Формула диференціала функції має вигляд

де – диференціал незалежної змінної.

Нехай тепер дана складна (диференційована) функція , де. Тоді за формулою похідної складної функції знаходимо

так як .

Отже, , тобто. формула диференціала має той самий вид для незалежної змінноїі для проміжного аргументу, що являє собою диференційовану функцію від.

Цю властивість прийнято називати властивістю інваріантності формули або форми диференціалу. Зауважимо, що похідна цією властивістю не має.

Зв'язок між безперервністю та диференційністю.

Теорема (Необхідна умова диференційності функції).Якщо функція диференційована у точці, вона безперервна у цій точці.

Доведення.Нехай функція у=f(x) диференційована в точці х 0 . Дамо в цій точці аргументу збільшення  х. Функція отримає збільшення  у. Знайдемо.

Отже, у=f(x) безперервна у точці х 0 .

Наслідок.Якщо х 0 – точка розриву функції, то ній функція не диференційована.

Твердження, зворотне теоремі, не вірне. З безперервності не випливає диференційність.

Диференціал. Геометричний сенс. Застосування диференціала до наближених обчислень.

Визначення

Диференціалом функціїназивається лінійна відносно частина збільшення функції. Вона позначається як або. Таким чином:

Зауваження

Диференціал функції становить основну частину її збільшення.

Зауваження

Поруч із поняттям диференціала функції вводиться поняття диференціала аргументу. За визначенням диференціал аргументує збільшення аргументу:

Зауваження

Формулу для диференціала функції можна записати у вигляді:

Звідси отримуємо, що

Отже, це означає, що похідна може бути представлена ​​як звичайний дріб - відношення диференціалів функції та аргументу.

Геометричний сенс диференціалу

Диференціал функції у точці дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функції у цій точці, що відповідає приросту аргументу.

Основні правила диференціювання. Похідна постійна, похідна суми.

Нехай функції мають похідні в точці. Тоді

1. Константіможна виносити за знак похідної.

5. Диференціал константидорівнює нулю.

2. Похідна суми/різниці.

Похідна суми/різниці двох функцій дорівнює сумі/різниці похідних від кожної функції.

Основні правила диференціювання. Похідна робота.

3. Похідна робота.

Основні правила диференціювання. Похідна складної та зворотної функції.

5. Похідна складної функції.

Похідна складної функції дорівнює похідній цієї функції за проміжним аргументом, помноженою на похідну від проміжного аргументу за основним аргументом.

І мають похідні відповідно до точок. Тоді

Теорема

(Про похідну зворотну функцію)

Якщо функція безперервна і строго монотонна в деякій околиці точки диференційована в цій точці, то зворотна функція має похідну в точці, причому .

Формули диференціювання. Похідна показової функції.

Правило диференціювання складної функції приведе нас до однієї чудової та важливої ​​властивості диференціала.

Нехай функції такі, що їх може бути складена складна функція: . Якщо існують похідні то – за правилом V – існує і похідна

Замінюючи, однак, похідну її виразом (7) і помічаючи, що є диференціал х як функції від t, одержимо остаточно:

тобто повернемося до колишньої форми диференціалу!

Таким чином, бачимо, що форма диференціала може бути збережена навіть у тому випадку, якщо колишня незалежна змінна замінена новою. Ми завжди маємо право писати диференціал у формі (5), чи буде їх незалежною змінною чи ні; різниця лише в тому, що, якщо за незалежну змінну обрано t, то означає не довільне збільшення а диференціал х як функції від цієї властивості і називають інваріантністю форми диференціала.

Так як з формули (5) безпосередньо виходить формула (6), що виражає похідну через диференціали, то й остання формула зберігає силу, за якою б незалежною змінною (звичайно, однією і тією ж в обох випадках) не були обчислені названі диференціали.

Нехай, наприклад, так що

Тоді і ми будемо мати: Легко перевірити, що формула

дає лише інший вираз для обчисленої вище похідної.

Цією обставиною особливо зручно користуватися у випадках, коли залежність у від х не задана безпосередньо, а натомість задана залежність обох змінних х і у від деякої третьої, допоміжної, змінної (названої параметром):

Припускаючи, що ці функції мають похідні і що з першої їх існує зворотна функція має похідну , легко бачити, що і у виявляється функцією від х:

для якої також є похідна. Обчислення цієї похідної може бути виконано за вищевказаним правилом:

не відновлюючи безпосередньої залежності від х.

Наприклад, якщо похідну можна визначити, як це зроблено вище, не користуючись залежністю.

Якщо розглядати х і як прямокутні координати точки на площині, то рівняння (8) кожному значенню параметра t ставлять у відповідність деяку точку, яка зі зміною t описує криву на площині. Рівняння (8) називаються параметричними рівняннями цієї кривої.

У разі параметричного завдання кривої формула (10) дозволяє безпосередньо за рівняннями (8) встановити кутовий коефіцієнт дотичної, не переходячи до завдання кривої рівнянням (9); саме,

Зауваження. Можливість виражати похідну через диференціали, взяті за будь-якою змінною, зокрема, призводить до того, що формули

що виражають у лейбніцевих позначеннях правила диференціювання зворотної функції та складної функції, стають простими алгебраїчними тотожностями (оскільки всі диференціали тут можуть бути взяті по одній і тій самій змінній). Не слід думати, втім, що цим дано новий висновок названих формул: насамперед, тут не доводилося існування похідних ліворуч, головне ж – ми суттєво користувалися інваріантністю форми диференціала, яка сама є наслідком правила V.

За визначенням диференціал (перший диференціал) функції обчислюється за формулою
якщо - Незалежна змінна.

ПРИКЛАД.

Покажемо, що форма першого диференціала залишається незмінною (є інваріантною) і в тому випадку, коли аргумент функції сам є функцією, тобто для складної функції
.

Нехай
диференційовані, тоді за визначенням

Крім того, що потрібно було довести.

ПРИКЛАДИ.

Доведена інваріантність форми першого диференціалу дозволяє вважати, що
тобто похідна дорівнює відношенню диференціала функції до диференціалу її аргументунезалежно від того, чи є аргумент незалежною змінною або функцією.

Диференціювання функції, заданої параметрично

Нехай Якщо функція
має на безлічі зворотну, то
Тоді рівності
визначають на безлічі функцію, задану параметрично, – параметр (проміжна змінна).

ПРИКЛАД. Побудувати графік функції
.

Побудована крива називається циклоїдою(Рис. 25) є траєкторією точки на колі радіуса 1, яка котиться без ковзання вздовж осі ОХ.

ЗАУВАЖЕННЯ. Іноді, але завжди, з параметричних рівнянь кривої можна виключити параметр.

ПРИКЛАДИ.
– параметричні рівняння кола, оскільки, очевидно,

–параметричні рівняння еліпса, оскільки

-параметричні рівняння параболи

Знайдемо похідну функції, заданої параметрично:

Похідна функції, заданої параметрично, також функція, задана параметрично: .

ВИЗНАЧЕННЯ. Другий похідний функції називається похідна від першої похідної.

Похідний -го порядку називається похідна від її похідної порядку
.

Позначають похідні другого та -го порядку так:

З визначення другої похідної та правила диференціювання параметрично заданої функції випливає, що
Для обчислення третьої похідної треба подати другу похідну як
та скористатися ще раз отриманим правилом. Похідні старших порядків обчислюються аналогічно.

ПРИКЛАД. Знайти похідні першого та другого порядків функції

.

Основні теореми диференціального обчислення

ТЕОРЕМА(Ферма). Нехай функція
має у точці
екстремум. Якщо існує
, то

ДОВЕДЕННЯ. Нехай
наприклад, - точка мінімуму. За визначенням точки мінімуму існує околиця цієї точки
, в межах якої
, тобто
- Приріст
у точці
. За визначенням
Обчислимо односторонні похідні у точці
:

за теоремою про граничний перехід у нерівності,

так як

, так як
Але за умовою
існує, тому ліва похідна дорівнює правій, а це можливо лише якщо

Припущення про те, що
- Точка максимуму, призводить до того ж.

Геометричний сенс теореми:

ТЕОРЕМА(Роль). Нехай функція
безперервна
, диференційована
і
тоді існує
така, що

ДОВЕДЕННЯ. Так як
безперервна
, то по другій теоремі Вейєрштрасса вона досягає
своїх найбільшого
і найменшого
значень чи точках екстремуму, чи кінцях відрізка.

1. Нехай
тоді

2. Нехай
Так як
те чи
, або
досягається в точці екстремуму
, але за теоремою Ферма
Що й потрібно було довести.

