Webinar su come comprendere la teoria della probabilità e come iniziare a utilizzare la statistica negli affari. Sapendo come lavorare con tali informazioni, puoi creare la tua attività.
Ecco un esempio di un problema che risolverai senza pensare. Nel maggio 2015, la Russia ha lanciato la navicella spaziale Progress e ha perso il controllo su di essa. Questo mucchio di metallo, sotto l'influenza della gravità terrestre, avrebbe dovuto schiantarsi sul nostro pianeta.
Attenzione, la domanda è: qual era la probabilità che Progress sarebbe caduto sulla terraferma, e non nell'oceano, e se avremmo dovuto preoccuparci.
La risposta è molto semplice: le probabilità di cadere a terra erano da 3 a 7.
Mi chiamo Alexander Skakunov, non sono uno scienziato né un professore. Mi chiedevo solo perché abbiamo bisogno della teoria della probabilità e della statistica, perché le abbiamo portate all'università? Pertanto, in un anno ho letto più di venti libri su questo argomento - da Il cigno nero a Il piacere di X. Mi sono anche assunto 2 tutor.
In questo webinar, condividerò con te le mie scoperte. Ad esempio, imparerai come le statistiche hanno contribuito a creare un miracolo economico in Giappone e come questo si riflette nella sceneggiatura del film Ritorno al futuro.
Ora ti mostro un po' di magia di strada. Non so quanti di voi si iscriveranno a questo webinar, ma solo il 45% si presenterà.
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3 fasi di comprensione della teoria della probabilità
Ci sono 3 fasi che attraversa chiunque abbia familiarità con la teoria della probabilità.
Fase 1. "Vincerò al casinò!". L'uomo crede di poter prevedere l'esito di eventi casuali.
Fase 2. "Non vincerò mai al casinò!..." La persona è delusa e crede che nulla possa essere previsto.
E la fase 3. "Proviamo fuori dal casinò!". Una persona comprende che nell'apparente caos del mondo delle possibilità si possono trovare schemi che consentono di navigare bene nel mondo circostante.
Il nostro compito è solo quello di raggiungere la fase 3, in modo che tu impari ad applicare le disposizioni di base della teoria della probabilità e della statistica a vantaggio tuo e della tua attività.
Quindi, imparerai la risposta alla domanda "perché la teoria della probabilità è necessaria" in questo webinar.
La matematica è la regina di tutte le scienze, spesso messa alla prova dai giovani. Proponiamo la tesi “La matematica è inutile”. E confutiamo sull'esempio di una delle teorie più interessanti, misteriose e interessanti. come la teoria della probabilità aiuta nella vita, salva il mondo, quali tecnologie e risultati si basano su queste formule apparentemente immateriali e lontane dalla vita e calcoli complessi.
Storia della teoria della probabilità
Teoria della probabilità- una branca della matematica che studia gli eventi casuali e, naturalmente, la loro probabilità. Questo tipo di matematica non è nata affatto in noiosi uffici grigi, ma ... sale da gioco. I primi approcci per valutare la probabilità di un evento erano in voga già nel medioevo tra gli "hamler" dell'epoca. Tuttavia, allora avevano solo uno studio empirico (cioè una valutazione in pratica, con il metodo dell'esperimento). È impossibile attribuire la paternità della teoria della probabilità a una certa persona, poiché ci hanno lavorato molti personaggi famosi, ognuno dei quali ha investito la sua parte.
Le prime di queste persone furono Pascal e Fermat. Hanno studiato la teoria della probabilità sulla statistica dei dadi. Ha scoperto le prime regolarità. H. Huygens ha svolto un lavoro simile 20 anni prima, ma i teoremi non sono stati formulati esattamente. Un importante contributo alla teoria della probabilità è stato dato da Jacob Bernoulli, Laplace, Poisson e molti altri.
Pierre Fermat
Teoria della probabilità nella vita
Vi sorprenderò: tutti noi, in un modo o nell'altro, utilizziamo la teoria della probabilità, basata su un'analisi degli eventi accaduti nelle nostre vite. Sappiamo che la morte per un incidente stradale è più probabile che per un fulmine, perché il primo, purtroppo, accade molto spesso. In un modo o nell'altro, prestiamo attenzione alla probabilità delle cose per prevedere il nostro comportamento. Ma ecco un insulto, sfortunatamente, non sempre una persona può determinare con precisione la probabilità di determinati eventi.
Ad esempio, senza conoscere le statistiche, la maggior parte delle persone tende a pensare che la possibilità di morire in un incidente aereo sia maggiore che in un incidente d'auto. Ora sappiamo, dopo aver studiato i fatti (di cui, credo, molti hanno sentito parlare), che non è affatto così. Il fatto è che il nostro "occhio" vitale a volte fallisce, perché il trasporto aereo sembra molto più terribile per le persone che sono abituate a camminare saldamente per terra. E la maggior parte delle persone non usa spesso questo mezzo di trasporto. Anche se possiamo stimare correttamente la probabilità di un evento, è molto probabilmente estremamente impreciso, il che non avrebbe senso, diciamo, nell'ingegneria spaziale, dove i milionesimi decidono molto. E quando abbiamo bisogno di precisione, a chi ci rivolgiamo? Ovviamente alla matematica.
Ci sono molti esempi dell'uso reale della teoria della probabilità nella vita. Quasi l'intera economia moderna si basa su di essa. Quando lancia un determinato prodotto sul mercato, un imprenditore competente terrà sicuramente conto dei rischi, nonché della probabilità di acquistare in un particolare mercato, paese, ecc. Praticamente non immaginano la loro vita senza la teoria dei broker di probabilità nei mercati mondiali. Prevedere il tasso di denaro (in cui sicuramente non puoi fare a meno della teoria della probabilità) sulle opzioni monetarie o sul famoso mercato Forex rende possibile guadagnare seriamente su questa teoria.
La teoria della probabilità è importante all'inizio di quasi tutte le attività, così come la sua regolamentazione. Grazie alla valutazione delle possibilità di un particolare malfunzionamento (ad esempio un veicolo spaziale), sappiamo quali sforzi dobbiamo fare, cosa controllare esattamente, cosa aspettarci in generale a migliaia di chilometri dalla Terra. La possibilità di un attacco terroristico nella metropolitana, una crisi economica o una guerra nucleare: tutto questo può essere espresso in percentuale. E, soprattutto, intraprendere le contromisure appropriate in base ai dati ricevuti.
Ho avuto la fortuna di arrivare al convegno scientifico matematico della mia città, dove uno dei paper vincitori ha parlato del significato pratico teoria della probabilità nella vita. Probabilmente, come tutte le persone, non ti piace stare in fila per molto tempo. Questo lavoro ha dimostrato come il processo di acquisto può essere accelerato se utilizziamo la teoria della probabilità di contare le persone in coda e la regolazione delle attività (apertura di casse, aumento dei venditori, ecc.). Sfortunatamente, ora la maggior parte delle reti anche di grandi dimensioni ignora questo fatto e si basa solo sui propri calcoli visivi.
Qualsiasi attività in qualsiasi campo può essere analizzata utilizzando la statistica, calcolata utilizzando la teoria della probabilità e notevolmente migliorata.
"La casualità non è casuale"... Suona come ha detto un filosofo, ma in realtà lo studio degli incidenti è il destino della grande scienza della matematica. In matematica, il caso è la teoria della probabilità. Formule ed esempi di compiti, nonché le principali definizioni di questa scienza saranno presentati nell'articolo.
