Al canale youtube del nostro sito sito per essere a conoscenza di tutte le nuove video lezioni.

Per prima cosa, ricordiamo le formule di base dei gradi e le loro proprietà.

Prodotto di un numero un accade su se stesso n volte, possiamo scrivere questa espressione come a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. un n un m = un n + m

4. (un n) m = un nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Equazioni di potenza o esponenziali- sono equazioni in cui le variabili sono in potenze (o esponenti) e la base è un numero.

Esempi di equazioni esponenziali:

In questo esempio, il numero 6 è la base, è sempre in basso, e la variabile X grado o misura.

Diamo altri esempi di equazioni esponenziali.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Ora diamo un'occhiata a come vengono risolte le equazioni esponenziali?

Prendiamo una semplice equazione:

2x = 2 3

Un tale esempio può essere risolto anche nella mente. Si può notare che x=3. Dopotutto, affinché i lati sinistro e destro siano uguali, devi inserire il numero 3 invece di x.
Ora vediamo come dovrebbe essere presa questa decisione:

2x = 2 3
x = 3

Per risolvere questa equazione, abbiamo rimosso stessi motivi(cioè, due) e annota ciò che è rimasto, questi sono gradi. Abbiamo ottenuto la risposta che stavamo cercando.

Ora riassumiamo la nostra soluzione.

Algoritmo per risolvere l'equazione esponenziale:
1. Necessità di controllare lo stesso se le basi dell'equazione a destra ea sinistra. Se i motivi non sono gli stessi, stiamo cercando opzioni per risolvere questo esempio.
2. Dopo che le basi sono le stesse, equiparare grado e risolvere la nuova equazione risultante.

Ora risolviamo alcuni esempi:

Iniziamo in modo semplice.

Le basi sui lati sinistro e destro sono uguali al numero 2, il che significa che possiamo scartare la base ed eguagliare i loro gradi.

x+2=4 L'equazione più semplice è risultata.
x=4 - 2
x=2
Risposta: x=2

Nell'esempio seguente, puoi vedere che le basi sono diverse, queste sono 3 e 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Per cominciare, trasferiamo i nove sul lato destro, otteniamo:

Ora devi fare le stesse basi. Sappiamo che 9=3 2 . Usiamo la formula della potenza (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Otteniamo 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ora è chiaro che le basi sui lati sinistro e destro sono le stesse e uguali a tre, il che significa che possiamo scartarle ed eguagliare i gradi.

3x=2x+16 ha ottenuto l'equazione più semplice
3x-2x=16
x=16
Risposta: x=16.

Diamo un'occhiata al seguente esempio:

2 2x + 4 - 10 4x \u003d 2 4

Prima di tutto, guardiamo le basi, le basi sono due e quattro diverse. E dobbiamo essere gli stessi. Trasformiamo la quadrupla secondo la formula (a n) m = a nm .

4x = (2 2)x = 2 2x

E usiamo anche una formula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Aggiungi all'equazione:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Abbiamo fatto un esempio per le stesse ragioni. Ma altri numeri 10 e 24 interferiscono con noi: cosa farne? Se guardi da vicino, puoi vedere che sul lato sinistro ripetiamo 2 2x, ecco la risposta: possiamo mettere 2 2x tra parentesi:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calcoliamo l'espressione tra parentesi:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividiamo l'intera equazione per 6:

Immagina 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 basi sono le stesse, scartale e identifica i gradi.
2x \u003d 2 si è rivelata l'equazione più semplice. Lo dividiamo per 2, otteniamo
x = 1
Risposta: x = 1.

Risolviamo l'equazione:

9 x - 12*3 x +27= 0

Trasformiamo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otteniamo l'equazione:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Le nostre basi sono le stesse, pari a 3. In questo esempio è chiaro che la prima tripla ha un grado doppio (2x) rispetto alla seconda (solo x). In questo caso, puoi decidere metodo di sostituzione. Il numero con il grado più piccolo è sostituito da:

Quindi 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Sostituiamo tutti i gradi con x nell'equazione con t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Otteniamo un'equazione quadratica. Risolviamo attraverso il discriminante, otteniamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Torna a Variabile X.

Prendiamo t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Questo è,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

È stata trovata una radice. Cerchiamo il secondo, da t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Risposta: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Sul sito puoi nella sezione AIUTARE A DECIDERE di porre domande di tuo interesse, ti risponderemo sicuramente.

Unisciti a un gruppo

y (x) = ex, la cui derivata è uguale alla funzione stessa.

L'esponente è indicato come , o .

e numero

La base del grado dell'esponente è e numero. Questo è un numero irrazionale. È approssimativamente uguale
e ≈ 2,718281828459045...

Il numero e è determinato attraverso il limite della sequenza. Questo cosiddetto secondo meraviglioso limite:
.

Inoltre, il numero e può essere rappresentato come una serie:
.

Grafico dell'espositore

Grafico esponente, y = e x .

Il grafico mostra l'esponente e nella misura X.
y (x) = ex
Il grafico mostra che l'esponente aumenta in modo monotono.

Formule

Le formule di base sono le stesse della funzione esponenziale con base di grado e.

;
;
;

Espressione di una funzione esponenziale con base arbitraria di grado a attraverso l'esponente:
.

Valori privati

Lascia y (x) = ex. Quindi
.

Proprietà dell'esponente

L'esponente ha le proprietà di una funzione esponenziale in base di grado e > 1 .

Dominio di definizione, insieme di valori

Esponente y (x) = ex definito per tutti x .
Il suo scopo è:
- ∞ < x + ∞ .
Il suo insieme di significati:
0 < y < + ∞ .

Estremi, aumento, diminuzione

L'esponente è una funzione monotonicamente crescente, quindi non ha estremi. Le sue proprietà principali sono presentate nella tabella.

Funzione inversa

Il reciproco dell'esponente è il logaritmo naturale.
;
.

