Táto vlastnosť hrá dôležitú úlohu pri riešení diferenciálnych rovníc. Napríklad jediné riešenie diferenciálnej rovnice

je funkcia

kde c je ľubovoľná konštanta.

1. Číslo e iracionálne a dokonca transcendentálne. Jeho transcendencia bola preukázaná až v roku 1873 Charlesom Hermitom. Predpokladá sa, že e- normálne číslo, to znamená, že pravdepodobnosť výskytu rôznych číslic v jeho zázname je rovnaká.
2. Číslo e je vypočítateľné (a teda aritmetické) číslo.

Najmä Eulerov vzorec

5. t. "Poissonov integrál" alebo "Gaussov integrál"

8. Prezentácia katalánčiny:

9. Reprezentácia prostredníctvom práce:

10. Cez čísla zvonov:

11. Miera iracionality čísla e je 2 (čo je najmenšia možná hodnota pre iracionálne čísla).

Dôkaz iracionality

Predstierajme to

kde a a b sú prirodzené čísla. Vzhľadom na túto rovnosť a vzhľadom na rozšírenie do série:

dostaneme nasledujúcu rovnosť:

Tento súčet predstavujeme ako súčet dvoch členov, z ktorých jeden je súčtom členov radu v termínoch n od 0 do a a druhý je súčet všetkých ostatných členov série:

Teraz prenesieme prvý súčet na ľavú stranu rovnice:

Vynásobte obe časti výslednej rovnosti o. Získajte

Teraz si zjednodušíme výsledný výraz:

Zvážte ľavú stranu získanej rovnosti. Je zrejmé, že číslo je celé číslo. Číslo je tiež celé číslo, pretože (z toho vyplýva, že všetky čísla formulára sú celé čísla). Ľavá strana výslednej rovnosti je teda celé číslo.

Prejdime teraz na pravú stranu. Táto suma vyzerá

Podľa Leibnizovho testu tento rad konverguje a jeho súčet S je reálne číslo uzavreté medzi prvým členom a súčtom prvých dvoch členov (so znamienkami), t.j.

Obe tieto čísla ležia medzi 0 a 1. Preto t.j. - pravá strana rovnosti - nemôže byť celé číslo. Dostali sme rozpor: celé číslo sa nemôže rovnať číslu, ktoré nie je celým číslom. Tento rozpor dokazuje, že počet e nie je racionálne, a preto je iracionálne.

Čo sú to iracionálne čísla? Prečo sa tak volajú? Kde sa používajú a aké sú? Len málokto dokáže na tieto otázky odpovedať bez váhania. Ale v skutočnosti sú odpovede na ne celkom jednoduché, hoci nie každý ich potrebuje a vo veľmi zriedkavých situáciách.

Esencia a označenie

Iracionálne čísla sú nekonečné neperiodické Potreba zaviesť tento pojem je daná tým, že na riešenie nových vznikajúcich problémov už predtým existujúce pojmy reálnych alebo reálnych, celých, prirodzených a racionálnych čísel nestačili. Napríklad, ak chcete vypočítať druhú mocninu 2, musíte použiť neopakujúce sa nekonečné desatinné miesta. Navyše mnohé z najjednoduchších rovníc tiež nemajú riešenie bez zavedenia konceptu iracionálneho čísla.

Táto množina je označená ako I. A ako je už jasné, tieto hodnoty nemožno reprezentovať ako jednoduchý zlomok, v čitateľovi ktorého bude celé číslo a v menovateli -

Prvýkrát, tak či onak, sa indickí matematici s týmto javom stretli v 7. storočí, keď sa zistilo, že odmocniny niektorých veličín nemožno výslovne uviesť. A prvý dôkaz existencie takýchto čísel sa pripisuje pytagorejskému Hippasovi, ktorý to urobil v procese štúdia rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Vážny príspevok k štúdiu tohto súboru urobili niektorí ďalší vedci, ktorí žili pred naším letopočtom. Zavedenie konceptu iracionálnych čísel si vyžiadalo revíziu existujúceho matematického systému, a preto sú také dôležité.

pôvod mena

Ak je pomer v latinčine „zlomok“, „pomer“, potom predpona „ir“
dáva slovu opačný význam. Názov množiny týchto čísel teda naznačuje, že ich nemožno korelovať s celým číslom alebo zlomkom, majú samostatné miesto. Vyplýva to z ich povahy.

Miesto vo všeobecnej klasifikácii

Iracionálne čísla patria spolu s racionálnymi do skupiny reálnych alebo reálnych čísel, ktoré sú zase zložité. Neexistujú žiadne podmnožiny, existujú však algebraické a transcendentálne odrody, o ktorých sa bude diskutovať nižšie.