Che cos'è la teoria della probabilità?
La teoria della probabilità è una delle discipline matematiche che studia gli eventi casuali.
Per renderlo un po' più chiaro, facciamo un piccolo esempio: se lanci una moneta, può cadere testa o croce. Finché la moneta è nell'aria, entrambe queste possibilità sono possibili. Cioè, la probabilità di possibili conseguenze è correlata 1:1. Se uno viene estratto da un mazzo con 36 carte, la probabilità sarà indicata come 1:36. Sembrerebbe che non ci sia nulla da esplorare e prevedere, soprattutto con l'aiuto di formule matematiche. Tuttavia, se ripeti una determinata azione molte volte, puoi identificare un determinato modello e, sulla base di esso, prevedere l'esito di eventi in altre condizioni.
Per riassumere tutto quanto sopra, la teoria della probabilità in senso classico studia la possibilità del verificarsi di uno dei possibili eventi in senso numerico.
Dalle pagine della storia
La teoria della probabilità, le formule e gli esempi dei primi compiti apparvero nel lontano Medioevo, quando sorsero per la prima volta i tentativi di prevedere l'esito dei giochi di carte.
Inizialmente, la teoria della probabilità non aveva nulla a che fare con la matematica. Era giustificato da fatti o proprietà empiriche di un evento che poteva essere riprodotto nella pratica. I primi lavori in quest'area come disciplina matematica apparvero nel XVII secolo. I fondatori furono Blaise Pascal e Pierre Fermat. Per molto tempo hanno studiato il gioco d'azzardo e hanno visto alcuni schemi, di cui hanno deciso di parlare al pubblico.
La stessa tecnica fu inventata da Christian Huygens, sebbene non conoscesse i risultati delle ricerche di Pascal e Fermat. Da lui furono introdotti il concetto di "teoria della probabilità", formule ed esempi, che sono considerati i primi nella storia della disciplina.
Di non poca importanza sono i lavori di Jacob Bernoulli, i teoremi di Laplace e di Poisson. Hanno reso la teoria della probabilità più simile a una disciplina matematica. La teoria della probabilità, le formule e gli esempi di compiti di base hanno preso la loro forma attuale grazie agli assiomi di Kolmogorov. Come risultato di tutti i cambiamenti, la teoria della probabilità è diventata una delle branche della matematica.
Concetti di base della teoria della probabilità. Eventi
Il concetto principale di questa disciplina è "evento". Gli eventi sono di tre tipi:
- Affidabile. Quelle che accadranno comunque (la moneta cadrà).
- Impossibile. Eventi che non accadranno in nessuno scenario (la moneta rimarrà sospesa nell'aria).
- Casuale. Quelli che accadranno o non accadranno. Possono essere influenzati da vari fattori che sono molto difficili da prevedere. Se parliamo di una moneta, allora fattori casuali che possono influenzare il risultato: le caratteristiche fisiche della moneta, la sua forma, la sua posizione iniziale, la forza del lancio, ecc.
Tutti gli eventi negli esempi sono indicati con lettere latine maiuscole, ad eccezione della R, che ha un ruolo diverso. Per esempio:
- A = "gli studenti sono venuti alla lezione".
- Ā = "gli studenti non sono venuti a lezione".
Nelle attività pratiche, gli eventi sono solitamente registrati a parole.
Una delle caratteristiche più importanti degli eventi è la loro pari possibilità. Cioè, se lanci una moneta, tutte le varianti della caduta iniziale sono possibili finché non cade. Ma anche gli eventi non sono ugualmente probabili. Questo accade quando qualcuno influenza deliberatamente il risultato. Ad esempio, carte da gioco o dadi "contrassegnati", in cui il baricentro viene spostato.
Anche gli eventi sono compatibili e incompatibili. Gli eventi compatibili non escludono il verificarsi l'uno dell'altro. Per esempio:
- A = "lo studente è venuto a lezione."
- B = "lo studente è venuto a lezione."
Questi eventi sono indipendenti l'uno dall'altro e l'aspetto di uno di essi non influisce sull'aspetto dell'altro. Gli eventi incompatibili sono definiti dal fatto che il verificarsi dell'uno preclude il verificarsi dell'altro. Se parliamo della stessa moneta, la perdita di "croce" rende impossibile la comparsa di "teste" nello stesso esperimento.
Azioni sugli eventi
Gli eventi possono essere moltiplicati e sommati, nella disciplina vengono introdotti rispettivamente i connettivi logici "AND" e "OR".
L'importo è determinato dal fatto che l'evento A, o B, o entrambi possono verificarsi contemporaneamente. Nel caso in cui siano incompatibili, l'ultima opzione è impossibile, A o B cadranno.
La moltiplicazione degli eventi consiste nella comparsa di A e B contemporaneamente.
Ora puoi fare alcuni esempi per ricordare meglio le basi, la teoria della probabilità e le formule. Esempi di risoluzione dei problemi di seguito.
Esercizio 1: L'impresa propone appalti per tre tipi di lavoro. Possibili eventi che possono verificarsi:
- A = "l'impresa riceverà il primo contratto."
- A 1 = "l'impresa non riceverà il primo contratto."
- B = "l'impresa riceverà un secondo contratto."
- B 1 = "l'impresa non riceverà un secondo contratto"
- C = "l'impresa riceverà un terzo contratto."
- C 1 = "l'impresa non riceverà un terzo contratto".
Proviamo ad esprimere le seguenti situazioni usando azioni sugli eventi:
- K = "l'azienda riceverà tutti i contratti."
In forma matematica, l'equazione sarà simile a questa: K = ABC.
- M = "l'impresa non riceverà un solo contratto."
M \u003d A 1 B 1 C 1.
Complichiamo il compito: H = "l'impresa riceverà un contratto". Poiché non si sa quale contratto riceverà l'impresa (il primo, il secondo o il terzo), è necessario registrare l'intera gamma dei possibili eventi:
H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.
E 1 BC 1 è una serie di eventi in cui l'impresa non riceve il primo e il terzo contratto, ma riceve il secondo. Anche altri possibili eventi vengono registrati con il metodo corrispondente. Il simbolo υ nella disciplina denota un gruppo di "OR". Se traduciamo l'esempio sopra in linguaggio umano, l'azienda riceverà il terzo contratto, o il secondo, o il primo. Allo stesso modo, puoi scrivere altre condizioni nella disciplina "Teoria della probabilità". Le formule e gli esempi di risoluzione dei problemi presentati sopra ti aiuteranno a farlo da solo.
In realtà, la probabilità
Forse, in questa disciplina matematica, la probabilità di un evento è un concetto centrale. Esistono 3 definizioni di probabilità:
- classico;
- statistico;
- geometrico.
Ognuno ha il suo posto nello studio delle probabilità. Teoria della probabilità, formule ed esempi (Grado 9) utilizzano principalmente la definizione classica, che suona così:
- La probabilità della situazione A è uguale al rapporto tra il numero di esiti che ne favoriscono il verificarsi e il numero di tutti i possibili esiti.
La formula si presenta così: P (A) \u003d m / n.
E, in effetti, un evento. Se si verifica l'opposto di A, può essere scritto come  o A 1 .
m è il numero di possibili casi favorevoli.
n - tutti gli eventi che possono accadere.
Ad esempio, A \u003d "tira fuori una carta del seme del cuore". Ci sono 36 carte in un mazzo standard, 9 delle quali sono di cuori. Di conseguenza, la formula per risolvere il problema sarà simile a:
P(A)=9/36=0,25.