Derivata dell'esponente

Derivato e nella misura Xè uguale a e nella misura X :
.
Derivata dell'ennesimo ordine:
.
Derivazione di formule > > >

Integrante

Numeri complessi

Le operazioni con numeri complessi vengono eseguite utilizzando formule di Eulero:
,
dov'è l'unità immaginaria:
.

Espressioni in termini di funzioni iperboliche

; ;
.

Espressioni in termini di funzioni trigonometriche

; ;
;
.

Espansione della serie di potenze

Riferimenti:
IN. Bronstein, KA Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.

In poche parole, si tratta di verdure cotte in acqua secondo una ricetta speciale. Prenderò in considerazione due componenti iniziali (insalata di verdure e acqua) e il risultato finale: il borscht. Geometricamente, questo può essere rappresentato come un rettangolo in cui un lato denota la lattuga, l'altro lato denota l'acqua. La somma di questi due lati indicherà borscht. La diagonale e l'area di un tale rettangolo "borscht" sono concetti puramente matematici e non vengono mai utilizzati nelle ricette del borscht.

In che modo la lattuga e l'acqua si trasformano in borscht in termini matematici? Come può la somma di due segmenti trasformarsi in trigonometria? Per capirlo, abbiamo bisogno di funzioni di angolo lineare.

Non troverai nulla sulle funzioni dell'angolo lineare nei libri di testo di matematica. Ma senza di loro non ci può essere matematica. Le leggi della matematica, come le leggi della natura, funzionano sia che sappiamo che esistono o meno.

Le funzioni angolari lineari sono le leggi dell'addizione. Guarda come l'algebra si trasforma in geometria e la geometria si trasforma in trigonometria.

È possibile fare a meno delle funzioni angolari lineari? Puoi, perché i matematici riescono ancora senza di loro. Il trucco dei matematici sta nel fatto che ci parlano sempre solo di quei problemi che loro stessi possono risolvere e non ci parlano mai di quei problemi che non possono risolvere. Vedere. Se conosciamo il risultato dell'addizione e un termine, utilizziamo la sottrazione per trovare l'altro termine. Qualunque cosa. Non conosciamo altri problemi e non siamo in grado di risolverli. Cosa fare se conosciamo solo il risultato dell'addizione e non conosciamo entrambi i termini? In questo caso, il risultato dell'addizione deve essere scomposto in due termini utilizzando funzioni angolari lineari. Inoltre, scegliamo noi stessi quale può essere un termine e le funzioni angolari lineari mostrano quale dovrebbe essere il secondo termine affinché il risultato dell'addizione sia esattamente quello di cui abbiamo bisogno. Ci può essere un numero infinito di tali coppie di termini. Nella vita di tutti i giorni facciamo molto bene senza scomporre la somma, ci basta la sottrazione. Ma negli studi scientifici sulle leggi della natura, l'espansione della somma in termini può essere molto utile.

Un'altra legge dell'addizione di cui i matematici non amano parlare (un altro dei loro trucchi) richiede che i termini abbiano la stessa unità di misura. Per lattuga, acqua e borscht, queste possono essere unità di peso, volume, costo o unità di misura.

La figura mostra due livelli di differenza per la matematica. Il primo livello sono le differenze nel campo dei numeri, che sono indicate un, b, c. Questo è ciò che fanno i matematici. Il secondo livello sono le differenze nell'area delle unità di misura, che sono indicate tra parentesi quadre e sono indicate dalla lettera u. Questo è ciò che fanno i fisici. Possiamo comprendere il terzo livello: le differenze nell'ambito degli oggetti descritti. Oggetti diversi possono avere lo stesso numero delle stesse unità di misura. Quanto sia importante, lo possiamo vedere nell'esempio della trigonometria di Borscht. Se aggiungiamo pedici alla stessa notazione per le unità di misura di oggetti diversi, possiamo dire esattamente quale quantità matematica descrive un particolare oggetto e come cambia nel tempo o in connessione con le nostre azioni. lettera w Segnerò l'acqua con la lettera S Segnerò l'insalata con la lettera B- Borsch. Ecco come sarebbero le funzioni dell'angolo lineare per borscht.

Se prendiamo parte dell'acqua e parte dell'insalata, insieme si trasformeranno in una porzione di borscht. Qui ti suggerisco di prenderti una piccola pausa dal borscht e ricordare la tua infanzia lontana. Ricordi come ci hanno insegnato a mettere insieme coniglietti e anatre? Era necessario trovare quanti animali risulteranno. Che cosa ci è stato insegnato a fare? Ci è stato insegnato a separare le unità dai numeri e ad aggiungere i numeri. Sì, qualsiasi numero può essere aggiunto a qualsiasi altro numero. Questo è un percorso diretto verso l'autismo della matematica moderna: non capiamo cosa, non è chiaro il perché, e capiamo molto male come questo si riferisca alla realtà, a causa dei tre livelli di differenza, i matematici operano solo su uno. Sarà più corretto imparare a passare da un'unità di misura all'altra.

E conigli, anatre e animaletti possono essere contati a pezzi. Un'unità di misura comune per oggetti diversi ci consente di sommarli insieme. Questa è una versione per bambini del problema. Diamo un'occhiata a un problema simile per gli adulti. Cosa ottieni quando aggiungi conigli e denaro? Ci sono due possibili soluzioni qui.

Prima opzione. Determiniamo il valore di mercato dei conigli e lo aggiungiamo alla liquidità disponibile. Abbiamo ottenuto il valore totale della nostra ricchezza in termini di denaro.

Seconda opzione. Puoi aggiungere il numero di coniglietti al numero di banconote che abbiamo. Otterremo la quantità di beni mobili in pezzi.

Come puoi vedere, la stessa legge di addizione ti consente di ottenere risultati diversi. Tutto dipende da cosa esattamente vogliamo sapere.

Ma torniamo al nostro borscht. Ora possiamo vedere cosa accadrà per diversi valori dell'angolo delle funzioni dell'angolo lineare.

