Se una linea non giace su un piano e non è parallela ad esso, interseca il piano.
Il compito di determinare il punto di intersezione di una retta con un piano è il seguente:
1) disegnare un piano ausiliario ( Si consiglia un piano ausiliario per sceglierne uno che fornisca la soluzione grafica più semplice al problema.) attraverso questa linea;
2) trovare la linea di intersezione del piano ausiliario con il piano dato;
3) determinazione del punto di intersezione di una data retta con la linea di intersezione dei piani, e, di conseguenza, con il piano dato.

Esempio 1. Su (Fig.250, a) dati il ​​piano δ (δ 1 ) e la retta AB (A 1 B 1 e A 2 B 2 ); è necessario determinare il punto della loro intersezione.

In questo caso, non è necessario ricorrere a un piano ausiliario, poiché questo piano δ è sporgente orizzontalmente. Secondo la proprietà dei piani di proiezione, la proiezione orizzontale del punto di intersezione, che giace nel piano δ, si fonde con la proiezione orizzontale δ 1 .
Pertanto, il punto K 1 dell'intersezione della proiezione orizzontale A 1 B 1 della retta AB con la proiezione orizzontale δ 1 è la proiezione orizzontale del punto di intersezione K; la sporgenza frontale K 2 è determinata tracciando una linea di comunicazione verticale fino ad intersecare la sporgenza frontale A 2 B 2 .
Esempio 2. In (fig.250,b) è mostrato un esempio dell'intersezione della retta AB con il piano δ sporgente frontalmente.

Esempio 1. Dati: un piano in posizione generale a e una retta in posizione generale AB (A 1 B 1 A 2 B 2); è necessario trovare il punto della loro intersezione (Fig.251,a).
Tracciamo un piano ausiliario attraverso la retta AB, per esempio orizzontalmente - sporgente piano δ (δ 1 ), come mostrato in (Fig. 251b); intersecherà il piano a lungo la retta NM (N 1 M 1, N 2 M 2), che a sua volta intersecherà la retta AB (A 1 B 1 A 2 B 2) nel punto C (C 1 C 2), come si può vedere in (Fig. 251, c). Il punto C è il punto di intersezione della retta AB con il piano a.

Esempio 2. Su (Fig.252) un esempio di trovare le proiezioni del punto di intersezione della linea AB con il piano di posizione generale utilizzando l'orizzontale h.
Esempio 3. Dati: triangolo ABC e retta NM ; è necessario determinare il punto della loro intersezione (Fig.253,a).
Prendiamo come piano ausiliario un piano sporgente orizzontalmente δ, quindi la proiezione orizzontale og si fonderà con la proiezione orizzontale N 1 M 1 retta NM e intersecherà le proiezioni dei lati del triangolo nei punti E 1 e F 1 (Fig. .253,b). Il segmento E 1 F 1 sarà una proiezione orizzontale della linea di intersezione. Quindi troviamo la proiezione frontale della linea di intersezione: usando le linee di comunicazione verticali, otteniamo i punti E 2 e F 2, tracciamo una linea retta E 2 F 2 attraverso di essi, che sarà la proiezione frontale della linea di intersezione.
La linea E 2 F 2 interseca la linea N 2 M 2 nel punto K 2 . Il punto K 2 sarà una proiezione frontale del punto di intersezione della linea MN con la linea EF; la proiezione orizzontale K 1 di questo punto è determinata utilizzando una linea di comunicazione verticale.
Il punto K (K 1 , K 2 ) sarà il punto di intersezione della retta data MN con il triangolo dato ABC, in quanto ad essi contemporaneamente appartenente, perché la retta MN si interseca in essa con la retta EF giacente nella piano del triangolo ABC.

Esercizio 1
Costruisci un disegno complesso del triangolo ABC date le coordinate dei vertici. Trova la grandezza naturale dei lati del triangolo e costruiscilo a grandezza naturale. Usando le stesse coordinate, costruisci un'immagine visiva
Esercizio 2
Secondo la proiezione frontale del poligono e le proiezioni orizzontali di due lati adiacenti di esso, completa la proiezione orizzontale del poligono.
Costruisci le proiezioni di un triangolo arbitrario nel piano del poligono. Costruisci un punto esterno al poligono, ma giacente sullo stesso piano con esso (

Ciao amici! Oggi analizziamo il tema della geometria descrittiva - intersezione di una retta con un piano e determinazione della visibilità della linea.

