რადიუსის ვექტორში მატერიალური წერტილის მოძრაობის ტრაექტორია

მათემატიკის ამ განყოფილების დავიწყების შემდეგ, ჩემს მეხსიერებაში მატერიალური წერტილის მოძრაობის განტოლებები ყოველთვის იყო წარმოდგენილი ყველა ჩვენგანისთვის ნაცნობი დამოკიდებულების გამოყენებით. y(x), და დავალების ტექსტს რომ ვუყურებ, ვექტორები რომ დავინახე, ცოტა გაოგნებული დავრჩი. აღმოჩნდა, რომ არსებობს მატერიალური წერტილის ტრაექტორიის გამოსახულება გამოყენებით რადიუს-ვექტორი- ვექტორი, რომელიც განსაზღვრავს წერტილის პოზიციას სივრცეში წინასწარ ფიქსირებულ წერტილთან მიმართებაში, რომელსაც ეწოდება საწყისი.

მატერიალური წერტილის ტრაექტორიის ფორმულა, გარდა რადიუსის ვექტორისა, აღწერილია ანალოგიურად ორტები- ერთეული ვექტორები მე, ჯ, კჩვენს შემთხვევაში კოორდინატთა სისტემის ღერძებს ემთხვევა. და ბოლოს, განვიხილოთ განტოლების მაგალითი მატერიალური წერტილის ტრაექტორიისთვის (ორგანზომილებიან სივრცეში):

რა არის საინტერესო ამ მაგალითში? წერტილის მოძრაობის ტრაექტორია მოცემულია სინუსებით და კოსინუსებით, როგორ ფიქრობთ, როგორი იქნება გრაფიკი y(x)-ის ნაცნობ გამოსახულებაში? ”ალბათ რაღაც საშინელებაა”, - ფიქრობდი, მაგრამ ყველაფერი ისეთი რთული არ არის, როგორც ჩანს! შევეცადოთ ავაგოთ y(x) მატერიალური წერტილის ტრაექტორია, თუ ის მოძრაობს ზემოთ წარმოდგენილი კანონის მიხედვით:

აქ შევნიშნე კოსინუსის კვადრატი, თუ რომელიმე მაგალითში ხედავთ სინუსის ან კოსინუსის კვადრატს, ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობა, რაც მე გავაკეთე (მეორე ფორმულა) და გარდავაცვალე კოორდინატთა ფორმულა. წსინუსის ნაცვლად მასში ცვლილების ფორმულის ჩანაცვლება x:

შედეგად, წერტილის მოძრაობის საშინელი კანონი ჩვეულებრივი აღმოჩნდა პარაბოლარომლის ტოტები ქვევითაა მიმართული. იმედი მაქვს გესმით y(x) დამოკიდებულების აგების სავარაუდო ალგორითმი რადიუსის ვექტორზე მოძრაობის წარმოდგენიდან. ახლა გადავიდეთ ჩვენს მთავარ კითხვაზე: როგორ მოვძებნოთ მატერიალური წერტილის სიჩქარისა და აჩქარების ვექტორი, ასევე მათი მოდულები.

მატერიალური წერტილის სიჩქარის ვექტორი

ყველამ იცის, რომ მატერიალური წერტილის სიჩქარე არის წერტილის მიერ გავლილი მანძილის მნიშვნელობა დროის ერთეულზე, ანუ მოძრაობის კანონის ფორმულის წარმოებული. სიჩქარის ვექტორის საპოვნელად, თქვენ უნდა აიღოთ წარმოებული დროის მიმართ. მოდით შევხედოთ სიჩქარის ვექტორის პოვნის კონკრეტულ მაგალითს.

სიჩქარის ვექტორის პოვნის მაგალითი

ჩვენ გვაქვს მატერიალური წერტილის გადაადგილების კანონი:

ახლა თქვენ უნდა აიღოთ ამ მრავალწევრის წარმოებული, თუ დაგავიწყდათ როგორ კეთდება ეს, მაშინ აქ ხართ. შედეგად, სიჩქარის ვექტორი ასე გამოიყურება:

ყველაფერი იმაზე მარტივი აღმოჩნდა, ვიდრე თქვენ გეგონა, ახლა ვიპოვოთ მატერიალური წერტილის აჩქარების ვექტორი იმავე ზემოთ წარმოდგენილი კანონის მიხედვით.

