B8. UTILIZZO

1. La figura mostra un grafico della funzione y=f(x) e una tangente a questo grafico, tracciato in un punto con l'ascissa x0. Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0. Risposta: 2

2.

Risposta: -5

3.

Sull'intervallo (–9; 4).

Risposta: 2

4.

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0 Risposta: 0,5

5. Trova il punto di contatto tra la retta y = 3x + 8 e il grafico della funzione y = x3+x2-5x-4. Indica l'ascissa di questo punto nella tua risposta. Risposta: -2

6.

Determina il numero di valori interi dell'argomento per cui la derivata della funzione f(x) è negativa. Risposta: 4

7.

Risposta: 2

8.

Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione f(x) è parallela o coincide con la retta y=5–x. Risposta: 3

9.

Intervallo (-8; 3).

y diretta = -20. Risposta: 2

10.

Risposta: -0,5

11

Risposta 1

12. La figura mostra il grafico della funzione y=f(x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x0.

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0. Risposta: 0,5

13. La figura mostra il grafico della funzione y=f(x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x0.

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0. Risposta: -0,25

14.

Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione f(x) è parallela o coincide con la retta y = x+7. Risposta: 4

15

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0. Risposta: -2

16.

intervallo (-14;9).

Trova il numero di punti massimi della funzione f(x) sull'intervallo [-12;7]. Risposta: 3

17

sull'intervallo (-10; 8).

Trova il numero di punti estremi della funzione f(x) sull'intervallo [-9;7]. Risposta: 4

18. La retta y = 5x-7 tocca il grafico della funzione y = 6x2 + bx-1 in un punto con un'ascissa minore di 0. Trova b. Risposta: 17

19

Risposta:-0,25

20

Risposta: 6

21. Trova la tangente al grafico della funzione y=x2+6x-7, parallela alla retta y=5x+11. Nella tua risposta, indica l'ascissa del punto di contatto. Risposta: -0,5

22.

Risposta: 4

23. f "(x) sull'intervallo (-16; 4).

Sul segmento [-11; 0] trova il numero di punti massimi della funzione. Risposta: 1

B8 Grafici di funzioni, derivate di funzioni. Ricerca funzionale . UTILIZZO

1. La figura mostra un grafico della funzione y=f(x) e una tangente a questo grafico, tracciato in un punto con l'ascissa x0. Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0.

2. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x) definita sull'intervallo (-6; 5).

A che punto del segmento [-5; -1] f(x) assume il valore più piccolo?

3. La figura mostra un grafico della derivata della funzione y = f(x), definita

Sull'intervallo (–9; 4).

Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione f(x) è parallela alla retta

y = 2x-17 o lo stesso.

4. La figura mostra il grafico della funzione y = f(x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x0.

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0

5. Trova il punto di contatto tra la retta y = 3x + 8 e il grafico della funzione y = x3+x2-5x-4. Indica l'ascissa di questo punto nella tua risposta.

6. La figura mostra un grafico della funzione y = f(x), definita sull'intervallo (-7; 5).

Determina il numero di valori interi dell'argomento per cui la derivata della funzione f(x) è negativa.

7. La figura mostra un grafico della funzione y \u003d f "(x), definita sull'intervallo (-8; 8).

Trova il numero di punti estremi della funzione f(x) appartenenti al segmento [-4; 6].

8. La figura mostra un grafico della funzione y \u003d f "(x), definita sull'intervallo (-8; 4).

Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione f(x) è parallela o coincide con la retta y=5–x.

9. La figura mostra un grafico della derivata della funzione y = f(x) definita su

Intervallo (-8; 3).

Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico di una funzione è parallela

y diretta = -20.

10. La figura mostra il grafico della funzione y=f(x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x0.

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0.

11 . La figura mostra un grafico della derivata della funzione f (x), definita sull'intervallo (-9; 9).

Trova il numero di punti minimi della funzione $f(x)$ sul segmento [-6;8]. 1

12. La figura mostra il grafico della funzione y=f(x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x0.

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0.

13. La figura mostra il grafico della funzione y=f(x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x0.

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0.

14. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f (x), definita sull'intervallo (-6; 8).

Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione f(x) è parallela o coincide con la retta y = x+7.

15 . La figura mostra il grafico della funzione y = f(x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x0.

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0.

16. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x) definita su

intervallo (-14;9).