Prendiamo il compito dalla raccolta di Bogolyubov, 1989, p.63, var. 1. Abbiamo bisogno di costruire un disegno complesso di un triangolo ABC e una retta MN secondo le coordinate date. Trova il punto di incontro (intersezione) della retta con il piano opaco ABC Determina le sezioni visibili della retta.

Intersezione di una retta con un piano

1. Sulla base delle coordinate dei punti A, B e C, costruiamo un disegno complesso di un triangolo e una retta NM. Iniziamo a disegnare con una proiezione orizzontale. Troviamo le coordinate dei punti di proiezione usando le linee ausiliarie.

2. Otteniamo un disegno così complesso.

3. Determinare coordinate del punto di intersezione della retta e del piano facciamo quanto segue.

a) Disegna un piano ausiliario P per la retta NM, cioè sulla proiezione frontale tracciamo una traccia del piano Pv, sul piano orizzontale abbassiamo la perpendicolare Pn - la traccia orizzontale del piano P.

b) Troviamo la proiezione frontale della linea di intersezione della traccia del piano P con il triangolo ABC. Questo è il segmento d'e'. Troviamo la proiezione orizzontale lungo le linee di comunicazione fino all'intersezione con i lati ab (t. d) e ac (t. e) del triangolo. Colleghiamo i punti d ed e.

c) Insieme l'intersezione di de e nm sarà la proiezione orizzontale del punto desiderato intersezione di una retta con un piano K.

d) Tracciamo una linea di comunicazione da k all'intersezione con d'e', otteniamo una proiezione frontale del punto k'.

e) lungo le linee di comunicazione troviamo la proiezione di profilo del punto k''.

Coordinate del punto di intersezione di una retta e di un piano K trovato. Questo punto è anche chiamato punto di incontro della retta e del piano.

Determinazione della visibilità della linea

Per determinazione della visibilità della linea usa il metodo punti in competizione.

Per quanto riguarda il nostro sorteggio, i punti in competizione saranno:

- punti: d' appartenenti a a'b' ed e' appartenenti a n'm' (in competizione frontale),

- punti: g appartenenti a bc e h Di proprietà nm (competizione orizzontale),

- punti: l''appartenente a b''c'' e p''appartenente a n''m'' (profilo in competizione).

Dei due punti in competizione sarà visibile quello con l'altezza più alta. La linea di vista è limitata dal punto K.

Per una coppia di punti d' ed e', la visibilità è definita come segue: abbassiamo la perpendicolare all'intersezione con ab e nm sulla proiezione orizzontale, troviamo i punti d e f. Vediamo che la coordinata y per il punto f è maggiore di quella di d → il punto f è visibile → la retta nm è visibile sulla sezione f'k', e sulla sezione k'm' è invisibile.

Parliamo in modo simile per una coppia di punti g e h: sulla proiezione frontale, la coordinata z del punto h' è maggiore di quella di g' → il punto h' è visibile, g' non è → la retta nm è visibile sul segmento hk, ma invisibile sul segmento kn.

E per una coppia di punti l''p'': sulla proiezione frontale, la coordinata x è maggiore di quella del punto p', il che significa che copre il punto l'' sulla proiezione del profilo → р'' è visibile, l'' non è → il segmento di linea n' 'k'' è visibile, k''m'' è invisibile.

Costruzione del punto di intersezione di una retta con un piano aggettante si riduce a costruire una seconda proiezione di un punto sul diagramma, poiché una proiezione di un punto giace sempre sulla traccia del piano aggettante, perché tutto ciò che è nel piano aggettante è proiettato su una delle tracce del piano. Sulla fig. 224,a mostra la costruzione del punto di intersezione della retta EF con il piano sporgente anteriore del triangolo ABC (perpendicolare al piano V) Sul piano V, il triangolo ABC è proiettato nel segmento a "c" della retta, e il punto k "si troverà anche su questa retta e sarà nel punto di intersezione di e "f" con una "c". Una proiezione orizzontale è costruita utilizzando una linea di connessione di proiezione. La visibilità di a la retta relativa al piano del triangolo ABC è determinata dalla posizione relativa delle proiezioni del triangolo ABC e della retta EF sul piano V. La direzione della vista in Fig. 224, a è indicata da una freccia Quella sezione della retta, la cui proiezione frontale è sopra la proiezione del triangolo, sarà visibile A sinistra del punto k "la proiezione della retta è sopra la proiezione del triangolo, quindi questa sezione è visibile sul piano H.