Di conseguenza, la probabilità che una carta a semi di cuori venga estratta dal mazzo sarà 0,25.
alla matematica superiore
Ora è diventato poco noto cosa sia la teoria della probabilità, formule ed esempi di risoluzione di compiti che si incontrano nel curriculum scolastico. Tuttavia, la teoria della probabilità si trova anche nella matematica superiore, che viene insegnata nelle università. Molto spesso, operano con definizioni geometriche e statistiche della teoria e formule complesse.
La teoria della probabilità è molto interessante. Formule ed esempi (matematica superiore) sono migliori per iniziare a imparare da un piccolo - da una definizione statistica (o di frequenza) di probabilità.
L'approccio statistico non contraddice l'approccio classico, ma lo amplia leggermente. Se nel primo caso era necessario determinare con quale grado di probabilità si verificherà un evento, allora in questo metodo è necessario indicare con quale frequenza si verificherà. Qui viene introdotto un nuovo concetto di “frequenza relativa”, che può essere indicato con W n (A). La formula non è diversa dalla classica:
Se viene calcolata la formula classica per la previsione, quella statistica viene calcolata in base ai risultati dell'esperimento. Prendi, ad esempio, un piccolo compito.
Il dipartimento di controllo tecnologico verifica la qualità dei prodotti. Tra 100 prodotti, 3 sono risultati di scarsa qualità. Come trovare la probabilità di frequenza di un prodotto di qualità?
A = "l'aspetto di un prodotto di qualità".
V n (LA)=97/100=0,97
Pertanto, la frequenza di un prodotto di qualità è 0,97. Da dove hai preso il 97? Dei 100 prodotti controllati, 3 si sono rivelati di scarsa qualità. Sottraiamo 3 da 100, otteniamo 97, questa è la quantità di un prodotto di qualità.
Un po' di combinatoria
Un altro metodo di teoria della probabilità è chiamato combinatoria. Il suo principio di base è che se una certa scelta A può essere fatta in m modi diversi, e una scelta B in n modi diversi, allora la scelta di A e B può essere fatta moltiplicando.
Ad esempio, ci sono 5 strade dalla città A alla città B. Ci sono 4 percorsi dalla città B alla città C. Quanti modi ci sono per andare dalla città A alla città C?
È semplice: 5x4 = 20, cioè ci sono venti modi diversi per andare dal punto A al punto C.
Rendiamo il compito più difficile. Quanti modi ci sono per giocare a carte in solitario? In un mazzo di 36 carte, questo è il punto di partenza. Per scoprire il numero di modi, devi "sottrarre" una carta dal punto di partenza e moltiplicare.
Cioè, 36x35x34x33x32…x2x1= il risultato non si adatta allo schermo della calcolatrice, quindi può essere semplicemente indicato come 36!. Cartello "!" accanto al numero indica che l'intera serie di numeri è moltiplicata tra loro.
In combinatoria, ci sono concetti come permutazione, posizionamento e combinazione. Ognuno di loro ha la sua formula.
Un insieme ordinato di elementi dell'insieme è chiamato layout. I posizionamenti possono essere ripetitivi, il che significa che un elemento può essere utilizzato più volte. E senza ripetizione, quando gli elementi non si ripetono. n sono tutti gli elementi, m sono gli elementi che partecipano al posizionamento. La formula per il posizionamento senza ripetizioni sarà simile a:
A n m = n!/(n-m)!
Le connessioni di n elementi che differiscono solo nell'ordine di posizionamento sono chiamate permutazioni. In matematica, questo è simile a: P n = n!
Le combinazioni di n elementi per m sono tali composti in cui è importante quali elementi fossero e qual è il loro numero totale. La formula sarà simile a:
A n m = n!/m!(n-m)!
Formula di Bernoulli
Nella teoria della probabilità, così come in ogni disciplina, ci sono opere di ricercatori eccezionali nel loro campo che l'hanno portata a un nuovo livello. Uno di questi lavori è la formula di Bernoulli, che consente di determinare la probabilità che un determinato evento si verifichi in condizioni indipendenti. Ciò suggerisce che l'aspetto di A in un esperimento non dipende dalla comparsa o dal non verificarsi dello stesso evento nei test precedenti o successivi.
Equazione di Bernoulli:
P n (m) = C n m × p m × q n-m .
La probabilità (p) del verificarsi dell'evento (A) rimane invariata per ogni prova. La probabilità che la situazione accada esattamente m volte in n numero di esperimenti sarà calcolata dalla formula presentata sopra. Di conseguenza, sorge la domanda su come scoprire il numero q.
Se l'evento A si verifica p un numero di volte, di conseguenza, potrebbe non verificarsi. Un'unità è un numero che viene utilizzato per designare tutti i risultati di una situazione in una disciplina. Pertanto, q è un numero che indica la possibilità che l'evento non si verifichi.
Ora conosci la formula di Bernoulli (teoria della probabilità). Di seguito verranno presi in considerazione esempi di problem solving (il primo livello).
Compito 2: Un visitatore del negozio effettuerà un acquisto con una probabilità di 0,2. 6 visitatori sono entrati in negozio in modo indipendente. Qual è la probabilità che un visitatore effettui un acquisto?
Soluzione: Poiché non si sa quanti visitatori dovrebbero effettuare un acquisto, uno o tutti e sei, è necessario calcolare tutte le probabilità possibili utilizzando la formula di Bernoulli.
A = "il visitatore effettuerà un acquisto."
In questo caso: p = 0,2 (come indicato nell'attività). Di conseguenza, q=1-0,2 = 0,8.
n = 6 (perché ci sono 6 clienti nel negozio). Il numero m cambierà da 0 (nessun cliente effettuerà un acquisto) a 6 (tutti i visitatori del negozio acquisteranno qualcosa). Di conseguenza, otteniamo la soluzione:
P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.
Nessuno degli acquirenti effettuerà un acquisto con una probabilità di 0,2621.
In quale altro modo viene utilizzata la formula di Bernoulli (teoria della probabilità)? Esempi di problem solving (secondo livello) di seguito.
Dopo l'esempio sopra, sorgono domande su dove sono andati C e p. Rispetto a p, un numero alla potenza di 0 sarà uguale a uno. Per quanto riguarda C, può essere trovato dalla formula:
C n m = n! /m!(n-m)!
Poiché nel primo esempio m = 0, rispettivamente, C=1, che in linea di principio non influisce sul risultato. Utilizzando la nuova formula, proviamo a scoprire qual è la probabilità di acquisto della merce da parte di due visitatori.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.
La teoria della probabilità non è così complicata. La formula di Bernoulli, di cui sono presentati esempi sopra, ne è una prova diretta.
Formula di Poisson
L'equazione di Poisson viene utilizzata per calcolare situazioni casuali improbabili.
Formula base:
P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .
In questo caso, λ = n x p. Ecco una formula di Poisson così semplice (teoria della probabilità). Di seguito verranno presi in considerazione esempi di risoluzione dei problemi.
Compito 3 A: La fabbrica ha prodotto 100.000 parti. L'aspetto di una parte difettosa = 0,0001. Qual è la probabilità che ci siano 5 parti difettose in un lotto?