Vlastnosti

Keďže iracionálne čísla sú súčasťou množiny reálnych čísel, vzťahujú sa na ne všetky ich vlastnosti, ktoré sa študujú v aritmetike (nazývajú sa aj základné algebraické zákony).

a + b = b + a (komutativita);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativita);

a + (-a) = 0 (existencia opačného čísla);

ab = ba (zákon o posune);

(ab)c = a(bc) (distributívnosť);

a(b+c) = ab + ac (distributívny zákon);

a x 1/a = 1 (existencia inverzného čísla);

Porovnanie sa vykonáva aj v súlade so všeobecnými zákonmi a zásadami:

Ak a > b a b > c, potom a > c (tranzitivita vzťahu) a. atď.

Samozrejme, všetky iracionálne čísla možno previesť pomocou základnej aritmetiky. Neexistujú na to žiadne špeciálne pravidlá.

Okrem toho sa pôsobenie axiómy Archimedes rozširuje na iracionálne čísla. Hovorí, že pre ľubovoľné dve veličiny a a b platí tvrdenie, že ak vezmeme a ako člen dostatočne veľakrát, je možné prekonať b.

Použitie

Napriek tomu, že v bežnom živote ich často nemusíte riešiť, iracionálne čísla sa nedajú spočítať. Je ich veľa, no takmer ich nevidno. Všade sme obklopení iracionálnymi číslami. Všetkým známym príkladom je číslo pi, ktoré sa rovná 3,1415926..., alebo e, ktoré je v podstate základom prirodzeného logaritmu, 2,718281828... V algebre, trigonometrii a geometrii sa musia používať stále. Mimochodom, slávny význam „zlatého rezu“, teda pomer väčšej časti k menšej a naopak, tiež

patrí do tejto sady. Menej známe "striebro" - tiež.

Na číselnej osi sú umiestnené veľmi husto, takže medzi akýmikoľvek dvoma veličinami súvisiacimi s množinou racionálnych sa nevyhnutne vyskytuje jedna iracionálna.

S touto súpravou je spojených ešte veľa nevyriešených problémov. Existujú také kritériá ako miera iracionality a normalita čísla. Matematici pokračujú v skúmaní najvýznamnejších príkladov ich príslušnosti k tej či onej skupine. Napríklad sa predpokladá, že e je normálne číslo, to znamená, že pravdepodobnosť, že sa v jeho položke objavia rôzne číslice, je rovnaká. Pokiaľ ide o pí, stále prebiehajú výskumy týkajúce sa toho. Miera iracionality je hodnota, ktorá ukazuje, ako dobre možno konkrétne číslo aproximovať racionálnymi číslami.

Algebraické a transcendentálne

Ako už bolo spomenuté, iracionálne čísla sú podmienene rozdelené na algebraické a transcendentálne. Podmienečne, pretože, prísne vzaté, táto klasifikácia sa používa na rozdelenie množiny C.

Pod týmto označením sa skrývajú komplexné čísla, ktoré zahŕňajú reálne alebo reálne čísla.

Algebraická hodnota je teda hodnota, ktorá je koreňom polynómu, ktorý nie je identicky rovný nule. Napríklad druhá odmocnina z 2 by bola v tejto kategórii, pretože je riešením rovnice x 2 - 2 = 0.

Všetky ostatné reálne čísla, ktoré nespĺňajú túto podmienku, sa nazývajú transcendentálne. K tejto odrode patria aj najznámejšie a už spomínané príklady - číslo pí a základ prirodzeného logaritmu e.

Zaujímavé je, že ani jedno, ani druhé nebolo pôvodne odvodené matematikmi v tejto funkcii, ich iracionalita a transcendencia bola preukázaná až mnoho rokov po ich objave. Pre pí bol dôkaz uvedený v roku 1882 a zjednodušený v roku 1894, čím sa ukončila 2500-ročná polemika o probléme kvadratúry kruhu. Stále to nie je úplne pochopené, takže moderní matematici majú na čom pracovať. Mimochodom, prvý dostatočne presný výpočet tejto hodnoty vykonal Archimedes. Pred ním boli všetky výpočty príliš približné.

Pre e (Eulerovo alebo Napierovo číslo) sa v roku 1873 našiel dôkaz o jeho transcendencii. Používa sa pri riešení logaritmických rovníc.

Medzi ďalšie príklady patria sínusové, kosínusové a tangensové hodnoty pre akékoľvek algebraické nenulové hodnoty.

