Cum ?
Exemple de soluții
Dacă ceva lipsește undeva, înseamnă că este ceva undeva
Continuăm să studiem secțiunea „Funcții și grafice”, iar următoarea stație din călătoria noastră este. O discuție activă a acestui concept a început în articolul despre seturi și a continuat în prima lecție despre grafice de funcții, unde am analizat funcțiile elementare și, în special, domeniile lor de definire. Prin urmare, recomand ca manechinele să înceapă cu elementele de bază ale subiectului, deoarece nu mă voi opri din nou asupra unor puncte de bază.
Se presupune că cititorul cunoaște domeniul de definire al următoarelor funcții: funcții liniare, pătratice, cubice, polinoame, exponențiale, sinus, cosinus. Ele sunt definite pe (mulțimea tuturor numerelor reale). Pentru tangente, arcsinus, așa să fie, vă iert =) - graficele mai rare nu sunt amintite imediat.
Sfera de aplicare pare a fi un lucru simplu și apare o întrebare logică: despre ce va fi articolul? În această lecție mă voi uita la problemele comune de găsire a domeniului unei funcții. Mai mult, vom repeta inegalități cu o variabilă, ale căror abilități de rezolvare vor fi cerute și în alte probleme de matematică superioară. Materialul, apropo, este tot material școlar, așa că va fi util nu numai elevilor, ci și elevilor. Informațiile, desigur, nu pretind a fi enciclopedice, dar aici nu sunt exemple exagerate de „moarte”, ci castane prăjite, care sunt preluate din adevărate lucrări practice.
Să începem cu o scufundare rapidă în subiect. Pe scurt despre principalul lucru: vorbim despre o funcție a unei variabile. Domeniul său de definire este multe sensuri ale lui "x", pentru care exista sensuri ale „jucătorilor”. Să ne uităm la un exemplu ipotetic: 
Domeniul de definire al acestei funcții este o uniune de intervale:
(pentru cei care au uitat: - pictograma unirii). Cu alte cuvinte, dacă luați orice valoare a lui „x” din intervalul , sau din , sau din , atunci pentru fiecare astfel de „x” va exista o valoare „y”.
În linii mari, acolo unde este domeniul definiției, există un grafic al funcției. Dar semi-intervalul și punctul „tse” nu sunt incluse în zona de definiție și nu există nici un grafic acolo.
Cum să găsiți domeniul unei funcții? Mulți oameni își amintesc rima pentru copii: „piatră, hârtie, foarfece”, iar în acest caz poate fi parafrazată în siguranță: „rădăcină, fracție și logaritm”. Astfel, dacă întâlnești o fracțiune, rădăcină sau logaritm pe calea vieții tale, ar trebui să fii imediat foarte, foarte precaut! Tangenta, cotangente, arcsinus, arccosinus sunt mult mai puțin frecvente și vom vorbi și despre ele. Dar mai întâi, schițe din viața furnicilor:
Domeniul unei funcții care conține o fracție
Să presupunem că ni se dă o funcție care conține o fracție. După cum știți, nu puteți împărți la zero: , deci acelea Valorile „X” care transformă numitorul la zero nu sunt incluse în domeniul de aplicare al acestei funcții.
Nu mă voi opri asupra celor mai simple funcții precum 
etc., deoarece toată lumea vede perfect punctele care nu sunt incluse în domeniul său de definire. Să ne uităm la fracții mai semnificative:
Exemplul 1
Găsiți domeniul unei funcții
Soluţie: Nu există nimic special în numărător, dar numitorul trebuie să fie diferit de zero. Să-l setăm egal cu zero și să încercăm să găsim punctele „rele”:
Ecuația rezultată are două rădăcini: 
. Valorile datelor nu fac parte din domeniul de aplicare al funcției. Într-adevăr, înlocuiți sau în funcție și veți vedea că numitorul ajunge la zero.
Răspuns: domeniul de aplicare al definiției: 
Intrarea sună astfel: „domeniul definiției sunt toate numerele reale, cu excepția mulțimii constând din valori 
" Permiteți-mi să vă reamintesc că simbolul barei oblice inverse în matematică denotă scăderea logică, iar parantezele denotă set. Răspunsul poate fi scris în mod echivalent ca o uniune a trei intervale:
Cui îi place.
La puncte 
funcția tolerează pauze nesfârșite, și dreptele date de ecuații 
sunt asimptote verticale pentru graficul acestei funcții. Cu toate acestea, acesta este un subiect ușor diferit și, în continuare, nu voi concentra prea multă atenție asupra acestui subiect.
Exemplul 2
Găsiți domeniul unei funcții
Sarcina este în esență orală și mulți dintre voi veți găsi aproape imediat zona de definiție. Răspunsul este la sfârșitul lecției.
Va fi întotdeauna o fracțiune „rea”? Nu. De exemplu, o funcție este definită pe întreaga linie numerică. Indiferent de valoarea lui „x” luăm, numitorul nu va merge la zero, în plus, va fi întotdeauna pozitiv: . Astfel, sfera acestei funcții este: .
Toate funcțiile ca 
definite şi continuu pe .
Situația este puțin mai complicată când numitorul este ocupat de un trinom pătratic:
Exemplul 3
Găsiți domeniul unei funcții 
Soluţie: Să încercăm să găsim punctele în care numitorul ajunge la zero. Pentru asta vom decide ecuație pătratică:
Discriminantul s-a dovedit a fi negativ, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini reale, iar funcția noastră este definită pe întreaga axă a numerelor.
Răspuns: domeniul de aplicare al definiției:
Exemplul 4
Găsiți domeniul unei funcții 
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției. Vă sfătuiesc să nu fi leneș cu probleme simple, deoarece neînțelegerile se vor acumula cu alte exemple.