L'angolo è zero. Abbiamo insalata ma niente acqua. Non possiamo cucinare il borsch. Anche l'importo del borscht è zero. Ciò non significa affatto che zero borscht sia uguale a zero acqua. Zero borsch può anche essere a zero insalata (angolo retto).

Per me personalmente, questa è la principale prova matematica del fatto che . Zero non cambia il numero quando viene aggiunto. Questo perché l'addizione stessa è impossibile se c'è un solo termine e manca il secondo termine. Puoi relazionarti a questo come preferisci, ma ricorda: tutte le operazioni matematiche con zero sono state inventate dai matematici stessi, quindi scarta la tua logica e riempi stupidamente le definizioni inventate dai matematici: "la divisione per zero è impossibile", "qualsiasi numero moltiplicato per zero è uguale a zero" , "dietro il punto zero" e altre sciocchezze. Basta ricordare una volta che zero non è un numero, e non ci si chiederà mai se zero sia un numero naturale o meno, perché una domanda del genere perde generalmente ogni significato: come si può considerare un numero ciò che non è un numero . È come chiedere a quale colore attribuire un colore invisibile. Aggiungere zero a un numero è come dipingere con una vernice che non esiste. Hanno agitato un pennello asciutto e hanno detto a tutti che "abbiamo dipinto". Ma divago un po'.

L'angolo è maggiore di zero ma minore di quarantacinque gradi. Abbiamo molta lattuga, ma poca acqua. Di conseguenza, otteniamo uno spesso borscht.

L'angolo è di quarantacinque gradi. Abbiamo la stessa quantità di acqua e lattuga. Questo è il borscht perfetto (che i cuochi mi perdonino, è solo matematica).

L'angolo è maggiore di quarantacinque gradi ma inferiore a novanta gradi. Abbiamo molta acqua e poca lattuga. Prendi il borsch liquido.

Angolo retto. Abbiamo acqua. Della lattuga rimangono solo ricordi, mentre continuiamo a misurare l'angolo dalla linea che un tempo segnava la lattuga. Non possiamo cucinare il borsch. La quantità di borscht è zero. In tal caso, aspetta e bevi acqua finché è disponibile)))

Qui. Qualcosa come questo. Posso raccontare altre storie qui che saranno più che appropriate qui.

I due amici avevano le loro azioni nell'affare comune. Dopo l'omicidio di uno di loro, tutto è andato all'altro.

L'emergere della matematica sul nostro pianeta.

Tutte queste storie sono raccontate nel linguaggio della matematica usando funzioni angolari lineari. Un'altra volta ti mostrerò il posto reale di queste funzioni nella struttura della matematica. Nel frattempo, torniamo alla trigonometria di borscht e consideriamo le proiezioni.

Sabato 26 ottobre 2019

Ho visto un video interessante su La fila di Grandi Uno meno uno più uno meno uno - Numberphile. I matematici mentono. Non hanno eseguito un test di uguaglianza nel loro ragionamento.

Questo risuona con il mio ragionamento su .

Diamo un'occhiata più da vicino ai segni che i matematici ci stanno ingannando. All'inizio del ragionamento, i matematici affermano che la somma di una sequenza DIPENDE dal fatto che il numero di elementi in essa contenuti sia pari o meno. Questo è un FATTO OGGETTIVAMENTE STABILITO. Cosa succede dopo?

Successivamente, i matematici sottraggono la sequenza dall'unità. A cosa porta questo? Questo porta a un cambiamento nel numero di elementi nella sequenza: un numero pari cambia in un numero dispari, un numero dispari cambia in un numero pari. Dopotutto, abbiamo aggiunto un elemento uguale a uno alla sequenza. Nonostante tutta la somiglianza esterna, la sequenza prima della trasformazione non è uguale alla sequenza dopo la trasformazione. Anche se stiamo parlando di una sequenza infinita, dobbiamo ricordare che una sequenza infinita con un numero dispari di elementi non è uguale a una sequenza infinita con un numero pari di elementi.

Mettendo un segno di uguale tra due sequenze diverse nel numero di elementi, i matematici affermano che la somma della sequenza NON DIPENDE dal numero di elementi nella sequenza, il che contraddice un FATTO OGGETTIVAMENTE STABILITO. Un ulteriore ragionamento sulla somma di una sequenza infinita è falso, perché si basa su una falsa uguaglianza.

Se vedi che i matematici mettono parentesi nel corso delle dimostrazioni, riordinano gli elementi di un'espressione matematica, aggiungono o rimuovono qualcosa, stai molto attento, molto probabilmente stanno cercando di ingannarti. Come i prestigiatori di carte, i matematici distolgono la tua attenzione con varie manipolazioni dell'espressione per darti alla fine un risultato falso. Se non puoi ripetere il trucco con le carte senza conoscere il segreto dell'imbroglio, allora in matematica è tutto molto più semplice: non sospetti nemmeno nulla dell'imbroglio, ma ripetere tutte le manipolazioni con un'espressione matematica ti permette di convincere gli altri della correttezza del risultato, proprio come quando ti hanno convinto.

Domanda del pubblico: E l'infinito (come il numero di elementi nella sequenza S), è pari o dispari? Come puoi cambiare la parità di qualcosa che non ha parità?

L'infinito per i matematici è come il Regno dei cieli per i sacerdoti - nessuno è mai stato lì, ma tutti sanno esattamente come funziona tutto lì))) Sono d'accordo, dopo la morte sarai assolutamente indifferente se hai vissuto un numero pari o dispari di giorni , ma ... Aggiungendo solo un giorno all'inizio della tua vita, otterremo una persona completamente diversa: il suo cognome, nome e patronimico sono esattamente gli stessi, solo la data di nascita è completamente diversa - è nato uno giorno prima di te.