Come puoi vedere, il matrimonio è un evento improbabile, e quindi per il calcolo viene utilizzata la formula di Poisson (teoria della probabilità). Esempi di risoluzione di problemi di questo tipo non sono diversi da altri compiti della disciplina, sostituiamo i dati necessari nella formula sopra:
A = "una parte scelta a caso sarà difettosa."
p = 0,0001 (secondo la condizione di assegnazione).
n = 100000 (numero di parti).
m = 5 (parti difettose). Sostituiamo i dati nella formula e otteniamo:
R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.
Proprio come la formula di Bernoulli (teoria della probabilità), esempi di soluzioni con cui sono scritti sopra, l'equazione di Poisson ha un'incognita e. In sostanza, può essere trovata dalla formula:
e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Tuttavia, esistono tabelle speciali che contengono quasi tutti i valori di e.
Teorema di De Moivre-Laplace
Se nello schema di Bernoulli il numero di prove è sufficientemente grande e la probabilità che si verifichi l'evento A in tutti gli schemi è la stessa, allora la probabilità che si verifichi l'evento A un certo numero di volte in una serie di prove può essere trovata da la formula di Laplace:
Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
Xm = m-np/√npq.
Per ricordare meglio la formula di Laplace (teoria della probabilità), di seguito esempi di compiti per aiutare.
Per prima cosa troviamo X m , sostituiamo i dati (sono tutti indicati sopra) nella formula e otteniamo 0,025. Usando le tabelle, troviamo il numero ϕ (0,025), il cui valore è 0,3988. Ora puoi sostituire tutti i dati nella formula:
P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.
Quindi la probabilità che il volantino colpisca esattamente 267 volte è 0,03.
Formula di Bayes
La formula di Bayes (teoria della probabilità), esempi di risoluzione di compiti che verranno forniti di seguito, è un'equazione che descrive la probabilità di un evento in base alle circostanze che potrebbero essere associate ad esso. La formula principale è la seguente:
P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).
A e B sono eventi definiti.
P(A|B) - probabilità condizionata, cioè l'evento A può verificarsi, a condizione che l'evento B sia vero.
Р (В|А) - probabilità condizionata dell'evento В.
Quindi, la parte finale del corso breve "Theory of Probability" è la formula di Bayes, esempi di risoluzione dei problemi con i quali sono riportati di seguito.
Compito 5: I telefoni di tre società sono stati portati al magazzino. Allo stesso tempo, parte dei telefoni prodotti nel primo stabilimento è del 25%, nel secondo - 60%, nel terzo - 15%. È anche noto che la percentuale media di prodotti difettosi nella prima fabbrica è del 2%, nella seconda - 4% e nella terza - 1%. È necessario trovare la probabilità che un telefono selezionato a caso sia difettoso.
A = "telefono preso a caso".
B 1 - il telefono prodotto dalla prima fabbrica. Di conseguenza, appariranno le introduzioni B 2 e B 3 (per la seconda e la terza fabbrica).
Di conseguenza, otteniamo:
P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - quindi abbiamo trovato la probabilità di ciascuna opzione.
Ora dobbiamo trovare le probabilità condizionate dell'evento desiderato, cioè la probabilità di prodotti difettosi nelle imprese:
P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;
P (A / B 2) \u003d 0,04;
P (A / B 3) \u003d 0,01.
Ora sostituiamo i dati nella formula di Bayes e otteniamo:
P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.
L'articolo presenta la teoria della probabilità, formule ed esempi di problem solving, ma questa è solo la punta dell'iceberg di una vasta disciplina. E dopo tutto ciò che è stato scritto, sarà logico porsi la domanda se la teoria della probabilità sia necessaria nella vita. È difficile per una persona semplice rispondere, è meglio chiedere a qualcuno che ha vinto il jackpot più di una volta con il suo aiuto.
1.2. Applicazioni della teoria della probabilità
I metodi della teoria della probabilità sono ampiamente utilizzati in vari rami delle scienze naturali e della tecnologia:
nella teoria dell'affidabilità,
teoria delle code,
fisica teorica,
geodesia,
astronomia,
teoria del tiro,
la teoria degli errori di osservazione,
Teorie del controllo automatico,
teoria generale della comunicazione e in molte altre scienze teoriche e applicate.
La teoria della probabilità serve anche a sostanziare la statistica matematica e applicata, che, a sua volta, viene utilizzata nella pianificazione e organizzazione della produzione, nell'analisi dei processi tecnologici, nel controllo preventivo e di accettazione della qualità del prodotto e per molti altri scopi.
Negli ultimi anni, i metodi della teoria della probabilità sono sempre più penetrati in vari campi della scienza e della tecnologia, contribuendo al loro progresso.
1.3. Brevi cenni storici
I primi lavori in cui sono nati i concetti di base della teoria della probabilità furono tentativi di creare una teoria del gioco (Cardano, Huygens, Pascal, Fermat e altri nei secoli XVI-XVII).
La fase successiva nello sviluppo della teoria della probabilità è associata al nome di Jacob Bernoulli (1654 - 1705). Il teorema da lui dimostrato, poi chiamato "Legge dei Grandi Numeri", fu la prima prova teorica dei fatti accumulati in precedenza.
La teoria della probabilità deve ulteriore successo a Moivre, Laplace, Gauss, Poisson e altri. Lyapunov (1857 - 1918). Durante questo periodo, la teoria della probabilità diventa una scienza matematica coerente. Il suo successivo sviluppo è dovuto principalmente ai matematici russi e sovietici (S.N. Bernshtein, V.I. Romanovsky, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, N.V. Smirnov, ecc.).
1.4. Prove ed eventi. Tipi di eventi
I concetti base della teoria della probabilità sono il concetto di evento elementare e il concetto di spazio degli eventi elementari. Sopra, un evento è chiamato casuale se, sotto l'attuazione di un certo insieme di condizioni S può succedere o non succedere. In futuro, invece di dire "un insieme di condizioni S effettuato”, diremo brevemente: “testato”. Pertanto, l'evento sarà considerato come il risultato del test.
Definizione. evento casuale ogni fatto che può o non può verificarsi come risultato dell'esperienza è chiamato.
In questo caso, l'uno o l'altro risultato dell'esperimento può essere ottenuto con vari gradi di possibilità. Cioè, in alcuni casi si può dire che un evento quasi sicuramente accadrà, l'altro quasi mai.
Definizione. Spazio degli esiti elementariΩ è un insieme contenente tutti i possibili risultati di un dato esperimento casuale, di cui esattamente uno si verifica nell'esperimento. Gli elementi di questo insieme sono chiamati risultati elementari e indicato dalla lettera ω ("omega").
Quindi i sottoinsiemi dell'insieme Ω sono chiamati eventi. Si dice che come risultato dell'esperimento, l'evento A Ω si è verificato se nell'esperimento si è verificato uno degli esiti elementari inclusi nell'insieme A.
Per semplicità, assumiamo che il numero di eventi elementari sia finito. Un sottoinsieme dello spazio degli eventi elementari è chiamato evento casuale. Questo evento può verificarsi o meno come risultato del test (tre punti su un tiro di dado, una telefonata in quel momento, ecc.).
Esempio 1 Il tiratore spara a un bersaglio diviso in quattro aree. Un tiro è una prova. Colpire una certa area del bersaglio è un evento.
Esempio 2 Ci sono palline colorate nell'urna. Una pallina viene estratta a caso dall'urna. Rimuovere una palla da un'urna è una prova. La comparsa di una palla di un certo colore è un evento.
In un modello matematico si può accettare il concetto di evento come quello iniziale, che non è definito e che è caratterizzato solo dalle proprie proprietà. In base al reale significato del concetto di evento si possono definire diversi tipi di eventi.