Trova il numero di punti massimi della funzione f(x) sull'intervallo [-12;7].

17 . La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x) definita

sull'intervallo (-10; 8).

Trova il numero di punti estremi della funzione f(x) sull'intervallo [-9;7].

18. La retta y = 5x-7 tocca il grafico della funzione y = 6x2 + bx-1 in un punto con un'ascissa minore di 0. Trova b.

19 . La figura mostra il grafico della derivata della funzione f(x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x0.

Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0.

20 . Trova il numero di punti nell'intervallo (-1;12) in cui la derivata della funzione y = f(x) mostrata sul grafico è uguale a 0.

21. Trova la tangente al grafico della funzione y=x2+6x-7, parallela alla retta y=5x+11. Nella tua risposta, indica l'ascissa del punto di contatto.

22. La figura mostra il grafico della funzione y=f(x). Trova il numero di punti interi nell'intervallo (-2;11) in cui la derivata della funzione f(x) è positiva.

23. La figura mostra il grafico della funzione y= f "(x) sull'intervallo (-16; 4).

Sul segmento [-11; 0] trova il numero di punti massimi della funzione.

Immagina una strada dritta che attraversa una zona collinare. Cioè, va su e giù, ma non gira a destra oa sinistra. Se l'asse è diretto orizzontalmente lungo la strada e verticalmente, la linea stradale sarà molto simile al grafico di alcune funzioni continue:

L'asse è un certo livello di altezza zero, nella vita usiamo il livello del mare come tale.

Andando avanti lungo una tale strada, ci stiamo anche muovendo su o giù. Possiamo anche dire: quando l'argomento cambia (spostandosi lungo l'asse delle ascisse), cambia il valore della funzione (spostandosi lungo l'asse delle ordinate). Ora pensiamo a come determinare la "pendenza" della nostra strada? Quale potrebbe essere questo valore? Molto semplice: quanto cambierà l'altezza andando avanti di una certa distanza. Infatti, su diversi tratti di strada, andando avanti (lungo l'ascissa) di un chilometro, si salirà o scenderà di un numero diverso di metri rispetto al livello del mare (lungo l'ordinata).

Indichiamo il progresso in avanti (leggi "delta x").

La lettera greca (delta) è comunemente usata in matematica come prefisso che significa "cambiamento". Cioè - questo è un cambiamento di grandezza, - un cambiamento; allora che cos'è? Esatto, un cambio di taglia.

Importante: l'espressione è una singola entità, una variabile. Non dovresti mai strappare il "delta" dalla "x" o da qualsiasi altra lettera! Cioè, per esempio, .

Quindi, siamo andati avanti, orizzontalmente, avanti. Se confrontiamo la linea della strada con il grafico di una funzione, come denotiamo l'aumento? Certamente, . Cioè, quando andiamo avanti saliamo più in alto.

Il valore è facile da calcolare: se all'inizio eravamo in quota, e dopo esserci spostati eravamo in quota, allora. Se il punto finale risulta essere inferiore al punto iniziale, sarà negativo, ciò significa che non stiamo ascendendo, ma discendendo.

Torna a "ripidezza": questo è un valore che indica di quanto (ripidamente) l'altezza aumenta quando ci si sposta in avanti per unità di distanza:

Supponiamo che in qualche tratto del sentiero, avanzando di km, la strada salga di km. Quindi la pendenza in questo posto è uguale. E se la strada, avanzando di m, affondasse di km? Quindi la pendenza è uguale.

Consideriamo ora la cima di una collina. Se prendi l'inizio della sezione mezzo chilometro verso l'alto e la fine - mezzo chilometro dopo, puoi vedere che l'altezza è quasi la stessa.

Cioè, secondo la nostra logica, risulta che la pendenza qui è quasi uguale a zero, il che chiaramente non è vero. Molto può cambiare a poche miglia di distanza. È necessario considerare aree più piccole per una stima più adeguata e accurata della pendenza. Ad esempio, se si misura la variazione di altezza quando ci si sposta di un metro, il risultato sarà molto più accurato. Ma anche questa precisione potrebbe non essere sufficiente per noi - dopotutto, se c'è un palo in mezzo alla strada, possiamo semplicemente scivolarci attraverso. Quale distanza scegliere allora? Centimetro? Millimetro? Meno è meglio!

