqlar bilan chiziladi. Supurishda nuqtalarni murakkab chizmadagi kabi harflar bilan, lekin indeks 0 (nol) bilan belgilash odatiy holdir. To'g'ri prizmaning murakkab chizma bo'yicha supurishini qurishda (171-rasm, a) yuzlarning balandligi frontal proyeksiyadan, kengligi esa gorizontaldan olinadi. Skanerni sirtning old tomoni kuzatuvchiga qaratilishi uchun qurish odatiy holdir (171-rasm, b). Bu holatni kuzatish juda muhim, chunki ba'zi materiallar (teri, matolar) ikki tomonga ega: old va orqa. ABCD prizmasining asoslari yon yuzaning yuzlaridan biriga biriktirilgan.

Agar prizma yuzasida 1-nuqta o'rnatilgan bo'lsa, u holda kompleks chizmada bir va ikkita zarba bilan belgilangan ikkita segment yordamida skanerlashga o'tkaziladi, birinchi C1l1 segmenti C0 nuqtasining o'ng tomoniga, ikkinchisi esa yotqiziladi. segment - vertikal (l0 nuqtaga).

TBoshlash-->
Mayli-->

Xuddi shunday, ular inqilob silindrining sirtini skanerlashni quradilar (172-rasm). Tsilindrning yuzasi ma'lum miqdordagi teng qismlarga bo'linadi, masalan, 12 va muntazam o'n ikki burchakli prizmaning chizilgan yuzasi joylashtirilgan. Ushbu qurilish bilan supurishning uzunligi supurishning haqiqiy uzunligidan bir oz kamroq. Agar sezilarli aniqlik talab etilsa, u holda grafik-analitik usul qo'llaniladi. Silindr asosining aylanasining diametri d (173-rasm, a) p soniga ko'paytiriladi \u003d 3,14; natijada olingan o'lcham supurishning uzunligi sifatida ishlatiladi (173-rasm, b) va balandlik (kenglik) to'g'ridan-to'g'ri chizmadan olinadi. Tsilindrning asoslari yon yuzaning rivojlanishiga biriktirilgan.

TBoshlash-->
Mayli-->

Agar A nuqtasi silindr yuzasida, masalan, 1 va 2-generatorlar o'rtasida o'rnatilgan bo'lsa, uning skanerlashdagi o'rni ikkita segment yordamida topiladi: qalinlashgan chiziq bilan belgilangan akkord (l1 nuqtadan o'ngda), va ikkita zarba bilan chizmada belgilangan silindrning yuqori poydevoridan A nuqtaning masofasiga teng segment.

Piramidani tozalashni qurish ancha qiyin (174-rasm, a). Uning SA va SC qirralari tekis umumiy pozitsiya va har ikkala proyeksiya tekisligiga distorsiya orqali proyeksiyalanadi. Supurishni qurishdan oldin, har bir chekkaning haqiqiy qiymatini topish kerak. SB chetining qiymati uning uchinchi proyeksiyasini qurish orqali topiladi, chunki bu chekka P 3 tekislikka parallel. SA va SC qirralari S cho’qqidan o’tuvchi gorizontal proyeksiyalovchi o’q atrofida shunday aylantiriladiki, ular frontal proyeksiyalovchi tekislik P ga parallel bo’ladi, (SB chetining haqiqiy qiymatini ham xuddi shunday topish mumkin).

TBoshlash-->
Mayli-->

Bunday aylanishdan keyin ularning S 2 A 2 va S 2 C 2 frontal proyeksiyalari SA va SC qirralarning haqiqiy o'lchamiga teng bo'ladi. Piramida asosining yon tomonlari gorizontal to'g'ri chiziqlar kabi, P 1 proyeksiya tekisligiga buzilmagan holda proyeksiyalanadi. Har bir yuzning uchta tomoniga ega bo'lgan va serif usulidan foydalangan holda, supurishni qurish oson (174-rasm, b). Qurilish old tomondan boshlanadi; A 0 S 0 \u003d A 1 C 1 segmenti gorizontal chiziqqa yotqizilgan, birinchi tirqish A 0 S 0 - A 2 S 2 radiusi bilan, ikkinchisi C 0 S 0 radiusi bilan qilingan. \u003d \u003d G 2 S 2; seriflar kesishmasida S„ nuqtasi olinadi. Buyurtmani qabul qilish tomoni A 0 S 0; A 0 nuqtadan radiusi A 0 B 0 \u003d A 1 B 1 S 0 nuqtadan S 0 B 0 \u003d S 3 B 3 radiusli tirqish hosil qiling; seriflarning kesishmasida B 0 nuqtasini oling. Xuddi shunday, S 0 B 0 C 0 yuzi S 0 G 0 tomoniga biriktirilgan. Xulosa qilib aytganda, A 0 G 0 S 0 asosining uchburchagi A 0 S 0 tomoniga biriktirilgan. Ushbu uchburchakning tomonlari uzunligi chizmada ko'rsatilganidek, to'g'ridan-to'g'ri rivojlanishdan olinishi mumkin.