Definizione. Viene chiamato un evento casuale affidabile, se è noto che si verifica (tirando da uno a sei punti su un tiro di dado), e impossibile, se certamente non può verificarsi come risultato dell'esperienza (sette punti tirati quando si tira un dado). In questo caso, un certo evento contiene tutti i punti dello spazio degli eventi elementari e un evento impossibile non contiene alcun punto di questo spazio.
Definizione. Vengono chiamati due eventi casuali incompatibile se non possono verificarsi contemporaneamente per lo stesso esito del test. E in generale, viene chiamato un numero qualsiasi di eventi incompatibile se il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi degli altri.
Un classico esempio di eventi disgiunti è il risultato del lancio di una moneta: la caduta del lato anteriore della moneta esclude la caduta del lato opposto (nello stesso esperimento).
Un altro esempio è una parte presa a caso da una scatola di parti. L'aspetto di una parte standard esclude l'aspetto di una parte non standard. Gli eventi “è apparsa una parte standard” e “è apparsa una parte non standard” sono incompatibili.
Definizione. Si formano diversi eventi gruppo completo, se almeno uno di essi compare come risultato del test.
In altre parole, il verificarsi di almeno uno degli eventi del gruppo completo è un determinato evento. In particolare, se gli eventi che formano un gruppo completo sono incompatibili a coppie, allora uno e solo uno di questi eventi apparirà come risultato del test. Questo caso particolare è del massimo interesse, poiché verrà utilizzato di seguito.
Esempio. Acquistato due biglietti della lotteria denaro e vestiti. Si verificherà necessariamente uno e solo uno dei seguenti eventi: “la vincita è caduta sul primo biglietto e non è caduta sul secondo”, “la vincita non è caduta sul primo biglietto ed è caduta sul secondo”, “la vincita è caduta su entrambi i biglietti", "la vincita non ha vinto su entrambi i biglietti". Questi eventi formano un gruppo completo di eventi incompatibili a coppie.
Esempio. Il tiratore ha sparato al bersaglio. Sicuramente si verificherà uno dei seguenti due eventi: hit, miss. Questi due eventi disgiunti formano un gruppo completo.
Esempio. Se una pallina viene estratta a caso da una scatola contenente solo palline rosse e verdi, la comparsa di una pallina bianca tra le palline estratte è un evento impossibile. L'aspetto delle palline rosse e l'aspetto delle palline verdi formano un gruppo completo di eventi.
Definizione. Si dice che gli eventi siano ugualmente probabili se c'è motivo di ritenere che nessuno di essi sia più possibile dell'altro.
Esempio. Altrettanto probabili sono l'apparizione di uno "stemma" e l'apparizione di un'iscrizione al lancio di una moneta. Si presume infatti che la moneta sia fatta di un materiale omogeneo, abbia una forma cilindrica regolare e la presenza di una moneta non influisca sulla perdita dell'una o dell'altra faccia della moneta.
Esempio. La comparsa dell'uno o dell'altro numero di punti su un dado lanciato sono eventi ugualmente probabili. Si presume infatti che lo stampo sia costituito da un materiale omogeneo, abbia la forma di un poliedro regolare e la presenza di punte non influisca sulla perdita di alcuna faccia.
Nell'esempio della palla sopra, la comparsa di palline rosse e verdi è ugualmente probabile se la scatola contiene lo stesso numero di palline rosse e verdi. Se ci sono più palline rosse nella scatola rispetto a quelle verdi, l'aspetto di una palla verde è meno probabile dell'aspetto di una rossa.
Contenuto
Introduzione 3
1. Storia dell'evento 4
2. L'emergere della definizione classica di probabilità 9
3. L'argomento della teoria della probabilità 11
4. Concetti di base della teoria della probabilità 13
5. Applicazione della teoria della probabilità nel mondo moderno 15
6. Probabilità e trasporto aereo 19 Conclusione 20
Riferimenti 21
introduzione
Caso, caso: li incontriamo ogni giorno: un incontro casuale, un guasto accidentale, una scoperta accidentale, un errore accidentale. Questa serie può essere continuata all'infinito. Sembrerebbe che non ci sia posto per la matematica, ma qui la scienza ha scoperto schemi interessanti: consentono a una persona di sentirsi sicura quando incontra eventi casuali.
La teoria della probabilità può essere definita come una branca della matematica che studia i modelli inerenti agli eventi casuali. I metodi della teoria della probabilità sono ampiamente utilizzati nell'elaborazione matematica dei risultati delle misurazioni, nonché in molti problemi di economia, statistica, assicurazione e servizi di massa. Quindi non è difficile intuire che nell'aviazione la teoria della probabilità trova un'applicazione molto ampia.
Il mio futuro lavoro di tesi riguarderà la navigazione satellitare. Non solo nella navigazione satellitare, ma anche nei mezzi di navigazione tradizionali, la teoria della probabilità ha ricevuto un'applicazione molto ampia, perché la maggior parte delle caratteristiche operative e tecniche delle apparecchiature radio sono quantificate attraverso la probabilità.
1. Storia dell'occorrenza
Ora è già difficile stabilire chi per primo abbia sollevato la questione, sia pure in forma imperfetta, circa la possibilità di una misurazione quantitativa della possibilità di un evento casuale. Una cosa è chiara, che una risposta più o meno soddisfacente a questa domanda ha richiesto molto tempo e sforzi significativi da parte di un certo numero di generazioni di ricercatori eccezionali. Per molto tempo i ricercatori si sono limitati alla considerazione di vari tipi di giochi, in particolare giochi di dadi, poiché il loro studio permette di limitarsi a modelli matematici semplici e trasparenti. Tuttavia, va notato che molte persone hanno perfettamente compreso ciò che fu poi formulato da Christian Huygens: “... credo che dopo un attento studio dell'argomento, il lettore noterà che si tratta non solo di un gioco, ma che il qui si pongono le basi di una teoria molto interessante e profonda.”.
Vedremo che con l'ulteriore progresso della teoria della probabilità, profonde considerazioni, sia naturali-scientifiche che filosofiche generali, hanno giocato un ruolo importante. Questa tendenza continua ancora oggi: osserviamo costantemente come le questioni della pratica - scientifica, industriale, della difesa - pongano nuovi problemi per la teoria della probabilità e portino alla necessità di ampliare l'arsenale di idee, concetti e metodi di ricerca.
Lo sviluppo della teoria della probabilità, e con essa lo sviluppo del concetto di probabilità, può essere suddiviso nelle seguenti fasi.
1. Preistoria della teoria della probabilità. Durante questo periodo, il cui inizio si perde nei secoli, furono posti e risolti problemi elementari, che saranno poi attribuiti alla teoria della probabilità. Non ci sono metodi speciali durante questo periodo. Questo periodo si conclude con le opere di Cardano, Pacioli, Tartaglia e altri.
Incontriamo rappresentazioni probabilistiche nell'antichità. Democrito, Lucrezio Cara e altri scienziati e pensatori antichi hanno profonde previsioni sulla struttura della materia con il movimento casuale di piccole particelle (molecole), ragionando su risultati ugualmente possibili, ecc. Anche nei tempi antichi sono stati fatti tentativi per raccogliere e analizzare alcuni materiali statistici: tutto questo (così come altre manifestazioni di attenzione ai fenomeni casuali) ha creato le basi per lo sviluppo di nuovi concetti scientifici, incluso il concetto di probabilità. Ma la scienza antica non è arrivata al punto di isolare questo concetto.