Nella vita reale, misurare la distanza al millimetro più vicino è più che sufficiente. Ma i matematici cercano sempre la perfezione. Pertanto, il concetto era infinitesimale, ovvero il valore del modulo è minore di qualsiasi numero che possiamo nominare. Ad esempio, dici: un trilionesimo! Quanto meno? E dividi questo numero per - e sarà ancora meno. Eccetera. Se vogliamo scrivere che il valore è infinitamente piccolo, scriviamo così: (si legge “x tende a zero”). È molto importante capire che questo numero non è uguale a zero! Ma molto vicino ad esso. Ciò significa che può essere suddiviso in.

Il concetto opposto a infinitamente piccolo è infinitamente grande (). Probabilmente l'hai già incontrato quando stavi lavorando sulle disuguaglianze: questo numero è maggiore in modulo di qualsiasi numero tu possa pensare. Se ottieni il numero più grande possibile, moltiplicalo per due e otterrai ancora di più. E l'infinito è anche più di ciò che accade. Infatti, infinitamente grande e infinitamente piccolo sono tra loro inversi, cioè at, e viceversa: at.

Ora torniamo alla nostra strada. La pendenza idealmente calcolata è la pendenza calcolata per un segmento infinitamente piccolo del percorso, ovvero:

Noto che con uno spostamento infinitamente piccolo, anche la variazione di altezza sarà infinitamente piccola. Ma lasciate che vi ricordi che infinitamente piccolo non significa uguale a zero. Se dividi i numeri infinitesimi l'uno per l'altro, puoi ottenere un numero completamente ordinario, ad esempio. Cioè, un piccolo valore può essere esattamente il doppio di un altro.

Perché tutto questo? La strada, la pendenza... Non stiamo andando a fare un rally, ma stiamo imparando la matematica. E in matematica tutto è esattamente lo stesso, solo chiamato in modo diverso.

Il concetto di derivato

La derivata di una funzione è il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento con un incremento infinitesimo dell'argomento.

Incremento in matematica si chiama cambiamento. Viene chiamato quanto l'argomento () è cambiato quando ci si sposta lungo l'asse incremento dell'argomento e denotato da Quanto è cambiata la funzione (altezza) quando si sposta in avanti lungo l'asse di una distanza viene chiamata incremento della funzione ed è segnato.

Quindi, la derivata di una funzione è la relazione con quando. Indichiamo la derivata con la stessa lettera della funzione, solo con un tratto in alto a destra: o semplicemente. Quindi, scriviamo la formula derivata usando queste notazioni:

Come nell'analogia con la strada, qui, quando la funzione aumenta, la derivata è positiva, e quando diminuisce, è negativa.

Ma la derivata è uguale a zero? Certamente. Ad esempio, se stiamo guidando su una strada orizzontale pianeggiante, la pendenza è zero. In effetti, l'altezza non cambia affatto. Quindi con la derivata: la derivata di una funzione costante (costante) è uguale a zero:

poiché l'incremento di tale funzione è zero per qualsiasi.

Prendiamo l'esempio in cima alla collina. Si è scoperto che era possibile disporre le estremità del segmento sui lati opposti del vertice in modo tale che l'altezza alle estremità risulti essere la stessa, cioè il segmento è parallelo all'asse:

Ma segmenti di grandi dimensioni sono un segno di misurazione imprecisa. Alzeremo il nostro segmento parallelamente a se stesso, quindi la sua lunghezza diminuirà.

Alla fine, quando siamo infinitamente vicini alla cima, la lunghezza del segmento diventerà infinitamente piccola. Ma allo stesso tempo è rimasto parallelo all'asse, cioè la differenza di altezza alle sue estremità è uguale a zero (non tende, ma è uguale a). Quindi la derivata

Questo può essere inteso come segue: quando siamo in piedi in cima, un piccolo spostamento a sinistra oa destra cambia la nostra altezza in modo trascurabile.

C'è anche una spiegazione puramente algebrica: a sinistra in alto la funzione aumenta ea destra diminuisce. Come abbiamo già scoperto in precedenza, quando la funzione aumenta, la derivata è positiva e quando diminuisce, è negativa. Ma cambia dolcemente, senza salti (perché la strada non cambia bruscamente pendenza da nessuna parte). Pertanto, ci devono essere tra valori negativi e positivi. Sarà dove la funzione non aumenta né diminuisce, nel punto del vertice.

