Спб.: Политехника, 2004. - 679 c.
ISBN 5-7325-0236-Х
Скачать (прямая ссылка): spravochniktehnologaoptika2004.djvu Предыдущая 1 .. 55 > .. >> Следующая
Погрешность метода пробного стекла складывается из погрешности определения радиуса кривизны самого пробного стекла и погрешности оценки числа наблюдаемых интерференционных колец. Последняя обычно не превышает 0,5 кольца или 0,14 мкм. Вид интерференционной картины, получаемой при наложении пробного стекла на проверяемую поверхность, показан на рис. 3.7.
Для определения знака ошибки нажимают на пробное стекло, направляя усилие нажима вдоль оси изделия. При нажиме следят за движением интерференционных колец.
Если кольца стягиваются к центру, то ошибка имеет положительный знак,т.е. радиус кривизны выпуклой проверяемой поверхности больше радиуса пробного стекла (для вогнутой -- наоборот). Если при нажиме кольца расширяются, уходя от центра, то ошиб-
Рис. 3.6. Схема контроля радиусов пробными стеклами
141
Рис. 3.7. Интерференционная картина при наложении пробного стекла
Рис. 3.8. Схема метода колец Ньютона
ка имеет отрицательный знак, т. е. радиус кривизны выпуклой поверхности менее радиуса кривизны вогнутой поверхности.
Методы измерения радиусов кривизны самих пробных стекол устанавливаются ГОСТ 2786-82*. В табл. 3.11 приведены средства измерения радиусов кривизны пробных стекол 1-го класса точности, рекомендованные инструкцией. Указанные в таблице измерения на оптиметре ИКГ проводятся методом сравнения с концевыми мерами.
Для проверки радиусов кривизны поверхностей пробных стекол 2-го и 3-го классов точности инструкцией рекомендуется несколько методов. Среди них - метод непосредственного измерения с помощью микрометров (которые обычно применяют для измерения стекол - полушаров с небольшим радиусом кривизны), автокол-лимационный метод и метод колец Ньютона.
По методу колец Ньютона измеряют радиусы.кривизны, превышающие 2000 мм (рис. 3.8). Проверяемая деталь 1 помещается на предметный стол 6 измерительного оптического прибора моделей ИЗА-2, УИМ-25, БМИ , на нее накладывается плоскопараллельная стеклянная пластина 5, нижняя поверхность которой имеет минимальные отступления от идеальной поверхности (N <0,1). Монохроматическим источником света 2 с помощью по-
Таблица 3.11.
СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЯ РАДИУСОВ КРИВИЗНЫ ПРОБНЫХ СТЕКОЛ
Радиус кривизны, мм Средство измерения Форма стекла Предельная погрешность измерения
От 0,5 до 37,5 От 37,5 до 4000 Горизонтальный оптиметр ИКГ Автоколлимационная установка Выпуклое Вогнутое От 0,175 до 4,0 мкм 0,004-0,007 %
142