Samotný pojem iracionálneho čísla je usporiadaný tak, že je definovaný prostredníctvom negácie vlastnosti „byť racionálny“, preto je tu najprirodzenejší dôkaz protirečením. Je však možné uviesť nasledujúce odôvodnenie.

Ako sa zásadne racionálne čísla líšia od iracionálnych? Obidve môžu byť aproximované racionálnymi číslami s akoukoľvek danou presnosťou, ale pre racionálne čísla existuje aproximácia s "nulovou" presnosťou (samotné číslo), ale pre iracionálne čísla to už neplatí. Skúsme sa s tým pohrať.

V prvom rade si všimneme taký jednoduchý fakt. Nech $%\alpha$%, $%\beta$% sú dve kladné čísla, ktoré sa navzájom aproximujú s presnosťou $%\varepsilon$%, t.j. $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Čo sa stane, ak otočíme čísla? Ako to zmení presnosť? Je ľahké vidieť, že $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta),$$, čo bude striktne menej ako $%\varepsilon$% pre $%\alpha\beta>1$%. Toto tvrdenie možno považovať za nezávislú lemu.

Teraz dajme $%x=\sqrt(2)$% a $%q\in(\mathbb Q)$% je racionálna aproximácia $%x$% s presnosťou $%\varepsilon$%. Vieme, že $%x>1$%, a čo sa týka aproximácie $%q$%, požadujeme, aby bola splnená nerovnosť $%q\ge1$%. Pre všetky čísla menšie ako $%1$% bude presnosť aproximácie horšia ako presnosť samotného $%1$%, a preto ich nebudeme brať do úvahy.

Pridajme $%1$% ku každému z čísel $%x$%, $%q$%. Je zrejmé, že presnosť aproximácie zostane rovnaká. Teraz máme čísla $%\alpha=x+1$% a $%\beta=q+1$%. Keď prejdeme na recipročné hodnoty a použijeme „lemu“, dôjdeme k záveru, že naša presnosť aproximácie sa zlepšila a je striktne nižšia ako $%\varepsilon$%. Požadovaná podmienka $%\alpha\beta>1$% je splnená aj s rezervou: v skutočnosti vieme, že $%\alpha>2$% a $%\beta\ge2$%, z čoho môžeme usúdiť, že presnosť sa zlepšila aspoň o $%4$% krát, tj nepresahuje $%\varepsilon/4$%.

A tu je hlavný bod: podľa podmienky $%x^2=2$%, teda $%x^2-1=1$%, čo znamená, že $%(x+1)(x- 1) =1$%, to znamená, že čísla $%x+1$% a $%x-1$% sú navzájom inverzné. A to znamená, že $%\alpha^(-1)=x-1$% bude aproximáciou k (racionálnemu) číslu $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% s presnosť striktne menšia ako $%\varepsilon$%. K týmto číslam zostáva pridať $%1$% a ukáže sa, že číslo $%x$%, teda $%\sqrt(2)$%, má novú racionálnu aproximáciu rovnajúcu sa $%\beta ^(- 1)+1$%, t.j. $%(q+2)/(q+1)$%, s "vylepšenou" presnosťou. Tým je dôkaz hotový, keďže racionálne čísla, ako sme uviedli vyššie, majú „absolútne presnú“ racionálnu aproximáciu s presnosťou $%\varepsilon=0$%, pričom presnosť v zásade nemožno zvýšiť. A podarilo sa nám to, čo hovorí o iracionalite nášho čísla.

V skutočnosti tento argument ukazuje, ako vytvoriť konkrétne racionálne aproximácie pre $%\sqrt(2)$% so stále sa zlepšujúcou presnosťou. Najprv musíme vziať aproximáciu $%q=1$% a potom použiť rovnaký náhradný vzorec: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Tento proces vytvára nasledovné: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ atď.

Príklad:
$4$ je racionálne číslo, pretože ho možno zapísať ako $\frac(4)(1)$ ;
$0.0157304$ je tiež racionálne, pretože sa dá napísať ako $\frac(157304)(10000000)$ ;
$0,333(3)…$ - a toto je racionálne číslo: môže byť reprezentované ako $\frac(1)(3)$ ;
$\sqrt(\frac(3)(12))$ je racionálne, pretože môže byť reprezentované ako $\frac(1)(2)$ . V skutočnosti môžeme vykonať reťaz transformácií $\sqrt(\frac(3)(12))$ $=$$\sqrt(\frac(1)(4))$ $= $ \ (\frac(1)(2)\)

iracionálne číslo je číslo, ktoré nemožno zapísať ako zlomok s celočíselným čitateľom a menovateľom.