Sulla fig. 224, b, la retta EF interseca il piano orizzontale P. La proiezione frontale k "del punto K - punto di intersezione della retta EF con il piano P - sarà nel punto di intersezione della proiezione e" f "con la traccia del piano Pv, poiché il piano orizzontale è un piano sporgente frontale. La proiezione orizzontale k del punto K si trova utilizzando la linea di connessione di proiezione.

Costruzione di una linea di intersezione di due piani si riduce a trovare due punti comuni a questi due piani. Questo è sufficiente per costruire una linea di intersezione, poiché la linea di intersezione è una retta e una retta è definita da due punti. Quando un piano sporgente si interseca con un piano in posizione generale, una delle sporgenze della linea di intersezione coincide con la traccia del piano situata nel piano delle sporgenze a cui il piano sporgente è perpendicolare. Sulla fig. 225, e la sporgenza frontale m "n" della linea di intersezione MN coincide con la traccia Pv del piano sporgente frontale P, ed in fig. 225b, la sporgenza orizzontale kl coincide con la traccia del piano sporgente orizzontale R. Altre sporgenze della linea di intersezione sono realizzate utilizzando linee di connessione di proiezione.

Costruzione del punto di intersezione di una retta con un piano la posizione generale (Fig. 226, a) viene eseguita utilizzando un piano sporgente ausiliario R, che viene tracciato attraverso una data retta EF. Si costruisce una retta di intersezione 12 del piano ausiliario R con un dato piano del triangolo ABC, si ottengono due rette nel piano R: EF - una retta data e 12 - una retta costruita di intersezione, che si intersecano nel punto K .

Trovare le proiezioni del punto K è mostrato in fig. 226b. Le costruzioni vengono eseguite nella sequenza seguente.

Per la retta EF viene tracciato un piano ausiliario di proiezione orizzontale R. La sua traccia R H coincide con la proiezione orizzontale ef della retta EF.

Utilizzando linee di proiezione si costruisce una proiezione frontale 1"2" della linea di intersezione 12 del piano R con il piano dato del triangolo ABC, essendo nota la proiezione orizzontale della linea di intersezione. Coincide con la traccia orizzontale R H del piano R.

Viene determinata la proiezione frontale k" del punto K desiderato, che si trova all'intersezione della proiezione frontale di questa retta con la proiezione 1"2" della linea di intersezione. La proiezione orizzontale del punto è costruita utilizzando una proiezione linea di collegamento.

La visibilità di una retta rispetto al piano del triangolo ABC è determinata dal metodo dei punti concorrenti. Per determinare la visibilità di una linea retta sul piano frontale delle proiezioni (Fig. 226, b), confrontiamo le coordinate Y dei punti 3 e 4, le cui proiezioni frontali coincidono. La coordinata Y del punto 3, che giace sulla retta BC, è minore della coordinata Y del punto 4, che giace sulla retta EF. Di conseguenza, il punto 4 è più vicino all'osservatore (la direzione di vista è indicata da una freccia) e la proiezione della retta è rappresentata sul piano visibile V. La linea passa davanti al triangolo. A sinistra del punto K" la retta è chiusa dal piano del triangolo ABC.

La visibilità sul piano di proiezione orizzontale è mostrata confrontando le coordinate Z dei punti 1 e 5. Poiché Z 1 > Z 5 , il punto 1 è visibile. Pertanto, a destra del punto 1 (fino al punto K), la linea EF è invisibile.