E ora al punto))) Supponiamo che una successione finita che ha parità perda questa parità andando all'infinito. Quindi anche qualsiasi segmento finito di una sequenza infinita deve perdere la parità. Non osserviamo questo. Il fatto che non si possa dire con certezza se il numero di elementi in una sequenza infinita sia pari o dispari non significa affatto che la parità sia scomparsa. La parità, se esiste, non può scomparire nell'infinito senza lasciare traccia, come nella manica di una carta più affilata. C'è un'ottima analogia per questo caso.

Hai mai chiesto a un cuculo seduto in un orologio in quale direzione ruota la lancetta dell'orologio? Per lei, la freccia ruota nella direzione opposta a quella che chiamiamo "in senso orario". Può sembrare paradossale, ma il senso di rotazione dipende esclusivamente da quale lato osserviamo la rotazione. E così, abbiamo una ruota che gira. Non possiamo dire in quale direzione avvenga la rotazione, poiché possiamo osservarla sia da un lato del piano di rotazione che dall'altro. Possiamo solo testimoniare il fatto che c'è rotazione. Completa analogia con la parità di una successione infinita S.

Ora aggiungiamo una seconda ruota rotante, il cui piano di rotazione è parallelo al piano di rotazione della prima ruota rotante. Non siamo ancora in grado di dire esattamente in quale direzione girano queste ruote, ma possiamo dire con assoluta certezza se entrambe le ruote girano nella stessa direzione o in direzioni opposte. Confronto di due sequenze infinite S e 1-S, ho mostrato con l'aiuto della matematica che queste sequenze hanno parità diversa e mettere un segno di uguale tra di loro è un errore. Personalmente credo nella matematica, non mi fido dei matematici))) A proposito, per comprendere appieno la geometria delle trasformazioni di sequenze infinite, è necessario introdurre il concetto "simultaneità". Questo dovrà essere disegnato.

mercoledì 7 agosto 2019

Concludendo la conversazione su , dobbiamo considerare un insieme infinito. Dato che il concetto di "infinito" agisce sui matematici, come un boa constrictor su un coniglio. L'orrore tremante dell'infinito priva i matematici del buon senso. Ecco un esempio:

La fonte originale si trova. Alfa indica un numero reale. Il segno di uguale nelle espressioni precedenti indica che se aggiungi un numero o un infinito all'infinito, non cambierà nulla, il risultato sarà lo stesso infinito. Se prendiamo come esempio un insieme infinito di numeri naturali, allora gli esempi considerati possono essere rappresentati come segue:

Per dimostrare visivamente il loro caso, i matematici hanno escogitato molti metodi diversi. Personalmente, considero tutti questi metodi come le danze degli sciamani con i tamburelli. In sostanza, tutti si riducono al fatto che o alcune stanze non sono occupate e vi si sono sistemati nuovi ospiti, o che alcuni dei visitatori vengono gettati nel corridoio per fare spazio agli ospiti (molto umanamente). Ho presentato il mio punto di vista su tali decisioni sotto forma di una fantastica storia sulla bionda. Su cosa si basa il mio ragionamento? Spostare un numero infinito di visitatori richiede un tempo infinito. Dopo aver lasciato la prima stanza degli ospiti, uno dei visitatori camminerà sempre lungo il corridoio dalla sua stanza alla successiva fino alla fine dei tempi. Naturalmente, il fattore tempo può essere stupidamente ignorato, ma questo sarà già dalla categoria "la legge non è scritta per gli sciocchi". Tutto dipende da quello che stiamo facendo: adeguare la realtà alle teorie matematiche o viceversa.

Che cos'è un "hotel infinito"? Una locanda infinity è una locanda che ha sempre un numero qualsiasi di posti liberi, non importa quante stanze siano occupate. Se tutte le stanze del corridoio infinito "per i visitatori" sono occupate, c'è un altro corridoio infinito con stanze per gli "ospiti". Ci sarà un numero infinito di tali corridoi. Allo stesso tempo, l '"hotel infinito" ha un numero infinito di piani in un numero infinito di edifici su un numero infinito di pianeti in un numero infinito di universi creati da un numero infinito di Dei. I matematici, invece, non sono in grado di allontanarsi dai banali problemi quotidiani: Dio-Allah-Buddha è sempre uno solo, l'hotel è uno, il corridoio è uno solo. Quindi i matematici stanno cercando di destreggiarsi tra i numeri di serie delle camere d'albergo, convincendoci che è possibile "spingere chi non è spinto".

Ti dimostrerò la logica del mio ragionamento usando l'esempio di un insieme infinito di numeri naturali. Per prima cosa devi rispondere a una domanda molto semplice: quanti insiemi di numeri naturali esistono - uno o molti? Non esiste una risposta corretta a questa domanda, poiché noi stessi abbiamo inventato i numeri, non ci sono numeri in Natura. Sì, la Natura sa contare perfettamente, ma per questo usa altri strumenti matematici che non ci sono familiari. Come pensa la Natura, ve lo dirò un'altra volta. Dal momento che abbiamo inventato i numeri, decideremo noi stessi quanti insiemi di numeri naturali esistono. Considera entrambe le opzioni, come si addice a un vero scienziato.

Opzione uno. "Ci sia dato" un unico insieme di numeri naturali, che giace serenamente su uno scaffale. Prendiamo questo set dallo scaffale. Questo è tutto, non ci sono altri numeri naturali rimasti sullo scaffale e non c'è nessun posto dove portarli. Non possiamo aggiungerne uno a questo set, poiché lo abbiamo già. E se lo volessi davvero? Nessun problema. Possiamo prendere un'unità dal set che abbiamo già preso e rimetterla sullo scaffale. Dopodiché, possiamo prendere un'unità dallo scaffale e aggiungerla a ciò che ci è rimasto. Di conseguenza, otteniamo di nuovo un insieme infinito di numeri naturali. Puoi scrivere tutte le nostre manipolazioni in questo modo:

Ho scritto le operazioni in notazione algebrica e in notazione di teoria degli insiemi, elencando in dettaglio gli elementi dell'insieme. Il pedice indica che abbiamo un unico insieme di numeri naturali. Si scopre che l'insieme dei numeri naturali rimarrà invariato solo se ne viene sottratto uno e si aggiunge la stessa unità.