Inqilob konusining rivojlanishi piramidaning rivojlanishi bilan bir xil tarzda qurilgan. Poydevorning aylanasini teng qismlarga, masalan, 12 qismga bo'ling (175-rasm, a) va konusga muntazam o'nta burchakli piramida yozilganligini tasavvur qiling. Dastlabki uchta yuz rasmda ko'rsatilgan. Konusning yuzasi S6 generatrix bo'ylab kesiladi. Geometriyadan ma'lumki, konusning rivojlanishi radiusi konusning generatrixining uzunligi l ga teng bo'lgan doira sektori bilan ifodalanadi. Dumaloq konusning barcha generatorlari teng, shuning uchun generatrix l ning haqiqiy uzunligi chap (yoki o'ng) avlodning frontal proyeksiyasiga teng. S 0 nuqtasidan (175-rasm, b) vertikal ravishda 5000 \u003d l segment yotqizilgan. Bu radius aylana yoyini chizadi. Segmentlar Ol 0 \u003d O 1 l 1, 1 0 2 0 \u003d 1 1 2 1 va boshqalar O 0 nuqtasidan o'chiriladi. Oltita segmentni ajratib, ular S0 tepasiga ulangan 60 nuqtani oladilar. . Xuddi shunday, supurishning chap tomonini qurish; konusning asosi pastdan biriktirilgan.

TBoshlash-->
Mayli-->

Agar supurish uchun B nuqtasini qo'llash kerak bo'lsa, u orqali SB generatrix chiziladi (bizning holatda S 2), bu generatrix skanerlash uchun qo'llaniladi (S 0 2 0); generatrixni B nuqta bilan S 3 (S 2 5 2) avlodiga toʻgʻri kelguncha oʻngga aylantirib, haqiqiy masofani S 2 B 2 toping va uni S 0 nuqtadan ajratib oling. Topilgan segmentlar chizmalarda uchta zarba bilan belgilanadi.

Agar konusning rivojlanishi bo'yicha nuqtalarni chizish talab etilmasa, u holda uni tezroq va aniqroq qurish mumkin, chunki ma'lumki, rivojlanish sektorining burchagi a=360 ° R/l asos aylanasining radiusi. , va l - konusning generatrix uzunligi.

Sizga kerak bo'ladi

• Qalam o'lchagich kvadrat kompasli o'tkazgich yoy uzunligi va radiusdan burchakni hisoblash uchun formulalar Geometrik shakllarning tomonlarini hisoblash uchun formulalar

Ko'rsatma

Bir qog'oz varag'ida kerakli geometrik tananing asosini quring. Agar sizga quti yoki berilgan bo'lsa, taglikning uzunligi va kengligini o'lchang va tegishli parametrlarga ega qog'oz varag'iga to'rtburchaklar chizing. Tsilindrni yoki tsilindrni qurish uchun sizga asosiy doiraning radiusi kerak bo'ladi. Agar u shartda ko'rsatilmagan bo'lsa, radiusni o'lchang va hisoblang.

Parallelepipedni ko'rib chiqing. Uning barcha yuzlari poydevorga burchak ostida ekanligini ko'rasiz, lekin bu yuzlarning parametrlari boshqacha. Geometrik tananing balandligini o'lchab, kvadratdan foydalanib, taglikning uzunligiga ikkita perpendikulyar chizing. Ularga parallelepipedning balandligini chetga surib qo'ying. Olingan segmentlarning uchlarini to'g'ri chiziq bilan ulang. Asl nusxaning qarama-qarshi tomonida ham xuddi shunday qiling.

Asl to'rtburchakning tomonlari kesishgan nuqtalardan uning kengligiga perpendikulyarlar chiziladi. Ushbu to'g'ri chiziqlarda parallelepipedning balandligini chetga surib qo'ying va olingan nuqtalarni to'g'ri chiziq bilan bog'lang. Boshqa tomondan ham xuddi shunday qiling.

Uzunligi taglikning uzunligi bilan bir xil bo'lgan har qanday yangi to'rtburchakning tashqi chetidan qutining yuqori yuzini quring. Buning uchun tashqi tomonda joylashgan uzunlik va kenglik chiziqlarining kesishish nuqtalaridan perpendikulyarlar chiziladi. Ularning ustiga taglikning kengligini chetga surib qo'ying va nuqtalarni to'g'ri chiziq bilan ulang.

Asosiy doiraning markazidan konusning supurishini qurish uchun aylananing istalgan nuqtasi orqali radiusni o'tkazing va uni davom ettiring. Poydevordan konusning tepasigacha bo'lgan masofani o'lchang. Radius va aylananing kesishgan nuqtasidan bu masofani chetga surib qo'ying. Yon yuzaning yuqori nuqtasini belgilang. Yon yuzaning radiusi va poydevorning aylanasiga teng bo'lgan yoy uzunligiga asoslanib, rivojlanish burchagini hisoblab chiqing va uni taglikning yuqori qismidan allaqachon chizilgan to'g'ri chiziqdan chetga surib qo'ying. Kompasdan foydalanib, ilgari topilgan radius va aylananing kesishish nuqtasini u bilan bog'lang yangi nuqta. Konusning raybasi tayyor.

