Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса.

Моменты инерции данного тела относи­тельно разных осей будут, вообще говоря, разными. Покажем, как зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведен­ной в теле, найти момент инерции от­носительно любой другой оси, ей па­раллельной.

Рис.35

Проведем через центр масс С тела произвольные оси Cx"y"z", а через лю­бую точку О на оси Сх" - оси Oxyz, такие, что Оy ½½Сy", Oz ½½Cz" (рис. 35). Расстояние между осями Cz" и Оz обозначим черезd. Тогда

но, как видно из рисунка, для любой точки тела или, а. Подставляя эти значения , в выражение для и вынося общие множители d 2 и 2d за скобки, получим

В правой части равенства первая сумма равна I cz " , а вторая - массе тела М. Найдем значение третьей суммы. На основании фор­мул для координат центра масс.Так как в на­шем случае точка С является началом координат, то x C = 0 и, сле­довательно, . Окончательно получаем:

Формула выражает следующую теорему Гюйгенса :

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Найдем момент инерции тела относительно оси u , проходящей через некоторую точку О (рис. 36).

Рис.36

По определению момент инерции.

Поместим в точку О начало координатных осей x, y, z . Из прямоугольного треугольника ОАМ i следует, где. И так как радиус-вектор точки, то, проектируя это равенство на ось u , получим (, - углы между осью u и осями x, y, z ).

Рис. 14.3.

Как известно из тригономет­рии

И, группируя подобные члены, содержащие косинусы одинаковых углов, получим:

Но - расстояния от точки М i до осей x, y, z, соответственно. Поэтому

где I x , I y , I z – моменты инерции тела относительно осей координат; I xy , J yz , J xz - центробежные моменты инерции относительно осей отмеченных в индексах.

Если два центробежных момента инерции, оба содержащих в индексах названия какой-нибудь одной оси, равны нулю, то эта ось называется главной осью инерции . Например, если J yz = 0 и J xz = 0, то ось z – главная ось инерции.

Так как все моменты инерции зависят от того, где находится точка О , от выбора начала координат, то обязательно надо указать для какой точки определены эти моменты инерции. Если начало координат взято в центре масс С , то все главные оси инерции называются главными центральными осями инерции.

Если в данной точке координатные оси являются главными осями инерции (центробежные моменты инерции относительно их равны нулю), то формула (2) упрощается:

Иногда по некоторым признакам нетрудно найти главные оси инерции тела.

1. Если у однородного тела имеется ось симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции.

Действительно. Направим координатную ось z по оси симметрии. Тогда для каждой точки тела с координатами (x i , y i , z i ) можно отыскать точку с координатами (-x i , -y i , -z i ) и поэтому центробежные моменты инерции и. Значит ось z – главная ось инерции, и центральная ось, т.к. центр масс, как известно, находится на оси симметрии. Причём, эта ось будет главной для любой точки расположенной на оси симметрии.

2. Если у однородного тела имеется плоскость симметрии, то любая ось перпендикулярная ей будет главной осью инерции для всех точек этой плоскости.

Направим ось z перпендикулярно плоскости симметрии из любой её точки О , назначив там начало координат. Тогда для каждой точки тела с координатами (x i , y i , z i ) можно найти симметричную ей точку с координатами (x i , y i , - z i ). Поэтому центробежные моменты инерции I xz и I yz будут равны нулю. Значит ось z – главная ось инерции.

Пример 9. Определим момент инерции диска относительно оси u , расположенной под углом к оси симметрии диска z (рис.37).

Рис.37

Оси x, y и z – главные центральные оси инерции, т.к. они являются осями симметрии.

Тогда, где - угол между осями u и z ; угол - угол между осями u и y , равный; угол - угол между осями u и x , равный 90°. Поэтому

Дифференциальные уравнения движения системы.