როგორ მოვძებნოთ მატერიალური წერტილის აჩქარების ვექტორი

წერტილის აჩქარების ვექტორიეს არის ვექტორული სიდიდე, რომელიც ახასიათებს მოდულის ცვლილებას და წერტილის სიჩქარის მიმართულებას დროთა განმავლობაში. ჩვენს მაგალითში მატერიალური წერტილის აჩქარების ვექტორის საპოვნელად, თქვენ უნდა აიღოთ წარმოებული, მაგრამ ზემოთ წარმოდგენილი სიჩქარის ვექტორის ფორმულიდან:

წერტილის სიჩქარის ვექტორული მოდული

ახლა ვიპოვოთ მატერიალური წერტილის სიჩქარის ვექტორის მოდული. მოგეხსენებათ მე-9 კლასიდან ვექტორის მოდული არის მისი სიგრძე, მართკუთხა დეკარტის კოორდინატებში ის უდრის მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამის კვადრატულ ფესვს. და სად ითხოვთ სიჩქარის ვექტორიდან, რომელიც ზემოთ მივიღეთ მისი კოორდინატების აღებას? ყველაფერი ძალიან მარტივია:

ახლა საკმარისია უბრალოდ ჩაანაცვლოთ დავალებაში მითითებული დრო და მიიღოთ კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობა.

აჩქარების ვექტორული მოდული

როგორც ზემოთ დაწერილიდან მიხვდით (და მე-9 კლასიდან), აჩქარების ვექტორის მოდულის პოვნა ხდება ისევე, როგორც სიჩქარის ვექტორის მოდული: ვექტორის კვადრატების ჯამიდან ვიღებთ კვადრატულ ფესვს. კოორდინატები, ყველაფერი მარტივია! აბა, აი შენთვის მაგალითი:

როგორც ხედავთ, მატერიალური წერტილის აჩქარება ზემოთ მოცემული კანონის მიხედვით არ არის დამოკიდებული დროზე და აქვს მუდმივი სიდიდე და მიმართულება.

სიჩქარისა და აჩქარების ვექტორის პოვნის ამოცანის ამოხსნის სხვა მაგალითები

და აქ შეგიძლიათ იპოვოთ ფიზიკის სხვა ამოცანების გადაჭრის მაგალითები. და მათთვის, ვისაც ბოლომდე არ ესმის, როგორ იპოვონ სიჩქარის და აჩქარების ვექტორი, აქ არის კიდევ რამდენიმე მაგალითი ქსელიდან ყოველგვარი დამატებითი ახსნის გარეშე, იმედი მაქვს, რომ ისინი დაგეხმარებიან.

თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები, შეგიძლიათ დასვათ ისინი კომენტარებში.

ხუთი წუთი:წერტილის მოძრაობის კანონი მოცემულია განტოლებებით

x=2მ/წ*ტ; y=2m/s*t-1m/s 2 *t 2

იპოვეთ წერტილის კოორდინატები დროის წერტილებისთვის 0, 0.5s, 1s, 1.5s, 2s. მონიშნეთ წერტილის მდებარეობა X-Y კოორდინატთა სისტემაში, დახაზეთ ტრაექტორია, განსაზღვრეთ წერტილის (|v|) სიჩქარე დროის მიხედვით.

ფორმულიდან (1.3) გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი მოძრაობის სიჩქარე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს X, Y და Z კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ სამი მართკუთხა მოძრაობის სიჩქარის დამატების შედეგად, ე.ი. ნებისმიერი რთული მოძრაობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სწორხაზოვანი მოძრაობების ჯამი (მოძრაობების სუპერპოზიციის პრინციპი). ამ პრინციპის გამოყენებით განვსაზღვროთ, მაგალითად, პირველი კოსმოსური სიჩქარის მნიშვნელობა, ე.ი. ისეთი სიჩქარე, დედამიწის ზედაპირის პარალელურად, რომელიც სხეულს უნდა ჰქონდეს ისე, რომ არასოდეს ჩამოვარდეს დედამიწაზე. პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია შემდეგი გზით. დედამიწის ზედაპირის გასწვრივ სხეულის მოძრაობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი მოძრაობის ჯამი: ერთგვაროვანი ჰორიზონტალური მოძრაობა სროლის სიჩქარით v და სხეულის თავისუფალი დაცემა დედამიწის ზედაპირისკენ g აჩქარებით (თავისუფალი ვარდნის აჩქარება).