лупрозрачной пластины 3 осуществляется подсветка промежутка между пластиной 5 и деталью 1.
Образовавшуюся в промежутке кольцевую интерференционную картину наблюдают в микроскоп 4, и радиусы колец измеряют перемещением стола прибора 6. Радиус кривизны вычисляют по формуле
п Рп-Рр (kn-kp)X’
где рп - радиус интерференционного кольца kn; рр - радиус кольца kp; X - длина волны используемого источника света; пир - порядковые номера колец.
Расчеты показывают, что если kn - kp~ 200, и наведение на кольцо осуществляется с точностью до 0,1 его ширины, то относительная погрешность измерения R не превышает 0,1 %. Эта погрешность может быть в два-три раза снижена, если проверяемую и плоскую поверхности пластины 5 покрыть светоделительным слоем и вместо двухлучевой получить многолучевую интерференционную картину.
Принципиальная схема прибора, используемого при автокол-лимационном методе измерений радиусов кривизны, показана на рис. 3.9, а, б. Основу ее составляет автоколлимационный микроскоп 1, имеющий измерительное перемещение вдоль своей оси и оси сферической поверхности проверяемой детали 2. Для измерения радиуса кривизны осевым перемещением микроскопа последовательно добиваются получения резкого автоколлимационного изображения сетки микроскопа при наведении его на центр кривизны (рис. 3.9, а), а затем на вершину поверхности измеряемой сферы (рис. 3.9, б). Разность отсчетов для этих крайних положений микроскопов равна измеряемому радиусу кривизны поверх-
Рис. 3.9. Схема автоколлимационного метода измерения радиуса кривизны
143
ности. Точность измерений автоколлимационным методом в основном зависит от точности Дz фокусирования микроскопа на центр кривизны. Она составляет с учетом действия автоколлимации, мкм, Д z = 0,1/А2, где А - действующая апертура микрообъектива микроскопа или апертура измеряемой поверхности (берется наименьшее значение А).
Для уменьшения погрешности наведения (особенно при измерении радиусов кривизны поверхностей с малыми относительными отверстиями) в некоторых приборах применяют коинцидент-ный метод фокусировки . Диапазон радиусов кривизны поверхностей, измеряемых автоколлимационным методом, зависит от длины шкал измерительных приборов. При использовании измерительных машин типа ИЗМ удается измерять вогнутые поверхности с радиусом кривизны до 5000-6000 мм. При благоприятных обстоятельствах погрешность измерения не превышает 0,004 %.
Для измерения радиусов кривизны выпуклых и вогнутых поверхностей бесконтактным способом разработан прибор ГИП-2. В основу его схемы положен набор синтезированных голограмм. Принцип действия состоит в следующем (рис. 3.10).