Opzione due. Abbiamo molti diversi insiemi infiniti di numeri naturali sullo scaffale. Sottolineo - DIVERSI, nonostante siano praticamente indistinguibili. Prendiamo uno di questi set. Quindi prendiamo uno da un altro insieme di numeri naturali e lo aggiungiamo all'insieme che abbiamo già preso. Possiamo anche aggiungere due insiemi di numeri naturali. Ecco cosa otteniamo:

I pedici "uno" e "due" indicano che questi elementi appartenevano a insiemi diversi. Sì, se ne aggiungi uno a un insieme infinito, anche il risultato sarà un insieme infinito, ma non sarà lo stesso dell'insieme originale. Se un insieme infinito viene aggiunto a un altro insieme infinito, il risultato è un nuovo insieme infinito costituito dagli elementi dei primi due insiemi.

L'insieme dei numeri naturali viene utilizzato per il conteggio allo stesso modo di un righello per le misurazioni. Ora immagina di aver aggiunto un centimetro al righello. Questa sarà già una riga diversa, non uguale all'originale.

Puoi accettare o meno il mio ragionamento: sono affari tuoi. Ma se ti imbatti in problemi matematici, considera se sei sulla via del falso ragionamento, calpestato da generazioni di matematici. Dopotutto, le lezioni di matematica, prima di tutto, formano in noi uno stereotipo stabile del pensiero e solo allora ci aggiungono capacità mentali (o viceversa, ci privano del libero pensiero).

pozg.ru

domenica 4 agosto 2019

Stavo scrivendo un poscritto a un articolo su e ho visto questo meraviglioso testo su Wikipedia:

Leggiamo: "... la ricca base teorica della matematica di Babilonia non aveva un carattere olistico ed era ridotta a un insieme di tecniche disparate, prive di un sistema comune e di una base di prove".

Oh! Quanto siamo intelligenti e quanto bene riusciamo a vedere i difetti degli altri. È debole per noi guardare alla matematica moderna nello stesso contesto? Parafrasando leggermente il testo sopra, personalmente ho ottenuto quanto segue:

La ricca base teorica della matematica moderna non ha un carattere olistico e si riduce a un insieme di sezioni disparate, prive di un sistema comune e di una base di prove.

Non andrò lontano per confermare le mie parole: ha un linguaggio e convenzioni diverse dal linguaggio e dalle convenzioni di molti altri rami della matematica. Gli stessi nomi in diversi rami della matematica possono avere significati diversi. Voglio dedicare un intero ciclo di pubblicazioni agli errori più evidenti della matematica moderna. Ci vediamo presto.

Sabato 3 agosto 2019

Come dividere un insieme in sottoinsiemi? Per fare ciò, è necessario inserire una nuova unità di misura, che è presente in alcuni elementi dell'insieme selezionato. Considera un esempio.

Possiamo averne molti MA composto da quattro persone. Questo set è formato sulla base di "persone". Designiamo gli elementi di questo set attraverso la lettera un, il pedice con un numero indicherà il numero ordinale di ogni persona in questo set. Introduciamo una nuova unità di misura "caratteristica sessuale" e la indichiamo con la lettera b. Poiché le caratteristiche sessuali sono inerenti a tutte le persone, moltiplichiamo ogni elemento dell'insieme MA sul genere b. Nota che il nostro set "persone" è ora diventato il set "persone con genere". Successivamente, possiamo dividere le caratteristiche sessuali in maschili bm e femminile bw caratteristiche di genere. Ora possiamo applicare un filtro matematico: selezioniamo una di queste caratteristiche sessuali, non importa quale sia maschio o femmina. Se è presente in una persona, lo moltiplichiamo per uno, se non esiste un tale segno, lo moltiplichiamo per zero. E poi applichiamo la solita matematica scolastica. Guarda cosa è successo.

Dopo moltiplicazioni, riduzioni e riarrangiamenti, abbiamo ottenuto due sottoinsiemi: il sottoinsieme maschile bm e un sottoinsieme di donne bw. Approssimativamente allo stesso modo in cui ragionano i matematici quando applicano la teoria degli insiemi nella pratica. Ma non ci lasciano entrare nei dettagli, ma ci danno il risultato finale: "molte persone sono composte da un sottoinsieme di uomini e un sottoinsieme di donne". Naturalmente, potresti avere una domanda, come applicare correttamente la matematica nelle trasformazioni di cui sopra? Oserei assicurarti che in effetti le trasformazioni sono fatte correttamente, basta conoscere la giustificazione matematica dell'aritmetica, dell'algebra booleana e di altre sezioni della matematica. Cos'è? Un'altra volta te ne parlerò.

Per quanto riguarda i superinsiemi, è possibile combinare due insiemi in un unico superinsieme scegliendo un'unità di misura presente negli elementi di questi due insiemi.

Come puoi vedere, le unità di misura e la matematica comune fanno della teoria degli insiemi un ricordo del passato. Un segno che non tutto va bene con la teoria degli insiemi è che i matematici hanno inventato un proprio linguaggio e notazioni per la teoria degli insiemi. I matematici fecero quello che facevano una volta gli sciamani. Solo gli sciamani sanno come applicare "correttamente" la loro "conoscenza". Questa "conoscenza" ci insegnano.

In conclusione, voglio mostrarvi come manipolano i matematici
Diciamo che Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga e le sta mille passi dietro. Durante il tempo in cui Achille percorre questa distanza, la tartaruga fa cento passi nella stessa direzione. Quando Achille avrà fatto cento passi, la tartaruga farà altri dieci passi, e così via. Il processo continuerà all'infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Questo ragionamento divenne uno shock logico per tutte le generazioni successive. Aristotele, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Tutti loro, in un modo o nell'altro, consideravano le aporie di Zenone. Lo shock è stato così forte che " ... le discussioni in questo momento continuano, la comunità scientifica non è ancora riuscita a raggiungere un'opinione comune sull'essenza dei paradossi ... analisi matematica, teoria degli insiemi, nuovi approcci fisici e filosofici sono stati coinvolti nello studio della questione ; nessuno di loro è diventato una soluzione universalmente accettata al problema ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Tutti capiscono di essere stati ingannati, ma nessuno capisce quale sia l'inganno.