მცირე დროის განმავლობაში Dt სხეული გაივლის, გადაადგილდება დედამიწის რადიუსზე პერპენდიკულურად, A წერტილიდან B. წერტილამდე (იხ. სურ. 1.9). ამ შემთხვევაში, მისი რადიუსის ვექტორი ბრუნავს β რაღაც პატარა კუთხით. ამავე დროს, სხეულის სიჩქარე მიიღებს ზრდას ∆v=g∆tდედამიწის რადიუსის გასწვრივ, ე.ი. სიჩქარის ვექტორიც გარკვეული კუთხით ბრუნავს. იმისათვის, რომ სხეულმა განაგრძოს მოძრაობა დედამიწის ზედაპირზე, ეს კუთხე უნდა ემთხვეოდეს სხეულის რადიუსის ვექტორის ბრუნვის კუთხეს. მაშასადამე, სიჩქარის ვექტორის ბრუნვის კუთხე არის ასევე β კუთხე. მოდით გავათანაბროთ ტანგენსი β, რომელიც ნაპოვნია გადაადგილების სამკუთხედიდან და სიჩქარის სამკუთხედიდან:

(1.7)

ამის შემდეგ, ჩვენ გამოვხატავთ სიჩქარის მნიშვნელობას:

როგორც პირველი კოსმოსური სიჩქარის გამოხატვის წარმოშობიდან ჩანს, ნებისმიერი სხეული, რომელიც ამ სიჩქარით მოძრაობს დედამიწის ირგვლივ, იცვლის სიჩქარის მიმართულებას მიწაზე მუდმივი დაცემის გამო. და ეს ცვლილება იწვევს იმ ფაქტს, რომ სიჩქარის ვექტორი ყოველთვის პარალელურია დედამიწის ზედაპირის.

მოძრაობას მუდმივი სიჩქარის ვექტორით ერთგვაროვანი ეწოდება. ზოგადად, სიჩქარე იცვლება როგორც სიდიდით, ასევე მიმართულებით.

სიჩქარის ცვლილების სიჩქარის დასახასიათებლად შემოღებულია კონცეფცია აჩქარება.აჩქარება არის უსასრულო დროის ინტერვალზე სიჩქარის ზრდის შეფარდება ამ ინტერვალთან, ე.ი. სიჩქარის წარმოებული დროის მიმართ

აჩქარების ვექტორი ასევე შეიძლება გაფართოვდეს კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ:

აჩქარების ვექტორის მოდული უდრის:

. (1.11)

სიჩქარის გამოსახულებით (1.9) ჩანაცვლებით, როგორც სხეულის რადიუსის ვექტორის წარმოებული, ჩვენ ვიღებთ აჩქარების გამოხატვას რადიუსის ვექტორის მეორე წარმოებულის სახით დროის მიმართ:

მაგალითი. მოძრავი წერტილის რადიუსის ვექტორი მოცემულია შემდეგი გამოსახულებით:

განსაზღვრეთ მოძრაობის ხასიათი, სიჩქარე და აჩქარება.

მოძრაობის ბუნების დასადგენად, ჩვენ ვიანგარიშებთ რადიუსის ვექტორის მოდულს:

ამრიგად, როდესაც წერტილი მოძრაობს |r|-const. შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეს არის მოძრაობა R რადიუსის წრის გასწვრივ, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე.

გამოთვალეთ წერტილის სიჩქარე:

სიჩქარის მოდული:

სიჩქარის მოდული ასევე არ იცვლება დროში, შესაბამისად, ეს არის მოძრაობა წრეში მუდმივი მოდულის სიჩქარით.

მოდით განვსაზღვროთ წერტილის აჩქარება:

წერტილის რადიუსის ვექტორისა და მისი აჩქარების ფორმულების შედარებისას ვხედავთ, რომ ისინი გამოხატავენ საპირისპირო მიმართულ ვექტორებს. თუ რადიუსის ვექტორი მიმართულია ტრაექტორიის ცენტრიდან წერტილამდე, მაშინ აჩქარების ვექტორი მიმართულია წერტილიდან ტრაექტორიის ცენტრისკენ. ამ შემთხვევაში აჩქარების მოდული დროში არ იცვლება და უდრის |a|=Rω 2-ს. მოდით გამოვთვალოთ სიჩქარისა და აჩქარების ვექტორების სკალარული ნამრავლი:

ამიტომ, ამ მაგალითში, სიჩქარისა და აჩქარების ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია.