Lo stesso vale per la valle (l'area in cui la funzione diminuisce a sinistra e aumenta a destra):

Un po' di più sugli incrementi.

Quindi cambiamo l'argomento in un valore. Cambiamo da quale valore? Che cosa è diventato (argomento) ora? Possiamo scegliere qualsiasi punto e ora balleremo da esso.

Considera un punto con una coordinata. Il valore della funzione al suo interno è uguale. Quindi facciamo lo stesso incremento: aumentiamo la coordinata di. Qual è l'argomento adesso? Molto facile: . Qual è il valore della funzione ora? Dove va l'argomento, la funzione va lì: . E per quanto riguarda l'incremento della funzione? Niente di nuovo: questo è ancora l'importo di cui è cambiata la funzione:

Esercitati a trovare incrementi:

1. Trova l'incremento della funzione in un punto con un incremento dell'argomento uguale a.
2. Lo stesso per una funzione in un punto.

Soluzioni:

In punti diversi, con lo stesso incremento dell'argomento, l'incremento della funzione sarà diverso. Ciò significa che la derivata in ogni punto ha la sua (ne abbiamo discusso all'inizio: la pendenza della strada in diversi punti è diversa). Pertanto, quando scriviamo una derivata, dobbiamo indicare a che punto:

Funzione di alimentazione.

Una funzione di potenza è chiamata funzione in cui l'argomento è in una certa misura (logico, giusto?).

E - in qualsiasi misura: .

Il caso più semplice è quando l'esponente è:

Troviamo la sua derivata in un punto. Ricorda la definizione di derivata:

Quindi l'argomento cambia da a. Qual è l'incremento della funzione?

L'incremento è. Ma la funzione in qualsiasi punto è uguale al suo argomento. Così:

La derivata è:

La derivata di è:

b) Consideriamo ora la funzione quadratica (): .

Ora ricordiamolo. Ciò significa che il valore dell'incremento può essere trascurato, poiché è infinitamente piccolo, e quindi insignificante sullo sfondo di un altro termine:

Quindi, abbiamo un'altra regola:

c) Continuiamo la serie logica: .

Questa espressione può essere semplificata in diversi modi: apri la prima parentesi usando la formula per la moltiplicazione abbreviata del cubo della somma, oppure scomponi l'intera espressione in fattori usando la formula per la differenza dei cubi. Prova a farlo da solo in uno dei modi suggeriti.

Quindi, ho ottenuto quanto segue:

E ricordiamolo ancora. Ciò significa che possiamo trascurare tutti i termini contenenti:

Noi abbiamo: .

d) Regole simili si possono ottenere per le grandi potenze:

e) Si scopre che questa regola può essere generalizzata per una funzione di potenza con un esponente arbitrario, nemmeno un intero:

(2)

Puoi formulare la regola con le parole: “il grado viene anticipato come coefficiente, quindi decresce di”.

Dimostreremo questa regola più avanti (quasi alla fine). Ora diamo un'occhiata ad alcuni esempi. Trova la derivata delle funzioni:

1. (in due modi: con la formula e utilizzando la definizione della derivata - contando l'incremento della funzione);

funzioni trigonometriche.

Qui useremo un fatto della matematica superiore:

Quando l'espressione.

Imparerai la prova al primo anno di istituto (e per arrivarci devi superare bene l'esame). Ora lo mostrerò solo graficamente:

Vediamo che quando la funzione non esiste, il punto sul grafico viene perforato. Ma più vicino al valore, più vicina è la funzione.Questo è il vero "sforzo".

Inoltre, puoi controllare questa regola con una calcolatrice. Sì, sì, non essere timido, prendi una calcolatrice, non siamo ancora all'esame.

Dunque proviamo: ;

Non dimenticare di impostare la calcolatrice in modalità Radianti!

eccetera. Vediamo che più piccolo, più vicino è il valore del rapporto a.

a) Considera una funzione. Come al solito, troviamo il suo incremento:

Trasformiamo la differenza dei seni in un prodotto. Per fare ciò, utilizziamo la formula (ricorda l'argomento ""):.

Ora la derivata:

Facciamo una sostituzione: . Allora, per infinitamente piccolo, è anche infinitamente piccolo: . L'espressione per assume la forma:

E ora lo ricordiamo con l'espressione. E inoltre, cosa succede se un valore infinitamente piccolo può essere trascurato nella somma (cioè at).