In filosofia, la questione dell'accidentale, del necessario e del possibile è sempre stata una delle principali. Lo sviluppo filosofico di questi problemi ha influenzato anche la formazione del concetto di probabilità. In generale, nel medioevo, ci sono solo tentativi sparsi di riflessione sul ragionamento probabilistico incontrato.
Nelle opere di Pacioli, Tartaglia e Cardano si sta già tentando di individuare un nuovo concetto - l'odds ratio - nella soluzione di alcuni problemi specifici, in primis di tipo combinatorio.
2. L'emergere della teoria della probabilità come scienza. Entro la metà del XVII secolo. questioni probabilistiche e problemi sorti nella pratica statistica, nella pratica delle compagnie di assicurazione, nell'elaborazione dei risultati delle osservazioni e in altri settori, hanno attirato l'attenzione degli scienziati, poiché sono diventati argomenti di attualità. Innanzitutto questo periodo è associato ai nomi di Pascal, Fermat e Huygens. Durante questo periodo vengono sviluppati concetti specifici, come aspettativa matematica e probabilità (come rapporto di probabilità), vengono stabilite e utilizzate le prime proprietà della probabilità: i teoremi di addizione e moltiplicazione delle probabilità. In questo momento, il teorema di probabilità trova applicazione nel settore assicurativo, demografico, nella valutazione degli errori di osservazione, pur utilizzando ampiamente il concetto di probabilità.
3. Il periodo successivo inizia con la comparsa dell'opera di Bernoulli "L'arte delle congetture" (1713), in cui è stato dimostrato per la prima volta il primo teorema limite, il caso più semplice della legge dei grandi numeri. Questo periodo, durato fino alla metà dell'Ottocento, comprende opere di De Moivre, Laplace, Gauss e altri, i teoremi limite erano in quel momento al centro dell'attenzione. La teoria della probabilità inizia ad essere ampiamente utilizzata in vari campi delle scienze naturali. E sebbene in questo periodo inizino ad essere utilizzati vari concetti di probabilità (probabilità geometrica, probabilità statistica), la definizione classica di probabilità occupa una posizione dominante.
4. Il periodo successivo nello sviluppo della teoria della probabilità è associato principalmente alla Scuola di Matematica di San Pietroburgo. Nel corso dei due secoli di sviluppo della teoria della probabilità, i suoi principali risultati furono i teoremi limite, ma non furono chiariti i limiti della loro applicazione e la possibilità di ulteriori generalizzazioni. Insieme ai successi, sono state individuate anche significative carenze nella sua giustificazione, che si esprime in un'idea di probabilità non sufficientemente chiara. Nella teoria della probabilità si è creata una situazione in cui il suo ulteriore sviluppo ha richiesto il chiarimento delle principali disposizioni e il rafforzamento degli stessi metodi di ricerca.
Ciò è stato effettuato dalla scuola matematica russa guidata da Chebyshev. Tra i suoi maggiori rappresentanti ci sono Markov e Lyapunov.
Durante questo periodo, la teoria della probabilità include stime di approssimazioni di teoremi limite, nonché un'espansione della classe di variabili casuali che obbediscono a teoremi limite. In questo momento, alcune variabili casuali dipendenti (catene di Markov) iniziarono a essere considerate nella teoria della probabilità. Nella teoria della probabilità sorgono nuovi concetti, come la "teoria delle funzioni caratteristiche", "la teoria dei momenti", ecc. E a questo proposito si è diffusa nelle scienze naturali, in primis in fisica. Durante questo periodo viene creata la fisica statistica. Ma questa introduzione di metodi e concetti probabilistici nella fisica procedette piuttosto lontano dai risultati della teoria della probabilità. Le probabilità usate in fisica non erano esattamente le stesse della matematica. I concetti esistenti di probabilità non soddisfacevano i bisogni delle scienze naturali e, di conseguenza, iniziarono ad apparire varie interpretazioni della probabilità, difficili da ridurre a un'unica definizione.
Lo sviluppo della teoria della probabilità all'inizio del XIX secolo. Ne è derivata la necessità di rivedere e chiarire i suoi fondamenti logici, in primis il concetto di probabilità. Ciò richiese lo sviluppo della fisica e l'applicazione in essa di concetti probabilistici e dell'apparato della teoria della probabilità; si provava insoddisfazione per la giustificazione classica del tipo laplaciano.
5. Il moderno periodo di sviluppo della teoria della probabilità è iniziato con l'istituzione dell'assiomatica (assiomatica - un sistema di assiomi di qualsiasi scienza). Ciò era richiesto principalmente dalla pratica, poiché per l'applicazione di successo della teoria della probabilità nella fisica, nella biologia e in altri campi della scienza, nonché nella tecnologia e negli affari militari, era necessario chiarire e portare i suoi concetti di base in un sistema coerente . Grazie all'assiomatica, la teoria della probabilità è diventata una disciplina matematica astratta-deduttiva, strettamente correlata alla teoria degli insiemi. Ciò ha portato all'ampiezza della ricerca nella teoria della probabilità.
Le prime opere di questo periodo sono associate ai nomi di Bernstein, Mises, Borel. L'istituzione finale dell'assiomatica avvenne negli anni '30 del XX secolo. Un'analisi delle tendenze nello sviluppo della teoria della probabilità ha permesso a Kolmogorov di creare un'assiomatica generalmente accettata. Negli studi probabilistici, le analogie con la teoria degli insiemi cominciarono a giocare un ruolo essenziale. Le idee della teoria metrica delle funzioni cominciarono a penetrare sempre più a fondo nella teoria della probabilità. C'era bisogno di un'assiomatizzazione della teoria della probabilità basata su concetti di teoria degli insiemi. Tale assiomatica è stata creata da Kolmogorov e ha contribuito al fatto che la teoria della probabilità è stata finalmente rafforzata come scienza matematica a tutti gli effetti.
Durante questo periodo, il concetto di probabilità penetra quasi tutto in tutte le sfere dell'attività umana. Esistono diverse definizioni di probabilità. La varietà delle definizioni dei concetti di base è una caratteristica essenziale della scienza moderna. Le definizioni moderne nella scienza sono una presentazione di concetti, punti di vista, che possono essere molti per qualsiasi concetto fondamentale, e tutti riflettono alcuni aspetti essenziali del concetto in fase di definizione. Ciò vale anche per il concetto di probabilità.
2. L'emergere della definizione classica di probabilità
Il concetto di probabilità gioca un ruolo enorme nella scienza moderna, e quindi è un elemento essenziale della moderna visione del mondo nel suo insieme, la filosofia moderna. Tutto ciò genera attenzione e interesse per lo sviluppo del concetto di probabilità, che è strettamente correlato al movimento generale della scienza. I concetti di probabilità sono stati significativamente influenzati dai risultati di molte scienze, ma questo concetto, a sua volta, li ha costretti ad affinare il loro approccio allo studio del mondo.
La formazione dei concetti matematici di base rappresenta fasi importanti nel processo di sviluppo matematico. Fino alla fine del 17° secolo, la scienza non si avvicinò all'introduzione della definizione classica di probabilità, ma continuò ad operare solo con il numero di possibilità che favoriscono l'uno o l'altro evento di interesse per i ricercatori. Tentativi separati, che sono stati notati da Cardano e ricercatori successivi, non hanno portato a una chiara comprensione del significato di questa innovazione e sono rimasti un corpo estraneo nei lavori completati. Tuttavia, negli anni Trenta del 18° secolo, il concetto classico di probabilità divenne generalmente utilizzato e nessuno degli scienziati di quegli anni avrebbe potuto limitarsi a contare il numero di possibilità favorevoli a un evento. L'introduzione della definizione classica di probabilità non avvenne come risultato di una singola azione, ma richiese un lungo periodo di tempo, durante il quale si ebbe un continuo miglioramento della formulazione, il passaggio dai problemi particolari al caso generale.
