Introducere

Există multe probleme matematice ale căror răspunsuri sunt unul sau mai multe numere întregi. Ca exemplu, putem cita patru probleme clasice rezolvate în numere întregi - problema cântăririi, problema partiționării, problema schimbului și problema celor patru pătrați. Este de remarcat faptul că, în ciuda formulării destul de simple a acestor probleme, ele sunt rezolvate într-o manieră foarte complexă, folosind aparatul de analiză matematică și combinatorică. Ideile pentru rezolvarea primelor două probleme aparțin matematicianului elvețian Leonhard Euler (1707–1783). Cu toate acestea, cel mai adesea puteți găsi probleme în care se propune rezolvarea unei ecuații în numere întregi (sau în numere naturale). Unele dintre aceste ecuații pot fi rezolvate destul de ușor prin metoda de selecție, dar apare o problemă serioasă - este necesar să se demonstreze că toate soluțiile unei ecuații date sunt epuizate de cele selectate (adică, alte soluții decât cele selectate nu exista). Acest lucru poate necesita o mare varietate de tehnici, atât standard, cât și artificiale. O analiză a literaturii matematice suplimentare arată că astfel de sarcini se găsesc destul de des în olimpiadele de matematică de diferiți ani și la diferite niveluri, precum și în sarcina 19 a examenului unificat de stat la matematică (nivel de profil). În același timp, acest subiect practic nu este luat în considerare în cursul de matematică școlar, astfel încât școlarii, care participă la olimpiade de matematică sau care susțin examenul de stat unificat de specialitate la matematică, se confruntă de obicei cu dificultăți semnificative în îndeplinirea acestui tip de sarcină. În acest sens, este recomandabil să evidențiem un sistem de metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor în numere întregi, mai ales că această problemă nu este discutată în mod explicit în literatura matematică studiată. Problema descrisă a determinat scopul acestei lucrări: evidențierea principalelor metode de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi. Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:

1) Analizează materialele olimpiadei, precum și materialele de la examenul unificat de stat de specialitate la matematică;

2) Identificați metode de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi și evidențiați-le pe cele predominante;

3) Ilustrați rezultatele obținute cu exemple;

4) Creați mai multe sarcini de instruire pe această temă;

5) Folosind sarcinile elaborate, determinați gradul de pregătire al elevilor de clasa a IX-a ai Școlii Gimnaziale MBOU Nr. 59 pentru a rezolva astfel de probleme și trage concluzii practice.

Partea principală

O analiză a diverselor literaturi matematice arată că dintre metodele de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi pot fi identificate ca principale următoarele:

1. Reprezentarea unei ecuații sub forma unui produs al mai multor factori egali cu un număr întreg;
2. Reprezentarea unei ecuații ca sumă de pătrate a mai multor termeni egali cu un număr întreg;
3. Utilizarea proprietăților de divizibilitate, factoriali și pătrate exacte;
4. Utilizarea teoremelor mici și mari ale lui Fermat;
5. Metoda coborârii infinite;
6. Exprimarea unui necunoscut prin altul;
7. Rezolvarea ecuației ca o ecuație pătratică în raport cu una dintre necunoscute;
8. Luarea în considerare a resturilor din împărțirea ambelor părți ale unei ecuații la un anumit număr.

Trebuie să clarificăm imediat ce înțelegem prin metodele de bază de rezolvare a ecuațiilor. Cele mai frecvent utilizate metode le vom numi principalele, ceea ce, desigur, nu exclude posibilitatea de a folosi periodic noi tehnici „neașteptate”. În plus, în marea majoritate a cazurilor, se folosesc diversele lor combinații, adică se combină mai multe metode.
Ca exemplu de combinație de metode, luați în considerare ecuația propusă la Examenul de stat unificat la matematică din 2013 (sarcina C6).

Sarcină. Rezolvați ecuația în numere naturale n! + 5n + 13 = k 2 .

Soluţie. Rețineți că se termină cu zero la n> 4. În plus, pentru orice n ∈ N se termină fie cu numărul 0, fie cu numărul 5. Prin urmare, pentru n> 4 partea stângă a ecuației se termină fie cu numărul 3, fie cu numărul 8. Dar este, de asemenea, egală cu un pătrat exact, care nu se poate termina cu aceste numere. Prin urmare, trebuie să parcurgeți doar patru opțiuni: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.

Aceasta înseamnă că ecuația are o soluție naturală unică n = 2, k = 5.

Această problemă a folosit proprietățile pătratelor perfecte, proprietățile factoriale și restul împărțirii ambelor părți ale ecuației la 10.

Sarcina 1. n 2 - 4y! = 3.

Soluţie. Mai întâi rescriem ecuația inițială în forma n 2 = 4y! + 3. Dacă te uiți la această relație din punctul de vedere al teoremei despre împărțirea cu rest, vei observa că pătratul exact din partea stângă a ecuației dă un rest de 3 când este împărțit la 4, ceea ce este imposibil. . Într-adevăr, orice număr întreg poate fi reprezentat în una dintre următoarele patru forme:

Astfel, un pătrat exact când este împărțit la 4 lasă un rest fie 0, fie 1. În consecință, ecuația originală nu are soluții.

Idee cheie– aplicarea proprietăților pătratelor exacte.

Sarcina 2. 8z 2 = (t!) 2 + 2.

Soluţie. Inspecția directă arată că t= 0 și t= 1 nu sunt soluții ale ecuației. Dacă t> 1, atunci t! este un număr par, adică poate fi reprezentat ca t! = 2s. În acest caz, ecuația poate fi transformată în forma 4 z 2 = 2s 2 + 1. Cu toate acestea, ecuația rezultată în mod evident nu are soluții, deoarece partea stângă conține un număr par, iar partea dreaptă conține un număr impar.

Idee cheie– aplicarea proprietăților factorilor.

Sarcina 3. Rezolvați ecuația x 2 + y 2 – 2x + 6y + 5 = 0 în numere întregi.

Soluţie. Ecuația originală poate fi rescrisă după cum urmează: ( x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.

Din condiția ca ( x – 1), (y+ 3) – numere întregi. Prin urmare, această ecuație este echivalentă cu următoarea mulțime:

Acum putem nota toate soluțiile întregi posibile ale ecuației.

Sarcina 4. Rezolvați ecuația în numere întregi zt + t – 2z = 7.

Soluţie. Ecuația inițială poate fi transformată în forma ( z + 1) (t– 2) = 5. Numere ( z + 1), (t– 2) sunt numere întregi, deci au loc următoarele opțiuni:

Deci, ecuația are exact patru soluții întregi.

Idee cheie– reprezentarea unei ecuații sub forma unui produs egal cu un număr întreg.

Sarcina 5. Rezolvați ecuația în numere întregi n(n + 1) = (2k+ 1)‼

Soluţie. Numărul (2 k+ 1)‼ impar pentru toate valorile nenegative k conform definiției (pentru negativ k nu este definit deloc). Pe de altă parte, este egal cu numărul n(n+ 1), care este par pentru toate valorile întregi k. Contradicţie.

Idee cheie– utilizarea părților pare/impare ale ecuației.

Sarcina 6. Rezolvați ecuația în numere întregi xy + x + 2y = 1.

Soluţie. Prin transformări, ecuația poate fi redusă la următoarele:

Această transformare nu a schimbat OD a necunoscutelor incluse în ecuație, de la înlocuire y= –1 în ecuația originală duce la egalitatea absurdă –2 = 1. Conform condiției, x– un număr întreg. Cu alte cuvinte, tot un număr întreg. Dar atunci numărul trebuie să fie un număr întreg. O fracție este un număr întreg dacă și numai dacă numărătorul este divizibil cu numitorul. Divizori ai numărului 3: 1,3 –1, –3. Prin urmare, pentru necunoscut, sunt posibile patru cazuri: y = 0, y = 2, y= –2, y = –4. Acum putem calcula valorile corespunzătoare ale necunoscutului x. Deci, ecuația are exact patru soluții întregi: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).

Idee cheie– exprimarea unui necunoscut prin altul.

Sarcina 7. m= n 2 + 2.

Soluţie. Dacă m= 0, atunci ecuația ia forma n 2 = –1. Nu are solutii complete. Dacă m < 0, то левая часть уравнения, а значит, и n, nu va fi un număr întreg. Mijloace, m> 0. Atunci partea dreaptă a ecuației (precum și cea stângă) va fi un multiplu de 5. Dar în acest caz n 2 atunci când este împărțit la 5 ar trebui să dea un rest de 3, ceea ce este imposibil (acest lucru este dovedit prin metoda de enumerare a resturilor, care a fost conturată la rezolvarea problemei 1). Prin urmare, această ecuație nu are soluții întregi.

Idee cheie– găsirea resturilor din împărțirea ambelor părți ale ecuației la un număr natural.

Sarcina 8. Rezolvați ecuația ( x!) 4 + (y – 1) 4 = (z + 1) 4 .

Soluţie. Rețineți că, deoarece exponenții sunt pare, ecuația este echivalentă cu următoarea: ( x!) 4 + |y – 1| 4 = |z+ 1| 4. Apoi x!, |y – 1|, |z+ 1| – numere naturale. Cu toate acestea, conform ultimei teoreme a lui Fermat, aceste numere naturale nu pot satisface ecuația originală. Astfel, ecuația este de nerezolvat în numere întregi.

Idee cheie– utilizarea ultimei teoreme a lui Fermat.

Sarcina 9. Rezolvați ecuația în numere întregi x 2 + 4y 2 = 16xy.

Soluţie. Din condiţiile problemei rezultă că x– un număr par. Apoi x 2 = 4x 1 2 . Ecuația este transformată în formă x 1 2 + y 2 = 8x 1 y. Rezultă că numerele x 1 , y au aceeași paritate. Să luăm în considerare două cazuri.

1 caz. Lasă x 1 , y– numere impare. Apoi x 1 = 2t + 1, y = 2s+ 1. Înlocuind aceste expresii în ecuație, obținem:

Să efectuăm transformările corespunzătoare:

Reducând ambele părți ale ecuației rezultate cu 2, obținem?

Partea stângă conține un număr impar, iar partea dreaptă conține un număr par. Contradicţie. Aceasta înseamnă că 1 caz este imposibil.

2 caz. Lasă x 1 , y– numere pare. Apoi x 1 = 2x 2 + 1, y = 2y 1. Înlocuind aceste valori în ecuație, obținem:

Astfel, ecuația rezultată este exact aceeași ca în pasul anterior. Se studiază într-un mod similar, așa că la pasul următor obținem ecuația etc. De fapt, efectuând aceste transformări pe baza parității necunoscutelor, obținem următoarele expansiuni: . Dar amploarea nŞi k nu sunt limitate, deoarece la orice pas (cu un număr arbitrar de mare) vom obține o ecuație echivalentă cu cea anterioară. Adică, acest proces nu se poate opri. Cu alte cuvinte, numerele x, y sunt divizibile cu 2 de nenumărate ori Dar acest lucru se întâmplă numai dacă x = y= 0. Deci, ecuația are exact o soluție întreagă (0; 0).

Idee cheie– utilizarea metodei coborârii infinite.

Problema 10. Rezolvați ecuația 5 în numere întregi x 2 – 3xy + y 2 = 4.

Soluţie. Să rescriem această ecuație sub forma 5 x 2 – (3x)y + (y 2 – 4) = 0. Poate fi considerat ca un pătrat relativ la necunoscut x. Să calculăm discriminantul acestei ecuații:

Pentru ca ecuația să aibă soluții este necesar și suficient ca , adică de aici să avem următoarele posibilități pentru y: y = 0, y = 1, y = –1, y= 2, y= –2.

Deci, ecuația are exact 2 soluții întregi: (0;2), (0;–2).

Idee cheie– considerarea ecuației ca pătratică în raport cu una dintre necunoscute.

Problemele compilate de autor au fost folosite pentru a realiza experimentul, care a constat în următoarele. Tuturor elevilor de clasa a IX-a li s-au oferit sarcini dezvoltate pentru a identifica nivelul de pregătire al copiilor pe această temă. Fiecare elev a trebuit să propună o metodă de găsire a soluțiilor întregi ale ecuațiilor. La experiment au participat 64 de elevi. Rezultatele obţinute sunt prezentate în Tabelul 1.

TABELUL 1

Numărul postului	Numărul de studenți care au finalizat sarcina (în procente)

Acești indicatori indică faptul că nivelul de pregătire al elevilor de clasa a IX-a pe această temă este foarte scăzut. Prin urmare, pare oportună organizarea unui curs special „Ecuații în numere întregi”, care va avea ca scop îmbunătățirea cunoștințelor studenților în acest domeniu. În primul rând, aceștia sunt studenți care participă sistematic la competiții și olimpiade de matematică și, de asemenea, intenționează să susțină examenul de stat unificat de specialitate la matematică.