Рас­смотрим систему, состоящую из п материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой. Обозначим равнодейству­ющую всех приложенных к точке внешних сил (и активных и реак­ций связей) через , а равнодействующую всех внутренних сил - через . Если точка имеет при этом ускорение , то по основному закону динамики

Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет:

Эти уравнения, из которых можно определить закон движения каждой точки системы, называются дифференциальными уравнениями движения системы в векторной форме. Уравнения являются дифференциальными, так как; входящие в правые части уравнений силы будут в общем случае зависеть от времени, координат точек системы и их скоростей.

Проектируя на какие-нибудь координатные оси, мы можем получить дифференциальные уравнения движения системы в проекциях на эти оси.

Полное решение основной задачи динамики для системы состояло бы в том, чтобы, зная заданные силы, проинтегрировать соответ­ствующие дифференциальные уравнения и определить таким путем закон движения каждой из точек системы в отдельности.

Однако такой путь решения обычно не применяется по двум причинам. Во-первых, этот путь слишком сложен и почти всегда связан с непреодолимыми математическими трудностями. Во-вторых, в большинстве случаев при решении задач механики бывает доста­точно знать некоторые суммарные характеристики движения системы в целом, а не движение каждой из ее точек в отдельности. Эти суммарные характеристики определяются с помощью общих теорем динамики системы, к изучению которых мы и перейдем.

Основная роль уравнений состоит в том, что они, или след­ствия из них, являются исходными для получения соответствующих общих теорем.

Общие теоремы динамики механической системы: теоремы о движении центра масс механической системы и об изменении количества движения, теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии, -являются следствием основного уравнения динамики. Данные теоремы рассматривают не движение отдельных точек и тел, входящих в механическую систему, а некоторые интегральные характеристики, такие как движение центра масс механической системы, ее количество движения, кинетический момент и кинетическую энергию. В результате из рассмотрения исключаются неизвестные внутренние силы, а в ряде случаев и реакции связей, что существенно упрощает решения задачи.

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, разная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Согласно формуле (2) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, . Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг (в системе МКГСС - ).

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты этих точек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет и т. д.).

Тогда моменты инерции относительно осей будут определяться формулами:

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси называется линейная величина определяемая равенством

где М - масса тела. Из определения следует, что радиус инерцни геометрически равен расстоянию от оси той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Зная радиус инерции, можно по формуле (4) найти момент инерции тела и наоборот.

Формулы (2) и (3) справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (2), обратится в интеграл. В результате, учитывая, что где - плотность, а V - объем, получим

Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела. Аналогично формулы (3) для сплошных тел примут вид

Формулами (5) и (5) удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла.

Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.

1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А (рис. 275). Направим вдоль АВ координатную ось Тогда для любого элементарного отрезка длины d величина , а масса , где - масса единицы длины стержня. В результате формула (5) дает

Заменяя здесь его значением, найдем окончательно

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Найдем его момент инерции относительно оси перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 276).

Так как все точки кольца находятся от оси на расстоянии то формула (2) дает

Следовательно, для кольца

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М. Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (см. рис. 276). Для этого выделим элементарное кольцо радиусом и шириной (рис. 277, а). Площадь этого кольца , а масса где - масса единицы площади пластины. Тогда по формуле (7) для выделенного элементарного кольца будет а для всей пластину

При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции.

Разобьем тело на такие малые части, что каждую из них можно считать материальной точкой. Пусть m i – масса i- й материальной точки, r i – ее расстояние до некоторой оси O .

Величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат кратчайшего расстояния ее до данной оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси:

Сумма моментов инерции всех материальных точек тела называется моментом инерции тела относительно некоторой оси:

Момент инерции твердого тела зависит, как нетрудно видеть, от распределения масс относительно интересующей нас оси.

Если тело представляет собой обруч массы m , толщина которого мала по сравнению с радиусом R , то момент его инерции относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной к плоскости обруча, равен

Для тел более сложной формы суммирование выражения (5.2) производится методами интегрального исчисления согласно формуле

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r
в этом случае есть функция положения точки с координатами x , y , z .

В качестве примера найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr .

Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r . Объем такого слоя равен:

,

где b – толщина диска. Поскольку диск однороден, плотность его во всех точках одинакова и

где dm – масса кольцевого слоя.