Dal punto di vista della matematica, Zeno nella sua aporia ha mostrato chiaramente il passaggio dal valore a. Questa transizione implica l'applicazione invece delle costanti. A quanto ho capito, l'apparato matematico per l'applicazione di unità di misura variabili o non è stato ancora sviluppato, o non è stato applicato all'aporia di Zenone. L'applicazione della nostra solita logica ci porta in una trappola. Noi, per inerzia del pensiero, applichiamo unità di tempo costanti al reciproco. Da un punto di vista fisico, sembra che il tempo rallenti fino a fermarsi completamente nel momento in cui Achille raggiunge la tartaruga. Se il tempo si ferma, Achille non può più sorpassare la tartaruga.

Se giriamo la logica a cui siamo abituati, tutto va a posto. Achille corre a velocità costante. Ogni segmento successivo del suo percorso è dieci volte più breve del precedente. Di conseguenza, il tempo impiegato per superarlo è dieci volte inferiore al precedente. Se applichiamo il concetto di "infinito" in questa situazione, sarebbe corretto dire "Achille supererà infinitamente rapidamente la tartaruga".

Come evitare questa trappola logica? Rimanere in unità di tempo costanti e non passare a valori reciproci. Nella lingua di Zeno, sembra così:

Nel tempo impiegato da Achille per fare mille passi, la tartaruga fa cento passi nella stessa direzione. Durante l'intervallo di tempo successivo, uguale al primo, Achille farà altri mille passi e la tartaruga farà cento passi. Adesso Achille è ottocento passi avanti alla tartaruga.

Questo approccio descrive adeguatamente la realtà senza paradossi logici. Ma questa non è una soluzione completa al problema. L'affermazione di Einstein sull'insormontabilità della velocità della luce è molto simile all'aporia di Zenone "Achille e la tartaruga". Dobbiamo ancora studiare, ripensare e risolvere questo problema. E la soluzione va cercata non in numeri infinitamente grandi, ma in unità di misura.

Un'altra interessante aporia di Zeno racconta di una freccia volante:

Una freccia volante è immobile, poiché in ogni momento è ferma, e poiché è ferma in ogni momento, è sempre ferma.

In questa aporia, il paradosso logico viene superato molto semplicemente: basti chiarire che in ogni momento la freccia volante è ferma in diversi punti dello spazio, che, in effetti, è il movimento. C'è un altro punto da notare qui. Da una fotografia di un'auto sulla strada, è impossibile determinare né il fatto del suo movimento né la distanza da essa. Per determinare il fatto del movimento dell'auto, sono necessarie due fotografie scattate dallo stesso punto in momenti diversi, ma non possono essere utilizzate per determinare la distanza. Per determinare la distanza dall'auto, hai bisogno di due fotografie scattate contemporaneamente da diversi punti nello spazio, ma non puoi determinare il fatto del movimento da esse (ovviamente, hai ancora bisogno di dati aggiuntivi per i calcoli, la trigonometria ti aiuterà) . Quello che voglio sottolineare in particolare è che due punti nel tempo e due punti nello spazio sono due cose diverse che non devono essere confuse in quanto offrono diverse opportunità di esplorazione.
Mostrerò il processo con un esempio. Selezioniamo "solido rosso in un brufolo" - questo è il nostro "tutto". Allo stesso tempo, vediamo che queste cose sono con un inchino, e ci sono senza un inchino. Successivamente, selezioniamo una parte del "tutto" e formiamo un insieme "con un fiocco". Questo è il modo in cui gli sciamani si nutrono legando la loro teoria degli insiemi alla realtà.

Ora facciamo un piccolo trucco. Prendiamo "solido in un brufolo con un fiocco" e uniamo questi "interi" per colore, selezionando gli elementi rossi. Abbiamo molto "rosso". Ora una domanda difficile: i set ricevuti "con un fiocco" e "rosso" sono lo stesso set o due set diversi? Solo gli sciamani conoscono la risposta. Più precisamente, loro stessi non sanno nulla, ma come si suol dire, così sia.

Questo semplice esempio mostra che la teoria degli insiemi è completamente inutile quando si tratta di realtà. Qual è il segreto? Abbiamo formato una serie di "rosso solido brufoloso con un fiocco". La formazione avveniva secondo quattro diverse unità di misura: colore (rosso), forza (solido), rugosità (a dosso), decorazioni (a fiocco). Solo un insieme di unità di misura permette di descrivere adeguatamente oggetti reali nel linguaggio della matematica. Ecco come appare.

La lettera "a" con indici diversi indica diverse unità di misura. Tra parentesi sono evidenziate le unità di misura, secondo le quali il "tutto" viene allocato in fase preliminare. L'unità di misura, in base alla quale è formato l'insieme, viene tolta tra parentesi. L'ultima riga mostra il risultato finale: un elemento del set. Come puoi vedere, se usiamo le unità per formare un insieme, il risultato non dipende dall'ordine delle nostre azioni. E questa è matematica, e non le danze degli sciamani con i tamburelli. Gli sciamani possono "intuitivamente" arrivare allo stesso risultato, sostenendolo con "ovvietà", perché le unità di misura non sono incluse nel loro arsenale "scientifico".

Con l'aiuto delle unità di misura, è molto facile romperne uno o combinare più set in un superset. Diamo un'occhiata più da vicino all'algebra di questo processo.