ზოგადად, სიჩქარისა და აჩქარების ვექტორები ქმნიან ერთგვარ კუთხეს. მოსახერხებელია აჩქარების ვექტორის ორ კომპონენტად დაშლა. ერთ-ერთი მათგანი პარალელურია (ან ანტიპარალელური) სიჩქარის ვექტორის მიმართ და ე.წ ტანგენციალურიაჩქარების კომპონენტი. მეორე არის სიჩქარის ვექტორის პერპენდიკულარული, მას ე.წ ნორმალურიაჩქარების კომპონენტი. აჩქარების ტანგენციალური კომპონენტი გამოხატავს სიჩქარის მოდულის ცვლილებას, ხოლო ნორმალური კომპონენტი - სიჩქარის მიმართულების ცვლილებას. ზემოთ განხილულ მაგალითში, აჩქარების ტანგენციალური კომპონენტი არის ნული. შედეგად, სიჩქარე იცვლება მხოლოდ მიმართულებით, მისი მოდული უცვლელი რჩება.

ზოგად შემთხვევაში, მთლიანი აჩქარების მოდული განისაზღვრება პითაგორას თეორემით:

1.3. ბრუნვის მოძრაობის კინემატიკა, კუთხური სიჩქარის ვექტორი, წერტილის წრფივი და კუთხური სიჩქარის კავშირი, კუთხური აჩქარების ვექტორი.

წრიული მოძრაობა არის პირადი, მაგრამ ძალიან გავრცელებული ტიპის მოძრაობა. მისთვის დანერგილია ისეთი დამატებითი კინემატიკური მახასიათებლები, როგორიცაა კუთხური სიჩქარე - ωდა კუთხური აჩქარება - ε.

კუთხური სიჩქარის w მნიშვნელობა განისაზღვრება, როგორც კუთხის ნამატის - dj თანაფარდობა, რომლითაც წერტილის რადიუსის ვექტორი დროში dt, ამ დროის ინტერვალთან, ე.ი.

ეს ძალიან ბუნებრივი განმარტებაა. თუმცა, (1.18) მიხედვით, ბრუნვის კუთხეც და კუთხური სიჩქარეც განისაზღვრა როგორც ვექტორული სიდიდეები. მომავალში დავინახავთ, რომ კუთხური რაოდენობების ასეთი განსაზღვრება ძალიან მოსახერხებელი და პროდუქტიული აღმოჩნდება. ბრუნვის კუთხის ვექტორის მიმართულება განისაზღვრება მარჯვენა ხრახნის წესით: თუ მარჯვენა ხრახნი შემობრუნებულია დადებითი კუთხის ნამატის მიმართულებით, მაშინ ხრახნის გადამყვანი მოძრაობა მიუთითებს კუთხის ზრდის ვექტორის მიმართულებაზე..

მსგავსი განმარტება დღეს უკვე შეგვხვდა ვექტორული პროდუქტის განმარტებაში. მართლაც, თუ გამოვხატავთ წრის გასწვრივ მოძრავი წერტილის რადიუსის ვექტორის ნამატს, როდესაც ის ბრუნავს Δφ კუთხით, მაშინ მივიღებთ შემდეგ ფორმულას.

(1.19)

წრფივი სიჩქარის ვექტორი, როდესაც წერტილი მოძრაობს წრის გასწვრივ კუთხური სიჩქარით ω, განისაზღვრება (1.19) საფუძველზე.

> საშუალო ვექტორული სიჩქარე: გრაფიკული ინტერპრეტაცია

საშუალო სიჩქარევექტორული რაოდენობით: განმარტება, როგორ ვიპოვოთ სხეულის საშუალო სიჩქარე, ვექტორული სიჩქარის საზომი ერთეული, ფორმულა და გამოთვლა.

საშუალო ვექტორული სიჩქარე- პოზიციის შეცვლა მოძრაობის დროს.