Per costruire una linea di intersezione di due piani in posizione generale, vengono utilizzati piani secanti ausiliari. Questo è mostrato nella figura ... 227 a. Un piano è dato dal triangolo ABC, l'altro è dato dalle rette parallele EF e MN. I piani dati (Fig. 227, a) sono attraversati dal terzo piano ausiliario. Per facilità di costruzione, i piani orizzontali o frontali sono presi come piani ausiliari. In questo caso, il piano ausiliario R è un piano orizzontale. Interseca i piani dati lungo le rette 12 e 34, che all'intersezione danno il punto K, che appartiene a tutti e tre i piani, e, di conseguenza, a due dati, cioè giacente sulla linea di intersezione dei piani dati. Il secondo punto si trova utilizzando il secondo piano ausiliario Q. I due punti K e L trovati determinano la linea di intersezione dei due piani.

Sulla fig. 227b, il piano ausiliario R è dato dalla scia frontale. Le proiezioni frontali delle linee di intersezione 1"2" e 3"4 del piano R con i piani dati coincidono con la traccia frontale Rv del piano R, poiché il piano R è perpendicolare al piano V, e tutto ciò che è in esso (comprese le linee di intersezione) è proiettato sulla sua traccia frontale Rv. Le proiezioni orizzontali di queste linee sono costruite utilizzando linee di connessione di proiezione ricavate dalle proiezioni frontali dei punti 1", 2", 3", 4" all'intersezione con le proiezioni orizzontali delle rette corrispondenti nei punti 1, 2, 3, 4. Costruite le proiezioni orizzontali delle rette di intersezione si estendono fino ad incrociarsi tra loro nel punto k, che è la proiezione orizzontale del punto K appartenente alla linea di intersezione dei due piani. La proiezione frontale di questo punto è sulla traccia Rv.

Per costruire il secondo punto appartenente alla linea di intersezione si traccia un secondo piano ausiliario Q. Per comodità di costruzione si traccia il piano Q passante per il punto C parallelo al piano R. Quindi si costruiscono proiezioni orizzontali delle rette di intersezione del piano Q con il piano del triangolo ABC e con il piano dato da rette parallele, è sufficiente trovare due punti: c e 5 e tracciare per essi rette parallele alle proiezioni precedentemente costruite delle rette di intersezione 12 e 34, dal piano Q ║ R. Proseguendo queste rette fino ad incrociarsi tra loro, si ottiene una proiezione orizzontale l del punto L appartenente alla linea di intersezione dei piani dati. La sporgenza frontale l" del punto L giace sul tracciato Q v e si costruisce utilizzando la linea della connessione di proiezione. Collegando le sporgenze omonime dei punti K e L si ottengono le sporgenze della linea di intersezione desiderata .

Se prendiamo una linea in uno dei piani intersecanti e costruiamo un punto di intersezione di questa linea con un altro piano, allora questo punto apparterrà alla linea di intersezione di questi piani, poiché appartiene a entrambi i piani dati. Costruiamo il secondo punto allo stesso modo, possiamo trovare la linea di intersezione di due piani, poiché due punti sono sufficienti per costruire una retta. Sulla fig. 228 mostra una tale costruzione della linea di intersezione di due piani data da triangoli.

Per questa costruzione si prende uno dei lati del triangolo e si costruisce il punto di intersezione di questo lato con il piano dell'altro triangolo. Se questo fallisce, prendi l'altro lato dello stesso triangolo, quindi il terzo. Se ciò non ha portato a trovare il punto desiderato, vengono costruiti i punti di intersezione dei lati del secondo triangolo con il primo.

Sulla fig. 228 si costruisce il punto di intersezione della retta EF con il piano del triangolo ABC. Per fare ciò, un piano ausiliario S sporgente orizzontalmente viene tracciato attraverso la retta EF e viene costruita una proiezione frontale 1 "2" della linea di intersezione di questo piano con il piano del triangolo ABC. La proiezione frontale 1 "2" della linea di intersezione, intersecante con la proiezione frontale e "f" della retta EF, dà la proiezione frontale m" del punto di intersezione M. La proiezione orizzontale m del punto M si trova utilizzando la retta di connessione di proiezione. Il secondo punto appartenente alla retta di intersezione dei piani dei triangoli dati , - punto N - il punto di intersezione della retta BC con il piano del triangolo DEF. Attraverso la retta BC, un fronte- viene disegnato il piano sporgente R e sul piano H l'intersezione delle proiezioni orizzontali della linea BC e la linea di intersezione 34 fornisce il punto n - la proiezione orizzontale del punto desiderato Le sezioni visibili di dati triangoli sono determinate utilizzando punti concorrenti per ciascun piano di proiezione separatamente. Per fare ciò, selezionare un punto su uno dei piani di proiezione, che è la proiezione di due punti concorrenti. La visibilità è determinata dalle seconde proiezioni di questi punti confrontando le loro coordinate.