Fin dall'antichità è stato necessario confrontare valori e quantità nella risoluzione di problemi pratici. Allo stesso tempo, sono apparse parole come più e meno, più alto e più basso, più leggero e più pesante, più silenzioso e più forte, più economico e più costoso, ecc., che denotano i risultati del confronto di quantità omogenee.

I concetti di più e meno sorsero in connessione con il conteggio di oggetti, la misurazione e il confronto di quantità. Ad esempio, i matematici dell'antica Grecia sapevano che il lato di ogni triangolo è minore della somma degli altri due lati e che il lato più grande del triangolo è opposto all'angolo più grande. Archimede, calcolando la circonferenza di un cerchio, trovò che il perimetro di ogni cerchio è uguale a tre volte il diametro con un eccesso che è meno di un settimo del diametro, ma più di dieci settantunesimo del diametro.

Scrivi simbolicamente le relazioni tra numeri e quantità usando i segni > e b. Voci in cui due numeri sono collegati da uno dei segni: > (maggiore di), Hai riscontrato disuguaglianze numeriche anche nelle classi elementari. Sai che le disuguaglianze possono o non possono essere vere. Ad esempio, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) è una disuguaglianza numerica valida, 0,23 > 0,235 è una disuguaglianza numerica non valida.

Le disuguaglianze che includono incognite possono essere vere per alcuni valori delle incognite e false per altri. Ad esempio, la disuguaglianza 2x+1>5 è vera per x = 3, ma falsa per x = -3. Per una disuguaglianza con uno sconosciuto, puoi impostare il compito: risolvere la disuguaglianza. I problemi di risoluzione delle disuguaglianze nella pratica sono posti e risolti non meno frequentemente dei problemi di risoluzione delle equazioni. Ad esempio, molti problemi economici si riducono allo studio e alla soluzione di sistemi di disuguaglianze lineari. In molti rami della matematica, le disuguaglianze sono più comuni delle equazioni.

Alcune disuguaglianze servono come unico mezzo ausiliario per provare o confutare l'esistenza di un determinato oggetto, ad esempio la radice di un'equazione.

Disuguaglianze numeriche

Puoi confrontare numeri interi e decimali. Conoscere le regole per confrontare frazioni ordinarie con gli stessi denominatori ma numeratori diversi; con gli stessi numeratori ma denominatori diversi. Qui imparerai come confrontare due numeri qualsiasi trovando il segno della loro differenza.

Il confronto dei numeri è ampiamente utilizzato nella pratica. Ad esempio, un economista confronta gli indicatori pianificati con quelli effettivi, un medico confronta la temperatura di un paziente con quella normale, un tornitore confronta le dimensioni di un pezzo lavorato con uno standard. In tutti questi casi vengono confrontati alcuni numeri. Come risultato del confronto dei numeri, sorgono disuguaglianze numeriche.

Definizione. Il numero a è maggiore del numero b se la differenza a-b è positiva. Il numero a è minore del numero b se la differenza a-b è negativa.

Se a è maggiore di b, allora scrivono: a > b; se a è minore di b, allora scrivono: a Quindi, la disuguaglianza a > b significa che la differenza a - b è positiva, cioè a - b > 0. Disuguaglianza a Per due numeri a e b qualsiasi delle seguenti tre relazioni a > b, a = b, a Teorema. Se a > b e b > c, allora a > c.

Teorema. Se lo stesso numero viene aggiunto a entrambi i lati della disuguaglianza, il segno della disuguaglianza non cambia.
Conseguenza. Qualsiasi termine può essere trasferito da una parte all'altra della disuguaglianza cambiando il segno di questo termine nel contrario.

Teorema. Se entrambi i membri della disuguaglianza vengono moltiplicati per lo stesso numero positivo, il segno della disuguaglianza non cambia. Se entrambi i lati della disuguaglianza vengono moltiplicati per lo stesso numero negativo, il segno della disuguaglianza cambierà nel contrario.
Conseguenza. Se entrambe le parti della disuguaglianza sono divise per lo stesso numero positivo, il segno della disuguaglianza non cambia. Se entrambe le parti della disuguaglianza sono divise per lo stesso numero negativo, il segno della disuguaglianza cambierà nell'opposto.

Sai che le uguaglianze numeriche possono essere sommate e moltiplicate termine per termine. Successivamente, imparerai come eseguire azioni simili con disuguaglianze. Nella pratica viene spesso utilizzata la capacità di sommare e moltiplicare le disuguaglianze termine per termine. Queste azioni aiutano a risolvere i problemi di valutazione e confronto dei valori di espressione.

Quando si risolvono vari problemi, è spesso necessario aggiungere o moltiplicare termine per termine le parti sinistra e destra delle disuguaglianze. A volte si dice che le disuguaglianze si sommano o si moltiplicano. Ad esempio, se un turista ha percorso più di 20 km il primo giorno e più di 25 km il secondo, si può affermare che in due giorni ha percorso più di 45 km. Allo stesso modo, se la lunghezza di un rettangolo è inferiore a 13 cm e la larghezza è inferiore a 5 cm, si può affermare che l'area di questo rettangolo è inferiore a 65 cm2.

Considerando questi esempi, il seguente teoremi sull'addizione e sulla moltiplicazione delle disuguaglianze:

Teorema. Quando si sommano disuguaglianze dello stesso segno, si ottiene una disuguaglianza dello stesso segno: se a > b e c > d, allora a + c > b + d.

Teorema. Moltiplicando le disuguaglianze dello stesso segno, per le quali le parti sinistra e destra sono positive, si ottiene una disuguaglianza dello stesso segno: se a > b, c > d e a, b, c, d sono numeri positivi, allora ac > bd.

Disuguaglianze con il segno > (maggiore di) e 1/2, 3/4 b, c Insieme alle disuguaglianze rigorose > e Allo stesso modo, la disuguaglianza \(a \geq b \) significa che il numero a è maggiore di o uguale a b, cioè non inferiore a b.

Le disuguaglianze contenenti il ​​segno \(\geq \) o il segno \(\leq \) sono dette non rigorose. Ad esempio, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) non sono disuguaglianze rigorose.