სასწავლო დავალება

• ესმით მუდმივი სიჩქარე და ფიზიკური.

ძირითადი პუნქტები

• საშუალო სიჩქარე გამოითვლება მთლიანი გადაადგილების განსაზღვრით, გაყოფილი მოგზაურობის დროზე.
• საშუალო სიჩქარე არაფერს ამბობს იმაზე, თუ რა ემართება ობიექტს ორ წერტილს შორის.
• საშუალო ვექტორული სიჩქარე განსხვავდება სკალარულისგან იმით, რომ იგი ითვალისწინებს მოძრაობის მიმართულებას და პოზიციის მთლიან ცვლილებას.

ვადა

ვექტორული სიჩქარე არის სიდიდე, რომელიც მიუთითებს პოზიციის ცვლილების სიჩქარეზე დროში ან მიმართულებით.

თუ ყოველდღიურ ცხოვრებაზე ვსაუბრობთ, მაშინ ვექტორულ და სკალარული სიჩქარეს უბრალოდ სიჩქარეს უწოდებენ და არანაირ განსხვავებას არ ახდენს. მაგრამ ფიზიკაში ისინი აშკარად ჩანს. სკალარული სიჩქარე აქვს მხოლოდ სიდიდეს, ხოლო ვექტორული საშუალო სიჩქარე სიდიდეს მიმართულებას ამატებს.

საშუალო სკალარული სიჩქარე გამოითვლება, როგორც გავლილი მანძილი მოგზაურობის მთლიანი დროის განმავლობაში. ვექტორი არის პოზიციის ცვლილება მოძრაობის მთელი დროის განმავლობაში.

Vmean = Δx/t

სიჩქარის SI ერთეული არის m/s, მაგრამ ის ასევე შეიძლება იყოს კმ/სთ, mph, cm/s. ვთქვათ, მატარებელში მგზავრს 5 წამი დასჭირდა გადაადგილებისთვის -4მ (უარყოფითი ნიშანი მიუთითებს უკან მოძრაობაზე). მაშინ საშუალო ვექტორული სიჩქარე:

V = Δx/t = -4m/5s = -0,8 მ/წმ.

თუმცა, ეს მონაცემები არაფერს ამბობს იმაზე, თუ რა დაემართა ობიექტს ორ წერტილს შორის. გაჩერდა თუ დაბრუნდა, ვერ გავიგებთ. დეტალების გასარკვევად მოგიწევთ უფრო მცირე დროის ინტერვალებში ჩაღრმავება.

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს, რათა გავავლოთ მკაფიო ხაზი ვექტორულ და სკალარული სიჩქარეებს შორის. ვთქვათ, აღმოჩნდებით პატარა ოთხკუთხედში. თქვენ მოძრაობთ 3 მ ჩრდილოეთით, 4 მ აღმოსავლეთით, 3 მ სამხრეთით და 4 მ დასავლეთით. ამ ყველაფერს ნახევარი წუთი დასჭირდა. სკალარის გამოთვლა დაიწყება სრული მანძილის (3 + 4 + 3 + 4 = 14 მ) დაფარვით, ხოლო აქედან - 14/30 = 0,47 მ/წმ.

თუმცა, ვექტორი რეაგირებს გადაადგილებაზე დროთა განმავლობაში. თქვენ დაბრუნდით საწყის წერტილში, ამიტომ ოფსეტი = 0. ამიტომ, ვექტორის საშუალო სიჩქარე არის 0 მ/წმ.

(1 რეიტინგი, საშუალო: 5,00 5-დან)

სიჩქარე არის ვექტორული სიდიდე, რომელიც ახასიათებს არა მხოლოდ ნაწილაკების მოძრაობის სიჩქარეს ტრაექტორიის გასწვრივ, არამედ მიმართულებას, რომლითაც ნაწილაკი მოძრაობს დროის ყოველ მომენტში.

საშუალო სიჩქარე დროთა განმავლობაში დან t1 ადრე t2უდრის მოძრაობის თანაფარდობას ამ დროის განმავლობაში იმ დროის ინტერვალთან, რომლის დროსაც მოხდა ეს მოძრაობა:

ფაქტს, რომ ეს არის საშუალო სიჩქარე, ჩვენ აღვნიშნავთ საშუალო მნიშვნელობის კუთხის ფრჩხილებში ჩასმით:<...>როგორც ზემოთ გაკეთდა.