Изобретение обеспечивает высокую информативность за счет увеличения углового поля с одновременным повышением качества монохроматического изображения. Сущность изобретения: устройство содержит расположенные по ходу луча интерференционный фильтр, проектирующий объектив, содержащий концентрические выпуклый и вогнутый зеркальные компоненты, и регистрирующую систему, содержащую волоконно-оптический элемент, соединенный с одним или группой фотоприемников. Выпуклый компонент объектива выполнен в виде нанесенной на внешнюю поверхность полой прозрачной сферы зеркальной полусферы с кольцеобразными прозрачными зонами. Вогнутый компонент выполнен в виде полусферы с центральным и периферийными входными отверстиями равного диаметра. Число кольцеобразных прозрачных зон на выпуклом компоненте равно числу их оппозитно расположенных входных отверстий вогнутого компонента и соответственно равно числу установленных перед входными отверстиями интерференционных фильтров. Фильтры расположены на поверхностях концентрических менисков. Общий центр кривизны оптических поверхностей каждого из менисков совмещен с центром соответствующего входного зрачка. 7 ил.

Изобретение относится к области оптического и оптико-электронного приборостроения, а именно к устройствам дистанционного зондирования, предназначенным, в частности для получения монохроматических изображений верхних слоев атмосферы при выполнении исследований магнитосферно-ионосферных процессов, отображающихся в полярных сияниях. В последнее время при дистанционном зондировании используются различного рода оптические и оптико-электронные приборы , обладающие двумя существенными недостатками. Одним из этих недостатков является небольшая величина углового поля в пространстве предметов. Другим существенным недостатком является невысокая спектральная фильтрующая способность, снижающая качество формируемых монохроматических изображений. Из известных устройств наиболее близким по технической сущности к изобретению является устройство для построения монохроматического изображения, предназначенное для исследования полярных сияний (авроральных эмиссий) с борта космического аппарата "Викинг". Это устройство выбрано в качестве прототипа и состоит из расположенных по ходу луча интерференционного фильтра на плоскопараллельной подложке, проецирующего объектива, содержащего два концентрических оптических компонента в виде выпуклого и вогнутого зеркал, общий центр кривизны которых совмещен с центром входного зрачка, и регистрирующей системы, включающей последовательно расположенные микроканальную пластину и волоконно- оптический элемент, соединенный с двумерной ПЗС-матрицей. Такое устройство, предназначенное для использования в ультрафиолетовой области спектра, формирует изображение, расположенное на сфере, концентричной общему центру кривизны зеркал и имеющей радиус, приближенно равный фокусному расстоянию проецирующего объектива. Недостатками этого устройства являются небольшое угловое поле, а также невозможность получения монохроматических (с полосой 15 - 30 ) изображений верхних слоев атмосферы в границах аврорального овала. В частности последний из указанных недостатков обусловлен тем, что установленный на входе данной оптической системы плоский интерференционный фильтр при рабочих углах поля зрения 25 o заметно ухудшает свои характеристики для наклонных пучков лучей, идущих под углом 12,5 o к оси системы. При этом у интерференционного фильтра значительно увеличивается спектральная ширина полосы пропускания, а для наклонных пучков лучей максимум пропускания фильтра смещается в коротковолновую область спектра по отношению к тому спектральному положению максимума, который соответствует осевому пучку, падающему на плоский интерференционный фильтр нормально, т.е. вдоль оптической оси системы. Оба эти недостатка не позволяют обеспечить высокую информативность при дистанционном зондировании. Задача изобретения - повышение информативности устройств дистанционного зондирования, строящих монохроматические изображения. Техническим результатом решаемой задачи служат увеличение углового поля с одновременным повышением качества монохроматического изображения. Этот технический результат достигается тем, что в предлагаемом устройстве для построения монохроматического изображения, состоящем из расположенных по ходу луча интерференционного фильтра, проецирующего объектива, содержащего концентрические выпуклый и вогнутый зеркальные компоненты, и из оптически сопряженной с объективом регистрирующей системы, содержащей волоконно-оптический элемент, соединенный с одним или группой фотоприемников, выпуклый компонент объектива выполнен в виде нанесенной на внешнюю поверхность полой прозрачной сферы зеркальной полусферы с кольцеобразными прозрачными зонами, внутренний диаметр каждой из которых равен диаметру входного зрачка D, а наружный D н определяют из соотношения

Причем геометрическим местом их центров служат окружности с угловым шагом центров этих отверстий , определяемым из соотношения