Quindi otteniamo la seguente regola: la derivata del seno è uguale al coseno:

Questi sono derivati ​​di base ("tabella"). Eccoli in un elenco:

Successivamente ne aggiungeremo altri, ma questi sono i più importanti, poiché vengono utilizzati più spesso.

Pratica:

1. Trova la derivata di una funzione in un punto;
2. Trova la derivata della funzione.

Soluzioni:

Esponente e logaritmo naturale.

Esiste una tale funzione in matematica, la cui derivata per any è uguale al valore della funzione stessa per la stessa. Si chiama "esponente" ed è una funzione esponenziale

La base di questa funzione - una costante - è una frazione decimale infinita, cioè un numero irrazionale (come). Si chiama "numero di Eulero", motivo per cui è indicato da una lettera.

Quindi la regola è:

È molto facile da ricordare.

Bene, non andremo lontano, considereremo subito la funzione inversa. Qual è l'inverso della funzione esponenziale? Logaritmo:

Nel nostro caso, la base è un numero:

Un tale logaritmo (cioè un logaritmo con una base) è chiamato "naturale", e per esso usiamo una notazione speciale: scriviamo invece.

a cosa è uguale? Ovviamente, .

Anche la derivata del logaritmo naturale è molto semplice:

Esempi:

1. Trova la derivata della funzione.
2. Qual è la derivata della funzione?

Risposte: L'esponente e il logaritmo naturale sono funzioni che sono unicamente semplici in termini di derivata. Le funzioni esponenziali e logaritmiche con qualsiasi altra base avranno una derivata diversa, che analizzeremo in seguito, dopo aver esaminato le regole di differenziazione.

Regole di differenziazione

Quali regole? Un altro nuovo termine, ancora?!...

Differenziazioneè il processo per trovare la derivata.

Solo e tutto. Qual è un'altra parola per questo processo? Non proizvodnovanie... Il differenziale della matematica è chiamato l'incremento stesso della funzione a. Questo termine deriva dal latino differenzia - differenza. Qui.

Nel derivare tutte queste regole, utilizzeremo due funzioni, ad esempio, e. Avremo anche bisogno di formule per i loro incrementi:

Ci sono 5 regole in totale.

La costante viene tolta dal segno della derivata.

Se - un numero costante (costante), allora.

Ovviamente questa regola funziona anche per la differenza: .

Dimostriamolo. Lascia, o più facile.

Esempi.

Trova le derivate di funzioni:

1. al punto;
2. al punto;
3. al punto;
4. al punto.

Soluzioni:

Derivato di un prodotto

Tutto è simile qui: introduciamo una nuova funzione e troviamo il suo incremento:

Derivato:

Esempi:

1. Trova derivate di funzioni e;
2. Trova la derivata di una funzione in un punto.

Soluzioni:

Derivata di funzione esponenziale

Ora le tue conoscenze sono sufficienti per imparare a trovare la derivata di qualsiasi funzione esponenziale, e non solo l'esponente (hai già dimenticato di cosa si tratta?).

Allora, dov'è un numero.

Conosciamo già la derivata della funzione, quindi proviamo a portare la nostra funzione su una nuova base:

Per fare ciò, utilizziamo una semplice regola: . Quindi:

Bene, ha funzionato. Ora prova a trovare la derivata e non dimenticare che questa funzione è complessa.

Accaduto?

Qui, controlla te stesso:

La formula si è rivelata molto simile alla derivata dell'esponente: così com'era, rimane, è apparso solo un fattore, che è solo un numero, ma non una variabile.

Esempi:
Trova le derivate di funzioni:

Risposte:

Derivata di una funzione logaritmica

Qui è simile: conosci già la derivata del logaritmo naturale:

Pertanto, per trovare un arbitrario dal logaritmo con una base diversa, ad esempio, :

Dobbiamo portare questo logaritmo alla base. Come si cambia la base di un logaritmo? Spero che ti ricordi questa formula:

Solo ora invece di scriveremo:

Il denominatore si è rivelato essere solo una costante (un numero costante, senza una variabile). La derivata è molto semplice:

Le derivate delle funzioni esponenziali e logaritmiche non si trovano quasi mai nell'esame, ma non sarà superfluo conoscerle.

Derivata di una funzione complessa.