Piramidani supurish uchun uning yon tomonlarining balandligini o'lchang. Buning uchun poydevorning har bir tomonining o'rtasini toping va piramidaning tepasidan shu nuqtaga tushirilgan perpendikulyar uzunligini o'lchang. Piramida asosini varaqda chizib, tomonlarning o'rta nuqtalarini toping va bu nuqtalarga perpendikulyarlarni chizing. Olingan nuqtalarni piramida tomonlarining kesishish nuqtalari bilan bog'lang.

Tsilindrning rivojlanishi ikkita aylana va ular orasida joylashgan to'rtburchakdan iborat bo'lib, ularning uzunligi aylananing uzunligiga, balandligi esa silindrning balandligiga teng.

Aylana involventini silindrsimon yuzadan cho'zilgan ipni o'rash orqali olish mumkin. Ushbu mavzuning oxirida involyut tasvirlanadi.

Doira evolventining parametrik tenglamalari:

aylana radiusi qayerda; - aylana radiusining burilish burchagi.

Berilgan diametrli aylana involventini qurish

Diametri bo'lgan doira mavjud va markazda joylashgan. Bu doira o'n ikkita teng qismga bo'lingan. 2, 3, 4, ... nuqtalarda biz aylanaga bir yo'nalishda yo'naltirilgan tangenslarni chizamiz. Aylanani ochishda nuqtani 2-nuqtadan 1 va 2 nuqtalar orasidagi yoy uzunligiga teng masofada ajratish va nuqtani 3-nuqtadan bir nuqtada ajratish kerakligiga asoslanib evolvent nuqtalarini topamiz. 1 va 3 nuqtalar orasidagi yoy uzunligiga teng masofa (oldingi yoyning ikkita uzunligi) va hokazo.

Tegishli yoylarning uzunliklarini tangenslar bo'ylab chizib, evolyutsiya nuqtalarining aniq o'rnini olamiz. 1 va 2 nuqtalar orasidagi yoy uzunligi formula bilan aniqlanadi , bu erda aylananing diametri; - aylana bo'lingan qismlar soni.

Bir qator involut nuqtalarini olganimizdan so'ng, biz ularni silliq chiziq bilan bog'laymiz.

Bunday holda, diametrli doira hisoblanadi evolyutsiya bunga involyut.

Aylana involventi

Adabiyot

1. Bogdanov V. N., Malezhik I. F., Verxola A. P. va boshqalar. Chizma bo'yicha ma'lumotnoma .. - M .: Mashinostroenie., 1989. - S. 438-480. - 864 b. - ISBN 5-217-00403-7

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Doira rivojlanishi" nima ekanligini ko'ring:

Atrofimizdagi dunyo dinamik va xilma-xildir va har bir ob'ektni o'lchagich bilan oddiygina o'lchash mumkin emas. Bunday uzatish uchun triangulyatsiya kabi maxsus texnikalar qo'llaniladi. Murakkab supurgi kompilyatsiya qilish zarurati, qoida tariqasida, ... ... Vikipediya

Ionlanishlarni ajratish uchun qurilma. magnit ta'siriga asoslangan molekulalar va atomlarni massalari bo'yicha. va elektr vakuumda uchayotgan ion nurlaridagi maydonlar. M. s.da. ionlarni ro'yxatga olish elektr bilan amalga oshiriladi. usullari, m a s spektr o g r f a x tomonidan … Jismoniy entsiklopediya

Ko‘pburchak (aniqrog‘i, ko‘p yuzli yuza) fazoviy shakli vaqt o‘tishi bilan shunday uzluksiz deformatsiya orqali o‘zgarishi mumkin bo‘lsa, bunda har bir yuz o‘z o‘lchamini o‘zgartirmasa (ya’ni u shunday harakatlansa) egiluvchan deyiladi. mustahkam) ... Vikipediya - (yunoncha tetraedr tetraedr) yuzlari toʻrtta uchburchak boʻlgan eng oddiy koʻp yuzli. Tetraedrning 4 ta yuzi, 4 ta tepasi va 6 ta qirrasi bor. Mundarija 1 Tegishli ta'riflar ... Vikipediya

Matematiklar tomonidan ko'rib chiqilgan, ammo hali hal etilmagan ochiq (yechilmagan) matematik muammolar. Ko'pincha haqiqat deb hisoblangan, ammo isbotlanishi kerak bo'lgan farazlar shaklida. Ilmiy dunyoda mashhur ... ... Vikipediya

Bu atama boshqa maʼnolarga ham ega, Lindelöf teoremasiga qarang. Berilgan hajm uchun eng kichik maydonli ko‘p yuzli Lindelöf teoremasi geometrik teorema bo‘lib, birinchi marta 1869 yilda Lorens Lindelöf tomonidan isbotlangan.. Balki ... ... Vikipediya