საშუალო სიჩქარის ვექტორის ზემოთ მოცემული ფორმულა არის საშუალო მნიშვნელობის ზოგადი მათემატიკური განსაზღვრების პირდაპირი შედეგი.<f(x)> თვითნებური ფუნქცია f(x)ინტერვალზე [ ა, ბ]:

მართლა

საშუალო სიჩქარე შეიძლება ძალიან უხეში იყოს მოძრაობისთვის. მაგალითად, საშუალო სიჩქარე რხევების პერიოდის განმავლობაში ყოველთვის ნულია, მიუხედავად ამ რხევების ხასიათისა, იმ მარტივი მიზეზის გამო, რომ პერიოდის განმავლობაში - პერიოდის განსაზღვრებით - რხევადი სხეული დაუბრუნდება საწყის წერტილს და, შესაბამისად, გადაადგილება გარკვეული პერიოდის განმავლობაში ყოველთვის ნულის ტოლია. ამ და რიგი სხვა მიზეზების გამო შემოტანილია მყისიერი სიჩქარე – სიჩქარე დროის მოცემულ მომენტში. მომავალში, რაც გულისხმობს მყისიერ სიჩქარეს, ჩვენ დავწერთ უბრალოდ: „სიჩქარე“, გამოტოვებთ სიტყვებს „მყისიერი“ ან „დროის მოცემულ მომენტში“, როცა ამას გაუგებრობა არ მოჰყვება. დროის მომენტში სიჩქარის მისაღებად. ტჩვენ უნდა გავაკეთოთ აშკარა: გამოვთვალოთ შეფარდების ზღვარი, როდესაც დროის ინტერვალი მიდრეკილია t2 – t1ნულამდე. მოდით გადავარქვათ სახელი: t1 = tდა t 2 \u003d t +და გადაწერეთ ზედა მიმართება შემდეგნაირად:

სიჩქარე დროულად ტუდრის მოძრაობის თანაფარდობის ზღვარს დროში იმ დროის ინტერვალთან, რომლის დროსაც მოხდა ეს მოძრაობა, როდესაც ეს უკანასკნელი მიდრეკილია ნულისკენ.

ბრინჯი. 2.5. მყისიერი სიჩქარის განსაზღვრებამდე.

ამ დროისთვის ჩვენ არ განვიხილავთ ამ ლიმიტის არსებობის საკითხს, თუ ვივარაუდებთ, რომ ის არსებობს. გაითვალისწინეთ, რომ თუ არის სასრული გადაადგილება და დროის სასრული ინტერვალი, მაშინ და არის მათი ზღვრული მნიშვნელობები: უსასრულოდ მცირე გადაადგილება და დროის უსასრულო მცირე ინტერვალი. ასე რომ, სიჩქარის განმარტების მარჯვენა მხარე

სხვა არაფერია თუ არა წილადი - გაყოფის კოეფიციენტი, ამიტომ ბოლო თანაფარდობა შეიძლება გადაიწეროს და საკმაოდ ხშირად გამოიყენება სახით

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობის მიხედვით, სიჩქარის ვექტორი ტრაექტორიის თითოეულ წერტილში ტანგენციურად არის მიმართული ტრაექტორიაზე მისი მოძრაობის მიმართულებით.

ვიდეო 2.1. სიჩქარის ვექტორი მიმართულია ტრაექტორიაზე ტანგენციალურად. სათლელის ექსპერიმენტი.

ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება გაფართოვდეს საფუძველში (ფუძის ერთეული ვექტორებისთვის, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთეული ვექტორებისთვის, რომლებიც განსაზღვრავენ ღერძების დადებით მიმართულებებს ოქსი,OY,უნციაჩვენ ვიყენებთ აღნიშვნას , , ან , შესაბამისად). ამ გაფართოების კოეფიციენტები არის ვექტორის პროგნოზები შესაბამის ღერძებზე. მნიშვნელოვანია შემდეგი: ვექტორთა ალგებრაში დადასტურებულია, რომ გაფართოება საფუძვლის თვალსაზრისით უნიკალურია. მოდით გავაფართოვოთ ზოგიერთი მოძრავი მატერიალური წერტილის რადიუსის ვექტორი საფუძვლის თვალსაზრისით