Che cos'è una "funzione complessa"? No, questo non è un logaritmo e non un arcotangente. Queste funzioni possono essere difficili da capire (anche se il logaritmo ti sembra difficile, leggi l'argomento "Logaritmi" e tutto funzionerà), ma in termini di matematica, la parola "complesso" non significa "difficile".

Immagina un piccolo trasportatore: due persone sono sedute e fanno delle azioni con alcuni oggetti. Ad esempio, il primo avvolge una barretta di cioccolato in un involucro e il secondo lo lega con un nastro. Si scopre un oggetto così composito: una barretta di cioccolato avvolta e legata con un nastro. Per mangiare una barretta di cioccolato, devi eseguire i passaggi opposti in ordine inverso.

Creiamo una pipeline matematica simile: prima troveremo il coseno di un numero, quindi al quadrato il numero risultante. Quindi, ci danno un numero (cioccolato), io trovo il suo coseno (involucro), e poi quadra quello che ho (legalo con un nastro). Cosa è successo? Funzione. Questo è un esempio di funzione complessa: quando, per trovarne il valore, facciamo la prima azione direttamente con la variabile, e poi un'altra seconda azione con ciò che è successo a seguito della prima.

Possiamo anche fare le stesse azioni in ordine inverso: prima fai il quadrato e poi cerco il coseno del numero risultante:. È facile intuire che il risultato sarà quasi sempre diverso. Una caratteristica importante delle funzioni complesse: quando cambia l'ordine delle azioni, cambia la funzione.

In altre parole, Una funzione complessa è una funzione il cui argomento è un'altra funzione: .

Per il primo esempio, .

Secondo esempio: (uguale). .

L'ultima azione che faremo verrà chiamata funzione "esterna"., e l'azione eseguita per prima, rispettivamente funzione "interna".(questi sono nomi informali, li uso solo per spiegare il materiale in un linguaggio semplice).

Prova a determinare da solo quale funzione è esterna e quale interna:

Risposte: La separazione delle funzioni interne ed esterne è molto simile alla modifica delle variabili: ad esempio, nella funzione

cambiamo variabili e otteniamo una funzione.

Bene, ora estrarremo il nostro cioccolato - cerca il derivato. Il procedimento è sempre inverso: prima cerchiamo la derivata della funzione esterna, poi moltiplichiamo il risultato per la derivata della funzione interna. Per l'esempio originale, si presenta così:

Un altro esempio:

Quindi, formuliamo finalmente la regola ufficiale:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Tutto sembra essere semplice, giusto?

Controlliamo con esempi:

DERIVATO. IN BREVE SUL PRINCIPALE

Derivata di funzione- il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento con un incremento infinitesimo dell'argomento:

Derivati ​​di base:

Regole di differenziazione:

La costante viene sottratta dal segno della derivata:

Derivata di somma:

Prodotto derivato:

Derivata del quoziente:

Derivata di una funzione complessa:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

1. Definiamo la funzione "interna", troviamo la sua derivata.
2. Definiamo la funzione "esterna", troviamo la sua derivata.
3. Moltiplichiamo i risultati del primo e del secondo punto.

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe, allora sei molto bravo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se hai letto fino alla fine, allora sei nel 5%!

Ora la cosa più importante.

Hai capito la teoria su questo argomento. E, ripeto, è... è semplicemente super! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.

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La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x) definita sull'intervallo [–5; 6]. Trova il numero di punti del grafico f (x), in ognuno dei quali la tangente tracciata al grafico della funzione coincide o è parallela all'asse x

La figura mostra un grafico della derivata di una funzione derivabile y = f(x).

Trova il numero di punti nel grafico della funzione che appartengono al segmento [–7; 7], in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta data dall'equazione y = –3x.

Il punto materiale M inizia a muoversi dal punto A e si muove in linea retta per 12 secondi. Il grafico mostra come la distanza dal punto A al punto M è cambiata nel tempo. L'ascissa indica il tempo t in secondi, l'ordinata la distanza s in metri. Determina quante volte durante il movimento la velocità del punto M è andata a zero (ignora l'inizio e la fine del movimento).

La figura mostra sezioni del grafico della funzione y \u003d f (x) e la tangente ad essa nel punto con l'ascissa x \u003d 0. È noto che questa tangente è parallela alla retta passante per i punti di il grafico con le ascisse x \u003d -2 e x \u003d 3. Usando questo, trova il valore della derivata f "(o).