Теперь по формуле (5.4) находим момент инерции

,

где R – радиус диска;

.

Наконец, введя массу диска m равную произведению плотности на объем диска , получим

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси, проходящей через центр масс тела , приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то можно найти момент инерции относительно любой другой параллельной оси. Для этого надо воспользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера :

момент инерции тела I относительно произвольной оси равен моменту его инерции I c относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Найдем момент инерции тела относительно оси z параллельной оси z C . Ось z C проходит через центр масс тела. Разделим мысленно тело на частицы массой m i , где i – порядковый номер. Определим положение каждой частицы относительно осей z и z C . В соответствии с определением момента инерции , где – это кратчайшее расстояние до оси вращения (радиус окружности, которую описывает точка при своем движении вокруг оси вращения).

На рис. 5.3 видно, что , тогда момент инерции точки массой m i относительно оси z равен: , а для всего тела момент инерции относительно оси z равен сумме моментов инерции всех частиц тела относительно этой же оси:

(5.7)

По определению – момент инерции тела относительно оси z C , проходящей через центр масс тела; , тогда . Выражение можно преобразовать . Величина, равная определяет положение центра масс тела относительно оси z C . Из рисунка видно, что , т.к. центр масс лежит на оси z C .

Тогда получим

(5.8)

– момент инерции I z тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной ей оси z C , проходящей через центр масс, и величины ma 2 , где m – масса тела, a – расстояние между осями.

Пример. Момент инерции тонкого стержня (массы m и длины ) относительно оси, перпендикулярной стрежню и проходящей через его конец, равен.

1.10. УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Твердое тело как система материальных точек. Движение центра инерции твердого тела. Кинетическая энергия вращающе гося тела. Понятие момента инерции относительно неподвижной оси. Теорема Штейнера. Моменты инерции некоторых простейших тел. Уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси.

Движение твердого тела в общем случае определяется двумя векторными уравнениями. Одно из них - уравнение движения центра масс (4.11), другое-уравнение моментов в С -системе (6.24):

(10 . 1 )

Зная законы действующих внешних сил, точки их приложения и начальные условия, можно с помощью этих уравнений найти как скорость, так и положение каждой точки твердого тела в любой момент времени, т. е. полностью решить задачу о движении тела. Однако, несмотря на кажущуюся простоту уравнений (10.1), решение их в общем случае представляет собой весьма трудную задачу. Это прежде всего обусловлено тем обстоятельством, что связь между собственным моментом импульса и скоростями отдельных точек твердого тела в С -системе оказывается сложной, за исключением немногих частных случаев. Мы не будем рассматривать эту задачу в общем виде (она решается в курсе теоретической механики) и ограничимся в дальнейшем только отдельными частными случаями.

Если перенести силы вдоль направления их действия, то ясно, что не изменятся ни их результирующая , ни их суммарный момент . При этом уравнения (10.1) тоже не изменятся, а следовательно не изменится и движение твердого тела. Поэтому точки приложения внешних сил можно переносить вдоль направления действия сил - удобный прием решения задач, которым постоянно пользуются.

Рассмотрим теперь понятие равнодействующей силы. В тех случаях, когда суммарный момент всех внешних сил оказывается перпендикулярным результирующей силе, т. е. , все внешние силы могут быть сведены к одной силе , действующей вдоль определенной прямой. В самом деле, если относительно некоторой точки О суммарный момент , то всегда можно найти такой вектор (рис. 10.1), что при заданных и

При этом выбор неоднозначен: прибавление к нему любого вектора ,

параллельного , не изменит последнего равенства. А это означает, что данное равенство определяет не точку "приложения" силы , а линию ее действия. Зная модули M и F соответствующих векторов, можно найти плечо l силы (рис.6.14): .

Таким образом, если , систему сил, действующих на отдельные точки твердого тела, можно заменить одной равнодействующей силой - силой, которая равна результирующей и создает момент, равный суммарному моменту всех внешних сил.