Domeniul unei funcții cu rădăcină
Funcția rădăcină pătrată este definită numai pentru acele valori ale lui „x” când expresia radicală este nenegativă: . Dacă rădăcina este situată în numitor , atunci condiția este în mod evident strânsă: . Calcule similare sunt valabile pentru orice rădăcină de grad par pozitiv: 
, totuși, rădăcina este deja de gradul 4 în studii functionale Nu-mi amintesc.
Exemplul 5
Găsiți domeniul unei funcții 
Soluţie: expresia radicală trebuie să fie nenegativă:
Înainte de a continua cu soluția, permiteți-mi să vă reamintesc regulile de bază de lucru cu inegalitățile, cunoscute de la școală.
Acord o atenție deosebită! Acum luăm în considerare inegalitățile cu o variabilă- adică pentru noi există doar o dimensiune de-a lungul axei. Vă rugăm să nu confundați cu inegalitățile a două variabile, unde întregul plan de coordonate este implicat geometric. Există însă și coincidențe plăcute! Deci, pentru inegalitate, următoarele transformări sunt echivalente:
1) Condițiile pot fi transferate dintr-o parte în parte prin modificarea lor (termenii) semne.
2) Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite cu un număr pozitiv.
3) Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu negativ numărul, atunci trebuie să îl schimbați semn al inegalității în sine. De exemplu, dacă a existat „mai mult”, atunci va deveni „mai puțin”; dacă a fost „mai mic decât sau egal”, atunci va deveni „mai mare decât sau egal”.
În inegalitate, mutam „trei” în partea dreaptă cu o schimbare de semn (regula nr. 1):
Să înmulțim ambele părți ale inegalității cu –1 (regula nr. 3):
Să înmulțim ambele părți ale inegalității cu (regula nr. 2):
Răspuns: domeniul de aplicare al definiției: 
Răspunsul poate fi scris și într-o frază echivalentă: „funcția este definită la ”.
Geometric, zona de definire este reprezentată prin umbrirea intervalelor corespunzătoare pe axa absciselor. În acest caz:
Încă o dată vă reamintesc de semnificația geometrică a domeniului de definiție - graficul funcției 
există doar în zona umbrită și lipsește la .
În cele mai multe cazuri, o determinare pur analitică a domeniului de definiție este potrivită, dar atunci când funcția este foarte complicată, ar trebui să desenați o axă și să faceți note.
Exemplul 6
Găsiți domeniul unei funcții
Acesta este un exemplu de rezolvat singur.
Când există un binom pătrat sau un trinom sub rădăcina pătrată, situația devine puțin mai complicată, iar acum vom analiza în detaliu tehnica soluției:
Exemplul 7
Găsiți domeniul unei funcții 
Soluţie: expresia radicală trebuie să fie strict pozitivă, adică trebuie să rezolvăm inegalitatea. La primul pas, încercăm să factorăm trinomul pătratic: 
Discriminantul este pozitiv, căutăm rădăcini: 
Deci parabola 
intersectează axa x în două puncte, ceea ce înseamnă că o parte a parabolei este situată sub axă (inegalitatea), iar o parte a parabolei este situată deasupra axei (inegalitatea de care avem nevoie).
Deoarece coeficientul este , ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. Din cele de mai sus rezultă că inegalitatea este satisfăcută pe intervale (ramurile parabolei merg în sus la infinit), iar vârful parabolei este situat pe intervalul de sub axa x, care corespunde inegalității:
! Nota:
Dacă nu înțelegeți pe deplin explicațiile, vă rugăm să desenați a doua axă și întreaga parabola! Este recomandabil să reveniți la articol și manual Formule fierbinți pentru cursul școlar de matematică.
Vă rugăm să rețineți că punctele în sine sunt eliminate (nu sunt incluse în soluție), deoarece inegalitatea noastră este strictă.
Răspuns: domeniul de aplicare al definiției:
În general, multe inegalități (inclusiv cea considerată) sunt rezolvate de universal metoda intervalului, cunoscut din nou din programa școlară. Dar în cazul binoamelor pătrate și trinoamelor, după părerea mea, este mult mai convenabil și mai rapid să analizăm locația parabolei în raport cu axa. Și vom analiza metoda principală - metoda intervalului - în detaliu în articol. Zerourile funcției. Intervale de constanță.
Exemplul 8
Găsiți domeniul unei funcții
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Eșantionul comentează în detaliu logica raționamentului + a doua metodă de rezolvare și o altă transformare importantă a inegalității, fără cunoștință de care elevul va șchiopăta pe un picior..., ...hmm... Presupun că am prins entuziasmat de picior, mai degrabă, pe un deget. Degetul mare.
Poate fi definită o funcție rădăcină pătrată pe întreaga linie numerică? Cu siguranţă. Toate fețele cunoscute: . Sau o sumă similară cu un exponent: . Într-adevăr, pentru orice valori ale lui „x” și „ka”: , prin urmare și .
Iată un exemplu mai puțin evident: 
. Aici discriminantul este negativ (parabola nu intersectează axa x), în timp ce ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, de unde și domeniul de definiție: .
Întrebarea opusă: poate fi domeniul de definire al unei funcții gol? Da, și un exemplu primitiv se sugerează imediat 
, unde expresia radicală este negativă pentru orice valoare a lui „x”, iar domeniul de definiție: (pictogramă set gol). O astfel de funcție nu este deloc definită (desigur, graficul este și iluzoriu).
Cu rădăcini ciudate 
etc. totul este mult mai bine - aici expresia radicală poate fi negativă. De exemplu, o funcție este definită pe întreaga linie numerică. Cu toate acestea, funcția are un singur punct care încă nu este inclus în domeniul definiției, deoarece numitorul este setat la zero. Din același motiv pentru funcție 
punctele sunt excluse.