Nemožné, pretože nekonečné zlomky, a to aj neperiodické. Neexistujú teda celé čísla, ktoré by po vzájomnom delení dali iracionálne číslo.

Príklad:
$\sqrt(2)≈1,414213562…$ je iracionálne číslo;
$π≈3,1415926… $ je iracionálne číslo;
$\log_(2)(5)≈2,321928…$ je iracionálne číslo.

Príklad (Úloha od OGE). Hodnota ktorého z výrazov je racionálne číslo?
1) $\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)$;
2)$(\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))$;
3) $\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))$;
4) $\sqrt(54)+3\sqrt(6)$.

Riešenie:

1) $\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)$ tiež nie je možné reprezentovať číslo ako zlomok s celými číslami , preto je číslo iracionálne.

2) $(\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5$ - nezostali žiadne korene, číslo sa dá ľahko znázorniť ako zlomok, napríklad $\frac(-5)(1)$ , takže je to racionálne.

3) $\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) $ - koreň nemožno extrahovať - číslo je iracionálne.

4) $\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)$ je tiež iracionálne.

S úsečkou jednotkovej dĺžky to vedeli už starovekí matematici: poznali napríklad nesúmerateľnosť uhlopriečky a strany štvorca, čo sa rovná iracionalite čísla.

Iracionálne sú:

Príklady dôkazu iracionality

Koreň z 2

Predpokladajme opak: je racionálny, to znamená, že je reprezentovaný ako neredukovateľný zlomok, kde a sú celé čísla. Vyrovnajme predpokladanú rovnosť:

Z toho vyplýva, že párne, teda párne a . Nech je to celé. Potom

Preto, preto, dokonca a . Získali sme to a sú párne, čo je v rozpore s neredukovateľnosťou zlomku . Pôvodný predpoklad bol teda nesprávny a ide o iracionálne číslo.

Binárny logaritmus čísla 3

Predpokladajme opak: je racionálny, to znamená, že je reprezentovaný ako zlomok, kde a sú celé čísla. Od , a môžu byť prijaté pozitívne. Potom

Ale to je jasné, je to zvláštne. Dostávame rozpor.

e

História

Koncept iracionálnych čísel implicitne prijali indickí matematici v 7. storočí pred Kristom, keď Manawa (asi 750 pred Kristom - asi 690 pred Kristom) zistil, že odmocniny niektorých prirodzených čísel, ako napríklad 2 a 61, nemožno explicitne vyjadriť.

Prvý dôkaz o existencii iracionálnych čísel sa zvyčajne pripisuje Hippasovi z Metapontu (asi 500 pred Kr.), Pytagorejcovi, ktorý tento dôkaz našiel štúdiom dĺžok strán pentagramu. V dobe Pytagorejcov sa verilo, že existuje jediná jednotka dĺžky, dostatočne malá a nedeliteľná, čo je celé číslo, koľkokrát je zahrnuté v akomkoľvek segmente. Hippus však tvrdil, že neexistuje jednotná jednotka dĺžky, pretože predpoklad jej existencie vedie k rozporu. Ukázal, že ak prepona rovnoramenného pravouhlého trojuholníka obsahuje celé číslo jednotkových segmentov, potom toto číslo musí byť párne aj nepárne zároveň. Dôkaz vyzeral takto:

Pomer dĺžky prepony k dĺžke ramena rovnoramenného pravouhlého trojuholníka možno vyjadriť ako a:b, kde a A b vybrané ako najmenšie možné.
Podľa Pytagorovej vety: a² = 2 b².
Pretože a² párne, a musí byť párne (keďže druhá mocnina nepárneho čísla by bola nepárna).
Pokiaľ ide o a:b neredukovateľné b musí byť nepárne.
Pretože a dokonca, označovať a = 2r.
Potom a² = 4 r² = 2 b².
b² = 2 r² teda b je teda párny b dokonca.
Je však dokázané, že b zvláštny. Rozpor.

Grécki matematici nazývali tento pomer nesúmerateľných veličín alogos(nevyjadrené), ale podľa legiend sa Hippusovi nevenovala náležitá úcta. Existuje legenda, že Hippus urobil objav na námornej plavbe a bol hodený cez palubu inými Pytagorejcami „za vytvorenie prvku vesmíru, čo popiera doktrínu, že všetky entity vo vesmíre možno redukovať na celé čísla a ich pomery. " Objav Hippusa predstavoval vážny problém pre pytagorejskú matematiku, pretože ničil základný predpoklad, že čísla a geometrické objekty sú jedno a neoddeliteľné.

pozri tiež

Poznámky

Numerické sústavy
Počítanie súpravy	celé čísla ()