Таким случаем является действие однородного силового поля, например поля тяжести, в котором действующая на каждую частицу сила имеет вид . В этом случае суммарный момент сил тяжести относительно любой точки О равен

Стоящая в круглых скобках сумма, равна где масса тела радиус-вектор его центра масс относительно точки O . Поэтому

Это означает, что равнодействующая сил тяжести проходит через центр масс тела. Обычно говорят, что равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс тела или к его центру тяжести. Момент этой силы относительно центра масс тела равен нулю.

Теперь перейдем к рассмотрению частных случаев движения твердого тела.

Вращение вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Найдем выражение для момента импульса твердого тела относительно оси 00" (рис. 6.15). Момент импульса частицы можно записать в виде

где и - масса и расстояние от оси вращения частицы твердого тела, - его угловая скорость. Обозначив величину, стоящую в круглых скобках, через I, получим

(10 .2)

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки на квадрат кратчайшего расстояния от оси.

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.

Момент инерции твердого тела зависит от распределения масс относительно интересующей нас оси и является величиной аддитивной. Вычисление момента инерции тела проводится по формуле

где dm и dV - масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии от интересующей нас оси z, - плотность тела в данной точке.

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси, проходящей через центр масс тела, приведены в следующей таблице (здесь т - масса тела):

Вид твердого тела	Положение оси	Момент инерции
Тонкий стержень длины L	Перпендикулярно стержню
Сплошной цилиндр радиуса R	Совпадает с осью цилиндра
Тонкий диск радиуса R	Совпадает с диаметром диска
Шар радиуса R	Проходит через центр шара

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно той или иной оси представляет собой, вообще говоря, довольно кропотливую в математическом отношении задачу. Однако в некоторых случаях нахождение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера : момент инерции I относительно произвольной оси z равен моменту инерции относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы т тела нa квадрат расстояния а между осями:

(10 . 4 )

Таким образом, если известен момент инерции то нахождение момента инерции I элементарно. Например, момент инерции тонкого стержня (массы т и длины l ) относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, равен

Кинетическая энергия вращательного движения - энергия тела, связанная с его вращением. Получим выражение для кинетической энергии вращающегося твердого тела с неподвижной осью вращения. Учитывая связь скорости частицы вращающегося твердого тела с угловой скоростью запишем

или, более коротко

где - момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, -угловая скорость тела, т - его масса, - скорость центра инерции тела в K-системе отсчета. Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из энергии вращения в С-системе и энергии, связанной с движением центра масс .

Запишем основное уравнение динамики вращения твердого тела с неподвижной осью вращения. Это уравнение легко получить, как следствие как следствие уравнения моментов для материальной точки, если продифференцировать (10.2) по времени, тогда

(10 . 7 )

где - суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения, проекция углового ускорения на ось вращения. Из этого уравнения, в частности, видно, что момент инерции I определяет инерционные свойства твердого тела при вращении: при одном и том же значении момента сил тело с большим моментом инерции приобретает меньшее угловое ускорение. Моменты сил относительно оси - величины алгебраические: их знаки зависят как от выбора положительного направления оси z , совпадающей с осью вращения, так и от направления

"вращения" соответствующего момента силы. Например, выбрав положительное направление оси z , как показано на рис. 10.3, мы тем самым задаем и положительное направление отсчета угла - оба эти направления связаны правилом правого винта. Полагают, что если некоторый момент "вращает" в положительном направлении угла, то он считается положительным, и наоборот. А знак суммарного момента в свою очередь определяет знак - проекции вектора углового ускорения на ось z.

Интегрирование уравнения (10.7) с учетом начальных условий -значений угловой скорости и угла и начальный момент времени - позволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, т. е. найти зависимость от времени угловой скорости и угла поворота.

Заметим, что уравнение (10.7) справедливо в любой системе отсчета, жестко связанной с осью вращения. Однако если система отсчета неинерциальная, то необходимо помнить, что момент сил включает в себя не только моменты сил взаимодействия с другими телами, но и моменты сил инерции.