Domeniul unei funcții cu un logaritm
A treia funcție comună este logaritmul. Ca exemplu, voi desena logaritmul natural, care apare în aproximativ 99 de exemple din 100. Dacă o anumită funcție conține un logaritm, atunci domeniul său de definiție ar trebui să includă doar acele valori ale lui „x” care satisfac inegalitatea. Dacă logaritmul este la numitor: , atunci în plus se impune o condiție (din moment ce ).
Exemplul 9
Găsiți domeniul unei funcții
Soluţie: în conformitate cu cele de mai sus, vom compune și rezolva sistemul: 
Soluție grafică pentru manechine:
Răspuns: domeniul de aplicare al definiției:
Mă voi opri asupra unui alt punct tehnic - nu am scara indicată și diviziunile de-a lungul axei nu sunt marcate. Apare întrebarea: cum să faci astfel de desene într-un caiet pe hârtie în carouri? Distanța dintre puncte ar trebui măsurată de celule strict în funcție de scară? Este mai canonic și mai strict, desigur, la scară, dar un desen schematic care reflectă în mod fundamental situația este, de asemenea, destul de acceptabil.
Exemplul 10
Găsiți domeniul unei funcții 
Pentru a rezolva problema, puteți utiliza metoda din paragraful anterior - analizați modul în care parabola este situată în raport cu axa x. Răspunsul este la sfârșitul lecției.
După cum puteți vedea, în domeniul logaritmilor totul este foarte asemănător cu situația cu rădăcini pătrate: funcția 
(trinomul pătrat din Exemplul nr. 7) este definit pe intervale, iar funcția 
(binomul pătrat din Exemplul nr. 6) pe intervalul . Este jenant să spunem chiar că funcțiile de tip sunt definite pe întreaga linie numerică.
Informații utile
: funcția tipică este interesantă, este definită pe întreaga linie numerică cu excepția punctului. Conform proprietății logaritmului, „doi” pot fi înmulțiți în afara logaritmului, dar pentru ca funcția să nu se schimbe, „x” trebuie să fie inclus sub semnul modulului: 
. Iată o altă „aplicație practică” a modulului =). Aceasta este ceea ce trebuie să faceți în majoritatea cazurilor când demolați chiar grad, de exemplu: 
. Dacă baza gradului este evident pozitivă, de exemplu, atunci nu este nevoie de semnul modulului și este suficient să folosiți paranteze: .
Pentru a evita repetarea, să complicăm sarcina:
Exemplul 11
Găsiți domeniul unei funcții 
Soluţie: în această funcție avem atât o rădăcină, cât și un logaritm.
Expresia radicală trebuie să fie nenegativă: , iar expresia sub semnul logaritmului trebuie să fie strict pozitivă: . Astfel, este necesar să se rezolve sistemul:
Mulți dintre voi știu foarte bine sau ghiciți intuitiv că soluția de sistem trebuie să satisfacă tuturor stare.
Examinând locația parabolei față de axă, ajungem la concluzia că inegalitatea este satisfăcută de intervalul (umbrire albastră):
Inegalitatea corespunde în mod evident semiintervalului „roșu”.
Deoarece ambele condiții trebuie îndeplinite simultan, atunci soluția sistemului este intersecția acestor intervale. „Interesele comune” sunt îndeplinite la pauză.
Răspuns: domeniul de aplicare al definiției:
Inegalitatea tipică, așa cum este demonstrată în Exemplul nr. 8, nu este dificil de rezolvat analitic.
Domeniul găsit nu se va modifica pentru „funcții similare”, de ex. 
sau 
. De asemenea, puteți adăuga câteva funcții continue, de exemplu: , sau astfel: 
, sau chiar așa: . După cum se spune, rădăcina și logaritmul sunt lucruri încăpățânate. Singurul lucru este că, dacă una dintre funcții este „resetată” la numitor, atunci domeniul de definiție se va schimba (deși în cazul general acest lucru nu este întotdeauna adevărat). Ei bine, în teoria matan despre acest verbal... oh... există teoreme.
Exemplul 12
Găsiți domeniul unei funcții 
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Utilizarea unui desen este destul de potrivită, deoarece funcția nu este cea mai simplă.
Încă câteva exemple pentru a consolida materialul:
Exemplul 13
Găsiți domeniul unei funcții
Soluţie: să compunem și să rezolvăm sistemul: 
Toate acțiunile au fost deja discutate pe parcursul articolului. Să descriem intervalul corespunzător inegalității pe dreapta numerică și, conform celei de-a doua condiții, eliminăm două puncte:
Sensul s-a dovedit a fi complet irelevant.
Răspuns: domeniu de definire
Un mic joc de matematică pe o variație a celui de-al 13-lea exemplu:
Exemplul 14
Găsiți domeniul unei funcții 
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Cei care au ratat-o au ghinion ;-)
Secțiunea finală a lecției este dedicată funcțiilor mai rare, dar și „de lucru”:
Zone de definire a funcției
cu tangente, cotangente, arcsinus, arccosinus
Dacă o funcție include , atunci din domeniul său de definiție exclus puncte 
, Unde Z– un set de numere întregi. În special, așa cum se menționează în articol Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare, funcția are următoarele valori:
Adică domeniul de definire al tangentei: 
.
Să nu ucidem prea mult:
Exemplul 15
Găsiți domeniul unei funcții
Soluţie: în acest caz, următoarele puncte nu vor fi incluse în domeniul definiției:
Să aruncăm „doi” din partea stângă în numitorul din dreapta:
Ca urmare 
:
Răspuns: domeniul de aplicare al definiției: 
.