La figura mostra un grafico y = f'(x) - la derivata della funzione f(x), definita sul segmento (−11; 2). Trova l'ascissa del punto in cui la tangente al grafico della funzione y = f(x) è parallela all'asse x o coincide con esso.

Il punto materiale si muove rettilineo secondo la legge x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, dove x è la distanza dal punto di riferimento in metri, t è il tempo in secondi misurato dall'inizio del movimento. In quale momento (in secondi) la sua velocità era pari a 2 m/s?

Il punto materiale si muove lungo una linea retta dalla posizione iniziale a quella finale. La figura mostra un grafico del suo movimento. Il tempo in secondi viene tracciato sull'asse delle ascisse, la distanza dalla posizione iniziale del punto (in metri) viene tracciata sull'asse delle ordinate. Trova la velocità media del punto. Dai la tua risposta in metri al secondo.

La funzione y \u003d f (x) è definita sull'intervallo [-4; 4]. La figura mostra un grafico della sua derivata. Trova il numero di punti nel grafico della funzione y \u003d f (x), la tangente in cui forma un angolo di 45 ° con la direzione positiva dell'asse Ox.

La funzione y \u003d f (x) è definita sull'intervallo [-2; 4]. La figura mostra un grafico della sua derivata. Trova l'ascissa del punto del grafico della funzione y \u003d f (x), in cui assume il valore più piccolo sul segmento [-2; -0,001].

La figura mostra il grafico della funzione y \u003d f (x) e la tangente a questo grafico, disegnato nel punto x0. La tangente è data dall'equazione y = -2x + 15. Trova il valore della derivata della funzione y = -(1/4)f(x) + 5 nel punto x0.

Sette punti sono segnati sul grafico della funzione derivabile y = f(x): x1,..,x7. Trova tutti i punti contrassegnati in cui la derivata della funzione f(x) è maggiore di zero. Inserisci il numero di questi punti nella tua risposta.

La figura mostra un grafico y \u003d f "(x) della derivata della funzione f (x), definita sull'intervallo (-10; 2). Trova il numero di punti in cui è tangente al grafico della funzione f (x) è parallelo alla linea y \u003d -2x-11 o corrisponde.

La figura mostra un grafico di y \u003d f "(x) - la derivata della funzione f (x). Nove punti sono contrassegnati sull'asse x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7 , x8, x9.
Quanti di questi punti appartengono agli intervalli della funzione decrescente f(x) ?

La figura mostra il grafico della funzione y \u003d f (x) e la tangente a questo grafico, disegnato nel punto x0. La tangente è data dall'equazione y = 1,5x + 3,5. Trova il valore della derivata della funzione y \u003d 2f (x) - 1 nel punto x0.

La figura mostra un grafico y=F(x) di una delle antiderivate della funzione f (x). Sei punti con le ascisse x1, x2, ..., x6 sono contrassegnati sul grafico. In quanti di questi punti la funzione y=f(x) assume valori negativi?

La figura mostra l'orario dell'auto lungo il percorso. Il tempo è tracciato sull'asse delle ascisse (in ore), sull'asse delle ordinate - la distanza percorsa (in chilometri). Trova la velocità media dell'auto su questo percorso. Dai la tua risposta in km/h

Il punto materiale si muove rettilineo secondo la legge x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, dove x è la distanza dal punto di riferimento (in metri), t è il tempo di movimento (in secondi). Trova la sua velocità (in metri al secondo) al tempo t=6 s

La figura mostra un grafico dell'antiderivativa y \u003d F (x) di qualche funzione y \u003d f (x), definita sull'intervallo (-6; 7). Utilizzando la figura, determinare il numero di zeri della funzione f(x) in un dato intervallo.

La figura mostra un grafico y = F(x) di una delle antiderivate di una qualche funzione f(x) definita sull'intervallo (-7; 5). Utilizzando la figura, determinare il numero di soluzioni dell'equazione f(x) = 0 sul segmento [- 5; 2].

La figura mostra un grafico di una funzione derivabile y=f(x). Nove punti sono segnati sull'asse x: x1, x2, ... x9. Trova tutti i punti contrassegnati in cui la derivata di f(x) è negativa. Inserisci il numero di questi punti nella tua risposta.