При этом число кольцеобразных прозрачных зон на выпуклом компоненте равно числу им оппозитно расположенных входных отверстий вогнутого компонента и соответственно равно числу установленных перед входными отверстиями интерференционных фильтров, выполненных сферическими на подложках в виде концентрических менисков, общий центр кривизны оптических поверхностей каждого из которых совмещен с центром соответствующего входного зрачка. В заявляемом устройстве сферический интерференционный фильтр может быть нанесен либо на выпуклую, либо на вогнутую поверхность концентрического мениска, в функции которого входит не только служить подложкой для такого фильтра, но и исправлять сферическую аберрацию проецирующего объектива. Аналогичную функцию в предлагаемом устройстве выполняет полая прозрачная сфера, которая служит подложкой для зеркальной полусферы выпуклого компонента объектива и одновременно является компенсатором аберрационных искажений монохроматического изображения, формируемого на последней, близфокальной оптической поверхности проецирующего объектива. В этом случае нанесенный на одну из поверхностей концентрического мениска сферический интерференционный фильтр, концентричный центру входного зрачка, сохраняет свои характеристики (ширину полосы пропускания и спектральное положение максимума пропускания) как для осевого, так и для внеосевых (наклонных) пучков лучей. Последнее обстоятельство приводит к значительному улучшению спектральной фильтрующей способности устройства. Для защиты интерференционного фильтра от вредных атмосферных и механических воздействий можно, не ухудшая качества формируемого изображения, выполнить концентрический мениск в виде дублета, т. е. в виде двух концентрических оптических элементов, разделенных тонкой воздушной прослойкой. При этом суммарная толщина обоих концентрических оптических элементов равна толщине исходного концентрического мениска. В данном случае интерференционный фильтр можно расположить внутри дублета на одной из сферических поверхностей составляющих этот дублет концентрических оптических элементов. У выпуклого компонента его прозрачные участки, окружающие зеркальные круги и образующие вокруг них кольцеобразные прозрачные зоны, предназначены для прохода через полую прозрачную сферу тех лучей, которые предварительно отразились от вогнутого зеркального компонента, а входные отверстия в вогнутом компоненте, с установленными перед ними концентрическими менисками, предназначены для поступления лучей в объектив. Совмещение общего центра кривизны поверхностей каждого из таких концентрических менисков с центром входного зрачка, т.е. с центром соответствующего зеркального круга выпуклого компонента, позволяет минимизировать экранирование центральной части входного зрачка, а следовательно, повысить эффективную светосилу проецирующего объектива. В предлагаемом устройстве за полой прозрачной сферой установлен волоконно-оптический элемент. При этом в заявляемом устройстве проецирующий объектив формирует изображение бесконечно удаленного предмета вблизи последней оптической поверхности объектива, на входной поверхности волоконно-оптического элемента, которая выполнена в виде вогнутой полусферы с радиусом, близким по величине к фокусному расстоянию объектива f". Выбор именно такой формы для входной поверхности волоконно-оптического элемента связан с обеспечением аберрационной коррекции (в частности с компенсацией кривизны поверхности изображения), что позволяет в свою очередь увеличить угловое поле устройства в целом. Выходная поверхность волоконно-оптического элемента может представлять собой плоскость, вплотную к которой присоединяется либо фотокатод вакуумной передающей телевизионной трубки, либо светочувствительная площадка твердотельного формирователя видеосигнала, например, зона изображения двумерной ПЗС-матрицы. Предлагаемое устройство может быть отнесено к оптическим системам с синтезированным угловым полем, а это означает, что суммарное угловое поле складывается из угловых полей составляющих частей проецирующего объектива, конструктивно выполненного как единое целое. Вследствие этого на выходе системы может быть использован либо один фотоприемник с большой приемной площадкой (или фотокатодом), либо группа фотоприемников, у которых размеры каждой чувствительной площадки (каждого фотокатода) определяются угловым полем составляющих частей объектива, а суммарная площадь поверхности всех чувствительных площадок (фотокатодов) будет соответствовать суммарному угловому полю оптической системы в целом. Синтезированное угловое поле предлагаемой оптической системы обусловило предельно допустимое значение каждого из угловых полей 2w составляющих частей проецирующего объектива, причем

На фиг. 2 - схема расположения концентрических менисков с нанесенными на них сферическими интерференционными фильтрами;

На фиг. 3 - схема расположения входных отверстий на вогнутом зеркальном компоненте объектива;

На фиг. 4 - схема расположения зеркальных кругов и кольцеобразных прозрачных зон, образующихся около каждого из этих кругов на выпуклом зеркальном компоненте объектива;

На фиг. 5 - оптическая схема устройства с ходом лучей в главном сечении;

На фиг. 6 - таблица с конструктивными параметрами варианта устройства;