ТЕОРЕМА(Лагранжа). Нехай функція
безперервна
та диференційована
тоді існує
така, що
.

Геометричний сенс теореми:

Так як
, то січна паралельна дотичній. Таким чином, теорема стверджує, що існує дотична, паралельна січній, що проходить через точки А та В.

ДОВЕДЕННЯ. Через точки А
і В
проведемо сітку АВ. Її рівняння
Розглянемо функцію

-відстань між відповідними точками на графіку та на січній АВ.

1.
безперервна
як різницю безперервних функцій.

2.
диференційована
як різницю диференційованих функцій.

3.

Значить,
задовольняє умовам теореми Роля, тому існує
така, що

Теорему доведено.

ЗАУВАЖЕННЯ.Формула називається формулою Лагранжа.

ТЕОРЕМА(Коші). Нехай функції
безперервні
, диференційовані
і
тоді існує точка
така, що
.

ДОВЕДЕННЯ. Покажемо, що
. Якби
, то функція
задовольняла б умові теореми Роля, тому існувала б точка
така, що
- Протиріччя умові. Значить,
, та обидві частини формули визначені. Розглянемо допоміжну функцію.

безперервна
, диференційована
і
, тобто
задовольняє умовам теореми Роля. Тоді існує точка
, в якій
, але

що й потрібно було довести.

Доведена формула називається формулою Коші.

ПРАВИЛО Лопіталя(Теорема Лопіталя-Бернуллі). Нехай функції
безперервні
, диференційовані
,
і
. Крім того, існує кінцевий або нескінченний
.

Тоді існує

ДОВЕДЕННЯ. Бо за умовою
, то визначимо
у точці
, вважаючи
Тоді
стануть безперервними
. Покажемо, що

Припустимо, що
тоді існує
така, що
, оскільки функція
на
задовольняє умовам теореми Роля. Але за умовою
- Протиріччя. Тому

. Функції
задовольняють умовам теореми Коші на будь-якому відрізку
, який міститься в
. Напишемо формулу Коші:

,
.

Звідси маємо:
, тому що якщо
, то
.

Перезначаючи змінну в останній межі, отримаємо необхідне:

ЗАУВАЖЕННЯ 1. Правило Лопіталя залишається справедливим у тому випадку, коли
і
. Воно дозволяє розкривати не лише невизначеність виду , але і виду :

.

ЗАУВАЖЕННЯ 2. Якщо після застосування правила Лопіталя невизначеність не розкрилася, його слід застосувати ще раз.

ПРИКЛАД.

ЗАУВАЖЕННЯ 3 . Правило Лопіталя - універсальний спосіб розкриття невизначеностей, але існують межі, розкрити які можна, застосувавши лише один із вивчених раніше приватних прийомів.

Але, мабуть,
, так як ступінь чисельника дорівнює ступеню знаменника, і межа дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших ступенях

Диференціал функції

Функція називається що диференціюється в точціграничною для безлічі E, якщо її приріст Δ f(x 0), що відповідає прирощенню аргументу x, може бути представлено у вигляді

Δ f(x 0) = A(x 0)(x - x 0) + ω (x - x 0), (1)

де ω (x - x 0) = про(x - x 0) при x → x 0 .

Відображення , називається диференціаломфункції fу точці x 0 , а величина A(x 0)h - значенням диференціалау цій точці.

Для значення диференціала функції fприйнято позначення dfабо df(x 0), якщо потрібно знати, в якій точці він обчислений. Таким чином,

df(x 0) = A(x 0)h.

Розділивши в (1) на x - x 0 і спрямувавши xдо x 0 , отримаємо A(x 0) = f"(x 0). Тому маємо

df(x 0) = f"(x 0)h. (2)

Зіставивши (1) і (2), бачимо, що значення диференціала df(x 0) (при f"(x 0) ≠ 0) є головна частина збільшення функції fу точці x 0 , лінійна і однорідна в той же час щодо збільшення h = x - x 0 .

Критерій диференційності функції

Для того, щоб функція fбула диференційованою у цій точці x 0 необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну.

Інваріантність форми першого диференціалу

Якщо x- незалежна змінна, то dx = x - x 0 (фіксоване збільшення). У цьому випадку маємо

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Якщо x = φ (t) - диференційована функція, то dx = φ" (t 0)dt. Отже,