Concluzii

În timpul acestei lucrări:

1) Au fost analizate materialele olimpiadei, precum și materialele examenului unificat de stat la matematică;

2) Se indică metodele de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi și se evidențiază cele predominante;

3) Rezultatele obţinute sunt ilustrate cu exemple;

4) Au fost întocmite sarcini de pregătire pentru elevii clasei a IX-a;

5) S-a realizat un experiment pentru a identifica nivelul de pregătire al elevilor de clasa a IX-a pe această temă;

6) Au fost analizate rezultatele experimentului și s-au tras concluzii despre oportunitatea studierii ecuațiilor în numere întregi într-un curs special de matematică.

Rezultatele obținute în cursul acestui studiu pot fi utilizate în pregătirea pentru olimpiadele de matematică, examenul de stat unificat la matematică, precum și la desfășurarea orelor într-un cerc matematic.

Referințe

1. Gelfond A.O. Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi. – M.: Nauka, 1983 – 64 p.

2. Alfutova N.B. Ustinov A.V. Algebră și teoria numerelor. Culegere de probleme pentru școli de matematică - M.: MTsNMO, 2009 - 336 p.

3. Galperin G.A., Tolpygo A.K. Olimpiadele de matematică de la Moscova: carte. pentru elevi / Ed. UN. Kolmogorov. – M.: Educație, 1986. – 303 p., ilus.

4. Dalinger V.A. Probleme în numere întregi – Omsk: Amphora, 2010 – 132 p.

5. Gastev Yu A., Smolyansky M. L. Câteva cuvinte despre Ultima Teoremă a lui Fermat // Kvant, august 1972.

Glosar

Metoda coborârii infinite– o metodă elaborată de matematicianul francez P. Fermat (1601–1665), care constă în obținerea unei contradicții prin construirea unei secvențe infinit descrescătoare de numere naturale. O variație a metodei de probă prin contradicție.

Pătrat exact (complet).- pătratul unui număr întreg.

Factorial al unui număr natural n - produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n inclusiv.

Textul lucrării este postat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

Introducere.

Obiect de studiu.

Cercetarea se referă la una dintre cele mai interesante secțiuni ale teoriei numerelor - rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Subiect de cercetare.

Rezolvarea în ecuații algebrice întregi cu coeficienți întregi și mai mult de o necunoscută este una dintre cele mai dificile și străvechi probleme de matematică și nu este suficient prezentată la cursul de matematică școlar. În lucrarea mea voi prezenta o analiză destul de completă a ecuațiilor în numere întregi, o clasificare a acestor ecuații prin metode de rezolvare a acestora, o descriere a algoritmilor de rezolvare a acestora, precum și exemple practice de utilizare a fiecărei metode pentru rezolvarea ecuațiilor în numere întregi. .

Ţintă.

Aflați cum să rezolvați ecuații în numere întregi.

Sarcini:

Studiază literatură educațională și de referință;

Colectați material teoretic despre cum să rezolvați ecuații;

Analizați algoritmi de rezolvare a ecuațiilor de acest tip;

Descrieți soluții;

Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor folosind aceste metode.

Ipoteză:

După ce am întâlnit ecuații în numere întregi în sarcinile olimpiadei, am presupus că dificultățile în rezolvarea lor se datorau faptului că nu toate metodele de rezolvare a acestora îmi erau cunoscute.

Relevanţă:

În timp ce rezolvăm versiuni eșantioane ale sarcinilor Unified State Exam, am observat că există adesea sarcini pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul întâi și al doilea în numere întregi. În plus, sarcinile olimpiadei la diferite niveluri conțin și ecuații în numere întregi sau probleme care sunt rezolvate folosind capacitatea de a rezolva ecuații în numere întregi. Importanța de a ști cum să rezolv ecuații în numere întregi determină relevanța cercetării mele.

Metode de cercetare

Analiza teoretică și generalizarea informațiilor din literatura științifică despre ecuații în numere întregi.

Clasificarea ecuațiilor în numere întregi după metode de rezolvare a acestora.

Analiza și generalizarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi.

Rezultatele cercetării

Lucrarea descrie metode de rezolvare a ecuațiilor, ia în considerare materialul teoretic al teoremei lui Fermat, al teoremei lui Pitagora și al algoritmului lui Euclid și prezintă exemple de soluții la probleme și ecuații de diferite niveluri de complexitate.

2. Istoricul ecuațiilor în numere întregi

Diophantus a fost un om de știință și algebrist al Greciei Antice, conform unor surse, a trăit până în 364 d.Hr.; e. S-a specializat în rezolvarea problemelor în numere întregi. De aici provine denumirea de ecuații diofantine. Cea mai cunoscută problemă, rezolvată de Diophantus, este problema „descompunerii în două pătrate”. Echivalentul său este binecunoscuta teoremă a lui Pitagora. Viața și opera lui Diofant s-au desfășurat în Alexandria, a adunat și a rezolvat probleme cunoscute și a venit cu altele noi. Mai târziu le-a combinat într-o mare lucrare numită Aritmetică. Din cele treisprezece cărți care au alcătuit Aritmetica, doar șase au supraviețuit până în Evul Mediu și au devenit o sursă de inspirație pentru matematicienii Renașterii. Aritmetica lui Diophantus este o colecție de probleme, fiecare incluzând o soluție și explicația necesară. Colecția include o varietate de probleme, iar soluțiile lor sunt adesea extrem de ingenioase. Diophantus este interesat doar de numere întregi pozitive și soluții raționale. El numește deciziile iraționale „imposibile” și selectează cu atenție coeficienții astfel încât să se obțină soluțiile pozitive, raționale dorite.

Teorema lui Fermat este folosită pentru a rezolva ecuații în numere întregi. Istoria a cărei dovezi este destul de interesantă. Mulți matematicieni eminenti au lucrat la o demonstrație completă a Marii Teoreme, iar aceste eforturi au condus la multe dintre rezultatele teoriei numerelor moderne. Se crede că teorema ocupă primul loc în ceea ce privește numărul de demonstrații incorecte.

Remarcabilul matematician francez Pierre Fermat a afirmat că ecuația pentru întregul n ≥ 3 nu are soluții în numere întregi pozitive x, y, z (xyz = 0 este exclus de pozitivitatea lui x, y, z. Pentru cazul n = 3, aceasta Teorema a fost încercată în secolul al X-lea, demonstrată de matematicianul din Asia Centrală al-Khojandi, dar demonstrația sa nu a fost păstrată Ceva mai târziu, Fermat însuși a publicat o dovadă a unui caz special pentru n = 4.

Euler în 1770 a demonstrat teorema pentru cazul n = 3, Dirichlet și Legendre în 1825 - pentru n = 5, Lame - pentru n = 7. Kummer a arătat că teorema este adevărată pentru toate numerele prime n mai mici de 100, cu posibila excepție. din 37, 59, 67.

În anii 1980, a apărut o nouă abordare pentru rezolvarea problemei. Din conjectura lui Mordell, dovedită de Faltings în 1983, rezultă că ecuația

pentru n > 3 poate avea doar un număr finit de soluții relativ simple.

Ultimul, dar cel mai important, pas în demonstrarea teoremei a fost făcut în septembrie 1994 de Wiles. Dovada sa de 130 de pagini a fost publicată în revista Annals of Mathematics. Dovada se bazează pe presupunerea matematicianului german Gerhard Frey că Ultima Teoremă a lui Fermat este o consecință a conjecturei Taniyama-Shimura (această presupunere a fost dovedită de Ken Ribet cu participarea lui J.-P. Serres a publicat prima). versiunea dovezii sale în 1993 (după 7 ani de muncă grea), dar în curând a apărut un decalaj serios; Cu ajutorul lui Richard Lawrence Taylor, decalajul a fost rapid închis. Versiunea finală a fost publicată în 1995. 15 martie 2016 Andrew Wiles primește Premiul Abel. În prezent, prima este de 6 milioane de coroane norvegiene, adică aproximativ 50 de milioane de ruble. Potrivit lui Wiles, premiul a fost o „surpriză completă” pentru el.

3. Ecuații liniare în numere întregi

Ecuațiile liniare sunt cele mai simple dintre toate ecuațiile diofante.

O ecuație de forma ax=b, unde a și b sunt niște numere și x este o variabilă necunoscută, se numește ecuație liniară cu o necunoscută. Aici trebuie să găsim doar soluții întregi ale ecuației. Se poate observa că dacă a ≠ 0, atunci ecuația va avea o soluție întreagă numai dacă b este complet divizibil cu a și această soluție este x = b/ph. Dacă a=0, atunci ecuația va avea o soluție întreagă când b=0 și în acest caz x este orice număr.

deoarece 12 este divizibil cu 4, atunci

Deoarece a=o și b=0, atunci x este orice număr

Deoarece 7 nu este complet divizibil cu 10, atunci nu există soluții.

4. Metoda de enumerare a opțiunilor.

În metoda de enumerare a opțiunilor, este necesar să se țină cont de semnele de divizibilitate a numerelor și să se ia în considerare toate opțiunile posibile pentru egalitatea enumerării finale. Această metodă poate fi folosită pentru a rezolva aceste probleme:

№1 Aflați mulțimea tuturor perechilor de numere naturale care sunt o soluție a ecuației 49x+69y=602

Exprimăm din ecuația x =,

Deoarece x și y sunt numere naturale, atunci x = ≥ 1, înmulțiți întreaga ecuație cu 49 pentru a scăpa de numitor:

Mutați 602 la stânga:

51y ≤ 553, exprimă y, y= 10

O căutare completă a opțiunilor arată că soluțiile naturale ale ecuației sunt x=5, y=7.

Răspuns: (5.7).-

№2 Rezolvați problema

Din numerele 2, 4, 7, ar trebui să creați un număr din trei cifre în care niciun număr nu poate fi repetat de mai mult de două ori.

Să găsim numărul tuturor numerelor din trei cifre care încep cu numărul 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - sunt 8 dintre ele.

În mod similar, găsim toate numerele din trei cifre care încep cu numerele 4 și 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - există și câte 8 numere fiecare. Este doar 24.

Răspuns: 24.

5. Fracție continuă și algoritm euclidian

O fracție continuă este o expresie a unei fracții obișnuite sub forma

unde q 1 este un număr întreg și q 2, ..., qn sunt numere naturale. Această expresie se numește fracție continuă (finită continuă). Există fracții continue finite și infinite.

Pentru numerele raționale, fracția continuă are o formă finită. În plus, șirul a i este exact șirul de câte care se obține prin aplicarea algoritmului euclidian la numărătorul și numitorul unei fracții.

Rezolvând ecuații cu fracții continue, am compilat un algoritm general pentru această metodă de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi.

Algoritm

1) Compuneți raportul coeficienților pentru necunoscute sub forma unei fracții

2) Convertiți expresia într-o fracție improprie

3) Selectați întreaga parte a fracției improprie

4) Înlocuiți o fracție adecvată cu o fracție egală

5) Faceți 3.4 cu fracția improprie rezultată la numitor

6) Repetați 5 până la rezultatul final

7) În expresia rezultată, aruncați ultima verigă a fracției continuate, transformați noua fracție continuată rezultată într-una simplă și scădeți-o din fracția inițială.

Exemplu№1 Rezolvați ecuația 127x- 52y+ 1 = 0 în numere întregi

Să transformăm raportul coeficienților pentru necunoscute.

În primul rând, să selectăm întreaga parte a fracției improprii; = 2 +

Inlocuim fractia potrivita cu o fractiune egala.

De la = 2+

Să facem aceleași transformări cu fracția improprie obținută la numitor.

Acum fracția inițială va lua forma: . Repetând același raționament pentru fracția pe care o obținem Izolând întreaga parte a fracției improprie, ajungem la rezultatul final:

Am obținut o expresie numită fracție continuă finită. După ce am aruncat ultima verigă a acestei fracții continuate - o cincime, transformăm noua fracție continuă rezultată într-una simplă și o scădem din fracția inițială:

Să reducem expresia rezultată la un numitor comun și să o aruncăm.

De unde provine 127∙9-52∙22+1=0. Dintr-o comparație a egalității rezultate cu ecuația 127x- 52y+1 = 0 rezultă că atunci x= 9, y= 22 este soluția ecuației inițiale, iar conform teoremei, toate soluțiile acesteia vor fi conținute în progresii x= 9+ 52t, y= 22+ 127t , unde t=(0; ±1; ±2….. Rezultatul obţinut sugerează că, în cazul general, să se găsească o soluţie la ecuaţia ax+by+). c=0, este necesar să se extindă raportul coeficienților necunoscutelor într-o fracție continuă, să se renunțe la ultima ei legătură și să se efectueze calcule similare cu cele date mai sus.

Pentru a demonstra această presupunere, vom avea nevoie de unele proprietăți ale fracțiilor continue.