На фиг. 7 - графики остаточных аберраций объектива системы. Устройство для построения монохроматического изображения (фиг. 1) содержит последовательно расположенные сферический интерференционный фильтр 1, нанесенный на подложку в виде концентрического мениска 2, проецирующий объектив, которому принадлежат концентрические выпуклый и вогнутый зеркальные компоненты 3 и 4, а также полая прозрачная сфера 5 с нанесенным на нее выпуклым зеркальным компонентом 3, и регистрирующую систему, состоящую из волоконно-оптического элемента 6 и группы фотоприемников 7. Вогнутый компонент 4 выполнен в виде полусферы с центральным и периферийными отверстиями 8 (фиг. 3), оппозитно которым на выпуклом компоненте 3 расположены зеркальные круги 9, представляющие собой выпуклые отражательные элементы, вокруг которых расположены кольцеобразные перекрывающиеся прозрачные зоны 10 (фиг. 4). Устройство для построения монохроматического изображения работает следующим образом. Параллельные пучки лучей от предмета поступают в оптическую систему через отверстия 8, перед каждым из которых размещен сферический интерференционный фильтр 1 на подложке в виде концентрического мениска 2, пройдя через которые пучки лучей попадают на выпуклые отражательные элементы, т.е. зеркальные круги 9 выпуклого компонента 3, зеркальная поверхность которого нанесена на внешнюю поверхность полой прозрачной сферы 5. После отражения от зеркальных кругов 9 рассматриваемые пучки лучей далее отражаются от зеркальной поверхности вогнутого компонента 4, после чего эти пучки идут через кольцеобразные прозрачные зоны 10 на полой прозрачной сфере 5, пройдя через которую эти пучки лучей образуют изображение предмета на вогнутой входной поверхности волоконно-оптического элемента 6, передающего это изображение к светочувствительным площадкам рабочей группы фотоприемников 7. В качестве таких фотоприемников могут быть использованы, в частности двумерные ПЗС-матрицы. Видеосигналы, поступившие от различных приемников из рабочей группы, затем суммируются, например, в памяти ЭВМ, в результате получаем полную информацию от системы с синтезированным угловым полем. Предлагаемое устройство отличается конструктивной простотой. Оно представляет собой концентрично группируемые около одной прозрачной сферы две вложенные друг в друга жесткие полусферы с соответственно расположенными на них сферическими интерференционными фильтрами на подложках в виде концентрических менисков, отверстиями и зеркальными зонами. Для улучшения технологии изготовления устройства его полая прозрачная сфера может быть сделана составной, т.е. состоящей из двух половин, склеенных или соединенных на оптическом контакте. Это устройство обладает круговой симметрией, вследствие чего отличается простотой в сборке и юстировке и практически является нерасстраиваемым. Соседние элементы объектива в силу круговой симметрии идентичны. Устройство обладает высоким качеством изображения. При этом могут быть достигнуты синтезированные угловые поля вплоть до 180 o C. Материалом для изготовления вогнутого компонента объектива может быть выбран композиционный материал типа углерод - углерод. Кроме того, этот вогнутый компонент может быть выполнен металлостеклянным на титановой или бериллиевой основе. Конструктивные параметры одного из примеров реализации устройства для фокусного расстояния объектива 17,9 мм при относительном отверстии 1: 2,2 представлены в таблице на фиг. 6. Интерференционный фильтр здесь выполнен с использованием многослойных диэлектрических зеркал и предназначен для выделения длины волны 0,5577 мкм. Схема объектива такого устройства показана на фиг. 5, а графики остаточных аберраций - на фиг. 7. Поперечная сферическая аберрация этого объектива минимизирована; объектив имеет небольшую величину астигматизма, комы и дисторсии. Местоположение входного зрачка совпадает с каждым зеркальным кругом на выпуклом компоненте проецирующего объектива. Кроме обеспечения синтезированного углового поля, т.е. широкоугольности, устройство обладает дополнительными техническими преимуществами, к которым относятся пространственная инвариантность, надежность, нерасстраиваемость. Устройство для построения монохроматического изображения предполагается использовать при дистанционном зондировании космических и земных объектов в ультрафиолетовой, видимой и инфракрасной спектральных областях с несложной перестройкой рабочего диапазона при больших угловых полях. Возможно применение предлагаемого устройства в качестве устройства кругового обзора, например, в системах технического зрения в робототехнике для очувствления адаптивных роботов. Источники информации. 1. Goetz A. F.H., Wellmann J.B., Barnes W.L. Optical remote sensing of the Earth - Proc. of the IEEE June 1985, v.73, N 6, p.p. 950-969. 2. Чиков К.H. и др. Оптическая система видеоспектрометрического комплекса. - Изв. вузов СССР "Приборостроение", т. XXXI, N 12, 1988. 3. Avanesov G.A., Chikov K.N. et al. Television observation of Phobos. - Nature, v.341, N 6243, 19 October 1989, p.p.585-587. 4. Anger C. D. , Rabey S.K., Broadfoot A.L., Brown R.G., Cogger L.L., Gattinger R., Haslett J.W., King R.A., McEwen D.HJ, Murphree T.S., Richardson E. H., Sandell B.R., Smith K., Jones F.V. An ultraviolet auroral imager for the Viking Spacecraft. - Geophys.Res. Lett., v.l4, N 4, 1987, p.p.387-390. 5. Русинов M. M. Композиция оптических систем. - Л.: Машиностроение, 1989.