În principiu, răspunsul poate fi scris ca o unire a unui număr infinit de intervale, dar construcția va fi foarte greoaie:
Soluția analitică este complet în concordanță cu transformarea geometrică a graficului: dacă argumentul unei funcții este înmulțit cu 2, atunci graficul acesteia se va micșora la axă de două ori. Observați cum perioada funcției a fost redusă la jumătate și puncte de pauză dublat în frecvență. tahicardie.
O poveste similară cu cotangent. Dacă o funcție include , atunci punctele sunt excluse din domeniul său de definire. În special, pentru funcția de explozie automată filmăm următoarele valori:
Cu alte cuvinte:
Felicitări, dragi cititori!
Am ajuns în sfârșit rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Acum vom rezolva mai multe ecuații care sunt similare sarcinilor de examinare unificată de stat. Desigur, la examenul real, sarcinile vor fi puțin mai dificile, dar esența va rămâne aceeași.
În primul rând, să ne uităm la o ecuație ușoară (am rezolvat deja unele similare în lecțiile anterioare, dar repetarea lor este întotdeauna utilă).
$$(2\cos x + 1) (2\sin x - \sqrt(3)) = 0.$$
Cred că explicațiile despre cum să decideți nu sunt necesare.
$$2\cos x + 1 = 0 \text( sau ) 2\sin x - \sqrt(3) =0,$$
$$\cos x = -\frac(1)(2) \text( sau ) \sin x = \frac(\sqrt(3))(2),$$
Linia punctată orizontală marchează soluție pentru ecuația cu sinus, vertical - cu cosinus.
Astfel, soluția finală poate fi scrisă, de exemplu, astfel:
$$\left[ \begin(array)(l)x= \pm \frac(2\pi)(3),\\x = \frac(\pi)(3)+2\pi k. \end(matrice)\right.$$
Ecuație trigonometrică cu ODZ
$$(1+\cos x)\left(\frac(1)(\sin x) - 1\right) = 0.$$
O diferență importantă în acest exemplu este că în numitor apare un sinus. Deși am rezolvat puțin ecuații similare în lecțiile anterioare, merită să ne oprim asupra ODZ mai detaliat.
ODZ
`\sin x \neq 0 \Rightarrow x \neq \pi k`. Când vom marca soluția pe cerc, vom marca această serie de rădăcini cu puncte special perforate (deschise) pentru a arăta că `x` nu poate lua astfel de valori.
Soluţie
Să reducem la un numitor comun și apoi să echivalăm alternativ ambele paranteze la zero.
$$(1+\cos x)\left(\frac(1-\sin x)(\sin x)\right) = 0,$$
$$1+\cos x = 0 \text( sau ) \frac(1-\sin x)(\sin x) = 0,$$
$$\cos x = -1 \text( sau ) \sin x=1.$$
Sper că rezolvarea acestor ecuații nu va crea dificultăți.
Serii de rădăcini - soluții ale ecuației - sunt prezentate mai jos cu puncte roșii. ODZ este marcat cu albastru în figură.
Astfel, înțelegem că soluția ecuației `\cos x = -1` nu satisface ODZ.
Răspunsul va fi doar o serie de rădăcini `x = \frac(\pi)(2) + 2\pi k`.
Rezolvarea unei ecuații trigonometrice pătratice
Următorul punct din programul nostru este rezolvarea unei ecuații pătratice. Nu este nimic complicat în asta. Principalul lucru este să vedeți ecuația pătratică și să faceți înlocuirea așa cum se arată mai jos.
$$3\sin^2 x + \sin x =2,$$
$$3\sin^2 x + \sin x -2=0.$$
Fie `t= \sin x`, atunci obținem:
$$3t^2 + t-2=0.$$
$$t_1 = \frac(2)(3), t_2 = -1.$$
Să facem înlocuirea inversă.
$$\sin x = \frac(2)(3) \text( sau ) \sin x = -1.$$
$$\left[\begin(array)(l)x = \arcsin \frac(2)(3) + 2\pi k, \\ x = \pi - \arcsin \frac(2)(3) + 2 \pi k, \\ x = -\frac(\pi)(2) + 2\pi k. \end(matrice) \right.$$
Rezolvarea unei ecuații pătratice cu tangentă
Să rezolvăm următoarea ecuație:
$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg)))(\tg)^2 2x - 6\tg 2x +5 =0, $$
Vă rugăm să rețineți că argumentul tangentă este `2x` și pentru a obține răspunsul final va trebui să împărțiți la `2`. Fie `t=\tg 2x`, atunci
$$t^2 - 6t +5 =0, $$
$$t_1 = 5, t_2 = 1.$$
Înlocuire inversă.
$$\tg x = 5,\tg x = 1.$$
$$\left[\begin(array)(l)2x = \arctan(5)+\pi k, \\ 2x = \frac(\pi)(4) + \pi k. \end(matrice) \right.$$
Acum să împărțim ambele serii la două pentru a afla ce este de fapt egal cu `x`.
$$\left[\begin(array)(l)x = \frac(1)(2)\arctan(5)+\frac(\pi k)(2), \\ 2x = \frac(\pi) (8) + \frac(\pi k)(2). \end(matrice) \right.$$
Deci am primit răspunsul.
Ultima ecuație (produsul tangentei și sinusului)
$$\tg x \cdot \sin 2x = 0.$$
ODZ
Deoarece tangenta este o fracție al cărei numitor este cosinusul, atunci în ODZ obținem că `\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac(\pi)(2)+\pi k.`
Soluţie
$$\tg x =0 \text( sau ) \sin 2x = 0.$$
Aceste ecuații sunt ușor de rezolvat. Primim:
$$x = \pi k \text( sau ) 2x = \pi k,$$
$$x = \pi k \text( sau ) x = \frac(\pi k)(2).$$
Acum, cel mai interesant lucru: deoarece am avut ODZ, trebuie să efectuăm o selecție de rădăcini. Să marchem seria rezultată de rădăcini pe cerc. (Cum se face acest lucru este prezentat în detaliu în videoclipul atașat.)
ODZ este marcat cu albastru, soluțiile sunt în roșu. Se poate observa că răspunsul va fi `x = \pi k`.
Aceasta se încheie a cincea lecție. Asigurați-vă că exersați rezolvarea ecuațiilor. Una este să cunoști progresul unei soluții în termeni generali, un alt lucru este să te orientezi când rezolvi o anumită problemă. Exersați treptat fiecare element de rezolvare a problemei. Acum, principalul lucru este să învățați cum să lucrați în mod competent cu cercul trigonometric, să găsiți soluții cu ajutorul acestuia, să vedeți ODZ și să faceți corect substituții pentru ecuațiile pătratice.
Sarcini pentru antrenament
Rezolvați ecuațiile:
- `2 \cos^2 \frac(x)(2) + \sqrt(3) \cos \frac(x)(2) = 0`,
- `3 (\tg)^2 2x + 2\tg 2x -1= 0`,
- `2\cos^2 3x - 5\cos 3x -3 =0`,
- `\sin^2 4x + \sin x - \cos^2x =0` (aplicați identitatea trigonometrică de bază),
- `4\sin^2 \left(x-\frac(\pi)(3) \right) - 3 =0`.
Este suficient. Dacă aveți întrebări, întrebați! Lasă un like dacă munca mea a fost de folos :)
Ecuații fracționale. ODZ.
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Continuăm să stăpânim ecuațiile. Știm deja cum să lucrăm cu ecuații liniare și pătratice. Ultima vedere rămasă - ecuații fracționale. Sau sunt numite și mult mai respectabil - ecuații raționale fracționale. Este același lucru.
Ecuații fracționale.
După cum sugerează și numele, aceste ecuații conțin în mod necesar fracții. Dar nu doar fracții, ci fracții care au necunoscut la numitor. Cel puțin într-una. De exemplu:
Permiteți-mi să vă reamintesc că dacă numitorii sunt numai numere, acestea sunt ecuații liniare.
Cum să decizi ecuații fracționale? În primul rând, scapă de fracții! După aceasta, ecuația se transformă cel mai adesea în liniară sau pătratică. Și atunci știm ce să facem... În unele cazuri se poate transforma într-o identitate, cum ar fi 5=5 sau o expresie incorectă, precum 7=2. Dar asta se întâmplă rar. Voi mentiona asta mai jos.
Dar cum să scapi de fracții!? Foarte simplu. Aplicând aceleași transformări identice.
Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu aceeași expresie. Ca să se reducă toți numitorii! Totul va deveni imediat mai ușor. Să explic cu un exemplu. Trebuie să rezolvăm ecuația:
Cum ai fost predat în școala elementară? Mutăm totul într-o parte, îl aducem la un numitor comun etc. Uită-l ca pe un vis urât! Acesta este ceea ce trebuie să faceți când adăugați sau scădeți fracții. Sau lucrezi cu inegalități. Și în ecuații, înmulțim imediat ambele părți cu o expresie care ne va oferi posibilitatea de a reduce toți numitorii (adică, în esență, cu un numitor comun). Și care este această expresie?
În partea stângă, reducerea numitorului necesită înmulțirea cu x+2. Și în dreapta, este necesară înmulțirea cu 2 Aceasta înseamnă că ecuația trebuie înmulțită cu 2(x+2). Multiplica:
Aceasta este o multiplicare comună a fracțiilor, dar o voi descrie în detaliu:
Vă rugăm să rețineți că încă nu deschid suportul (x + 2)! Deci, în întregime, o scriu:
Pe partea stângă se contractă în întregime (x+2), iar în dreapta 2. Care este ceea ce s-a cerut! După reducere obținem liniar ecuaţie:
Și toată lumea poate rezolva această ecuație! x = 2.
Să rezolvăm un alt exemplu, puțin mai complicat:
Dacă ne amintim că 3 = 3/1, și 2x = 2x/ 1, putem scrie:
Și din nou scăpăm de ceea ce nu ne place cu adevărat - fracții.
Vedem că pentru a reduce numitorul cu X, trebuie să înmulțim fracția cu (x – 2). Și câteva nu sunt o piedică pentru noi. Ei bine, hai să ne înmulțim. Toate partea stângă și toate partea dreapta:
Din nou paranteze (x – 2) Nu dezvălui. Lucrez cu paranteza ca un întreg ca și cum ar fi un număr! Acest lucru trebuie făcut întotdeauna, altfel nimic nu va fi redus.
Cu un sentiment de satisfacție profundă reducem (x – 2)și obținem o ecuație fără fracții, cu o riglă!
Acum să deschidem parantezele:
Aducem altele asemănătoare, mutam totul în partea stângă și obținem:
Dar înainte de asta vom învăța să rezolvăm alte probleme. Pe interes. Apropo, asta e o grebla!
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Când rezolvăm diverse probleme, de foarte multe ori trebuie să efectuăm transformări identice ale expresiilor. Dar se întâmplă că un fel de transformare este acceptabil în unele cazuri, dar nu în altele. Asistență semnificativă în ceea ce privește monitorizarea admisibilității transformărilor în curs este oferită de ODZ. Să ne uităm la asta mai detaliat.
Esența abordării este următoarea: ODZ a variabilelor pentru expresia originală este comparată cu ODZ a variabilelor pentru expresia obținută ca urmare a transformărilor identice, iar pe baza rezultatelor comparației se trag concluzii adecvate.
În general, transformările identitare pot
- nu influențează DL;
- duce la extinderea ODZ;
- duce la o îngustare a ODZ.