Il punto materiale si muove rettilineo secondo la legge x(t)=12t^3−3t^2+2t, dove x è la distanza in metri dal punto di riferimento, t è il tempo in secondi misurato dall'inizio del movimento. Trova la sua velocità (in metri al secondo) al tempo t=6 s.

La figura mostra il grafico della funzione y=f(x) e la tangente a questo grafico tracciato nel punto x0. L'equazione della tangente è mostrata nella figura. trova il valore della derivata della funzione y=4*f(x)-3 nel punto x0.

Indagine di una funzione con l'ausilio di una derivata. In questo articolo analizzeremo alcuni dei compiti associati allo studio del grafico di una funzione. In tali problemi, viene fornito un grafico della funzione y = f (x) e vengono sollevate domande relative alla determinazione del numero di punti in cui la derivata della funzione è positiva (o negativa), così come altri. Sono classificati come compiti per l'applicazione della derivata allo studio delle funzioni.

La soluzione di tali problemi, ed in generale dei problemi relativi allo studio, è possibile solo con una piena comprensione delle proprietà della derivata per lo studio dei grafici delle funzioni e della derivata. Pertanto, ti consiglio vivamente di studiare la teoria pertinente. Puoi studiare e anche guardare (ma contiene un riassunto).

Prenderemo in considerazione anche le attività in cui il grafico della derivata viene fornito in articoli futuri, non perderlo! Quindi i compiti sono:

La figura mostra un grafico della funzione y \u003d f (x), definita sull'intervallo (−6; 8). Definire:

1. Il numero di punti interi in cui la derivata della funzione è negativa;

2. Il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta y = 2;

1. La derivata della funzione è negativa sugli intervalli su cui la funzione diminuisce, cioè sugli intervalli (−6; -3), (0; 4.2), (6.9; 8). Contengono punti interi -5, -4, 1, 2, 3, 4 e 7. Abbiamo 7 punti.

2. Diretto y= 2 assi paralleliohy= 2 solo nei punti estremi (nei punti in cui il grafico cambia comportamento da crescente a decrescente o viceversa). Esistono quattro punti di questo tipo: –3; 0; 4.2; 6.9

Decidi tu stesso:

Determina il numero di punti interi in cui la derivata della funzione è positiva.

La figura mostra un grafico della funzione y \u003d f (x), definita sull'intervallo (−5; 5). Definire:

2. Il numero di punti interi in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta y \u003d 3;

3. Il numero di punti in cui la derivata è zero;

1. Dalle proprietà della derivata di una funzione è noto che essa è positiva sugli intervalli su cui la funzione aumenta, cioè sugli intervalli (1.4; 2.5) e (4.4; 5). Contengono un solo punto intero x = 2.

2. Diretto y= 3 assi parallelioh. La tangente sarà parallela alla rettay= 3 solo nei punti estremi (nei punti in cui il grafico cambia comportamento da crescente a decrescente o viceversa).

Esistono quattro punti di questo tipo: –4.3; 1.4; 2.5; 4.4

3. La derivata è uguale a zero in quattro punti (nei punti estremi), li abbiamo già indicati.

Decidi tu stesso:

Determina il numero di punti interi in cui la derivata della funzione f(x) è negativa.

La figura mostra un grafico della funzione y \u003d f (x), definita sull'intervallo (−2; 12). Trova:

1. Il numero di punti interi in cui la derivata della funzione è positiva;

2. Il numero di punti interi in cui la derivata della funzione è negativa;

3. Il numero di punti interi in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta y \u003d 2;

4. Il numero di punti in cui la derivata è uguale a zero.

1. Dalle proprietà della derivata di una funzione è noto che essa è positiva sugli intervalli su cui la funzione cresce, cioè sugli intervalli (–2; 1), (2; 4), (7; 9 ) e (10; 11). Contengono punti interi: -1, 0, 3, 8. Ce ne sono quattro in totale.

2. La derivata della funzione è negativa sugli intervalli su cui la funzione diminuisce, cioè sugli intervalli (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Contengono punti interi 5 e 6. Abbiamo 2 punti.

3. Diretto y= 2 assi parallelioh. La tangente sarà parallela alla rettay= 2 solo nei punti estremi (nei punti in cui il grafico cambia comportamento da crescente a decrescente o viceversa). Ci sono sette punti di questo tipo: 1; 2; 4; 7; nove; dieci; undici.

4. La derivata è uguale a zero in sette punti (nei punti estremi), li abbiamo già indicati.