ФОРМУЛА ИЗОБРЕТЕНИЯ

Устройство для построения монохроматического изображения, состоящее из расположенных по ходу луча интерференционного фильтра, проецирующего объектива, содержащего концентрические выпуклый и вогнутый зеркальные компоненты, и из оптически сопряженной с объективом регистрирующей системы, содержащей волоконно-оптический элемент, отличающееся тем, что волоконно-оптический элемент соединен с одним или группой фотоприемников, выпуклый компонент объектива выполнен в виде нанесенной на внешнюю поверхность полой прозрачной сферы зеркальной полусферы с кольцеобразными прозрачными зонами, внутренний диаметр каждой из которых равен диаметру входного зрачка D, а наружный диаметр D н определяют из соотношения

Где r 3 - радиус выпуклого компонента;

R 4 - радиус вогнутого компонента,

А вогнутый компонент выполнен в виде полусферы с центральным и периферийными входными отверстиями равного диаметра D вх, определяемого из соотношения

D вх = Dr 4 /r 3 ,

Причем геометрическим местом их центров служат окружности с угловым шагом центров этих отверстий, определяемым из соотношения

При этом число кольцеобразных прозрачных зон на выпуклом компоненте равно числу оппозитно им расположенных входных отверстий вогнутого компонента и соответственно равно числу установленных перед входными отверстиями интерференционных фильтров, выполненных на подложках в виде концентрических менисков, общий центр кривизны оптических поверхностей каждого из которых совмещен с центром соответствующего входного зрачка.

С тем отличием, что вместо «плоских» графиков мы рассмотрим наиболее распространенные пространственные поверхности, а также научимся грамотно их строить от руки. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Дело в том, что в обозримом историческом будущем студенты по-прежнему будут вооружены линейкой с карандашом, и, даже располагая качественным «машинным» чертежом, многие не смогут корректно перенести его на клетчатую бумагу. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт.

Чем отличается этот справочный материал от аналогов?

Обладая приличным практическим опытом, я очень хорошо знаю, с какими поверхностями чаще всего приходится иметь дело в реальных задачах высшей математики, и надеюсь, что эта статья поможет вам в кратчайшие сроки пополнить свой багаж соответствующими знаниями и прикладными навыками, которых в 90-95% случаев должно хватить.

Что нужно уметь на данный момент?

Самое элементарное:

Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (см. начало статьи Графики и свойства функций ) .

Что вы приобретёте после прочтения этой статьи?

Бутылку После освоения материалов урока вы научитесь быстро определять тип поверхности по её функции и/или уравнению, представлять, как она расположена в пространстве, и, конечно же, выполнять чертежи. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения – к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже.

Информация по силам каждому – для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения.

Начинаем!

На практике пространственная поверхность обычно задаётся функцией двух переменных или уравнением вида (константа правой части чаще всего равна нулю либо единице) . Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе – для аналитической геометрии . Уравнение , по существу, является неявно заданной функцией 2 переменных, которую в типовых случаях легко привести к виду . Напоминаю простейший пример c :

– уравнение плоскости вида .

– функция плоскости в явном виде .

Давайте с неё и начнём:

Распространенные уравнения плоскостей

Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости . Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.

Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно изображают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как параллелограммы. По умолчанию размеры можно выбрать любые (в разумных пределах, конечно), при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:


Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом.

– (левый чертёж) неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;

– (средний чертёж) неравенство задаёт правое полупространство, включая плоскость ;

– (правый чертёж) двойное неравенство задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.

Для самостоятельной разминки:

Пример 1

Изобразить тело, ограниченное плоскостями
Составить систему неравенств, определяющих данное тело.

Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед . Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока.

Пожалуйста, НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами, даже если они кажутся слишком простыми. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Простите за отступление, не пропадать же двум моим тетрадям по возрастной психологии =)

Следующую группу плоскостей условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:

2) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось ;

3) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось .

Хотя формальный признак очевиден (какая переменная отсутствует в уравнении – через ту ось и проходит плоскость) , всегда полезно понимать суть происходящих событий:

Пример 2

Построить плоскость

Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:

Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения задают пространственную прямую , лежащую в данной координатной плоскости. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку и проводим прямую.

Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые значения, то построенная в плоскости прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм:

Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров.

Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую плоскости , например, точку из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:

Получено верное неравенство , значит, неравенство задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.

Пример 3

Построить плоскости
а) ;
б) .

Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока.

На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:

Пример 4

Построить плоскость

Решение : в уравнение в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.

Перепишем уравнение плоскости в виде из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и в «родной» плоскости начертим обычную «плоскую» прямую . Для её построения удобно взять опорные точки .

Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость . Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины:

Готово.

Уравнение плоскости в отрезках

Важнейшая прикладная разновидность. Если все коэффициенты общего уравнения плоскости отличны от нуля , то оно представимо в виде , который называется уравнением плоскости в отрезках . Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:

Пример 5

Построить плоскость

Решение : сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:

Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что поверхность бесконечна :

Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром . Эллипс (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось является осью симметрии поверхности (но не её частью!).

Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .

Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.

В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность :

Пример 8

Построить поверхность, заданную уравнением

Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».

Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими цилиндра):

Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.

Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.

Пример 9

Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость

Перепишем уравнение в виде из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает круговой цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:

На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.

Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.

Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).

Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.

А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса , с которой мы начинали построение.

Пример 10

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости

Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока.

Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:

(по знакомым мотивам статьи о линиях 2-го порядка ) – цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси . Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.

Параболические цилиндры

Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола .

Пример 11

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.

Не мог удержаться от этого примера =)

Решение : идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра ):

Напоминаю полезный технический приём : если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.

Проекции.

1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола . Следует отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение цилиндра не приводимо к функциональному виду .

2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось

3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .

Пример 12

Построить параболические цилиндры:

а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;

б) на промежутке

В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину. Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий, если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа;-)

Гиперболические цилиндры

Направляющими таких цилиндров являются гиперболы . Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра :

Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная гипербола из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.

Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка , и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:

Эллипсоид. Сфера и шар

Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной системе координат имеет вид , где – положительные числа (полуоси эллипсоида), которые в общем случае различны . Эллипсоидом называют как поверхность , так и тело , ограниченное данной поверхностью. Тело, как многие догадались, задаётся неравенством и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:

Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае)

Кривизна кривой

Пусть γ(t ) - регулярная кривая в d -мерном евклидовом пространстве , параметризованная длиной . Тогда

называется кривизной кривой γ в точке p = γ(t ) , здесь обозначает вторую производную по t . Вектор

называется вектором кривизны γ в точке p = γ(t 0) .

Для кривой, заданной параметрически в общем случае (параметр не обязательно является длиной), кривизна отображается формулой

,

где и соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора γ в требуемой точке.

Для того чтобы кривая γ совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна (или вектор кривизны) тождественно равнялась нулю.

Величина, обратная кривизне кривой, называется радиусом кривизны ; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны .

Кривизна поверхности

Пусть Φ есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве . Пусть p - точка Φ , T p - касательная плоскость к Φ в точке p , n - единичная нормаль к Φ в точке p , а - π e плоскость, проходящая через n и некоторый единичный вектор e в T p . Кривая γ e , получающаяся как пересечение плоскости π e с поверхностью Φ , называется нормальным сечением поверхности Φ в точке p в направлении e . Величина

где обозначает скалярное произведение , а k - вектор кривизны γ e в точке p , называется нормальной кривизной поверхности Φ в направлении e . С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой γ e .

В касательной плоскости T p существуют два перпендикулярных направления e 1 и e 2 такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера :

κ e = κ 1 cos 2 α + κ 2 sin 2 α

где α - угол между e 1 и e 2 , a величины κ 1 и κ 2 нормальные кривизны в направлениях e 1 и e 2 , они называются главными кривизнами , а направления e 1 и e 2 - главными направлениями поверхности в точке p . Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена .

Величина

H = κ 1 + κ 2 , (иногда )

называется средней кривизной поверхности. Величина

K = κ 1 κ 2

называется гауссовой кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности не изменяется при изометрических изгибаниях.

См. также

Литература

• Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии (3-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

Wikimedia Foundation . 2010 .

давление непосредственно под выпуклой поверхностью жидкости больше давления под плоской поверхностью жидкости, а давление под вогнутой поверхностью жидкости меньше давления, чем под плоской поверхностью.

Расчет давления под сферической поверхностью жидкости

Она представляет из себя тонкий слой воды, который имеет две ограничивающие поверхности: внутреннюю и внешнюю. Радиусы кривизны этих поверхностей можно считать одинаковыми, так как толщина пленки в тысячи раз меньше радиуса пузыря. Вода из этого слоя постепенно стекает, слой утончается и, наконец, рвется. Так что пузыри по воде плавают не очень долго: от долей секунды до десятка секунд. Надо отметить, что по мере утончения водяной пленки размер пузыря практически не меняется.

Рассчитаем избыточное давление в таком пузыре. Для простоты рассмотрим однослойную полусферу радиуса r, располагающуюся на горизонтальной поверхности, будем так же считать, что снаружи воздуха нет. Пленка удерживается на заштрихованной поверхности за счет смачивания (рис. 2.3). При этом на нее вдоль границы контакта с поверхностью действует сила поверхностного натяжения, равная

где - коэффициент поверхностного натяжения жидкости,

Длина границы раздела пленка-поверхность равная .

Т. е. имеем:

.

Эта сила, действующая на пленку, а через нее и на воздух, направлена перпендикулярно поверхности (см. рис 2.3). Так что давление воздуха на поверхность и, следовательно, внутри пузыря можно рассчитать так:

Где F - сила поверхностного натяжения, равная ,

S - площадь поверхности: .

Подставляя значение силы F и площади S в формулу расчета давления получим:

и окончательно .

В нашем примере с воздушным пузырем на поверхности воды пленка двойная и, следовательно, избыточное давление равно .

На рисунке 2.4 приведены примеры однослойных сферических поверхностей, которые могут образоваться на поверхности жидкости. Над жидкостью находится газ, имеющий давление .

Капилля́рность (от лат. capillaris - волосяной), капиллярный эффект - физическое явление, заключающееся в способности жидкостей изменять уровень в трубках, узких каналах произвольной формы, пористых телах. Поднятие жидкости происходит в случаях смачивания каналов жидкостями, например воды в стеклянных трубках, песке, грунте и т. п. Понижение жидкости происходит в трубках и каналах, не смачиваемых жидкостью, например ртуть в стеклянной трубке.

На основе капиллярности основана жизнедеятельность животных и растений, химические технологии, бытовые явления (например, подъём керосина по фитилю в керосиновой лампе, вытирание рук полотенцем). Капиллярность почвы определяется скоростью, с которой вода поднимается в почве и зависит от размера промежутков между почвенными частицами.

Формула Лапласа

Рассмотрим тонкую жидкую плёнку, толщиной которой можно пренебречь. Стремясь минимизировать свою свободную энергию, плёнка создаёт разность давления с разных сторон. Этим объясняется существование мыльных пузырей: плёнка сжимается до тех пор, пока давление внутри пузыря не будет превышать атмосферное на величину добавочного давления плёнки. Добавочное давление в точке поверхности зависит от средней кривизны в этой точке и даётся формулой Лапласа:

Здесь R 1,2 - радиусы главных кривизн в точке. Они имеют одинаковый знак, если соответствующие центры кривизны лежат по одну сторону от касательной плоскости в точке, и разный знак - если по разную cторону. Например, для сферы центры кривизны в любой точке поверхности совпадают с центром сферы, поэтому

Для случая поверхности кругового цилиндра радиуса R имеем