Тела m на квадрат расстояния d между осями :

J = J c + m d 2 , {\displaystyle J=J_{c}+md^{2},}

где m - полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2 . {\displaystyle J=J_{c}+md^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.}

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции J a
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра	m r 2 {\displaystyle mr^{2}}
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра	1 2 m r 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}mr^{2}}
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r 2 и внутренним радиусом r 1	Ось цилиндра	m r 2 2 + r 1 2 2 {\displaystyle m{\frac {r_{2}^{2}+r_{1}^{2}}{2}}}
	Сплошной цилиндр длины l , радиуса r и массы m		1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 {\displaystyle {1 \over 4}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}}
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l , радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс	1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 {\displaystyle {1 \over 2}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}}
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс	1 12 m l 2 {\displaystyle {\frac {1}{12}}ml^{2}}
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец	1 3 m l 2 {\displaystyle {\frac {1}{3}}ml^{2}}
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы	2 3 m r 2 {\displaystyle {\frac {2}{3}}mr^{2}}
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара	2 5 m r 2 {\displaystyle {\frac {2}{5}}mr^{2}}
	Конус радиуса r и массы m	Ось конуса	3 10 m r 2 {\displaystyle {\frac {3}{10}}mr^{2}}
	Равнобедренный треугольник с высотой h , основанием a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину	1 24 m (a 2 + 12 h 2) {\displaystyle {\frac {1}{24}}m(a^{2}+12h^{2})}
	Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс	1 12 m a 2 {\displaystyle {\frac {1}{12}}ma^{2}}
	Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс	1 6 m a 2 {\displaystyle {\frac {1}{6}}ma^{2}}
	Прямоугольник со сторонами a и b и массой m	Ось перпендикулярна плоскости прямоугольника и проходит через центр масс	1 12 m (a 2 + b 2) {\displaystyle {\frac {1}{12}}m(a^{2}+b^{2})}
	Правильный n-угольник радиуса r и массой m	Ось перпендикулярна плоскости и проходит через центр масс	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] {\displaystyle {\frac {mr^{2}}{6}}\left}
	Тор (полый) с радиусом направляющей окружности R , радиусом образующей окружности r и массой m	Ось перпендикулярна плоскости направляющей окружности тора и проходит через центр масс	I = m (3 4 r 2 + R 2) {\displaystyle I=m\left({\frac {3}{4}}\,r^{2}+R^{2}\right)}

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . (1) . {\displaystyle J=\sum dJ_{i}=\sum R_{i}^{2}dm.\qquad (1).}

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . {\displaystyle J=\sum R^{2}dm=R^{2}\sum dm=mR^{2}.}

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R , внутренним радиусом R 1 , толщиной h и плотностью ρ . Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . {\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^{2}dm=2\pi \rho hr^{3}dr.}

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = {\displaystyle J=\int _{R_{1}}^{R}dJ=2\pi \rho h\int _{R_{1}}^{R}r^{3}dr=} = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . {\displaystyle =2\pi \rho h\left.{\frac {r^{4}}{4}}\right|_{R_{1}}^{R}={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{4}-R_{1}^{4}\right)={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right).}

Поскольку объём и масса кольца равны

V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , {\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h;\qquad m=\rho V=\pi \rho \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h,}

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . {\displaystyle J={\frac {1}{2}}m\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right).}

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R 1 = 0 ), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

J = 1 2 m R 2 . {\displaystyle J={\frac {1}{2}}mR^{2}.}

Сплошной конус

Вывод формулы

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

r = R h H , {\displaystyle r={\frac {Rh}{H}},}

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; {\displaystyle dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {Rh}{H}}\right)^{4}dh;}

Интегрируя, получим

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}J=\int _{0}^{H}dJ={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right)^{4}\int _{0}^{H}h^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right)^{4}\left.{\frac {h^{5}}{5}}\right|_{0}^{H}=={\frac {1}{10}}\pi \rho R^{4}H=\left(\rho \cdot {\frac {1}{3}}\pi R^{2}H\right){\frac {3}{10}}R^{2}={\frac {3}{10}}mR^{2}.\end{aligned}}}