Ad esempio, i punti 5 e 6 sono i punti di intersezione delle proiezioni orizzontali bc e de. Sul piano di proiezione frontale, le proiezioni di questi punti non coincidono. Confrontando le loro coordinate Z, scoprono che il punto 5 chiude il punto 6, poiché la coordinata Z 5 è maggiore della coordinata Z 6. Pertanto, a sinistra del punto 5, il lato DE è invisibile.

La visibilità sul piano frontale delle proiezioni è determinata utilizzando i punti 4 e 7 concorrenti dei segmenti DE e BC, confrontando le loro coordinate Y 4 e Y 7 Poiché Y 4 > Y 7, è visibile il lato DE sul piano V.

Va notato che quando si costruisce il punto di intersezione di una retta con il piano di un triangolo, il punto di intersezione può essere esterno al piano del triangolo. In questo caso, collegando i punti ottenuti appartenenti alla linea di intersezione, si delinea solo la parte di essa che appartiene a entrambi i triangoli.

DOMANDE DI REVISIONE

1. Quali coordinate di un punto determinano la sua posizione nel piano V?

2. Qual è la coordinata Y e la coordinata Z di un punto?

3. Come si trovano le proiezioni del segmento perpendicolare al piano delle proiezioni H sul diagramma? Perpendicolare al piano di proiezione V?

4. Come sono posizionate le proiezioni orizzontali e frontali sul diagramma?

5. Formulare la posizione principale circa l'appartenenza di un punto ad una retta.

6. Come distinguere le linee che si intersecano da quelle che si intersecano in un diagramma?

7. Quali punti sono chiamati gareggiare?

8. Come determinare quale dei due punti è visibile se le loro proiezioni sul piano di proiezione frontale coincidono?

9. Formulare la posizione principale sul parallelismo di una retta e di un piano.

10. Qual è la procedura per costruire il punto di intersezione di una retta con un piano in posizione generale?

11. Qual è la procedura per costruire una linea di intersezione di due piani in posizione generale?

77*. Trova il punto di intersezione della retta AB con il piano dato dal triangolo CDE (Fig. 75, a).

Decisione. Come sapete, per trovare il punto di intersezione di una retta con un piano in posizione generale, si dovrebbe tracciare un piano ausiliario (R) attraverso la retta, costruire una retta di intersezione di questo piano con una data (1-2) e Trovare

il punto di intersezione (K) delle rette date e costruite. Il punto K è il punto di intersezione desiderato della retta con il piano (Fig. 75, b). Come piano ausiliario, viene solitamente utilizzato un piano sporgente orizzontalmente o frontalmente.

Sulla fig. 75, in un piano frontale R è tracciato per la retta AB, la sua traccia R ϑ coincide con una "b". orizzonte. la traccia dell'aereo non è necessaria in questo problema e quindi non viene mostrata.

Costruiamo una linea di intersezione del piano R e del piano dato dal triangolo CDE (vedi problema 67 per un esempio di tale costruzione). Dopo aver costruito la linea 1-2 (Fig. 75, c), troviamo il punto di intersezione di essa con la retta AB - il punto K (k, k ").

Per determinare le sezioni della linea AB che saranno chiuse da un triangolo, dovresti usare l'analisi della posizione dei punti sulle linee oblique.