Să ilustrăm fiecare caz cu un exemplu.
Luați în considerare expresia x 2 +x+3·x, ODZ a variabilei x pentru această expresie este mulțimea R. Acum să facem următoarea transformare identică cu această expresie - prezentăm termeni similari, ca rezultat va lua forma x 2 +4·x. Evident, variabila x a acestei expresii este și o mulțime R. Astfel, transformarea efectuată nu a schimbat DZ.
Să mergem mai departe. Să luăm expresia x+3/x−3/x. În acest caz, ODZ este determinată de condiția x≠0, care corespunde mulțimii (−∞, 0)∪(0, +∞) . Această expresie conține, de asemenea, termeni similari, după reducerea cărora ajungem la expresia x, pentru care ODZ este R. Ce vedem: ca urmare a transformării, ODZ a fost extins (numărul zero a fost adăugat la ODZ al variabilei x pentru expresia originală).
Rămâne de luat în considerare un exemplu de restrângere a intervalului de valori acceptabile după transformări. Să luăm expresia 
. ODZ a variabilei x este determinată de inegalitatea (x−1)·(x−3)≥0, pentru soluția sa este potrivită, de exemplu, ca rezultat avem (−∞, 1]∪∪; editat de S. A. Telyakovsky - 17- ed. - M.: Educaţie, 2008. - 240 p.: ISBN 978-5-09-019315-3.
Shakirova G. G. (Liceul MAOU nr. 9)
1. http://www.school.ioffe.ru/library/online/geometry/ryzhik/35000/35000_part3.pdf.:
2. Ziarul „Matematică” Nr.46.15. 1998.
3. Ziarul „Matematică” Nr. 15. 2002.
4. Ziarul „Matematică” Nr. 17. 2002.
5. F. P. Yaremchuk, P. A. Rudchenko Carte de referință „Algebră și funcții elementare” Kiev: „Naukova Dumka”; 1976;
7. Culegere de pregătire pentru OGE. Sarcini de testare tipice, nota 9, editura „EXAMEN”, Moscova 2016.
8. Manual de algebră pentru clasa a 9-a, A. G. Mordkovich, N. P. Nikolaev, editura MNEMOZINA, Moscova 2010.
Acest articol este o prezentare abstractă a lucrării principale. Textul integral al lucrării științifice, aplicațiile, ilustrațiile și alte materiale suplimentare sunt disponibile pe site-ul celui de-al III-lea Concurs Internațional de Cercetare Științifică și Lucrări Creative ale Studenților „Start in Science” la link-ul: https://www.school- science.ru/0317/7/29329
Cred că matematica este una dintre cele mai importante științe din lume. Ea capătă o semnificație specială pentru oameni în legătură cu creșterea științei și a progresului tehnologic. Toți oamenii din viața lor au fost nevoiți să efectueze calcule destul de complexe, să folosească tehnologia computerului, să găsească și să aplice formulele necesare, să stăpânească tehnicile de măsurători geometrice, dar o persoană nu ține întotdeauna cont de toate condițiile care influențează rezultatul. Tocmai din această cauză apare starea ODZ.
Acest subiect m-a interesat pentru că nu am înțeles pe deplin semnificația și importanța găsirii ODZ, din cauza căreia nu am acordat atenția cuvenită importanței ODZ în unele sarcini și am avut un „război” cu ODZ.
În același timp, din punct de vedere matematic, găsirea ODZ nu este deloc obligatorie, adesea inutilă și uneori chiar imposibilă - și toate acestea fără nicio prejudiciu la soluție. Și din cauza acestei situații cu ODZ, apare un „război”.
La rezolvarea problemelor anumitor tipuri de ecuații și inegalități, m-am confruntat cu faptul că unele condiții fie nu se potriveau, fie li s-au impus anumite valori, iar mai târziu mi-am dat seama că există într-adevăr o anumită zonă în care este permis valorile care satisfac condițiile problemelor și ecuațiile extind unele tipuri.
Dacă oferim o comparație aproximativă între o minge de tenis și o funcție (inegalitate, ecuație sau problemă), atunci învelișul mingii și condițiile externe sunt ODZ-ul nostru, iar modul în care mingea sare de pe podea este soluția funcției ( inegalitate, ecuație sau problemă). Atunci putem spune că dacă spargem coaja acestei mingi (sau, mai simplu spus, o rupem), atunci mingea nu va mai sări la fel de bine ca înainte, adică dacă spargem ODZ, atunci nu va mai fi soluţie.
Relevanța subiectului meu constă în faptul că o persoană, atunci când rezolvă o problemă, nu acordă atenție condițiilor minore. De asemenea, puteți da o analogie cu rezolvarea anumitor sarcini la matematică, unde condiția ODZ nu este luată în considerare, iar acest lucru afectează rezultatul soluției. Există multe astfel de sarcini în a doua parte a OGE, care pot duce la eșec la examen.
Demonstrați importanța DL.
1. Explicați proprietățile și semnificațiile ODZ în viața noastră.
2. Analizați diverse metode de rezolvare a exemplelor care implică DL.
Metode de cercetare:
- cercetare teoretică (analiza literaturii, căutarea surselor);
- analiza principalelor sarcini și concepte ale DL;
- Metoda de inducție ODZ (inferență de la fapte la ipoteza mea)
- cercetare reală (rezolvarea problemelor cu un grup de oameni).
Partea practica:
Efectuarea de cercetări pentru a rezolva probleme și ecuații simple, descrierea cercetării.
Ipoteză:
ODZ este o consecință a apariției diferitelor condiții în funcții, probleme, inegalități și ecuații.
Istoria formării
Ei bine, să pătrundem în istoria formării ODZ.
Ca și alte concepte ale matematicii, conceptul de funcție, desigur, nu a apărut imediat, ci a trecut printr-o lungă cale de dezvoltare. Introducerea și studiul locurilor plane și solide a lui Pierre Fermat (publicată în 1679) afirmă: „Ori de câte ori există două cantități necunoscute într-o ecuație finală, există un loc.” După cum ați putea ghici, vorbim despre dependența funcțională și reprezentarea sa grafică („loc” în Fermat înseamnă o linie). Studiul dreptelor după ecuațiile lor din Geometria lui R. Descartes (1637) indică și o înțelegere clară a dependenței reciproce dintre două mărimi variabile. Acest lucru indică deja o stăpânire complet clară a conceptului de funcție. Acest concept îl găsim și în formă geometrică și mecanică la I. Newton. Cu toate acestea, termenul „funcție” în sine apare pentru prima dată abia în 1692 de către G. Leibniz și, în plus, nu chiar în înțelegerea sa modernă. G. Leibniz numește funcții diverse segmente asociate unei curbe (de exemplu, abscisa punctelor acesteia). În primul curs tipărit, „Analiza infinitezimale pentru cunoașterea liniilor curbe” de L'Hopital (1696), termenul de „funcție” nu este folosit. Prima definiție a unei funcții, apropiată de cea modernă, se găsește la I. Bernoulli (în 1718): „O funcție este o mărime compusă dintr-o variabilă și o constantă”. Această definiție nu complet clară se bazează pe ideea de a specifica o funcție printr-o formulă analitică.
Ca urmare, am ajuns la definiția ODZ pentru o funcție. Domeniul de definire (valori admisibile) al unei funcții Y este mulțimea de valori ale variabilei independente X pentru care este definită această funcție, adică domeniul de modificare a variabilei independente (argument).
Matematicienii au fost capabili să rezolve ecuații și sisteme de ecuații de foarte mult timp. „Aritmetica” matematicianului grec din Alexandria Diophantus (secolul al III-lea) nu conținea încă o prezentare sistematică a algebrei, dar conținea o serie de probleme rezolvate prin compunerea ecuațiilor. Conține următoarea sarcină: „Găsiți două numere pe baza sumei lor 20 și a produsului 96.”
Pentru a se proteja de rezolvarea unei ecuații pătratice de formă generală, care duce la desemnarea unuia dintre numere printr-o literă și pe care nu știau încă să o rezolve, Diophantus a notat numerele necunoscute 10 + x și 10. - x (în notație modernă) și a primit o ecuație pătratică incompletă 100 - x2 = 96, pentru care doar rădăcina pozitivă 2 era potrivită.
Probleme privind ecuațiile pătratice au fost găsite în lucrările matematicienilor indieni încă din secolul al V-lea d.Hr.
Ecuațiile cuadratice sunt clasificate în tratatul „O scurtă carte despre calculul algebrei și Almukabala” de Muhammad al-Khwarizmi (787-850). Examinează și rezolvă (în formă geometrică) 6 tipuri de ecuații pătratice care conțin numai termeni cu coeficienți pozitivi în ambele părți. În acest caz, au fost luate în considerare doar rădăcinile pozitive ale ecuațiilor.
În cel mai faimos manual rusesc „Aritmetică” de Leonti Filippovici Magnitsky (1669-1739) au existat multe probleme privind ecuațiile pătratice. Iată una dintre ele:
„Un anume general vrea să înceapă o luptă cu 5.000 de oameni și să fie în față de două ori mai mult decât în lateral. Cât de mare va fi această bătălie în față și în lateral?”, adică câți soldați ar trebui să fie plasați în față și câți în spatele capului, astfel încât numărul soldaților pe front să fie De 2 ori mai mare decât numărul de soldați aflați „în ceafă”?
În textele antice babiloniene (3000-2000 î.Hr.) există și probleme care acum sunt rezolvate folosind sisteme de ecuații care conțin ecuații de gradul doi. Iată una dintre ele:
„Am adunat zonele celor două pătrate ale mele: . Latura celui de-al doilea pătrat este egală cu latura primului plus încă 5.”
Sistemul corespunzător în notație modernă arată astfel:
Și abia în secolul al XVII-lea, după lucrările lui Descartes, Newton și alți matematicieni, soluția ecuațiilor pătratice a căpătat forma sa modernă.
Mi se pare că ești interesat de răspunsul la întrebarea: „De ce am scris istoria originii funcțiilor și inegalităților?” Răspunsul este foarte simplu. ODZ este doar o consecință a apariției diferitelor condiții în funcții, probleme, inegalități și ecuații.
ODZ în inegalități și ecuații
La rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale și a inegalităților:
Cunoștințele de la clasele 1 până la 9 nu îmi permit să împart la 0. „Nu poți împărți la 0, deoarece este imposibil să împarți nimic prin gol”, mi-au spus profesorii din școala elementară.
Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților iraționale:
|
Ecuații
|
Inegalități
|
Studiu
Am făcut cercetări pentru a afla cât de des elevii țin cont de DL atunci când rezolvă probleme, ecuații, inegalități etc. Pentru a face acest lucru, am selectat 4 sarcini și le-am rezolvat eu, apoi le-am oferit la 35 de elevi de clasa a IX-a, din care primele trei. nu a fost necesar să se țină cont de ODZ, iar în al patrulea - obligatoriu. Scopul lucrării de cercetare a fost de a demonstra că oamenii nu acordă suficientă atenție DL.
Sarcini propuse elevilor de clasa a IX-a:
1) Un autobuz a plecat din punctul A spre punctul B cu o viteză de 60 km/h. O oră mai târziu, o mașină l-a urmărit până la punctul B, iar 4 ore mai târziu a ajuns din urmă cu autobuzul în punctul B (Am ajuns la aceeași oră). Care este viteza mașinii?