Сплошной однородный шар

Вывод формулы

Разобьём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

r = R 2 − h 2 . {\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-h^{2}}}.}

Масса и момент инерции такого диска составят

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; {\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;} d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . {\displaystyle dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-h^{2}\right)^{2}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh.}

Момент инерции шара найдём интегрированием:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}J&=\int _{-R}^{R}dJ=2\int _{0}^{R}dJ=\pi \rho \int _{0}^{R}\left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^{4}h-{\frac {2}{3}}R^{2}h^{3}+{\frac {1}{5}}h^{5}\right)\right|_{0}^{R}=\pi \rho \left(R^{5}-{\frac {2}{3}}R^{5}+{\frac {1}{5}}R^{5}\right)={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}=\\&=\left({\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho \right)\cdot {\frac {2}{5}}R^{2}={\frac {2}{5}}mR^{2}.\end{aligned}}}

Тонкостенная сфера

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . {\displaystyle J_{0}={\frac {2}{5}}MR^{2}={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}.}

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {dJ_{0}}{dR}}dR={\frac {d}{dR}}\left({\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}\right)dR=\\&={\frac {8}{3}}\pi \rho R^{4}dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^{2}dR\right){\frac {2}{3}}R^{2}={\frac {2}{3}}mR^{2}.\end{aligned}}}

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы

Разобьём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна

d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . {\displaystyle dm={\frac {mdr}{l}};\qquad dJ=r^{2}dm={\frac {mr^{2}dr}{l}}.}

Интегрируя, получим

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . {\displaystyle J=\int _{-l/2}^{l/2}dJ=2\int _{0}^{l/2}dJ={\frac {2m}{l}}\int _{0}^{l/2}r^{2}dr={\frac {2m}{l}}\left.{\frac {r^{3}}{3}}\right|_{0}^{l/2}={\frac {2m}{l}}{\frac {l^{3}}{24}}={\frac {1}{12}}ml^{2}.}

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l ⁄ 2 . По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . {\displaystyle J=J_{0}+mr^{2}=J_{0}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+{\frac {1}{4}}ml^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.}

Безразмерные моменты инерции планет и спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2 ). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара - 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра .

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины :

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , {\displaystyle J_{xy}=\int \limits _{(m)}xydm=\int \limits _{(V)}xy\rho dV,} J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , {\displaystyle J_{xz}=\int \limits _{(m)}xzdm=\int \limits _{(V)}xz\rho dV,} J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , {\displaystyle J_{yz}=\int \limits _{(m)}yzdm=\int \limits _{(V)}yz\rho dV,}

где x , y и z - координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .

Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела .

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела , а моменты инерции относительно этих осей - его главными центральными моментами инерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции .

Геометрические моменты инерции

Геометрический момент инерции объёма

J V a = ∫ (V) r 2 d V , {\displaystyle J_{Va}=\int \limits _{(V)}r^{2}dV,}

где, как и ранее r - расстояние от элемента dV до оси a .

Геометрический момент инерции площади относительно оси - геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой :

J S a = ∫ (S) r 2 d S , {\displaystyle J_{Sa}=\int \limits _{(S)}r^{2}dS,}

где интегрирование выполняется по поверхности S , а dS - элемент этой поверхности.

Размерность J Sa - длина в четвёртой степени ( d i m J S a = L 4 {\displaystyle \mathrm {dim} J_{Sa}=\mathrm {L^{4}} } ), соответственно единица измерения СИ - 4 . В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см 4 .

Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:

W = J S a r m a x . {\displaystyle W={\frac {J_{Sa}}{r_{max}}}.}

Здесь r max - максимальное расстояние от поверхности до оси.