Un attento studio mostra che anche nel libro di X. Huygens “On Calculations in Gambling” (1657) non esiste un concetto di probabilità come numero compreso tra 0 e 1 e uguale al rapporto tra il numero delle possibilità favorevoli all'evento e il numero di tutti quelli possibili. E nel trattato di J. Bernoulli "L'arte delle assunzioni" (1713), questo concetto è stato introdotto, sebbene in una forma molto imperfetta, ma, cosa particolarmente importante, è ampiamente utilizzato.
A. De Moivre ha preso la classica definizione di probabilità data da Bernoulli e ha definito la probabilità di un evento quasi esattamente come facciamo ora. Scrive: “Di conseguenza, stiamo costruendo una frazione, il cui numeratore sarà il numero di volte in cui l'evento si verifica, e il denominatore è il numero di tutti i casi in cui può o non può apparire, tale frazione esprimerà il probabilità effettiva che si verifichi”.
3. L'argomento della teoria della probabilità
Gli eventi (fenomeni) da noi osservati possono essere suddivisi nei seguenti tre tipi: affidabili, impossibili e casuali.
Un determinato evento è chiamato un determinato evento che si verificherà sicuramente se è soddisfatto un determinato insieme di condizioni S. Ad esempio, se un recipiente contiene acqua a pressione atmosferica normale e una temperatura di 20 °, allora l'evento "l'acqua nel recipiente è allo stato liquido” è certo. In questo esempio, la pressione atmosferica e la temperatura dell'acqua specificate costituiscono l'insieme delle condizioni S.
Un evento è detto impossibile se l'insieme di condizioni S è soddisfatto.
Un evento casuale è un evento che, sotto l'implementazione di un insieme di condizioni S, può verificarsi o meno. Ad esempio, se viene lanciata una moneta, può cadere in modo che uno stemma o un'iscrizione siano in cima. Pertanto, l'evento "quando si lancia una moneta, è caduto uno "stemma" è casuale. Ogni evento casuale, in particolare la caduta dello "stemma", è il risultato dell'azione di moltissime cause casuali (nel nostro esempio: la forza con cui viene lanciata la moneta, la forma della moneta, e molte altre ). È impossibile tenere conto dell'influenza di tutte queste cause sul risultato, poiché il loro numero è molto grande e le leggi della loro azione sono sconosciute. Pertanto, la teoria della probabilità non si pone il compito di prevedere se un singolo evento si verificherà o meno, semplicemente non può farlo.
La situazione è diversa se si considerano eventi casuali che possono essere osservati ripetutamente nelle stesse condizioni S, cioè se si parla di eventi casuali omogenei massicci. Si scopre che un numero sufficientemente grande di eventi casuali omogenei, indipendentemente dalla loro natura specifica, obbedisce a determinate leggi, vale a dire leggi probabilistiche. È la teoria della probabilità che si occupa della determinazione di queste regolarità.
Quindi, l'argomento della teoria della probabilità è lo studio delle regolarità probabilistiche di eventi casuali omogenei massicci.
4. Concetti di base della teoria della probabilità
Ogni scienza che sviluppa una teoria generale di una certa gamma di fenomeni contiene una serie di concetti di base su cui si basa. Tali concetti di base esistono anche nella teoria della probabilità. Sono: un evento, la probabilità di un evento, la frequenza di un evento o una probabilità statistica e una variabile casuale.
Gli eventi casuali sono quegli eventi che possono verificarsi o meno quando viene implementata una serie di condizioni associate alla possibilità che si verifichino tali eventi.
Gli eventi casuali sono indicati dalle lettere A, B, C, ... . Ogni implementazione dell'insieme considerato è chiamata test. Il numero di prove può aumentare indefinitamente. Il rapporto tra il numero m di occorrenze di un dato evento casuale A in una data serie di prove e il numero totale n di prove di questa serie è chiamato frequenza di occorrenza dell'evento A in una data serie di prove (o semplicemente frequenza dell'evento A) ed è indicato con P * (A). Quindi, P*(A)=m/n.
La frequenza di un evento casuale è sempre compresa tra zero e uno: 0 ? PAPÀ) ? uno.
Gli eventi casuali di massa hanno la proprietà della stabilità di frequenza: osservati in diverse serie di test omogenei (con un numero sufficientemente grande di test in ciascuna serie), i valori di frequenza di un dato evento casuale fluttuano da serie a serie entro limiti abbastanza ristretti.
È questa circostanza che permette di applicare metodi matematici nello studio degli eventi casuali, attribuendo a ciascun evento casuale di massa la sua probabilità, che viene assunta come quel numero (generalmente sconosciuto a priori) attorno al quale oscilla la frequenza osservata dell'evento.
La probabilità di un evento casuale A è indicata da P(A). La probabilità di un evento casuale, come la sua frequenza, è compresa tra zero e uno: 0 ? PAPÀ) ? uno .
Una variabile casuale è una variabile che caratterizza il risultato di un'operazione intrapresa e che può assumere valori diversi per operazioni diverse, non importa quanto siano omogenee le condizioni per la loro attuazione.
5. Applicazione della teoria della probabilità nel mondo moderno
Dovremmo giustamente iniziare con la fisica statistica. La scienza naturale moderna parte dall'idea che tutti i fenomeni naturali sono di natura statistica e che le leggi possono essere formulate precisamente solo in termini di teoria della probabilità. La fisica statistica è diventata la base di tutta la fisica moderna e la teoria della probabilità è diventata il suo apparato matematico. Nella fisica statistica vengono considerati problemi che descrivono fenomeni determinati dal comportamento di un gran numero di particelle. La fisica statistica è applicata con successo in vari rami della fisica. Nella fisica molecolare, con il suo aiuto, vengono spiegati i fenomeni termici; nell'elettromagnetismo, le proprietà dielettriche, conduttive e magnetiche dei corpi; in ottica, ha permesso di creare una teoria della radiazione termica, la diffusione molecolare della luce. Negli ultimi anni, la gamma di applicazioni della fisica statistica ha continuato ad espandersi.
Le rappresentazioni statistiche hanno permesso di formalizzare rapidamente lo studio matematico dei fenomeni della fisica nucleare. L'emergere della radiofisica e lo studio della trasmissione di segnali radio non solo ha aumentato il significato dei concetti statistici, ma ha anche portato al progresso della stessa scienza matematica: l'emergere della teoria dell'informazione.
Comprendere la natura delle reazioni chimiche, anche l'equilibrio dinamico è impossibile senza concetti statistici. Tutta la chimica fisica, il suo apparato matematico ei modelli che propone sono statistici.
L'elaborazione dei risultati osservativi, che sono sempre accompagnati sia da errori di osservazione casuali che da cambiamenti casuali per l'osservatore nelle condizioni dell'esperimento, ha portato i ricercatori nel 19° secolo a creare una teoria degli errori di osservazione, e questa teoria è completamente basata su concetti statistici.