Ad esempio, i punti 1 e 3 si trovano su linee intersecanti (rispettivamente) ED e AB. Le proiezioni frontali di questi punti coincidono, cioè i punti 1 e 3 sono ugualmente rimossi dal quadrato. N. Ma la loro distanza dalla piazza. V sono diversi: il punto 3 è più lontano dal quadrato. V rispetto al punto 1. Pertanto, in relazione al pl. V punto 3 chiude il punto 1 (la direzione della visuale è indicata dalla freccia S). Pertanto, la linea AB passa davanti al triangolo CDE al punto K. Partendo dal punto K a sinistra, la linea AB è chiusa da un triangolo, e quindi questa sezione della linea è indicata da una linea tratteggiata.

Per rivelare un'area invisibile all'orizzonte. proiezione della linea AB, si considerino i punti 4 e 5 giacenti rispettivamente sulle linee AB e CD.

Se osserviamo questi punti nella direzione s 1, vediamo prima il punto 5. Il punto 4 è chiuso dal punto 5. Pertanto, la linea AB è chiusa a questo punto dal triangolo CDE e la sezione della sua proiezione dal punto k al punto 4 dovrebbe essere indicato da una linea tratteggiata. In questo caso, il punto K era all'interno del contorno del triangolo CDE.

Con una diversa posizione reciproca degli elementi intersecanti, è possibile un caso in cui il punto K è esterno al triangolo (Fig. 75, d). Ciò significa che la linea AB interseca il piano dato dal triangolo CDE al di fuori del contorno di questo triangolo. AB diventa invisibile oltre il punto K (a sinistra).

78. Trova i punti di intersezione della linea AB con le facce della piramide (Fig. 76). Le facce della piramide dovrebbero essere considerate come piani definiti da triangoli.

79. Trova i punti di intersezione della retta AB con le facce del prisma (Fig. 77). Le facce del prisma sono da considerare come piani dati da rette parallele.

80*. Trova i punti di intersezione della retta AB con il piano P (Fig. 78, a).

Decisione. Tracciamo attraverso la retta AB (Fig. 78, b) il piano sporgente frontale R (la sua traccia R ϑ coincide con una "b") e costruiamo la linea MN dell'intersezione di entrambi i piani - data e disegnata per AB ( la costruzione è simile a quella eseguita nel problema 70). Il punto desiderato K(k, k") dell'intersezione della retta AB con il piano P è nel punto di intersezione di MN con AB.

In questo problema è ovvia la visibilità di un tratto di retta dal punto A al punto K; tuttavia, nei casi più complessi, la sezione visibile della retta dovrebbe essere determinata in base a

analisi della posizione del punto. Ad esempio, prendendo il punto 1 (sulla retta AB) e il punto N (sulla traccia Р ϑ). vediamo che il punto 1 si trova più lontano rispetto al quadrato. V rispetto al punto N. Pertanto, la linea AB al punto K è visibile. Dietro il punto K, la retta è indicata da una linea tratteggiata, è invisibile. Allo stesso modo, viene determinata la visibilità all'orizzonte. proiezioni.

81. Trova il punto di intersezione della retta AB con il piano P (Fig. 79).

82*. Trova il punto di intersezione della retta AB con il piano P (Fig. 80, a).

Decisione. Per la retta AB tracciamo un piano R sporgente orizzontalmente (la traccia R h coincide con ab) e costruiamo la linea di intersezione dei piani P e R,

utilizzando i punti M e N di intersezione delle loro tracce omonime (Fig. 80, b e c). Il punto desiderato (k", k) si trova nel punto di intersezione di MN con AB. In Fig. 80, d, il punto K è costruito utilizzando il quadrato W. Poiché il quadrato P sporge dal profilo (Fig. 80, b).

quindi la proiezione del profilo k" giace nel punto di intersezione della traccia P ω con una "b". Conoscendo k", costruiamo k" su una "b" e k su ab. Si determinano le sezioni visibili della retta AB allo stesso modo dei problemi 77 e 80.

83. Trova il punto di intersezione della retta AB con il piano P (Fig. 81).

84*. Trova il punto di intersezione della retta AB con il piano dato dal triangolo CDE (Fig. 82, a).

Decisione. Per la retta AB disegniamo (Fig. 82, b e c) pl. R, parallela al quadrato. W. Interseca il piano dato lungo la retta MN (i punti m", n", m e n giacciono all'intersezione delle tracce R ϑ e R h con le stesse proiezioni dei lati corrispondenti

triangolo CDE). Poiché le linee AB e MN sono di profilo, quindi per trovare il punto (K) della loro intersezione, costruiamo le proiezioni di profilo a "b" em "n". La proiezione k" è all'intersezione di a"b" e m"m". Da k" costruiamo k" su a"b" e k su ab.