Să considerăm o fracție ireductibilă. Să notăm cu q 1 câtul și cu r 2 restul împărțirii lui a la b. Atunci obținem:

Atunci b=q 2 r 2 +r 3 ,

Exact la fel

r2 =q3r3 +r4,;

r3 =q4r4+r5,;

………………………………..

Mărimile q 1, q 2,... se numesc câte incomplete. Procesul de mai sus de formare a coeficientilor incompleti se numeste Algoritmul euclidian. Resturile din diviziunea r 2 , r 3 ,... satisfac inegalitățile

aceste. formează o serie de numere nenegative descrescătoare.

Exemplul nr. 2 Rezolvați ecuația 170x+190y=3000 în numere întregi

După reducerea cu 10, ecuația arată astfel:

Pentru a găsi o anumită soluție, folosim descompunerea unei fracții într-o fracție continuă

Prin prăbușirea penultimei fracții care o potrivește într-o fracție obișnuită

O soluție specială a acestei ecuații are forma

X 0 = (-1)4300∙9=2700, y 0 =(-1)5300∙8=-2400,

iar cea generală este dată de formula

x=2700-19k, y= -2400+17k.

din care obținem condiția pentru parametrul k

Aceste. k=142, x=2, y=14. .

6. Metoda factorizării

Metoda de enumerare a opțiunilor este o metodă incomodă, deoarece există cazuri în care este imposibil să se găsească soluții complete prin enumerare, deoarece există un număr infinit de astfel de soluții. Metoda factorizării este o tehnică foarte interesantă și se regăsește atât în ​​matematica elementară, cât și în cea superioară.

Esența este transformarea identității. Sensul oricărei transformări identice este de a scrie o expresie într-o formă diferită, păstrându-i în același timp esența. Să ne uităm la exemple de utilizare a acestei metode.

№1 Rezolvați ecuația în numere întregi y 3 -x 3 = 91.

Folosind formule de înmulțire prescurtate, factorizăm partea dreaptă a ecuației:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91

Notăm toți divizorii numărului 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

Observăm că pentru orice întreg x și y numărul

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

prin urmare, ambii factori din partea stângă a ecuației trebuie să fie pozitivi. Atunci ecuația inițială este echivalentă cu un set de sisteme de ecuații:

După ce am rezolvat sistemele, selectăm acele rădăcini care sunt numere întregi.

Obținem soluții la ecuația inițială: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).

Răspuns: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 Aflați toate perechile de numere naturale care satisfac ecuația x 2 -y 2 = 69

Să factorizăm partea stângă a ecuației și să scriem ecuația sub forma

Deoarece Divizorii numărului 69 sunt numerele 1, 3, 23 și 69, apoi 69 se poate obține în două moduri: 69=1·69 și 69=3·23. Având în vedere că x-y > 0, obținem două sisteme de ecuații, rezolvând care putem găsi numerele necesare:

Exprimând o variabilă și substituind-o în a doua ecuație, găsim rădăcinile ecuațiilor Primul sistem are o soluție x=35;y=34, iar al doilea sistem are o soluție x=13, y=10.

Răspuns: (35; 34), (13; 10).

№3 Rezolvați ecuația x + y = xy în numere întregi:

Să scriem ecuația sub forma

Să factorizăm partea stângă a ecuației. Primim

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 1 numai în două cazuri: dacă ambele sunt egale cu 1 sau -1. Obținem două sisteme:

Primul sistem are o soluție x=2, y=2, iar al doilea sistem are o soluție x=0, y=0 Răspuns: (2; 2), (0; 0).

№4 Demonstrați că ecuația (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 nu are soluții în numere întregi.

Să factorizăm partea stângă a ecuației și să împărțim ambele părți ale ecuației la 3, rezultând următoarea ecuație:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

Divizorii lui 10 sunt numerele ±1, ±2, ±5, ±10. De asemenea, rețineți că suma factorilor din partea stângă a ecuației este egală cu 0. Este ușor de verificat că suma oricăror trei numere din mulțimea divizorilor numărului 10, dând produsul 10, nu va fi egală. 0. În consecință, ecuația inițială nu are soluții în numere întregi.

7. Metoda reziduală

Sarcina principală a metodei este de a găsi restul la împărțirea ambelor părți ale ecuației la un număr întreg, pe baza rezultatelor obținute. Adesea informațiile obținute reduc posibilitățile de seturi de soluții pentru ecuație. Să ne uităm la exemple:

№1 Demonstrați că ecuația x 2 = 3y + 2 nu are soluții întregi.

Dovada.

Luați în considerare cazul în care x, y ∈ N. Luați în considerare restul când ambele părți sunt împărțite la 3. Partea dreaptă a ecuației dă un rest de 2 când este împărțit la 3 pentru orice valoare a lui y. Latura stângă, care este pătratul unui număr natural, atunci când este împărțită la 3, dă întotdeauna un rest de 0 sau 1. Pe baza acestui fapt, constatăm că nu există o soluție pentru această ecuație în numerele naturale.

Să luăm în considerare cazul când unul dintre numere este 0. Atunci, evident, nu există soluții în numere întregi.

Cazul în care y este un întreg negativ nu are soluții, deoarece partea dreaptă va fi negativă, iar partea stângă va fi pozitivă.

Cazul în care x este un întreg negativ, de asemenea, nu are soluții, deoarece se încadrează într-unul dintre cazurile considerate anterior datorită faptului că (-x) 2 = (x) 2.

Se pare că ecuația indicată nu are soluții în numere întregi, ceea ce trebuia demonstrat.

№2 Rezolvați cu numere întregi 3 X = 1 + y 2 .

Nu este greu de observat că (0; 0) este soluția acestei ecuații. Rămâne de demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini întregi.

Să luăm în considerare cazurile:

1) Dacă x∈N, y∈N, atunci 3 este divizibil cu trei fără rest, iar 1 + y 2 când este împărțit la 3 dă

restul este fie 1, fie 2. Prin urmare, egalitate pentru natural

valorile x, y sunt imposibile.

2) Dacă x este un număr întreg negativ, y∈Z, atunci 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

egalitatea este de asemenea imposibilă. Prin urmare, (0; 0) este singurul

Răspuns: (0; 0).

№3 Rezolvați ecuația 2x 2 -2xy+9x+y=2 în numere întregi:

Să exprimăm din ecuație necunoscuta care este inclusă în ea doar până la primul grad, adică variabila y:

2x 2 +9x-2=2xy-y, unde de la

Să selectăm întreaga parte a unei fracții folosind regula împărțirii unui polinom la un polinom la un „unghi”. Primim:

Evident, diferența 2x-1 poate lua doar valorile -3, -1, 1 și 3.

Rămâne de parcurs aceste patru cazuri, în urma cărora obținem soluțiile: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Răspuns: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. Un exemplu de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile în numere întregi ca pătrat în raport cu una dintre variabile

№1 Rezolvați ecuația 5x în numere întregi 2 +5у 2 + 8xy+2y-2x +2=0

Această ecuație poate fi rezolvată prin factorizare, dar această metodă, atunci când este aplicată acestei ecuații, este destul de intensivă în muncă. Să luăm în considerare un mod mai rațional.

Să scriem ecuația în formă pătratică în raport cu variabila x:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Îi găsim rădăcinile.

Această ecuație are o soluție dacă și numai dacă discriminantul

din această ecuație este egală cu zero, adică - 9(y+1) 2 =0, deci y= - 1.

Dacă y= -1, atunci x= 1.

Răspuns: (1; - 1).

9.Un exemplu de rezolvare a problemelor folosind ecuații în numere întregi.

№ 1. Rezolvați ecuația în numere naturale : unde n>m

Să exprimăm variabila n prin variabila m:

Să găsim divizorii numărului 625: acesta este 1; 5; 25; 125; 625

1) dacă m-25 =1, atunci m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, apoi m=30, n=150

3) m-25 =25, apoi m=50, n=50

4) m-25 =125, apoi m=150, n=30

5) m-25 =625, apoi m=650, n=26

Răspuns: m=150, n=30

№ 2. Rezolvați ecuația în numere naturale: mn +25 = 4m

Rezolvare: mn +25 = 4m

1) exprimați variabila 4m în termeni de n:

2) găsiți divizorii naturali ai numărului 25: acesta este 1; 5; 25

dacă 4-n =1, atunci n=3, m=25

4-n=5, apoi n=-1, m=5; 4-n =25, apoi n=-21, m=1 (rădăcini străine)

Răspuns: (25;3)

Pe lângă sarcinile de rezolvare a unei ecuații în numere întregi, există sarcini pentru a demonstra faptul că ecuația nu are rădăcini întregi.

Când rezolvați astfel de probleme, este necesar să vă amintiți următoarele proprietăți de divizibilitate:

1) Dacă n Z; n este divizibil cu 2, atunci n = 2k, k ∈ Z.

2) Dacă n ∈ Z; n nu este divizibil cu 2, atunci n = 2k+1, k ∈ Z.

3) Dacă n ∈ Z; n este divizibil cu 3, atunci n = 3k, k ∈ Z.

4) Dacă n ∈ Z; n nu este divizibil cu 3, atunci n = 3k±1, k ∈ Z.

5) Dacă n ∈ Z; n nu este divizibil cu 4, atunci n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Dacă n ∈ Z; n(n+1) este divizibil cu 2, atunci n (n+1)(n+2) este divizibil cu 2;3;6.

7) n; n+1 sunt relativ prime.

№3 Demonstrați că ecuația x 2 - 3y = 17 nu are soluții întregi.

Dovada:

Fie x; y - soluții ale ecuației

x 2 = 3(y+6)-1 Deoarece. y ∈ Z atunci y+6 ∈ Z, ceea ce înseamnă că 3(y+6) este divizibil cu 3, prin urmare, 3(y+6)-1 nu este divizibil cu 3, prin urmare, x 2 nu este divizibil cu 3, prin urmare , x nu este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă x = 3k±1, k ∈ Z.

Să înlocuim acest lucru în ecuația originală.

Avem o contradicție. Aceasta înseamnă că ecuația nu are soluții întregi, ceea ce trebuia demonstrat.

10.Pica formula

Formula Pieck a fost descoperită de matematicianul austriac Georg Pieck în 1899. Formula este legată de ecuații în numere întregi, prin aceea că numai nodurile întregi sunt luate din poligoane, la fel ca și numerele întregi din ecuații.

Folosind această formulă, puteți găsi aria unei figuri construite pe o foaie de hârtie într-o cușcă (triunghi, pătrat, trapez, dreptunghi, poligon).

În această formulă vom găsi puncte întregi în interiorul poligonului și pe marginea acestuia.

În problemele care vor fi la Examenul Unificat de Stat există un întreg grup de sarcini în care este dat un poligon, construit pe o foaie de hârtie într-un pătrat, iar întrebarea este despre găsirea zonei. Scara celulei este de un centimetru pătrat.

Exemplul nr. 1

M - numărul de noduri de pe marginea triunghiului (pe laturi și vârfuri)

N este numărul de noduri din interiorul triunghiului.

*Prin „noduri” înțelegem intersecția liniilor. Să găsim aria triunghiului:

Să marchem nodurile:

M = 15 (indicat cu roșu)

N=34 (în albastru)

Exemplul nr. 2

Să găsim aria poligonului: Marcați nodurile:

M = 14 (indicat cu roșu)

N=43 (în albastru)

12.Metoda coborârii

Una dintre metodele de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi - metoda coborârii - se bazează pe teorema lui Fermat.

Metoda coborârii este o metodă care constă în construirea unei soluții la o succesiune infinită de soluții cu z pozitiv infinit descrescător.

Să luăm în considerare algoritmul acestei metode folosind exemplul de rezolvare a unei anumite ecuații.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația în numere întregi 5x + 8y = 39.

1) Să alegem necunoscuta care are cel mai mic coeficient (în cazul nostru este x) și să o exprimăm printr-o altă necunoscută:

2) Selectați partea întreagă: În mod evident, x va fi un număr întreg dacă expresia se dovedește a fi un întreg, care, la rândul său, va apărea când numărul 4 - 3y este divizibil cu 5 fără rest.

3) Să introducem o variabilă întreagă suplimentară z astfel: 4 -3y = 5z. Ca urmare, obținem o ecuație de același tip cu cea inițială, dar cu coeficienți mai mici.

4) O rezolvăm în raport cu variabila y, raționând exact ca la punctele 1, 2: Selectând întreaga parte, obținem:

5) Raționând similar celui precedent, introducem o nouă variabilă u: 3u = 1 - 2z.

6) Exprimați necunoscuta cu cel mai mic coeficient, în acest caz variabila z: . Cerând ca acesta să fie un întreg, obținem: 1 - u = 2v, de unde u = 1 - 2v. Nu mai sunt fracții, coborârea este finalizată (continuăm procesul până când nu mai rămân fracții în expresia pentru următoarea variabilă).

7) Acum trebuie să „mergi în sus”. Să exprimăm prin variabila v mai întâi z, apoi y și apoi x:

8) Formulele x = 3+8v și y = 3 - 5v, unde v este un număr întreg arbitrar, reprezintă soluția generală a ecuației inițiale în numere întregi.

Astfel, metoda coborârii implică mai întâi exprimarea secvenţială a unei variabile în termenii alteia până când nu mai rămân fracţii în reprezentarea variabilei, iar apoi „ascensiunea” secvenţială de-a lungul lanţului de egalităţi pentru a obţine o soluţie generală a ecuaţiei.

12.Concluzie

În urma studiului, s-a confirmat ipoteza că dificultățile în rezolvarea ecuațiilor în numere întregi se datorează faptului că nu mi-au fost cunoscute toate metodele de rezolvare a acestora. În cursul cercetării mele, am reușit să găsesc și să descriu metode puțin cunoscute pentru rezolvarea ecuațiilor în numere întregi și să le ilustrez cu exemple. Rezultatele cercetării mele pot fi utile tuturor studenților interesați de matematică.

13.Bibliografie

Resurse de carte:

1. N. Ya Vilenkin et al., Algebră și analiză matematică / clasa a X-a, clasa a XI-a // M., „Iluminarea”, 1998;

2. A.F. Ivanov și colab., Matematică. Materiale educaționale și de instruire pentru pregătirea pentru examen // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007

3. A. O. Gelfond, Matematică, teoria numerelor // Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi // Casa de carte LIBROKOM

Resurse de internet:

4. Versiuni demonstrative ale materialelor de măsurare de control ale examenului de stat unificat la matematică http://fipi.ru/

5. Exemple de soluții ale ecuațiilor în numere întregi http://reshuege.ru

6. Exemple de soluții ale ecuațiilor în numere întregi http://mat-ege.ru

7. Istoria ecuațiilor diofantine http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. Istoria lui Diophantus http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9. Istoria ecuațiilor diofantine http://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. Istoria lui Diophantus http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

1.3 Metode de rezolvare a ecuațiilor

Când se rezolvă ecuații în numere întregi și numere naturale, se pot distinge aproximativ următoarele metode:

1. Metoda de enumerare a opțiunilor.

2. Algoritm euclidian.

3. Fracții continuate.

4. Metoda factorizării.

5. Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi ca pătrate în raport cu o variabilă.

6. Metoda reziduurilor.

7. Metoda coborârii infinite.

Capitolul 2. Aplicarea metodelor de rezolvare a ecuaţiilor

1. Exemple de rezolvare a ecuațiilor.

2.1 Algoritmul euclidian.

Problema 1 . Rezolvați ecuația în numere întregi 407 X – 2816y = 33.

Să folosim algoritmul compilat.

1. Folosind algoritmul euclidian, găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 407 și 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Prin urmare (407,2816) = 11, cu 33 divizibil cu 11

2. Împărțiți ambele părți ale ecuației inițiale la 11, obținem ecuația 37 X – 256y= 3, cu (37, 256) = 1

3. Folosind algoritmul euclidian, găsim o reprezentare liniară a numărului 1 prin numerele 37 și 256.

256 = 37 6 + 34;

Să exprimăm 1 din ultima egalitate, apoi crescând succesiv egalitățile vom exprima 3; 34 și înlocuiți expresiile rezultate în expresia pentru 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Astfel, 37·(–83) – 256·(–12) = 1, deci o pereche de numere x 0= – 83 și y 0= – 12 este soluția ecuației 37 X – 256y = 3.

4. Să notăm formula generală pentru soluțiile ecuației inițiale

Unde t- orice număr întreg.

2.2 Metoda de enumerare a opțiunilor.

Sarcina 2. Iepurii și fazanii stau într-o cușcă, au 18 picioare în total. Aflați câți dintre ambele sunt în celulă?

Soluţie: Se întocmește o ecuație cu două variabile necunoscute, în care x este numărul de iepuri, y este numărul de fazani:

4x + 2y = 18 sau 2x + y = 9.

Să ne exprimăm la prin X : y = 9 – 2x.

X	1	2	3	4
la	7	5	3	1

Astfel, problema are patru soluții.

Răspuns: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Metoda de factorizare.

Enumerarea opțiunilor atunci când găsiți soluții naturale pentru o ecuație cu două variabile se dovedește a fi foarte laborioasă. Mai mult, dacă ecuația are întreg soluții, atunci este imposibil să le enumerăm, deoarece există un număr infinit de astfel de soluții. Prin urmare, vom arăta încă o tehnică - metoda factorizării.

Sarcina 3. Rezolvați ecuația în numere întregiy 3 - x 3 = 91.

Soluţie. 1) Folosind formule de înmulțire abreviate, factorizăm partea dreaptă a ecuației:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) Să notăm toți divizorii numărului 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Efectuați cercetări. Rețineți că pentru orice numere întregi xŞi y număr

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

prin urmare, ambii factori din partea stângă a ecuației trebuie să fie pozitivi. Atunci ecuația (1) este echivalentă cu un set de sisteme de ecuații:

; ; ;

4) După ce au rezolvat sistemele, obținem: primul sistem are soluții (5; 6), (-6; -5); a treia (-3; 4),(-4; 3); al doilea și al patrulea nu au soluții în numere întregi.

Răspuns: ecuația (1) are patru soluții (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Sarcina 4. Găsiți toate perechile de numere naturale care satisfac ecuația

Soluţie. Să factorizăm partea stângă a ecuației și să scriem ecuația sub forma

.

Deoarece Divizorii numărului 69 sunt numerele 1, 3, 23 și 69, apoi 69 se poate obține în două moduri: 69=1·69 și 69=3·23. Având în vedere că

, obținem două sisteme de ecuații, rezolvând care putem găsi numerele necesare: sau .

Primul sistem are o soluție

, iar al doilea sistem are o soluție.

Răspuns:

.

Sarcina 5. Rezolvați ecuația în numere întregi:

.

Soluţie. Să scriem ecuația sub forma

.

Să factorizăm partea stângă a ecuației. Primim

.

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 1 numai în două cazuri: dacă ambele sunt egale cu 1 sau -1. Obținem două sisteme:

sau .

Primul sistem are o soluție x=2, y=2, iar al doilea sistem are o soluție x=0, y=0.

Răspuns:

.

Sarcina 6. Rezolvați ecuația în numere întregi

Soluţie. Să scriem această ecuație sub forma

.

Să factorizăm partea stângă a ecuației folosind metoda de grupare, obținem

.

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 7 în următoarele cazuri:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1). Astfel, obținem patru sisteme:

sau , sau , sau .

Soluția primului sistem este o pereche de numere x = - 5, y = - 6. Rezolvând al doilea sistem, obținem x = 13, y = 6. Pentru al treilea sistem, soluția este numerele x = 5, y = 6. Al patrulea sistem are o soluție x = - 13, y = - 6.

.

Sarcina 7. Demonstrați că ecuația ( x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 nu

La cursul de matematică de clasa a VII-a ne întâlnim pentru prima dată ecuații cu două variabile, dar ele sunt studiate numai în contextul sistemelor de ecuații cu două necunoscute. De aceea, o serie întreagă de probleme în care se introduc anumite condiții asupra coeficienților ecuației care îi limitează scad din vedere. În plus, metodele de rezolvare a problemelor precum „Rezolvarea unei ecuații în numere naturale sau întregi” sunt și ele ignorate, deși probleme de acest gen se găsesc tot mai des în materialele Unified State Exam și la examenele de admitere.

Care ecuație va fi numită ecuație cu două variabile?

Deci, de exemplu, ecuațiile 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 sau xy = 12 sunt ecuații în două variabile.

Luați în considerare ecuația 2x – y = 1. Devine adevărată când x = 2 și y = 3, deci această pereche de valori variabile este o soluție a ecuației în cauză.

Astfel, soluția oricărei ecuații cu două variabile este un set de perechi ordonate (x; y), valori ale variabilelor care transformă această ecuație într-o adevărată egalitate numerică.

O ecuație cu două necunoscute poate:

O) au o singura solutie. De exemplu, ecuația x 2 + 5y 2 = 0 are o soluție unică (0; 0);

b) au mai multe solutii. De exemplu, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 are 4 soluții: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nu au solutii. De exemplu, ecuația x 2 + y 2 + 1 = 0 nu are soluții;

G) au infinit de solutii. De exemplu, x + y = 3. Soluțiile acestei ecuații vor fi numere a căror sumă este egală cu 3. Mulțimea soluțiilor acestei ecuații poate fi scrisă sub forma (k; 3 – k), unde k este orice real număr.

Principalele metode de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile sunt metode bazate pe factorizarea expresiilor, izolarea unui pătrat complet, folosind proprietățile unei ecuații pătratice, expresii limitate și metode de estimare. Ecuația este de obicei convertită într-o formă din care se poate obține un sistem pentru găsirea necunoscutelor.

Factorizarea

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația: xy – 2 = 2x – y.

Soluţie.

Grupăm termenii în scopul factorizării:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Din fiecare paranteză scoatem un factor comun:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Avem:

y = 2, x – orice număr real sau x = -1, y – orice număr real.

Astfel, răspunsul este toate perechile de forma (x; 2), x € R și (-1; y), y € R.

Egalitatea numerelor nenegative la zero

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Soluţie.

Grupare:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Acum fiecare paranteză poate fi pliat folosind formula diferenței pătrate.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Suma a două expresii nenegative este zero numai dacă 3x – 2 = 0 și 2y – 3 = 0.

Aceasta înseamnă x = 2/3 și y = 3/2.

Răspuns: (2/3; 3/2).

Metoda de estimare

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Soluţie.

În fiecare paranteză selectăm un pătrat complet:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Să estimăm sensul expresiilor din paranteze.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 și (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, atunci partea stângă a ecuației este întotdeauna cel puțin 2. Egalitatea este posibilă dacă:

(x + 1) 2 + 1 = 1 și (y – 2) 2 + 2 = 2, ceea ce înseamnă x = -1, y = 2.

Răspuns: (-1; 2).

Să facem cunoștință cu o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile de gradul doi. Această metodă constă în tratarea ecuației ca pătrat în raport cu o variabilă.

Exemplul 4.

Rezolvați ecuația: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Soluţie.

Să rezolvăm ecuația ca o ecuație pătratică pentru x. Să găsim discriminantul:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ecuația va avea o soluție numai când D = 0, adică dacă y = 4. Înlocuim valoarea lui y în ecuația originală și aflăm că x = 3.

Răspuns: (3; 4).

Adesea în ecuații cu două necunoscute indică restricții asupra variabilelor.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Soluţie.

Să rescriem ecuația sub forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Latura dreaptă a ecuației rezultate atunci când este împărțită la 5 dă un rest de 2. Prin urmare, x 2 nu este divizibil cu 5. Dar pătratul lui a numărul nedivizibil cu 5 dă un rest de 1 sau 4. Astfel, egalitatea este imposibilă și nu există soluții.

Răspuns: fără rădăcini.

Exemplul 6.

Rezolvați ecuația: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Soluţie.

Să evidențiem pătratele complete din fiecare paranteză:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Partea stângă a ecuației este întotdeauna mai mare sau egală cu 3. Egalitatea este posibilă cu condiția |x| – 2 = 0 și y + 3 = 0. Astfel, x = ± 2, y = -3.

Răspuns: (2; -3) și (-2; -3).

Exemplul 7.

Pentru fiecare pereche de numere întregi negative (x;y) care satisface ecuația
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calculați suma (x + y). Vă rugăm să indicați cea mai mică sumă în răspunsul dvs.

Soluţie.

Să selectăm pătrate complete:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Deoarece x și y sunt numere întregi, pătratele lor sunt de asemenea numere întregi. Obținem suma pătratelor a două numere întregi egale cu 37 dacă adunăm 1 + 36. Prin urmare:

(x – y) 2 = 36 și (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 și (y + 2) 2 = 36.

Rezolvând aceste sisteme și ținând cont de faptul că x și y sunt negative, găsim soluții: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Răspuns: -17.

Nu disperați dacă aveți dificultăți în rezolvarea ecuațiilor cu două necunoscute. Cu puțină practică, poți gestiona orice ecuație.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații în două variabile?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Există multe poteci care duc de la marginea pădurii în desiș. Sunt întortocheate, converg, diverg din nou și se intersectează din nou unul cu celălalt. În timp ce mergi, poți doar să observi abundența acestor poteci, să mergi pe unele dintre ele și să le urmărești direcția în adâncurile pădurii. Pentru a studia cu seriozitate pădurea, trebuie să urmați potecile până când acestea sunt vizibile deloc printre ace de pin și tufișuri uscate.

Prin urmare, am vrut să scriu un proiect care poate fi considerat ca o descriere a uneia dintre posibilele plimbări de-a lungul marginii matematicii moderne.

Lumea înconjurătoare, nevoile economiei naționale și adesea grijile cotidiene ridică sarcini din ce în ce mai noi pentru o persoană, a căror soluție nu este întotdeauna evidentă. Uneori, o anumită întrebare are multe răspunsuri posibile, ceea ce provoacă dificultăți în rezolvarea sarcinilor. Cum să alegi opțiunea potrivită și optimă?

Rezolvarea ecuațiilor incerte este direct legată de această problemă. Astfel de ecuații, care conțin două sau mai multe variabile, pentru care este necesar să se găsească toate soluțiile întregi sau naturale, au fost luate în considerare încă din cele mai vechi timpuri. De exemplu, matematicianul grec Pitagora (sec. IV î.Hr.). matematicianul alexandrin Diophantus (sec. II-III d.Hr.) și cei mai buni matematicieni ai unei epoci mai apropiate de noi - P. Fermat (sec. XVII), L. Euler (sec. XVIII), J. L. Lagrange (sec. XVIII) ș.a.

Participând la concursul de corespondență rusă > de la Obninsk, la Concursul Internațional de Jocuri > și la Olimpiada Districtului Federal Ural, întâmpin adesea astfel de sarcini. Acest lucru se datorează faptului că soluția lor este creativă. Problemele care apar la rezolvarea ecuațiilor în numere întregi sunt cauzate atât de complexitate, cât și de faptul că le este dedicat puțin timp în școală.

Diofantul prezintă unul dintre cele mai dificile mistere din istoria științei. Nu știm vremea în care a trăit și nici predecesorii săi care ar fi lucrat în același domeniu. Lucrările lui sunt ca un foc sclipitor în mijlocul întunericului de nepătruns.

Perioada de timp în care ar fi putut trăi Diophantus este de jumătate de mileniu! Limita inferioară este determinată fără dificultate: în cartea sa despre numerele poligonale, Diophantus îl menționează în repetate rânduri pe matematicianul Hypsicles din Alexandria, care a trăit la mijlocul secolului al II-lea. î.Hr e.

Pe de altă parte, în comentariile lui Theon din Alexandria către celebrul astronom Ptolemeu există un fragment din opera lui Diofant. Theon a trăit la mijlocul secolului al IV-lea. n. e. Aceasta determină limita superioară a acestui interval. Deci, 500 de ani!

Istoricul francez al științei Paul Tannry, redactorul celui mai complet text al lui Diophantus, a încercat să reducă acest decalaj. În biblioteca Escurial a găsit fragmente dintr-o scrisoare a lui Michael Psellus, un savant bizantin din secolul al XI-lea. , unde se spune că cel mai învăţat Anatoly, după ce a adunat cele mai esenţiale părţi ale acestei ştiinţe, vorbim despre introducerea gradelor necunoscutului şi despre (desemnarea) acestora, le-a dedicat prietenului său Diofant. Anatolia Alexandriei a compus de fapt >, dintre care fragmente sunt citate în lucrările existente ale lui Iamblichus și Eusenius. Dar Anatoly a trăit în Alexandria la mijlocul secolului 111 î.Hr. e și mai precis – până în 270, când a devenit episcopul Laodaciei. Aceasta înseamnă că prietenia lui cu Diophantus, pe care toată lumea îl numește Alexandria, trebuie să fi avut loc înainte de aceasta. Așadar, dacă celebrul matematician alexandrin și prietenul lui Anatoly, pe nume Diophantus, sunt o singură persoană, atunci timpul vieții lui Diophantus este mijlocul secolului 111 d.Hr.

Dar locul de reședință al lui Diophantus este binecunoscut - Alexandria, centrul gândirii științifice și al lumii elenistice.

Una dintre epigramele Antologiei Palatine a supraviețuit până în zilele noastre:

Cenușa lui Diofant se odihnește în mormânt: minunați-vă de el - și de piatră

Vârsta defunctului va vorbi prin înțeleapta sa artă.

Prin voia zeilor, el a trăit o șaseme din viața sa în copilărie.

Și m-am întâlnit cu cinci și jumătate cu puf pe obraji.

Era abia a șaptea zi când s-a logodit cu iubita lui.

După ce a petrecut cinci ani cu ea, înțeleptul și-a așteptat fiul.

Fiul iubit al tatălui său a trăit doar jumătate din viață.

A fost luat de la tatăl său de mormântul său timpuriu.

De două ori timp de doi ani, părintele a plâns durere severă.

Aici am văzut limita vieții mele triste.

Folosind metode moderne de rezolvare a ecuațiilor, este posibil să se calculeze câți ani a trăit Diophantus.

Lasă-l pe Diophantus să trăiască x ani. Să creăm și să rezolvăm ecuația:

Să înmulțim ecuația cu 84 pentru a scăpa de fracții:

Astfel, Diophantus a trăit 84 de ani.

Cea mai misterioasă este opera lui Diophantus. Șase dintre cele treisprezece cărți care au fost combinate în > au ajuns la noi, stilul și conținutul acestor cărți diferă puternic de lucrările antice clasice despre teoria numerelor și algebră, exemple despre care le știm din > Euclid, al lui >, lemele din lucrări; lui Arhimede şi Apollonius. > a fost, fără îndoială, rezultatul a numeroase studii care au rămas complet necunoscute.

Putem doar să ghicim despre rădăcinile sale și să ne minunăm de bogăția și frumusețea metodelor și rezultatelor sale.

> Diophanta este o colecție de probleme (189 în total), fiecare având o soluție. Problemele din acesta sunt atent selectate și servesc la ilustrarea unor metode foarte specifice, strict gândite. După cum era obișnuit în antichitate, metodele nu sunt formulate într-o formă generală, ci sunt repetate pentru a rezolva probleme similare.

Este cunoscută cu încredere o biografie unică a lui Diophantus, care, conform legendei, a fost sculptată pe piatra funerară a lui și a prezentat o problemă de puzzle:

Acest puzzle servește ca un exemplu al problemelor pe care le-a rezolvat Diophantus. S-a specializat în rezolvarea problemelor în numere întregi. Astfel de probleme sunt cunoscute în prezent sub numele de probleme diofantine.

Studiul ecuațiilor diofantine este de obicei asociat cu mari dificultăți.

În 1900, la Congresul Mondial al Matematicienilor de la Paris, unul dintre cei mai mari matematicieni ai lumii, David Hilbert, a identificat 23 de probleme din diverse domenii ale matematicii. Una dintre aceste probleme a fost problema rezolvării ecuațiilor diofantine. Problema a fost următoarea: este posibil să se rezolve o ecuație cu un număr arbitrar de necunoscute și coeficienți întregi într-un anumit mod - folosind un algoritm. Sarcina este următoarea: pentru o anumită ecuație, trebuie să găsiți toate valorile întregi sau naturale ale variabilelor incluse în ecuație, la care se transformă într-o egalitate adevărată. Diophantus a venit cu multe soluții diferite pentru astfel de ecuații. Datorită varietății infinite de ecuații diofantine, nu există un algoritm general de rezolvare a acestora și pentru aproape fiecare ecuație trebuie să inventăm o tehnică individuală.

O ecuație diofantică de gradul I sau o ecuație diofantică liniară cu două necunoscute este o ecuație de forma: ax+by=c, unde a,b,c sunt numere întregi, GCD(a,b)=1.

Voi da formulările de teoreme pe baza cărora poate fi compilat un algoritm de rezolvare a ecuațiilor nedeterminate de gradul I a două variabile în numere întregi.

Teorema 1. Dacă într-o ecuație, atunci ecuația are cel puțin o soluție.

Dovada:

Putem presupune că a >0. După ce am rezolvat ecuația pentru x, obținem: x = c-vua. Voi demonstra că dacă în această formulă în loc de y înlocuim toate numerele naturale mai mici decât a și 0, adică numerele 0;1;2;3;. ;a-1, iar de fiecare dată când efectuați împărțirea, atunci toate resturile a vor fi diferite. Într-adevăr, în loc de y voi înlocui numerele m1 și m2, mai mici decât a. Ca rezultat, voi obține două fracții: c-bm1a și c-bm2a. După ce am efectuat împărțirea și am notat coeficientii incompleti cu q1 și q2, iar resturile cu r1 și r2, voi găsi с-вm1а=q1+ r1а, с-вm2а= q2+ r2а.

Voi presupune că resturile r1 și r2 sunt egale. Apoi, scăzând a doua din prima egalitate, obțin: c-bm1a- c-bm2a = q1-q2, sau b(m1 - m2)a = q1-q2.

Deoarece q1-q2 este un număr întreg, atunci partea stângă trebuie să fie un număr întreg. Prin urmare, bm1 - m2 trebuie să fie divizibil cu a, adică diferența a două numere naturale, fiecare dintre ele mai mic decât a, trebuie să fie divizibil cu a, ceea ce este imposibil. Aceasta înseamnă că resturile r1 și r2 sunt egale. Adică, toate reziduurile sunt diferite.

Că. Am primit un din diverse solduri mai mici de a. Dar distinctele a numerelor naturale care nu depășesc a sunt numerele 0;1;2;3;. ;a-1. În consecință, printre resturile va fi cu siguranță unul și doar unul egal cu zero. Valoarea lui y, a cărei substituție în expresia (c-vu)a dă un rest de 0 și transformă x=(c-vu)a într-un număr întreg. Q.E.D.

Teorema 2. Dacă în ecuație, și c nu este divizibil cu, atunci ecuația nu are soluții întregi.

Dovada:

Fie d=GCD(a;b), astfel încât a=md, b=nd, unde m și n sunt numere întregi. Atunci ecuația va lua forma: mdх+ ndу=с, sau d(mх+ nу)=с.

Presupunând că există numere întregi x și y care satisfac ecuația, constat că coeficientul c este divizibil cu d. Contradicția rezultată demonstrează teorema.

Teorema 3. Dacă în ecuație, și, atunci este echivalent cu ecuația în care.

Teorema 4. Dacă într-o ecuație, atunci toate soluțiile întregi ale acestei ecuații sunt conținute în formulele:

unde x0, y0 este o soluție întreagă a ecuației, este orice număr întreg.

Teoremele formulate fac posibilă construirea următorului algoritm pentru rezolvarea unei ecuații de formă în numere întregi.

1. Aflați cel mai mare divizor comun al numerelor a și b dacă c nu este divizibil cu, atunci ecuația nu are soluții întregi; dacă și atunci

2. Împărțiți termenul ecuației cu termen, obținând o ecuație în care.

3. Găsiți o soluție întreagă (x0, y0) a ecuației reprezentând 1 ca o combinație liniară de numere și;

4. Creați o formulă generală pentru soluțiile întregi ale acestei ecuații, unde x0, y0 este o soluție întreagă a ecuației și este orice număr întreg.

2. 1 METODA DE COBORARE

Multe > se bazează pe metode de rezolvare a ecuațiilor incerte. De exemplu, un truc care implică ghicirea datei nașterii.

Invită-ți prietenul să-și ghicească ziua de naștere după suma numerelor egală cu produsul datei sale de naștere cu 12 și numărul lunii nașterii cu 31.

Pentru a ghici ziua de naștere a prietenului tău, trebuie să rezolvi ecuația: 12x + 31y = A.

Să vi se dea numărul 380, adică avem ecuația 12x + 31y = 380. Pentru a găsi x și y, puteți raționa astfel: numărul 12x + 24y este divizibil cu 12, prin urmare, conform proprietăților lui divizibilitate (Teorema 4.4), numărul 7y și 380 trebuie să aibă același rest atunci când este împărțit la 12. Numărul 380 când este împărțit la 12 dă un rest de 8, prin urmare 7y atunci când este împărțit la 12 trebuie să lase și un rest de 8 și, deoarece y este numărul lunii, apoi 1

Ecuația pe care am rezolvat-o este o ecuație diofantină de gradul I cu două necunoscute. Pentru a rezolva astfel de ecuații, se poate folosi așa-numita metodă de coborâre. Voi lua în considerare algoritmul acestei metode folosind ecuația specifică 5x + 8y = 39.

1. Voi alege necunoscuta care are cel mai mic coeficient (in cazul nostru este x), si o voi exprima printr-o alta necunoscuta:. Voi evidenția întreaga parte: Evident, x va fi un număr întreg dacă expresia se dovedește a fi un întreg, ceea ce, la rândul său, va fi cazul când numărul 4 - 3y este divizibil cu 5 fără rest.

2. Voi introduce o variabilă întreagă suplimentară z astfel: 4 - 3y = 5z. Ca urmare, voi obține o ecuație de același tip cu cea inițială, dar cu coeficienți mai mici. O voi rezolva cu privire la variabila y:. Selectând întreaga parte, am:

Raționând similar celei precedente, introdu o nouă variabilă u: 3u = 1 - 2z.

3. Voi exprima necunoscuta cu cel mai mic coeficient, în acest caz variabila z: =. Solicitând ca acesta să fie un întreg, obțin: 1 - u = 2v, de unde u = 1 - 2v. Nu mai sunt fracții, coborârea este completă.

4. Acum ai nevoie de >. Voi exprima prin variabila v mai întâi z, apoi y și apoi x: z = = = 3v - 1; = 3 - 5v.

5. Formulele x = 3+8v și y = 3 - 5v, unde v este un număr întreg arbitrar, reprezintă soluția generală a ecuației inițiale în numere întregi.

Comentariu. Astfel, metoda coborârii implică mai întâi exprimarea secvenţială a unei variabile în termenii alteia până când nu mai rămân fracţii în reprezentarea variabilei, iar apoi secvenţial de-a lungul unui lanţ de egalităţi pentru a obţine o soluţie generală a ecuaţiei.

2. 2 METODA DE SONDAJ

Iepurii și fazanii stau într-o cușcă, au 18 picioare în total. Aflați câți dintre ambele sunt în celulă?

Permiteți-mi să creez o ecuație cu două necunoscute, în care x este numărul de iepuri și y este numărul de fazani:

4x + 2y = 18 sau 2x + y = 9.

Răspuns. 1) 1 iepure și 7 fazani; 2) 2 iepuri si 5 fazani; 3) 3 iepuri și 3 fazani; 4) 4 iepuri și 1 fazan.

1. PARTEA PRACTICĂ

3. 1 Rezolvarea ecuațiilor liniare cu două necunoscute

1. Rezolvați ecuația 407x - 2816y = 33 în numere întregi.

Voi folosi algoritmul compilat.

1. Folosind algoritmul euclidian, voi găsi cel mai mare divizor comun al numerelor 407 și 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Prin urmare (407,2816) = 11, cu 33 divizibil cu 11.

2. Împărțiți ambele părți ale ecuației inițiale la 11, obținem ecuația 37x - 256y = 3 și (37, 256) = 1

3. Folosind algoritmul euclidian, voi găsi o reprezentare liniară a numărului 1 prin numerele 37 și 256.

256 = 37 6 + 34;

Voi exprima 1 din ultima egalitate, apoi urcand succesiv egalitatile Voi exprima 3; 34 și înlocuiți expresiile rezultate în expresia pentru 1.

1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =

83 37 - 256 (- 12)

Astfel, 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, prin urmare perechea de numere x0 = - 83 și y0 = - 12 este o soluție a ecuației 37x - 256y = 3.

4. Voi scrie formula generală pentru soluțiile ecuației inițiale unde t este orice număr întreg.

Răspuns. (-83c+bt; -12c-at), t є Z.

Comentariu. Se poate dovedi că dacă perechea (x1,y1) este o soluție întreagă a ecuației în care, atunci toate soluțiile întregi ale acestei ecuații se găsesc folosind formulele: x=x1+bty=y1-at

2. Rezolvați ecuația 14x - 33y=32 în numere întregi.

Rezolvare: x = (32 + 33y) : 14

(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2y + 5y + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = p; p є Z

Căutați de la 1 la 13

Când y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14

Permiteți-mi să înlocuiesc y = 2 în ecuația originală

14x = 32 +33 [. ] 2

14x = 32 + 66 x = 98: 14 = 7

Voi găsi toate soluțiile întregi din câtul găsit:

14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32

14(x - 7) - 33(y - 2)=0

14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7) : 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k є Z

Permiteți-mi să înlocuiesc în ecuația originală:

14(33k + 7) - 33y = 32

14. 33k + 98 - 33y = 32 y = 14k + 2; x = 33k + 7, unde k є Z. Aceste formule specifică soluția generală a ecuației inițiale.

Răspuns. (33k + 7; 14k + 2), k є Z.

3. Rezolvați ecuația x - 3y = 15 în numere întregi.

Voi găsi GCD(1,3)=1

Voi determina o anumită soluție: x=(15+3y):1 folosind metoda de enumerare, găsesc valoarea y=0 apoi x=(15+3 [. ] 0) =15

(15; 0) - soluție privată.

Toate celelalte soluții se găsesc folosind formulele: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z pentru k=0, obțin o anumită soluție (15;0)

Răspuns: (3k+15; k), k є Z.

4. Rezolvați ecuația 7x - y = 3 în numere întregi.

Voi găsi GCD(7, -1)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (3+y):7

Folosind metoda forței brute, găsim valoarea y є y = 4, x = 1

Aceasta înseamnă că (1;4) este o soluție specială.

Găsesc toate celelalte soluții folosind formulele: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z

Raspuns: (k+1;7k+4); k є Z.

5. Rezolvați ecuația 15x+11 y = 14 numere întregi.

Voi găsi GCD(15, -14)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (14 - 11y):15

Folosind metoda forței brute, găsesc valoarea y є y = 4, x = -2

(-2;4) este o soluție particulară.

Găsesc toate celelalte soluții folosind formulele: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z

Răspuns: (-11k-2; 15k+4); k є Z.

6. Rezolvați ecuația 3x - 2y = 12 numere întregi.

Voi găsi GCD(3; 2)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (12+2y):3

Folosind metoda forței brute, găsesc valoarea y є y = 0, x = 4

(4;0) este o soluție particulară.

Găsesc toate celelalte soluții folosind formulele: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z

Răspuns: (2k+4; 3k); k є Z.

7. Rezolvați ecuația xy = x + y în numere întregi.

Am xy - x - y + 1 = 1 sau (x - 1)(y - 1) = 1

Prin urmare, x - 1 = 1, y - 1 = 1, de unde x = 2, y = 2 sau x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, de unde x = 0, y = 0 alte soluții în numere întregi având în vedere ecuația nu are.

Răspuns. 0;0;(2;2).

8. Rezolvați ecuația 60x - 77y = 1 în numere întregi.

Permiteți-mi să rezolv această ecuație pentru x: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y +1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.

Fie (17y + 1) / 60 = z, atunci y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Dacă notăm (9z - 1) / 17 cu t, atunci z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. În cele din urmă, fie (- t + 1) / 9 = n, apoi t = 1- 9n. Deoarece găsesc doar soluții întregi ale ecuației, z, t, n trebuie să fie numere întregi.

Astfel, z = 2 - 18n + 2 = 2 - 17n, și deci y = 6 - 51n + 1 - 9n = 7 - 60n, x = 2 - 17n +7 - 60n = 9 - 77n. Deci, dacă x și y sunt soluții întregi ale unei ecuații date, atunci există un număr întreg n astfel încât x = 9 - 77n, y = 7 - 60n. În schimb, dacă y = 9 - 77n, x = 7 - 60n, atunci, evident, x, y sunt numere întregi. Verificarea arată că acestea satisfac ecuația inițială.

Răspuns. (9 - 77n; 7 - 60n)); n є Z.

9. Rezolvați ecuația 2x+11y =24 în numere întregi.

Voi găsi GCD(2; 11)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (24-11y):2

Folosind metoda forței brute, găsesc valoarea y є y = 0, x = 12

(12;0) este o soluție specială.

Găsesc toate celelalte soluții folosind formulele: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z

Raspuns:(-11k+12; 2k); k є Z.

10. Rezolvați ecuația 19x - 7y = 100 în numere întregi.

Voi găsi GCD(19, -7)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (100+7y):19

Folosind metoda forței brute, găsesc valoarea y є y = 2, x = 6

(6;2) este o soluție particulară.

Găsesc toate celelalte soluții folosind formulele: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z

Răspuns:(7k+6; 19k+2); kє Z.

11. Rezolvați ecuația 24x - 6y = 144 în numere întregi

Voi găsi GCD(24, 6)=3.

Ecuația nu are soluții deoarece GCD(24, 6)!=1.

Răspuns. Nu există soluții.

12. Rezolvați ecuația în numere întregi.

Transform raportul coeficienților pentru necunoscute.

În primul rând, voi evidenția întreaga parte a fracției improprie;

Voi înlocui fracția potrivită cu o fracție egală.

Atunci o voi primi.

Voi face aceleași transformări cu fracția improprie obținută la numitor.

Acum, fracția inițială va lua forma:

Repetând același raționament pentru fracțiune, obțin.

Izolând întreaga parte a fracției improprii, ajung la rezultatul final:

Am o expresie numită fracție continuă finită. După ce am eliminat ultima verigă a acestei fracții continuate - o cincime, voi transforma noua fracție continuă rezultată într-una simplă și o voi scădea din fracția inițială.

Voi reduce expresia rezultată la un numitor comun și o voi arunca, atunci

Din compararea egalității rezultate cu ecuația rezultă că, va fi o soluție a acestei ecuații și, conform teoremei, toate soluțiile sale vor fi conținute în,.

Răspuns. (9+52t; 22+127t), t є Z.

Rezultatul obținut sugerează că, în cazul general, pentru a găsi o soluție la ecuație, este necesar să se extindă raportul coeficienților necunoscutelor într-o fracție continuă, să se renunțe la ultima ei legătură și să se efectueze calcule similare celor efectuate. mai sus.

13. Rezolvați ecuația 3xy + 2x + 3y = 0 în numere întregi.

3xy + 2x + 3y = 3y + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =

=(x + 1)(3y + 2) - 2,

(x + 1)(3y + 2) = 2,

3y + 2 = 1 sau 3y + 1 = 2 sau 3y + 1 = -1 sau 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 =1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 sau x = 0 sau x = -3 sau x = -2 y cent z, y = 0, y = -1, y cent z.

Răspuns: (0;0);(-3;-1).

14. Rezolvați ecuația y - x - xy = 2 în numere întregi.

Rezolvare: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1)(1 - x) = 3,

3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).

y + 1 = 1 sau y + 1 = 3 sau y + 1 = -1 sau y + 1 = -3

1 - x =3, 1 - x =1, 1 - x = -3, 1 - x = -1.

y = 0 sau y = 2 sau y = -2 sau y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2

Răspuns: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).

15. Rezolvați ecuația y + 4x + 2xy = 0 în numere întregi.

Rezolvare: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,

2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).

2x + 1= 1 sau 2x + 1= 2 sau 2x + 1= -1 sau 2x + 1= -2

2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = -2, 2 + y = -1; y = 0 sau y = -1 sau y = -4 sau y = -3 x = 0, x cent Z, x = -1, x cent Z.

Răspuns: (-1;-4);(0;0).

16. Rezolvați ecuația 5x + 10y = 21 în numere întregi.

5(x + 2y) = 21, deoarece 21 != 5n, atunci nu există rădăcini.

Răspuns. Nu există rădăcini.

17. Rezolvați ecuația 3x + 9y = 51 în numere naturale.

3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y = 2, x = 11; y = 3, x = 8; y = 4, x = 5; y = 5, x = 2; y = 6, x = -1, -1cent N.

Răspuns:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14:1).

18. Rezolvați ecuația 7x+5y=232 în numere întregi.

Voi rezolva această ecuație în raport cu necunoscuta la care se află cel mai mic coeficient (modulo), adică în acest caz față de y: y = 232-7x5.

Permiteți-mi să înlocuiesc numerele în loc de x în această expresie: 0;1;2;3;4. Obțin: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43.6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40,8

Răspuns. (1;45).

19. Rezolvați ecuația 3x + 4y + 5xy = 6 în numere întregi.

Am 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn

Divizori 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).

x = m - 45, y = n - 35 Găsesc că cu m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 soluțiile sunt: ​​x = -1, -2 , 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.

Deci, această ecuație are 4 soluții în numere întregi și niciuna în numere naturale.

Răspuns. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).

20. Rezolvați ecuația 8x+65y=81 în numere naturale.

81⋮GCD(8;65) =>

8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.

Fie 1-y8=t, t Є Z. x=2+65t>0y=1-8t>0

65t>-2-8t>-1 t>-265 t t=0.

La t=0 x=2y=1

Răspuns. (2;1).

21. Găsiți soluții întregi nenegative pentru ecuația 3x+7y=250.

250⋮GCD(3;7) =>ecuația poate fi rezolvată în numere întregi.

x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.

Fie 1-y3=t, t Є Z.

x=81+7t>=0y=1-3t>=0

7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.

x=81+7tу=1-3t t=-11 ​​​​x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1

Răspuns. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.

22. Rezolvați ecuația xy+x+y3=1988 în numere întregi.

Să înmulțim ambele părți ale ecuației cu 3. Obținem:

3x+3xy+y=5964

3x+3xy+y+1=5965

(3х+1)+(3х+у)=5965

(3x+1) + y(3x+1)=5965

(3x+1)(y+1)=5965

5965=1∙5965 sau 5965=5965∙1 sau 5965=-1∙(-5965) sau 5965=-5965∙(-1) sau 5965=5∙1193 sau 5965=1193∙5 (sau 5∙5) -1193) sau 5965=-1193∙(-5)

1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0

3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 soluții în numere întregi nu soluții în numere întregi nu

5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 fără soluții în numere întregi fără soluții în numere întregi

7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6

Răspuns. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).

3. 2 REZOLVAREA PROBLEMELOR

Există mai multe tipuri de probleme, cel mai adesea acestea sunt probleme de natură olimpiadică, care se rezumă la rezolvarea ecuațiilor diofantine. De exemplu: a) Sarcini privind schimbul unei sume de bani de o anumită valoare nominală.

b) Probleme care implică transfuzii și divizarea obiectelor.

1. Am cumparat 390 de creioane colorate in cutii de 7 si 12 creioane. Câte dintre acestea și alte cutii ați cumpărat?

Voi desemna: x cutii de 7 creioane, y cutii de 12 creioane.

Permiteți-mi să creez o ecuație: 7x + 12y = 390

Voi găsi GCD(7, 12)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (390 - 12y):7

Folosind metoda forței brute, găsesc valoarea y є y = 1, x = 54

(54;1) este o soluție specială.

Găsesc toate celelalte soluții folosind formulele: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z

Am găsit multe soluții la ecuație. Ținând cont de condițiile problemei, voi determina numărul posibil al ambelor casete.

Răspuns. Puteți cumpăra: 54 cutii cu 7 creioane și 1 cutie cu 12 creioane, sau 42 cutii cu 7 creioane și 8 cutii cu 12 creioane sau 30 cutii cu 7 creioane și 15 cutii cu 12 creioane sau 28 cutii cu 7 creioane și 22 cutii cu 12 creioane sau 6 cutii cu 7 creioane și 29 cutii cu 12 creioane.

2. Un catet al unui triunghi dreptunghic este cu 7 cm mai mare decât celălalt, iar perimetrul triunghiului este de 30 cm Aflați toate laturile triunghiului.

Voi desemna: x cm - un picior, (x+7) cm - celălalt picior, y cm - ipotenuză

Voi compune și voi rezolva ecuația diofantină: x+(x+7)+y=30

Voi găsi GCD(2; 1)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (23 - y):2

Folosind metoda forței brute, găsesc valoarea y =1 y = 1, x = 11

(11;1) este o soluție particulară.

Găsesc toate celelalte soluții ale ecuației folosind formulele: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k

Avand in vedere ca orice latura a unui triunghi este mai mica decat suma celorlalte doua laturi, ajungem la concluzia ca sunt trei triunghiuri cu laturile 7, 9 si 14; 6, 11 și 13; 5, 13 și 12. Conform condițiilor problemei, se dă un triunghi dreptunghic. Acesta este un triunghi cu laturile 5, 13 și 12 (teorema lui Pitagora este valabilă).

Răspuns: Un picior are 5 cm, celălalt are 12 cm, ipotenuza este de 13 cm.

3. Mai mulți copii culeseau mere. Fiecare băiat a adunat 21 kg, iar fata a adunat 15 kg. În total au adunat 174 kg. Câți băieți și câte fete au cules mere?

Să fie x băieți și y fete, x și y fiind numere naturale. Lasă-mă să creez o ecuație:

Rezolv prin metoda de selectie: x

6 Numai la x = 4 a doua necunoscută primește o valoare întreagă pozitivă (y = 6). Pentru orice altă valoare a lui x, y va fi fie o fracție, fie negativ. Prin urmare, problema are o soluție unică.

Răspuns. 4 băieți și 6 fete.

4. Este posibil să creați un set de creioane în valoare de 3 ruble și pixuri în valoare de 6 ruble în valoare de 20 de ruble?

Fie numărul de creioane din set x și numărul de pixuri y.

Lasă-mă să creez o ecuație:

Pentru orice numere întregi x și y, partea stângă a ecuației trebuie să fie divizibilă cu 3; partea dreaptă nu este divizibilă cu 3. Aceasta înseamnă că nu există numere întregi x și y care ar satisface ecuația noastră. Această ecuație nu poate fi rezolvată în numere întregi. Este imposibil să creezi un astfel de set.

Răspuns. Nu există soluții.

5. Găsiți un număr natural care, împărțit la 3, lasă un rest de 2, iar când este împărțit la 5, lasă un rest de 3.

Voi nota numărul necesar cu x. Dacă notez câtul lui x cu 3 cu y și câtul împărțirii cu 5 cu z, atunci obținem: x=3y+2x=5z+3

După semnificația problemei, x, y și z trebuie să fie numere naturale. Aceasta înseamnă că trebuie să rezolvăm un sistem nedefinit de ecuații în numere întregi.

Pentru orice număr întreg y și z, x va fi, de asemenea, un număr întreg. O scad pe prima din a doua ecuație și obținem:

5z - 3y + 1 = 0.

După ce am găsit toate numerele întregi pozitive y și z, voi obține imediat toate valorile întregi pozitive ale lui x.

Din aceasta ecuatie gasesc:

O soluție este evidentă: pentru z = 1 obținem y = 2, iar x și y sunt numere întregi. Soluția x = 8 le corespunde.

O sa gasesc si alte solutii. Pentru a face acest lucru, voi introduce o necunoscută auxiliară u, setând z = 1 + u. voi primi:

5(1 + u) - 3y + 1 = 0, adică 5u = 3y - 6 sau 5u = 3(y - 2).

Partea dreaptă a ultimei ecuații este divizibilă cu 3 pentru orice număr întreg y. Aceasta înseamnă că și partea stângă trebuie să fie divizibilă cu 3. Dar numărul 5 este coprim cu numărul 3; prin urmare, u trebuie să fie divizibil cu 3, adică să aibă forma 3n, unde n este un număr întreg. În acest caz, y va fi egal

15n/3 + 2 = 5n + 2, adică, de asemenea, un număr întreg. Deci, z = 1 + u = 1 + 3n, de unde x = 5z + 3 = 8 + 15n.

Rezultatul nu este unul, ci un set infinit de valori pentru x: x = 8 + 15n, unde n este un număr întreg (pozitiv sau zero):

Răspuns. x=8+15n; n є 0;1;2;.

6. Subiecții au adus Șahului 300 de pietre prețioase: în cutii mici de câte 15 bucăți și în cutii mari - 40 de bucăți. Câte dintre acestea și alte cutii erau acolo, dacă se știe că erau mai puține mici decât mari?

Permiteți-mi să notez cu x numărul de cutii mici și cu y numărul celor mari.

15x+40y=300. O voi tăia cu 5.

3x+8y=60 x=60-8y3 x=60-6y-2y3

X=20-2y-2y3

Pentru ca valoarea unei fracții să fie un număr întreg, 2y trebuie să fie un multiplu al lui 3, adică 2y = 3c.

Voi exprima variabila y și voi selecta întreaga parte:

Z trebuie să fie un multiplu de 2, adică z=2u.

Voi exprima variabilele x și y în termeni de u:

X=20-2y-2y3

Х=20-2∙3u-2∙3u3

Voi compune și voi rezolva un sistem de inegalități:

Voi nota toate soluțiile: 1; 2. Acum voi găsi valorile lui x și y pentru u=1; 2.

1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3

2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6

Răspuns. 4 cutii mici; 6 cutii mari.

7. Au fost date două mașini Ural 5557, mașinile au fost trimise pe un zbor Krasnoturinsk - Perm - Krasnoturinsk. În total, au fost necesare 4 tone de motorină și 2 șoferi pentru a finaliza acest zbor. Este necesar să se determine costurile de transport, și anume costul pentru 1 tonă de motorină și salariile șoferilor care efectuează acest zbor, dacă se știe că au fost cheltuite în total 76.000 de ruble.

Fie x ruble costul pentru 1 tonă de motorină și x ruble să fie salariul șoferilor. Apoi (4x + 2y) ruble au fost cheltuite pe zbor. Și în funcție de condițiile problemei, au fost cheltuite 76.000 de ruble.

Obțin ecuația:

Pentru a rezolva această ecuație, metoda forței brute va fi un proces care necesită multă muncă. Deci voi folosi metoda >.

Voi exprima variabila y prin x: , voi selecta întreaga parte și voi obține: (1).

Pentru ca valoarea unei fracții să fie un număr întreg, 2x trebuie să fie un multiplu al lui 4. Adică 2x = 4z, unde z este un număr întreg. De aici:

Voi înlocui valoarea lui x în expresia (1):

Deoarece x, y 0, apoi 19000 z 0, prin urmare, dând z valori întregi de la 0 la 19000, obțin următoarele valori ale lui x și y: z

Din datele reale despre costurile de transport, se știe că 1 tonă de motorină (x) costă 18.000 de ruble. , iar plata pentru șoferii care efectuează zborul (y) este de 10.000 de ruble. (date luate aproximativ). Din tabel aflăm că valoarea x egală cu 18000 și valoarea y egală cu 10000 corespund unei valori z egală cu 9000, într-adevăr: ;.

8. În câte moduri puteți colecta suma de 27 de ruble? , având destul de multe monede de două și cinci ruble?

Permiteți-mi să notez: x monede de două ruble și y monede de cinci ruble

Voi crea o ecuație, ținând cont de condiția problemei 2x + 5y = 27.

Voi găsi GCD(2;5)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (27-5y):2

Folosind metoda forței brute, găsesc valoarea y є y = 1, x = 11

(11;1) este o soluție particulară.

Toate celelalte soluții se găsesc folosind formulele: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z

Această ecuație are multe soluții. Să găsim toate modalitățile prin care puteți colecta suma de 27 de ruble cu monedele oferite. k

Răspuns. Există trei moduri prin care puteți colecta această sumă dacă aveți o mulțime de monede de două și cinci ruble.

9. Să presupunem că caracatițele și stelele de mare trăiesc într-un acvariu. Caracatițele au 8 picioare, iar stelele de mare au 5. Sunt 39 de membre în total Câte animale sunt în acvariu?

Fie x numărul de stele de mare, y numărul de caracatițe. Apoi, toate caracatițele au 8 picioare, iar toate stelele au 5 picioare.

Permiteți-mi să creez o ecuație: 5x + 8y = 39.

Vă rugăm să rețineți că numărul de animale nu poate fi exprimat ca numere neîntregi sau negative. Prin urmare, dacă x este un număr întreg nenegativ, atunci y = (39 - 5x)/8 trebuie să fie, de asemenea, un întreg și nenegativ și, prin urmare, este necesar ca expresia 39 - 5x să fie divizibil cu 8 fără a restul O simplă căutare a opțiunilor arată că acest lucru este posibil numai atunci când x = 3, atunci y = 3.

Răspuns: (3; 3).

10. O fabrică de mobilă produce taburete cu trei și patru picioare. Stăpânul a făcut 18 picioare. Câte scaune pot fi făcute astfel încât să poată fi folosite toate picioarele?

Fie x numărul de scaune cu trei picioare și y numărul de scaune cu patru picioare. Atunci, 3x + 4y = 18.

am, 4y =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.

Obțin: x = 2; y = 3 sau x = 6; y = 0.

Nu există alte soluții, deoarece x 6.

Răspuns. 2;3;(6;0).

11. Se pot caza 718 persoane in cabine cu 4 si 8 paturi, astfel incat sa nu fie locuri libere in cabine?

Fie cabinele cu 4 paturi să fie x, iar cabinele cu 8 paturi să fie y, atunci:

2(x + 2y) = 309

Răspuns. Este interzis.

12. Demonstrați că pe dreapta 124x + 216y = 515 nu există un singur punct cu coordonate întregi.

GCD(124,216) = 4, 515 != 4n, ceea ce înseamnă că nu există soluții întregi.

Răspuns. Nu există soluții.

13. Costul mărfurilor este de 23 de ruble, cumpărătorul are doar 2 monede de ruble, iar casieria are 5 monede de ruble. Este posibil să faceți o achiziție fără a face mai întâi un schimb de bani?

Fie x numărul de monede de 2 ruble, y numărul de monede de 5 ruble, apoi 2x - 5y = 23, unde x,y є N.

Obțin: 2x = 23 + 5y, de unde x =23 + 5y2 =11 + 2y + (1 + y)2 x va fi un număr întreg dacă 1 + y2 este un număr întreg.

1 + y2 = t, unde t Euro Z, apoi y = 2t - 1.

x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.

T. o. x = 5t + 9 și y = 2t - 1, unde t є z.

Problema are multe soluții întregi. Cel mai simplu dintre ele este pentru t = 1, x =14, y = 1, adică cumpărătorul va oferi paisprezece monede de 2 ruble și va primi o monedă de 5 ruble în schimb.

Răspuns. Can.

14. În timpul unui audit al registrelor comerciale ale magazinului, una dintre înregistrări s-a dovedit a fi acoperită cu cerneală și arăta astfel:

> Nu se putea desluși numărul de metri vânduți, dar nu era nicio îndoială că numărul nu era o fracțiune; în încasări a fost posibil să se distingă doar ultimele trei cifre și, de asemenea, a fost posibil să se stabilească că mai erau alte trei cifre în fața lor. Este posibil să restabiliți o înregistrare folosind aceste date?

Fie numărul de metri x, atunci costul mărfurilor în copeici este 4936x. Notăm totalul de trei cifre completate cu y, acesta este numărul de mii de copeici, iar întreaga sumă în copeici va fi exprimată după cum urmează (1000y + 728).

Obțin ecuația 4936x = 1000y + 728, o împart la 8.

617x - 125y = 91, unde x,y є z, x,y

125y = 617x - 91 y = 5x - 1 +34 - 8x125 = 5x - 1 + 2 17 - 4x125 =

5x - 1 + 2t, unde t = 17 - 4x125, t Euro Z.

Din ecuația t = (17 - 4x)/125 obținem x = 4 - 31t + 1 - t4 =

4 - 31t + t1, unde t1 = 1 - t4, deci t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.

După condiție știu că 100

100 = 234/617 și t1

Aceasta înseamnă că 98 de metri au fost vânduți pentru suma de 4837,28 ruble. Înregistrarea a fost restaurată.

Răspuns. 98 de metri eliberați.

15. Este necesar să cumpărați 40 de mărci poștale pentru o rublă - copeici, 4 copeici și 12 copeici. Câte timbre din fiecare denominație puteți cumpăra?

Puteți face două ecuații: x + 4y + 12z = 100 și x + y + z = 40, unde x este numărul de mărci penny, y este numărul de mărci de 4 copeci, z este numărul de mărci de 12 copeci . O scad pe a doua din prima ecuație și obținem:

3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11· z3.

Fie z3 = t, z = 3t, unde t Euro Z. Atunci obțin dacă x + y + z = 40 și z = 3t, și y = 20 - 11t, x = 20 + 8t.

Deoarece x >= 0, y >= 0, z >= 0, atunci 0

Atunci, în consecință, obțin: t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.

Așadar, achiziția de timbre se poate face doar în două moduri, iar dacă condiția este ca cel puțin o ștampilă din fiecare denumire să fie achiziționată, atunci doar într-un singur mod.

Răspuns. 28 de mărci de 1 copeici, 9 mărci de 4 copeici și 3 mărci de 12 copeici.

16. Un elev a primit o sarcină de 20 de probleme. Pentru fiecare întrebare rezolvată corect, primește 8 puncte, pentru fiecare întrebare nerezolvată i se scad 5 puncte. Pentru o sarcină pe care nu și-a asumat-o - 0 puncte. Elevul a obținut 13 puncte în total. Câte probleme s-a angajat să rezolve?

Fie problemele rezolvate corect x, problemele rezolvate incorect y, iar problemele neconsiderate z.

Atunci x + y + z = 20 și 8x - 5y = 13.

y = 8x - 135= x - 2 +3(x - 1)5 = x - 2 + 3t, ​​​​unde t = x - 15 și x = 5t + 1.

Prin condiția x + y

Răspuns: elevul a luat 13 probleme, a rezolvat 6 și a picat 7.

17. Ivanushka Proastul se luptă cu Șarpele Gorynych, care are 2001 capete. Balandu-si sabia spre stanga, Ivan taie 10 capete, iar in schimb 16 cresc. Puteți să vă balansați în orice ordine, dar dacă sunt mai puțin de 15 goluri, atunci doar spre stânga, iar dacă sunt mai puțin de 10, atunci deloc. Poate Ivanushka Nebunul să-l învingă pe Șarpele Gorynych?

Permiteți-mi să reformulez problema: este posibil să tăiați capete din 1986? Apoi Ivan va tăia restul de 15 cu o lovitură spre dreapta și nu vor crește altele noi.

Fie x numărul de lovituri la dreapta și y numărul de lovituri la stânga, apoi 1986 - 9x + 6y = 0.

Împărțim întreaga ecuație la 6, obțin

3x - 2y = 662.

y = 3x - 6622 = x - 331 + x2.

Fie x2 = t, apoi x = 2t și y = 3t - 331.

Deoarece x >= 0, y >= 0, atunci t >= 111, deci t = 111, x = 222, y = 2.

Obțin: lovind de 220 de ori în dreapta, Ivan îi taie 1980 de capete și Șarpelui mai are 21 de capete; apoi 2 lovituri la stânga și Șarpele crește 12 capete, făcând un total de 33; următoarele 2 lovituri la dreapta îl privează pe Șarpe de 18 capete și Ivan le taie pe celelalte 15 cu ultima lovitură în dreapta și nu crește cap nou.

Răspuns: 220 lovituri la dreapta, 2 lovituri la stânga și încă 3 lovituri la dreapta.

18. Laturile unui zar sunt numerotate - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Din 5 astfel de cuburi, au construit un turn și au numărat suma punctelor de pe toate fețele vizibile, după ce au scos cubul de sus, suma a scăzut cu 19, care număr s-a dovedit a fi marginea superioară a cubului de sus?

Suma punctelor unui cub este 21.

Fie x numărul de puncte de pe fața de jos a cubului de sus și y numărul de puncte de pe fața de sus a următorului cub. Când scoateți cubul de sus, punctele a 5 fețe ale cubului de sus dispar, suma punctelor cărora este (21 - x) și fața pe care apar punctele, ceea ce înseamnă că suma punctelor are a scăzut cu (21 - x) - y, iar conform condiției este 19, deci:

(21 - x) - y = 19, x + y = 2.

Prin urmare y = 2 - x și prin condiția 1

19. Cineva a cumpărat 30 de păsări pentru 30 de monede de aceeași valoare. Pentru fiecare 3 vrăbii plătiți 1 monedă, pentru 2 cintece - 1 monedă, pentru 1 porumbel - 2 monede. Câte păsări de fiecare tip au fost?

Să fie x vrăbii, y cintece și z porumbei. Apoi, conform condiției, x + y + z = 30 și 13x + 12y + 2z = 30.

Obțin x + y + z = 30 și 2x + 3y + 12z = 180, sau y + 10z = 120, y = 120 - 10z, unde prin condiția x

De aici următoarele opțiuni (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).

Răspuns: vrăbii - 0, cintece - 20, porumbei - 10; vrăbii - 9, cintece - 10, porumbei - 11; vrăbii - 18, cintece - 0, porumbei - 12.

20. Găsiți toate numerele de două cifre, fiecare dintre acestea, atunci când este redus cu 2, este egal cu de cinci ori produsul cifrelor sale.

Fie xy numerele necesare din două cifre.

Pentru ecuația xy - 2 = 5xy, sau (10x + y) - 5xy = 2 S = 0 și voi găsi toate soluțiile naturale din mulțimea (x; 2).

Deoarece x este prima cifră a numerelor din două cifre, poate lua doar 9 valori.

Că. , numerele necesare vor fi: 12, 22, 32,. , 92.

Răspuns. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.

21. O bucată de sârmă de 102 cm lungime trebuie tăiată în bucăți de 15 cm și 12 cm lungime, astfel încât să fie folosit tot firul. Cum să faci asta?

Fie x numărul de bucăți de sârmă de 15 cm lungime, y numărul de bucăți de sârmă de 12 cm lungime. Să creăm o ecuație:

15x+12y=102 /:3

4x+3y=34 x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.

Fie 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.

Dacă t=0, atunci x=6y=1

Dacă t=-1, atunci x=2y=6

Răspuns. Problema are două soluții:

1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.

22. Petya în 1987 era la fel de vechi ca suma cifrelor anului nașterii sale. În ce an s-a născut?

Să se nască Petya în 1919. Apoi, în 1987, avea 1987-19xy, sau (1+9+x+y) ani. Avem ecuația:

87-(10x+y)=10+x+y

77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.

Având în vedere că x și y sunt cifre ale sistemului numeric zecimal, găsim prin selecție: x=3, y=1.

Răspuns. Petya s-a născut în 1970.

23. Cineva cumpără un articol în valoare de 19 ruble într-un magazin. El are doar bancnote de 15 de trei ruble, în timp ce casierul are doar bancnote de 20 de cinci ruble. Pot plăti și cum?

Problema se rezumă la rezolvarea ecuației diofantine în numere întregi pozitive: 3x - 5y = 19, unde x

Datorita faptului ca x>0 si y > 0 si tinand cont de conditiile problemei, este usor de stabilit ca 0

Aceasta conduce la 2 valori posibile: x

Răspuns. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.

24. Este posibil să cântăriți 28 g dintr-o anumită substanță pe o cântar de cană, având doar 4 greutăți de 3 g și 7 greutăți de 5 g?

Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația:

x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.

Deci x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.

Din condiţiile problemei rezultă că lui y1 nu i se pot da valori negative. Următorul ar trebui să fie y1

Răspuns. 1 greutate în 3 g și 5 greutăți în 5 g.

25. Cumpărătorul a cumpărat din magazin pentru 21 de ruble. bunuri. Dar el are doar bancnote de 5 ruble, în timp ce casierul are 3 ruble. Vrei să știi dacă poți plăti casieria dacă ai bani și cum anume?

Fie x numărul 5 - ruble, y - 3 - ruble.

Prin condiție, x > 0, y > 0, adică.

De asemenea, t este par, altfel nici x, nici y nu vor fi numere întregi.

La t = 4, 6, 8,. avem: t

Răspuns. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).

26. Sunt 110 coli de hârtie. Este necesar să coaseți caiete de 8 coli și 10 coli fiecare. Câte ai nevoie pentru a coase?

Fie x numărul de caiete de 8 coli, y numărul de caiete de 10 coli.

Deci t = 0 sau t = - 1

Răspuns. 5;7;(10;3).

27. Multe metode antice de ghicire a numerelor și a datelor de naștere se bazează pe rezolvarea ecuațiilor diofantine. De exemplu, pentru a ghici data nașterii (luna și ziua) interlocutorului dvs., este suficient să-i cereți suma obținută în urma adunării a două produse: numărul datei (x) cu 12 și numărul lunii (y) cu 31. .

Fie suma produselor în cauză egală cu 330. Aflați data nașterii.

Să rezolvăm ecuația nedeterminată: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y2 + y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =

27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3

Deci, data nașterii: a 12-a zi a lunii a 6-a.

28. Este posibil să colectați suma de 51 de ruble cu monede de două și cinci ruble? Dacă este posibil, câte moduri există?

Să fie x monede de două ruble și monede de cinci ruble.

Fie 1+y2=z, atunci

=> z = 1, 2, 3, 4, 5

Răspuns: 5 moduri.

29. Se pot pune două sute de ouă în cutii de 10 și 12 bucăți? Dacă este posibil, găsiți toate astfel de modalități.

Să fie x cutii a câte 10 bucăți fiecare și lăsați cutiile să aibă câte 12 bucăți fiecare. Permiteți-mi să creez o ecuație: z = 1, 2, 3

Răspuns: 14;5;8;10;(2;15)

30. Imaginează-ți numărul 257 ca fiind suma a doi termeni naturali: a) dintre care unul este multiplu al lui 3, iar celălalt este multiplu al lui 4; b) dintre care unul este multiplu de 5, iar celălalt este multiplu de 8.

Raspuns: 1) 249 si 8; 2) 225 și 32.

În problemele care implică ecuații nedefinite, am întâlnit o mare varietate de cazuri: problema poate fi complet nerezolvabilă (Problema 4), poate avea un număr infinit de soluții (Problema 2), poate avea mai multe soluții definite; în special, poate avea o soluție unică (Problema 1).

CONCLUZIE

Scopul pe care mi l-am propus a fost atins. Lucrul la proiect a stârnit interes și m-a captivat. Această muncă mi-a cerut nu numai anumite cunoștințe matematice și perseverență, ci mi-a oferit și ocazia să simt marea bucurie a descoperirii independente.

Ecuațiile diofantine se găsesc în sarcinile olimpiadei, astfel încât ele dezvoltă gândirea logică, cresc nivelul de cultură matematică și insuflă abilități în activitatea de cercetare independentă în matematică.

La rezolvarea ecuatiilor si problemelor care se reduc la ecuatii diofantine se folosesc proprietatile numerelor prime, metoda factorizarii unui polinom, metoda enumerarii, metoda coborarii si algoritmul euclidian. După părerea mea, metoda de coborâre este cea mai dificilă. Dar metoda forței brute s-a dovedit a fi mai frumoasă pentru mine.

Am rezolvat 54 de probleme în munca mea.

Această lucrare a contribuit la o înțelegere mai profundă a curriculum-ului școlar și mi-a lărgit orizonturile.

Acest material va fi util pentru studenții interesați de matematică. Poate fi folosit în unele lecții și activități extracurriculare.