დეკარტის ერთეულების ვექტორების მუდმივობის გათვალისწინებით , , განვასხვავებთ ამ გამოსახულებას დროის მიხედვით

მეორეს მხრივ, გაფართოებას სიჩქარის ვექტორის საფუძვლის თვალსაზრისით აქვს ფორმა

ბოლო ორი გამონათქვამის შედარება, ნებისმიერი ვექტორის გაფართოების უნიკალურობის გათვალისწინებით საფუძვლების მიხედვით, იძლევა შემდეგ შედეგს: დეკარტის ღერძებზე სიჩქარის ვექტორის პროგნოზები უდრის შესაბამისი კოორდინატების დროის წარმოებულებს, რომ არის

სიჩქარის ვექტორის მოდული არის

მივიღოთ კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი გამოხატულება სიჩქარის ვექტორის მოდულისათვის.

უკვე აღინიშნა, რომ მნიშვნელობისთვის || სულ უფრო ნაკლებად განსხვავდება შესაბამისი ბილიკისაგან (იხ. სურ. 2). Ისე

და ლიმიტში (>0)

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სიჩქარის მოდული არის გავლილი მანძილის წარმოებული დროის მიმართ.

საბოლოოდ გვაქვს:

სიჩქარის ვექტორის საშუალო მოდული, განისაზღვრება შემდეგნაირად:

სიჩქარის ვექტორის მოდულის საშუალო მნიშვნელობა უდრის გავლილი მანძილის თანაფარდობას იმ დროს, რომლის განმავლობაშიც ეს გზა გაიარა:

Აქ s(t1,t2)- დროში გზა t1ადრე t2და შესაბამისად, s(t0,t2)- დროში გზა t0ადრე t2და s(t0,t2)- დროში გზა t0ადრე t1.

საშუალო სიჩქარის ვექტორი, ან უბრალოდ საშუალო სიჩქარე, როგორც ზემოთ, არის

გაითვალისწინეთ, რომ, პირველ რიგში, ეს არის ვექტორი, მისი მოდული - საშუალო სიჩქარის ვექტორის მოდული არ უნდა აგვერიოს სიჩქარის ვექტორის მოდულის საშუალო მნიშვნელობასთან. ზოგადად, ისინი არ არიან ტოლები: საშუალო ვექტორის მოდული საერთოდ არ არის ამ ვექტორის საშუალო მოდულის ტოლი. ორი ოპერაცია: მოდულის გაანგარიშება და საშუალოს გაანგარიშება, ზოგად შემთხვევაში, არ შეიძლება შეიცვალოს.

განვიხილოთ მაგალითი. მიეცით წერტილი ერთი მიმართულებით. ნახ. 2.6. გვიჩვენებს მის მიერ განვლილი გზის გრაფიკს სიმ დროს (დროიდან 0 ადრე ტ). სიჩქარის ფიზიკური მნიშვნელობის გამოყენებით, გამოიყენეთ ეს გრაფიკი, რათა იპოვოთ დროში მომენტი, რომლის დროსაც მყისიერი სიჩქარე უდრის საშუალო მიწის სიჩქარეს წერტილის მოძრაობის პირველი წამებისთვის.

ბრინჯი. 2.6. სხეულის მყისიერი და საშუალო სიჩქარის განსაზღვრა

სიჩქარის მოდული მოცემულ დროს

როგორც ბილიკის წარმოებული დროის მიმართ, ის უდრის რხევის კუთხური კოეფიციენტის დამოკიდებულების გრაფიკს დროის მომენტის შესაბამის წერტილამდე. t*. სიჩქარის საშუალო მოდული გარკვეული პერიოდის განმავლობაში 0 ადრე t*არის იმავე გრაფიკის საწყისის შესაბამის წერტილებში გამავალი სეკანტის დახრილობა t = 0და დასასრული t = t*დროის ინტერვალი. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ დროში ასეთი მომენტი t*როდესაც ორივე ფერდობი ერთნაირია. ამისათვის ჩვენ ვხატავთ სწორ ხაზს კოორდინატების საწყისში, ტრაექტორიაზე ტანგენტით. როგორც ნახატიდან ჩანს, ამ სწორი ხაზის შეხების წერტილი s(t)და აძლევს t*. ჩვენს მაგალითში ვიღებთ