L'astronomia in alcune delle sue sezioni utilizza l'apparato statistico. L'astronomia stellare, lo studio della distribuzione della materia nello spazio, lo studio dei flussi di particelle cosmiche, la distribuzione delle macchie solari (centri di attività solare) sulla superficie del sole e molto altro richiedono l'uso di rappresentazioni statistiche.
I biologi hanno notato che la diffusione delle dimensioni degli organi di esseri viventi della stessa specie si adatta perfettamente alle leggi teoriche e probabilistiche generali. Le famose leggi di Mendel, che hanno gettato le basi per la genetica moderna, richiedono un ragionamento probabilistico-statistico. Lo studio di problemi della biologia così significativi come il trasferimento dell'eccitazione, la struttura della memoria, il trasferimento di proprietà ereditarie, le questioni della distribuzione degli animali nel territorio, il rapporto tra predatore e preda richiede una buona conoscenza della teoria della probabilità e della matematica statistiche.
Le discipline umanistiche uniscono discipline molto diverse, dalla linguistica e dalla letteratura alla psicologia e all'economia. I metodi statistici sono sempre più utilizzati nella ricerca storica, specialmente nell'archeologia. L'approccio statistico viene utilizzato per decifrare le iscrizioni nella lingua dei popoli antichi. Idee che hanno guidato J. Champollion nella decifrazioneantica scrittura geroglifica, sono fondamentalmente statistici. L'arte della crittografia e della decrittazione si basa sull'uso dei modelli statistici del linguaggio. Altre aree sono legate allo studio della frequenza di parole e lettere, alla distribuzione dell'accento nelle parole, al calcolo dell'informatività della lingua di specifici scrittori e poeti. I metodi statistici vengono utilizzati per stabilire la paternità ed esporre i falsi letterari. Per esempio,paternità MA Sholokhov basato sul romanzo Quiet Flows the Donè stato stabilito con metodi probabilistico-statistici. Rivelare la frequenza dell'aspetto dei suoni di una lingua nel parlato orale e scritto ci consente di sollevare la questione della codifica ottimale delle lettere di una determinata lingua per la trasmissione di informazioni. La frequenza di utilizzo delle lettere determina il rapporto tra il numero di caratteri al botteghino della composizione. La disposizione delle lettere sul carrello di una macchina da scrivere e sulla tastiera di un computer è determinata da uno studio statistico della frequenza delle combinazioni di lettere in una determinata lingua.
Molti problemi di pedagogia e psicologia richiedono anche il coinvolgimento di un apparato probabilistico-statistico. Le questioni economiche non possono non interessare la società, poiché ad essa sono collegati tutti gli aspetti del suo sviluppo. Senza l'analisi statistica è impossibile prevedere i cambiamenti nella dimensione della popolazione, i suoi bisogni, la natura dell'occupazione, l'evoluzione della domanda di massa, e senza di essa è impossibile programmare l'attività economica.
Direttamente correlati ai metodi probabilistico-statistici sono i problemi di verifica della qualità dei prodotti. Spesso, la fabbricazione di un prodotto richiede incomparabilmente meno tempo rispetto al controllo della sua qualità. Per questo motivo non è possibile controllare la qualità di ogni prodotto. Pertanto, si deve giudicare la qualità di un lotto da una parte relativamente piccola del campione. I metodi statistici vengono utilizzati anche quando testare la qualità dei prodotti porta al loro danno o alla morte.
Le questioni relative all'agricoltura sono state da tempo risolte con l'uso estensivo di metodi statistici. Allevamento di nuove razze di animali, nuove varietà di piante, confronto dei raccolti: questo non è un elenco completo di compiti risolti con metodi statistici.
Si può affermare senza esagerare che oggi tutta la nostra vita è permeata di metodi statistici. Nella nota opera del poeta materialista Lucrezio Cara "Sulla natura delle cose" c'è una descrizione vivida e poetica del fenomeno del moto browniano delle particelle di polvere:
“Guarda qui: ogni volta che la luce del sole penetra
Nelle nostre dimore e l'oscurità attraversa con i suoi raggi,
Molti piccoli corpi nel vuoto, vedrai, tremolanti,
Correre avanti e indietro in un radioso bagliore di luce;
Come in una lotta eterna, combattono in battaglie e battaglie.
All'improvviso si precipitano in battaglie a gruppi, non conoscendo la pace.
O convergenti o separati, disperdendosi costantemente di nuovo.
Puoi capire da questo come instancabilmente
L'inizio delle cose nel vasto vuoto è inquieto.
Quindi sulle grandi cose che aiutano a comprendere
Piccole cose, che delineano il percorso per la realizzazione,
Inoltre, perché devi prestare attenzione
Al tumulto nei corpi tremolanti alla luce del sole
Da cosa ne sai che la questione è anche il movimento"
La prima occasione per uno studio sperimentale della relazione tra il moto casuale delle singole particelle e il moto regolare dei loro grandi aggregati si presentò quando, nel 1827, il botanico R. Brown scoprì un fenomeno a lui intitolato "Moto browniano". Brown ha osservato il polline dei fiori sospeso in acqua al microscopio. Con sua sorpresa, scoprì che le particelle sospese nell'acqua erano in continuo movimento casuale, che non poteva essere fermato nemmeno con il più attento sforzo per eliminare qualsiasi influenza esterna. Si scoprì presto che questa è una proprietà generale di tutte le particelle sufficientemente piccole sospese in un liquido. Il moto browniano è un classico esempio di processo casuale.
6. Probabilità e trasporto aereo
Nel capitolo precedente abbiamo considerato l'applicazione della teoria della probabilità e della statistica in vari campi della scienza. In questo capitolo vorrei fornire esempi dell'applicazione della teoria della probabilità nel trasporto aereo.
Il trasporto aereo è un concetto che include sia l'aeromobile stesso che le infrastrutture necessarie per il loro funzionamento: aeroporti, dispacciamento e servizi tecnici. Come sapete, un volo è il risultato del lavoro congiunto di molti servizi aeroportuali che utilizzano vari campi della scienza nelle loro attività, e in quasi tutti questi ambiti esiste una teoria della probabilità. Vorrei fare un esempio dal campo della navigazione, dove anche la teoria della probabilità è ampiamente utilizzata.
In connessione con lo sviluppo della navigazione satellitare, dei sistemi di atterraggio e di comunicazione, sono stati introdotti nuovi indicatori di affidabilità come l'integrità, la continuità e la disponibilità del sistema. Tutti questi indicatori di affidabilità sono quantificati in termini di probabilità.
L'integrità è il grado di confidenza nelle informazioni ricevute dal sistema radio e successivamente applicate dall'aeromobile. La probabilità di integrità è uguale al prodotto tra la probabilità di guasto e la probabilità di non rilevare un guasto e deve essere uguale o inferiore a 10 -7 per ora di volo.
La continuità del servizio è la capacità di un sistema completo di svolgere la propria funzione senza interrompere la modalità operativa durante l'esecuzione di un'operazione pianificata. Deve essere almeno 10 -4.
La disponibilità è la capacità del sistema di svolgere le proprie funzioni all'inizio dell'operazione. Onam deve essere almeno 0,99.
Conclusione
Le idee probabilistiche oggi stimolano lo sviluppo dell'intero complesso della conoscenza, dalle scienze della natura inanimata alle scienze della società. Il progresso delle moderne scienze naturali è inseparabile dall'uso e dallo sviluppo di idee e metodi probabilistici. Ai nostri tempi, è difficile nominare un'area di ricerca in cui non vengono utilizzati metodi probabilistici.
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