2) (x+3)2+10=(x-2)2
3) 1/(x-2) = x-4
La verificarea acestor sarcini, am descoperit că soluțiile pot fi împărțite după anumite criterii.
Criterii de selectare a soluțiilor și numărul de persoane incluse în acestea:
A îndeplinit toate sarcinile - 5 persoane; a scris ODZ în 4 teme, dar a greșit într-o misiune - 2 persoane, în 2 exemple - 8 persoane, în 3 exemple - 3 persoane; 17 persoane nu au scris ODZ în exemplul 4. Principalele greseli:
- Ei uită de dizabilitatea lor (l-au notat, dar au uitat să-l țină cont);
- DZ a fost compilat incorect;
- Ecuațiile au fost înmulțite incorect;
- Nu utilizați formule de înmulțire prescurtate adecvate;
- Semne confuze (*, +, -,:);
- Nu toate exemplele o fac.
- Ei uită de schimbarea semnelor atunci când se transferă prin egali;
Și am ajuns la concluzia că aproximativ jumătate dintre elevii de clasa a IX-a, din păcate, nu au ținut cont sau au notat greșit DL-ul în temele depuse, drept care au făcut greșeli.
Unde apare ODZ în viața reală?
De fapt, întâlnim condiții DL atât de des încât pur și simplu nu le observăm. De exemplu, atunci când cumpărați ceva; cu determinarea acţiunilor la diferite temperaturi exterioare.
Exemplul #1 din studiu (problema) poate fi un model al unei situații reale, dar prea general (nici un autobuz sau mașină nu poate circula cu viteză constantă tot timpul datorită diferiților factori precum calitatea asfaltului de pe drum, unghiurile și numărul de ture, cantitatea de benzină etc.). Iată un exemplu mai bun:
Ni s-au dat 200 de ruble pentru mâncare pentru pisici, care costă 18 ruble per pungă, și o pâine de hrană albă, care costă 24 de ruble. Trebuie să calculăm câte ruble vom cheltui pe mâncare. Să luăm X ca număr de pungi cu alimente.
ODZ: x ≥ 0,
x = (200-24)/18,
x = 9 (restul 14).
Aceasta înseamnă că vom cumpăra 9 saci de alimente cu un sold de 14 ruble, ceea ce corespunde alocației noastre totale.
DL opțional
După cum am văzut din propria mea experiență, adesea nu este necesar să indicați DL în exemple, deși este indicarea DL care este cerută de sarcinile din OGE și Unified State Exam, altfel veți primi mai puține puncte. Acest lucru poate fi văzut în exemplul sarcinilor 1 și 2 din studiu. Și într-adevăr, atunci când rezolvăm aceste numere, observăm că intervalul de valori acceptabile poate fi omis, deoarece absența acestuia nu va afecta în niciun fel răspunsul. Dar, de foarte multe ori, în astfel de cazuri, o muncă bine făcută a fost evaluată ca C.
Căutările pentru ODZ sunt adesea doar o muncă suplimentară de care puteți face cu ușurință fără. Există multe alte exemple care pot fi date aici. Sunt bine cunoscute, așa că le omit. Soluția principală sunt transformările echivalente la trecerea de la o ecuație la alta, adică la una mai simplă.
Exemple de capcane
Printre sarcinile care folosesc ecuații sau inegalități, se numără problemele cu capcană (sarcini în care DL vă poate juca o glumă crudă). Se știe că, în urma unor transformări care modifică ODZ inițial, putem ajunge la decizii incorecte. Puteți da un exemplu de sarcini 3 și 4 dintr-o lucrare de cercetare, dar iată un alt exemplu de astfel de ecuații:
Din ODZ avem x ≥ 5 (deoarece radicalul expresiei nu poate fi negativ). Deoarece există o expresie pozitivă în dreapta, aceasta înseamnă x - 5 > 2x - 1. Rezolvând ultima inegalitate, obținem x< -4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.
Concluzie
Rezumând unele dintre rezultatele tuturor lucrărilor de cercetare, pot spune cu încredere că unele dintre condițiile pentru DL pentru ecuații și inegalități sunt similare. ODD, după cum am demonstrat, apare în viața reală și foarte des; De asemenea, am arătat că nu există un răspuns universal la întrebarea „este necesar să se indice DL în toate exemplele?” nu la cursul școlii.
Mi-am demonstrat și ipoteza, care suna așa: „ODD, de fapt, este o consecință a apariției diferitelor condiții în funcții, probleme, inegalități și ecuații.”
De fiecare dată, dacă vrei să înțelegi ce faci, și să nu acționezi mecanic, se pune întrebarea: ce soluție este cea mai bună să alegi, în special, să cauți ODZ sau nu? Cred că în timpul muncii mele am răspuns parțial la această întrebare.
Motivul înregistrării ODZ pare evident, dar oamenii vor fi totuși reticenți să înregistreze ODZ încă o dată. Și oricâte prezentări diferite, explicații în manuale și explicații de la profesori, războiul, indiferent ce, nu s-a încheiat încă și nici măcar nu se va încheia, ceea ce confirmă relevanța și importanța acestei teme.
Dar aș dori să sfătuiesc pe toți să ia întotdeauna în considerare DL, deoarece nu este întotdeauna posibil să spuneți imediat că nu există nicio captură într-o anumită sarcină.
Raportul pe care l-am prezentat poate fi folosit nu numai de elevi, ci și de profesori pentru a explica importanța DLC.
Link bibliografic
Severov O. S. RĂZBOI ÎMPOTRIVA DDZ // Buletin științific școlar internațional. – 2017. – Nr. 5-1. – P. 84-87;URL: http://school-herald.ru/ru/article/view?id=400 (data acces: 09/02/2019).