Tutte le proprietà delle disuguaglianze rigorose sono valide anche per le disuguaglianze non rigorose. Inoltre, se per disuguaglianze rigorose i segni > fossero considerati opposti, e tu sai che per risolvere una serie di problemi applicati, devi elaborare un modello matematico sotto forma di equazione o di sistema di equazioni. Inoltre, imparerai che i modelli matematici per risolvere molti problemi sono disuguaglianze con incognite. Introdurremo il concetto di risoluzione di una disuguaglianza e mostreremo come verificare se un dato numero è una soluzione a una particolare disuguaglianza.

Disuguaglianze della forma
\(ax > b, \quad ax dove a e b sono dati numeri e x è sconosciuto, viene chiamato disuguaglianze lineari con un'incognita.

Definizione. La soluzione di una disuguaglianza con un'incognita è il valore dell'incognito per il quale questa disuguaglianza si trasforma in una vera e propria disuguaglianza numerica. Risolvere una disuguaglianza significa trovare tutte le sue soluzioni o stabilire che non ce ne sono.

Hai risolto le equazioni riducendole alle equazioni più semplici. Allo stesso modo, quando si risolvono le disuguaglianze, si tende a ridurle con l'aiuto delle proprietà alla forma delle disuguaglianze più semplici.

Soluzione delle disuguaglianze di secondo grado con una variabile

Disuguaglianze della forma
\(ax^2+bx+c >0 \) e \(ax^2+bx+c dove x è una variabile, a, b e c sono alcuni numeri e \(a \neq 0 \) sono chiamati disuguaglianze di secondo grado con una variabile.

Risolvere la disuguaglianza
\(ax^2+bx+c >0 \) o \(ax^2+bx+c \) possono essere considerati come trovare gli spazi vuoti in cui la funzione \(y= ax^2+bx+c \) assume un valore positivo o valori negativi Per fare ciò, è sufficiente analizzare come si trova il grafico della funzione \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) nel piano delle coordinate: dove sono diretti i rami della parabola - su o giù , se la parabola interseca l'asse x e se lo fa, in quali punti.

Algoritmo per risolvere le disuguaglianze di secondo grado con una variabile:
1) trova il discriminante del trinomio quadrato \(ax^2+bx+c\) e scopri se il trinomio ha radici;
2) se il trinomio ha radici, segnarle sull'asse x e tracciare schematicamente una parabola attraverso i punti segnati, i cui rami sono diretti verso l'alto a > 0 o verso il basso a 0 o in basso a a 3) trova spazi sull'asse x per i quali le parabole di punti si trovano sopra l'asse x (se risolvono la disuguaglianza \(ax^2+bx+c >0 \)) o sotto l'asse x (se risolvono la disuguaglianza
\(ax^2+bx+c Soluzione delle disuguaglianze con il metodo degli intervalli

Considera la funzione
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Il dominio di questa funzione è l'insieme di tutti i numeri. Gli zeri della funzione sono i numeri -2, 3, 5. Dividono il dominio della funzione in intervalli \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) e \( (5; +\infty) \)

Scopriamo quali sono i segni di questa funzione in ciascuno degli intervalli indicati.

L'espressione (x + 2)(x - 3)(x - 5) è il prodotto di tre fattori. Il segno di ciascuno di questi fattori negli intervalli considerati è indicato nella tabella:

In generale, sia la funzione data dalla formula
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
dove x è una variabile e x 1 , x 2 , ..., x n non sono numeri uguali. I numeri x 1 , x 2 , ..., x n sono gli zeri della funzione. In ciascuno degli intervalli in cui il dominio di definizione è diviso per gli zeri della funzione, il segno della funzione viene conservato e, passando per lo zero, il suo segno cambia.

Questa proprietà viene utilizzata per risolvere le disuguaglianze del modulo
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) dove x 1 , x 2 , ..., x n non sono numeri uguali

Metodo considerato risolvere le disuguaglianze è chiamato metodo degli intervalli.

Diamo esempi di risoluzione delle disuguaglianze con il metodo dell'intervallo.

Risolvi la disuguaglianza:

\(x(0.5-x)(x+4) Ovviamente, gli zeri della funzione f(x) = x(0.5-x)(x+4) sono i punti \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Tracciamo gli zeri della funzione sull'asse reale e calcoliamo il segno su ciascun intervallo:

Selezioniamo quegli intervalli in cui la funzione è minore o uguale a zero e scriviamo la risposta.

Risposta:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale nella Parte Speciale 555.
Per chi fortemente "non molto..."
E per chi "molto...")

Che cosa "disuguaglianza quadrata"? Non è una domanda!) Se prendi qualunque equazione quadratica e cambiarne il segno "=" (uguale) a qualsiasi icona di disuguaglianza ( > ≥ < ≤ ≠ ), otteniamo una disuguaglianza quadratica. Per esempio:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Bene, hai un'idea...)

Ho collegato consapevolmente equazioni e disuguaglianze qui. Il fatto è che il primo passo per risolvere qualunque disuguaglianza quadrata - risolvere l'equazione da cui è composta questa disuguaglianza. Per questo motivo, l'incapacità di risolvere le equazioni quadratiche porta automaticamente a un completo fallimento nelle disuguaglianze. Il suggerimento è chiaro?) Semmai, guarda come risolvere le equazioni quadratiche. Tutto è dettagliato lì. E in questa lezione ci occuperemo delle disuguaglianze.

La disuguaglianza pronta per la soluzione ha la forma: sinistra - trinomio quadrato ascia 2 +bx+c, a destra - zero. Il segno di disuguaglianza può essere assolutamente qualsiasi cosa. I primi due esempi sono qui sono pronti per una decisione. Il terzo esempio deve ancora essere preparato.

Se ti piace questo sito...

A proposito, ho un altro paio di siti interessanti per te.)

Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)

puoi familiarizzare con funzioni e derivate.