Геометрические моменты инерции площади некоторых фигур
Прямоугольника высотой h {\displaystyle h} и шириной b {\displaystyle b} :	J y = b h 3 12 {\displaystyle J_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}} J z = h b 3 12 {\displaystyle J_{z}={\frac {hb^{3}}{12}}}
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам H {\displaystyle H} и B {\displaystyle B} , а по внутренним h {\displaystyle h} и b {\displaystyle b} соответственно	J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) {\displaystyle J_{z}={\frac {BH^{3}}{12}}-{\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(BH^{3}-bh^{3})} J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) {\displaystyle J_{y}={\frac {HB^{3}}{12}}-{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(HB^{3}-hb^{3})}
Круга диаметром d {\displaystyle d}	J y = J z = π d 4 64 {\displaystyle J_{y}=J_{z}={\frac {\pi d^{4}}{64}}}

Момент инерции относительно плоскости

Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости .

Если через произвольную точку O {\displaystyle O} провести координатные оси x , y , z {\displaystyle x,y,z} , то моменты инерции относительно координатных плоскостей x O y {\displaystyle xOy} , y O z {\displaystyle yOz} и z O x {\displaystyle zOx} будут выражаться формулами:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , {\displaystyle J_{xOy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2}\ ,} J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , {\displaystyle J_{yOz}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2}\ ,} J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . {\displaystyle J_{zOx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}^{2}\ .}

В случае сплошного тела суммирование заменяется интегрированием.

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (момент инерции относительно точки O, момент инерции относительно полюса, полярный момент инерции ) J O {\displaystyle J_{O}} - это величина, определяемая выражением :

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , {\displaystyle J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,}

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей :

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , {\displaystyle J_{O}={\frac {1}{2}}\left(J_{x}+J_{y}+J_{z}\right),} J O = J x O y + J y O z + J x O z . {\displaystyle J_{O}=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}.}

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 {\displaystyle {\vec {s}}=\left\Vert s_{x},s_{y},s_{z}\right\Vert ^{T},\left\vert {\vec {s}}\right\vert =1} , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , {\displaystyle I_{s}={\vec {s}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\vec {s}},\qquad } (1)

где - тензор инерции . Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} и состоит из компонент центробежных моментов:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , {\displaystyle {\hat {J}}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{xx}&-J_{xy}&-J_{xz}\\-J_{yx}&J_{yy}&-J_{yz}\\-J_{zx}&-J_{zy}&J_{zz}\end{array}}\right\Vert ,} J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , {\displaystyle J_{xy}=J_{yx},\quad J_{xz}=J_{zx},\quad J_{zy}=J_{yz},\quad } J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m , J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m , J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m . {\displaystyle J_{xx}=\int \limits _{(m)}(y^{2}+z^{2})dm,\quad J_{yy}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+z^{2})dm,\quad J_{zz}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+y^{2})dm.}

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора J ^ {\displaystyle {\hat {J}}} :

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , {\displaystyle {\hat {J}}_{d}={\hat {Q}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\hat {Q}},} J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , {\displaystyle {\hat {J}}_{d}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{X}&0&0\\0&J_{Y}&0\\0&0&J_{Z}\end{array}}\right\Vert ,}

где Q ^ {\displaystyle {\hat {Q}}} - ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины J X , J Y , J Z {\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}} - главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , {\displaystyle I_{s}=J_{X}\cdot s_{x}^{2}+J_{Y}\cdot s_{y}^{2}+J_{Z}\cdot s_{z}^{2},}

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на I s {\displaystyle I_{s}}

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 {\displaystyle \left({s_{x} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{X}+\left({s_{y} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{Y}+\left({s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{Z}=1}

и произведя замены:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , {\displaystyle \xi ={s_{x} \over {\sqrt {I_{s}}}},\eta ={s_{y} \over {\sqrt {I_{s}}}},\zeta ={s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}},}

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах ξ η ζ {\displaystyle \xi \eta \zeta } :

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. {\displaystyle \xi ^{2}\cdot J_{X}+\eta ^{2}\cdot J_{Y}+\zeta ^{2}\cdot J_{Z}=1.}

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку.