Un sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute numit un sistem al formei

Unde a ijŞi b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sunt câteva numere cunoscute și x 1 ,…,x n– necunoscut. În desemnarea coeficienţilor a ij primul indice i denotă numărul ecuației, iar al doilea j– numărul necunoscutului la care se află acest coeficient.

Vom scrie coeficienții pentru necunoscute sub forma unei matrice , pe care o vom numi matricea sistemului.

Numerele din partea dreaptă a ecuațiilor sunt b 1 ,…,b m sunt numite membri liberi.

Totalitate n numere c 1 ,…,c n numit decizie a unui sistem dat, dacă fiecare ecuație a sistemului devine o egalitate după înlocuirea numerelor în ea c 1 ,…,c nîn locul necunoscutelor corespunzătoare x 1 ,…,x n.

Sarcina noastră va fi să găsim soluții pentru sistem. În acest caz, pot apărea trei situații:

Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește comun. Altfel, i.e. dacă sistemul nu are soluții, atunci este numit nearticulată.

Să luăm în considerare modalități de a găsi soluții pentru sistem.

METODĂ MATRIXĂ PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINARE

Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:

Luați în considerare matricea sistemului și coloane de matrice de termeni necunoscuți și liberi

Să găsim de lucru

aceste. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale, acest sistem poate fi scris sub forma

sau mai scurt O∙X=B.

Iată matricele OŞi B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Este necesar să-l găsim, pentru că... elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.

Fie determinantul matricei diferit de zero | O| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei O: . Din moment ce A -1 A = EŞi E∙X = X, apoi obținem o soluție a ecuației matriceale sub forma X = A -1 B .

Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrice pătrată, metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, înregistrarea matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea O nu va fi pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.

Exemple. Rezolvarea sistemelor de ecuații.

REGULA LUI CRAMER

Să considerăm un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute:

Determinant de ordinul al treilea corespunzător matricei sistemului, i.e. compus din coeficienți pentru necunoscute,

numit determinant al sistemului.

Să mai compunem trei determinanți astfel: înlocuiți coloanele 1, 2 și 3 din determinantul D succesiv cu o coloană de termeni liberi

Apoi putem demonstra următorul rezultat.

Teoremă (regula lui Cramer). Dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are una și o singură soluție și

Dovada. Deci, să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A 11 element un 11, a 2-a ecuație – activată A 21și al 3-lea – pe A 31:

Să adăugăm aceste ecuații:

Să ne uităm la fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Prin teorema expansiunii determinantului în elementele coloanei I

În mod similar, se poate demonstra că și .

În cele din urmă, este ușor de observat asta

Astfel, obținem egalitatea: .

Prin urmare, .

Egalitățile și sunt derivate în mod similar, din care urmează enunțul teoremei.

Astfel, observăm că dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică și invers. Dacă determinantul sistemului este egal cu zero, atunci sistemul fie are un număr infinit de soluții, fie nu are soluții, adică. incompatibil.

Exemple. Rezolvarea sistemului de ecuații

METODA GAUSS

Metodele discutate anterior pot fi folosite pentru a rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute, iar determinantul sistemului trebuie să fie diferit de zero. Metoda Gauss este mai universală și potrivită pentru sisteme cu orice număr de ecuații. Constă în eliminarea secvenţială a necunoscutelor din ecuaţiile sistemului.

Să considerăm din nou un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:

.

Vom lăsa prima ecuație neschimbată, iar din a 2-a și a 3-a vom exclude termenii care conțin x 1. Pentru a face acest lucru, împărțiți a doua ecuație la O 21 și înmulțiți cu – O 11, apoi adăugați-l la prima ecuație. În mod similar, împărțim a treia ecuație la O 31 și înmulțiți cu - O 11, apoi adăugați-l cu primul. Ca rezultat, sistemul original va lua forma:

Acum din ultima ecuație eliminăm termenul care conține x 2. Pentru a face acest lucru, împărțiți a treia ecuație cu, înmulțiți cu și adăugați cu a doua. Atunci vom avea un sistem de ecuații:

De aici, din ultima ecuație este ușor de găsit x 3, apoi din a 2-a ecuație x 2 si in final, de la 1 - x 1.

Când se utilizează metoda Gauss, ecuațiile pot fi schimbate dacă este necesar.

Adesea, în loc să scrie un nou sistem de ecuații, ei se limitează la a scrie matricea extinsă a sistemului:

și apoi aduceți-o într-o formă triunghiulară sau diagonală folosind transformări elementare.

LA transformări elementare matricele includ următoarele transformări:

1. rearanjarea rândurilor sau coloanelor;
2. înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;
3. adăugarea altor linii la o singură linie.

Exemple: Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gauss.

Astfel, sistemul are un număr infinit de soluții.

Ecuațiile în general, ecuațiile algebrice liniare și sistemele lor, precum și metodele de rezolvare a acestora, ocupă un loc aparte în matematică, atât teoretică, cât și aplicată.

Acest lucru se datorează faptului că marea majoritate a problemelor fizice, economice, tehnice și chiar pedagogice pot fi descrise și rezolvate folosind o varietate de ecuații și sistemele acestora. Recent, modelarea matematică a câștigat o popularitate deosebită în rândul cercetătorilor, oamenilor de știință și practicienilor din aproape toate domeniile, ceea ce se explică prin avantajele sale evidente față de alte metode bine-cunoscute și dovedite pentru studierea obiectelor de diferite naturi, în special așa-numitul complex. sisteme. Există o mare varietate de definiții diferite ale unui model matematic dat de oamenii de știință în momente diferite, dar în opinia noastră, cea mai de succes este următoarea afirmație. Un model matematic este o idee exprimată printr-o ecuație. Astfel, capacitatea de a compune și rezolva ecuații și sistemele acestora este o caracteristică integrală a unui specialist modern.

Pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare, cele mai frecvent utilizate metode sunt Cramer, Jordan-Gauss și metoda matricei.

Metoda soluției matriceale este o metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare cu un determinant diferit de zero folosind o matrice inversă.

Dacă scriem coeficienții pentru mărimile necunoscute xi în matricea A, colectăm mărimile necunoscute în coloana vectorială X și termenii liberi în coloana vectorială B, atunci sistemul de ecuații algebrice liniare poate fi scris sub forma: urmând ecuația matricei A · X = B, care are o soluție unică numai atunci când determinantul matricei A nu este egal cu zero. În acest caz, soluția sistemului de ecuații poate fi găsită în felul următor X = O-1 · B, Unde O-1 este matricea inversă.

Metoda soluției matriceale este următoarea.

Să ni se dea un sistem de ecuații liniare cu n necunoscut:

Poate fi rescris sub formă de matrice: TOPOR = B, Unde O- matricea principală a sistemului, BŞi X- coloane de termeni liberi și soluții ale sistemului, respectiv:

Să înmulțim această ecuație matriceală din stânga cu O-1 - matricea inversă a matricei O: O -1 (TOPOR) = O -1 B

Deoarece O -1 O = E, primim X= A -1 B. Partea dreaptă a acestei ecuații va oferi coloana soluție a sistemului original. Condiția pentru aplicabilitatea acestei metode (precum și existența generală a unei soluții la un sistem neomogen de ecuații liniare cu numărul de ecuații egal cu numărul de necunoscute) este nedegenerarea matricei. O. O condiție necesară și suficientă pentru aceasta este ca determinantul matricei să nu fie egal cu zero O:det O≠ 0.

Pentru un sistem omogen de ecuații liniare, adică atunci când vectorul B = 0 , regula inversă este adevărată: sistemul TOPOR = 0 are o soluție non-trivială (adică non-zero) numai dacă det O= 0. O astfel de conexiune între soluțiile sistemelor omogene și neomogene de ecuații liniare se numește alternativa Fredholm.

Exemplu soluții la un sistem neomogen de ecuații algebrice liniare.

Să ne asigurăm că determinantul matricei, compus din coeficienții necunoscutelor sistemului de ecuații algebrice liniare, nu este egal cu zero.

Următorul pas este calcularea complementelor algebrice pentru elementele matricei formate din coeficienții necunoscutelor. Ele vor fi necesare pentru a găsi matricea inversă.

Să fie o matrice pătrată de ordinul al n-lea

Se numește matricea A -1 matrice inversăîn raport cu matricea A, dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea.

Matricea identitară- o astfel de matrice pătrată în care toate elementele de-a lungul diagonalei principale, care trec din colțul din stânga sus în colțul din dreapta jos, sunt unul, iar restul sunt zerouri, de exemplu:

Matrice inversă poate exista numai pentru matrice pătrată aceste. pentru acele matrici în care numărul de rânduri și coloane coincide.

Teorema pentru condiția de existență a unei matrici inverse

Pentru ca o matrice să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca aceasta să fie nesingulară.

Se numește matricea A = (A1, A2,...A n). nedegenerate, dacă vectorii coloanei sunt liniar independenți. Numărul de vectori de coloană liniar independenți ai unei matrice se numește rangul matricei. Prin urmare, putem spune că pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acesteia, adică. r = n.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Scrieți matricea A în tabelul pentru rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gaussiană și atribuiți-i matricea E din dreapta (în loc de părțile din dreapta ale ecuațiilor).
2. Folosind transformările Jordan, reduceți matricea A la o matrice formată din coloane de unitate; în acest caz, este necesară transformarea simultană a matricei E.
3. Dacă este necesar, rearanjați rândurile (ecuațiile) ultimului tabel astfel încât sub matricea A a tabelului original să obțineți matricea de identitate E.
4. Notați matricea inversă A -1, care se află în ultimul tabel sub matricea E a tabelului original.

Exemplul 1

Pentru matricea A, găsiți matricea inversă A -1

Rezolvare: Scriem matricea A și atribuim matricea de identitate E la dreapta Folosind transformările Jordan, reducem matricea A la matricea de identitate E. Calculele sunt date în Tabelul 31.1.

Să verificăm corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală A și matricea inversă A -1.

Ca rezultat al înmulțirii matricei s-a obținut matricea de identitate. Prin urmare, calculele au fost efectuate corect.

Răspuns:

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuațiile matriceale pot arăta astfel:

AX = B, HA = B, AXB = C,

unde A, B, C sunt matricele specificate, X este matricea dorită.

Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțirea ecuației cu matrici inverse.

De exemplu, pentru a găsi matricea din ecuație, trebuie să înmulțiți această ecuație cu din stânga.

Prin urmare, pentru a găsi o soluție la ecuație, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți cu matricea din partea dreaptă a ecuației.

Alte ecuații se rezolvă în mod similar.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația AX = B dacă

Soluţie: Deoarece matricea inversă este egală cu (vezi exemplul 1)

Metoda matriceală în analiza economică

Alături de altele, sunt și ele folosite metode matriceale. Aceste metode se bazează pe algebră liniară și vector-matrice. Astfel de metode sunt utilizate în scopul analizării fenomenelor economice complexe și multidimensionale. Cel mai adesea, aceste metode sunt utilizate atunci când este necesar să se facă o evaluare comparativă a funcționării organizațiilor și a diviziunilor lor structurale.

În procesul de aplicare a metodelor de analiză matriceală se pot distinge mai multe etape.

La prima etapă se formează un sistem de indicatori economici și pe baza acestuia este compilată o matrice de date inițiale, care este un tabel în care numerele sistemului sunt afișate în rândurile sale individuale (i = 1,2,....,n), iar în coloane verticale - numere de indicatori (j = 1,2,....,m).

La a doua etapă Pentru fiecare coloană verticală, este identificată cea mai mare dintre valorile indicatorului disponibile, care este luată ca una.

După aceasta, toate sumele reflectate în această coloană sunt împărțite la cea mai mare valoare și se formează o matrice de coeficienți standardizați.

La a treia etapă toate componentele matricei sunt la pătrat. Dacă au semnificații diferite, atunci fiecărui indicator matrice i se atribuie un anumit coeficient de greutate k. Valoarea acestuia din urmă este determinată de opinia expertului.

Pe ultimul, a patra etapă au găsit valori de rating Rj sunt grupate în ordinea creșterii sau scăderii lor.

Metodele matricei prezentate ar trebui utilizate, de exemplu, într-o analiză comparativă a diferitelor proiecte de investiții, precum și în evaluarea altor indicatori economici ai organizațiilor.

Acest calculator online rezolvă un sistem de ecuații liniare folosind metoda matricei. Se oferă o soluție foarte detaliată. Pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare, selectați numărul de variabile. Alegeți o metodă de calcul a matricei inverse. Apoi introduceți datele în celule și faceți clic pe butonul „Calculați”.

×

Avertizare

Ștergeți toate celulele?

Închide Clear

Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623, etc.), zecimale (ex. 67., 102.54, etc.) sau fracții. Fracția trebuie introdusă sub forma a/b, unde a și b sunt numere întregi sau zecimale. Exemplele 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 etc.

Metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

Luați în considerare următorul sistem de ecuații liniare:

Având în vedere definiția unei matrici inverse, avem O −1 O=E, Unde E- matricea identitară. Prin urmare (4) se poate scrie după cum urmează:

Astfel, pentru a rezolva sistemul de ecuații liniare (1) (sau (2)), este suficient să înmulțim inversul lui O matrice pe vector de constrângere b.

Exemple de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare folosind metoda matricei

Exemplul 1. Rezolvați următorul sistem de ecuații liniare folosind metoda matricei:

Să găsim inversul matricei A folosind metoda Jordan-Gauss. Pe partea dreaptă a matricei O Să scriem matricea de identitate:

Să excludem elementele primei coloane a matricei de sub diagonala principală. Pentru a face acest lucru, adăugați liniile 2,3 cu linia 1, înmulțite cu -1/3, respectiv -1/3:

Să excludem elementele coloanei a 2-a a matricei de sub diagonala principală. Pentru a face acest lucru, adăugați linia 3 cu linia 2 înmulțită cu -24/51:

Să excludem elementele coloanei a 2-a a matricei deasupra diagonalei principale. Pentru a face acest lucru, adăugați linia 1 cu linia 2 înmulțită cu -3/17:

Separați partea dreaptă a matricei. Matricea rezultată este matricea inversă a O :

Forma matriceală de scriere a unui sistem de ecuații liniare: Ax=b, Unde

Să calculăm toate complementele algebrice ale matricei O:

,

,

,

,

,

Unde O ij − complement algebric al unui element de matrice O, situat la intersectie i-a linia și j-a coloană, iar Δ este determinantul matricei O.

Folosind formula matricei inverse, obținem:

Conform formulelor lui Cramer;

metoda Gauss;

Soluţie: Teorema Kronecker-Capelli. Un sistem este consecvent dacă și numai dacă rangul matricei acestui sistem este egal cu rangul matricei sale extinse, i.e. r(O)=r(A 1), Unde

Matricea extinsă a sistemului arată astfel:

Înmulțiți prima linie cu ( –3 ), iar al doilea la ( 2 ); După aceasta, adăugați elementele primei linii la elementele corespunzătoare din a doua linie; scade pe a treia din a doua linie. În matricea rezultată, lăsăm primul rând neschimbat.

6 ) și schimbați a doua și a treia linie:

Înmulțiți a doua linie cu ( –11 ) și adăugați la elementele corespunzătoare din a treia linie.

Împărțiți elementele celei de-a treia linii la ( 10 ).

Să găsim determinantul matricei O.

Prin urmare, r(O)=3 . Rang matrice extins r(A 1) este de asemenea egală 3 , adică

r(O)=r(A 1)=3 Þ Sistemul este cooperant.

1) La examinarea consistenței sistemului, matricea extinsă a fost transformată folosind metoda Gaussiană.

Metoda gaussiana este urmatoarea:

1. Reducerea matricei la o formă triunghiulară, adică ar trebui să existe zerouri sub diagonala principală (mișcare directă).

2. Din ultima ecuație găsim x 3și înlocuiți-l în al doilea, găsim x 2, și știind x 3, x 2 le substituim în prima ecuație, găsim x 1(verso).

Să scriem matricea extinsă transformată în Gaussi

sub forma unui sistem de trei ecuații:

Þ x 3 =1

x 2 = x 3Þ x 3 =1

2x 1 =4+x 2 +x 3Þ 2x 1 =4+1+1Þ

Þ 2x 1 =6 Þ x 1 =3

.

2) Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer: dacă determinantul sistemului de ecuații Δ este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică, care se găsește folosind formulele

Să calculăm determinantul sistemului Δ:

Deoarece Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci, conform regulii lui Cramer, sistemul are o soluție unică. Să calculăm determinanții Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Ele se obțin din determinantul sistemului Δ prin înlocuirea coloanei corespunzătoare cu o coloană de coeficienți liberi.

Găsim necunoscutele folosind formulele:

Răspuns: x 1 =3, x 2 =1, x 3 =1 .

3) Să rezolvăm sistemul folosind calculul matriceal, adică folosind matricea inversă.

A×X=B Þ X=A -1 × B, Unde A -1– matrice inversă la O,

Coloana membrilor liberi,

Matrice-coloană de necunoscute.

Matricea inversă se calculează folosind formula:

Unde D- determinant matriceal O, A ij– complemente algebrice ale elementului a ij matrici O. D= 60 (din paragraful anterior). Determinantul este diferit de zero, prin urmare, matricea A este inversabilă, iar matricea sa inversă poate fi găsită folosind formula (*). Să găsim complemente algebrice pentru toate elementele matricei A folosind formula:

Și ij =(-1 )i+j M ij .

x 1, x 2, x 3 au transformat fiecare ecuație într-o identitate, apoi au fost găsite corect.

Exemplul 6. Rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană și găsiți oricare două soluții de bază ale sistemului.