85. Trova il punto di intersezione della retta EF con il piano dato dal quadrilatero ABCD (Fig. 83).

La linea di intersezione di due piani è una retta. Consideriamo dapprima un caso speciale (Fig. 3.9), in cui uno dei piani che si intersecano è parallelo al piano di proiezione orizzontale (α π 1, f 0 α X). In questo caso, la linea di intersezione a, appartenente al piano α, sarà anche parallela al piano π 1, (Fig. 3.9. a), ovvero coinciderà con l'orizzontale dei piani intersecanti (a ≡ h ).

Se uno dei piani è parallelo al piano frontale delle proiezioni (Fig. 3.9. b), allora la linea di intersezione a appartenente a tale piano sarà parallela al piano π 2 e coinciderà con il fronte dei piani intersecanti ( a ≡ f).

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Riso. 3.9. Un caso particolare dell'intersezione del piano di posizione generale con i piani: a - livello orizzontale; b - livello frontale

Un esempio di costruzione di un punto di intersezione (K) di una retta a (AB) con un piano α (DEF) è mostrato in fig. 3.10. Per fare ciò, la retta a è racchiusa in un piano arbitrario β e viene determinata la linea di intersezione dei piani α e β.

Nell'esempio in esame le rette AB e MN appartengono allo stesso piano β e si intersecano nel punto K, e poiché la retta MN appartiene al piano dato α (DEF), il punto K è anche il punto di intersezione della retta a (AB) con il piano α. (Fig. 3.11).

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Riso. 3.10. Costruzione del punto di intersezione di una retta con un piano

Per risolvere un tale problema su un disegno complesso, è necessario essere in grado di trovare il punto di intersezione di una linea in posizione generale con un piano in posizione generale.

Consideriamo un esempio per trovare il punto di intersezione della retta AB con il piano del triangolo DEF mostrato in Fig. 3.11.

Per trovare il punto di intersezione attraverso la proiezione frontale della retta A 2 B 2, è stato disegnato un piano di proiezione frontale β che interseca il triangolo nei punti M e N. Sul piano di proiezione frontale (π 2), questi punti sono rappresentato dalle proiezioni M 2 , N 2 . Dalla condizione di appartenere ad un piano rettilineo sul piano orizzontale delle proiezioni (π 1), si ricavano le proiezioni orizzontali dei punti ottenuti M 1 N 1. All'intersezione delle proiezioni orizzontali delle linee A 1 B 1 e M 1 N 1, si forma una proiezione orizzontale del punto della loro intersezione (K 1). A seconda della linea di comunicazione e delle condizioni di appartenenza al piano di proiezione frontale, si ha una proiezione frontale del punto di intersezione (K 2).

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Riso. 3.11. Un esempio di determinazione del punto di intersezione di una linea e un piano

La visibilità del segmento AB rispetto al triangolo DEF è determinata dal metodo dei punti concorrenti.

Si considerano due punti NEF e 1AB sul piano π 2. Secondo le proiezioni orizzontali di questi punti, si può stabilire che il punto N si trova più vicino all'osservatore (Y N >Y 1) rispetto al punto 1 (la direzione della linea di vista è parallela a S). Di conseguenza, la retta AB, cioè la parte della retta AB (K 1) è chiusa dal piano DEF sul piano π 2 (la sua proiezione K 2 1 2 è mostrata dalla linea tratteggiata). La visibilità sul piano π 1 è stabilita in modo simile.

Domande per l'autocontrollo

1) Qual è l'essenza del metodo dei punti in competizione?

2) Quali proprietà di una retta conosci?

3) Qual è l'algoritmo per determinare il punto di intersezione di una retta e di un piano?

4) Quali compiti sono chiamati posizionali?

5) Formulare le condizioni per appartenere a un piano rettilineo.

Portiamo alla vostra attenzione le riviste pubblicate dalla casa editrice "Accademia di Storia Naturale"