I. Equazioni lineari
II. Equazioni quadratiche
ascia 2 + bx +C= 0, UN≠ 0, altrimenti l'equazione diventa lineare
Le radici di un'equazione quadratica possono essere calcolate in vari modi, ad esempio:
Siamo bravi a risolvere equazioni quadratiche. Molte equazioni di grado superiore possono essere ridotte a equazioni quadratiche.
III. Equazioni ridotte a quadratiche.
cambio di variabile: a) equazione biquadratica ascia 2n+ bx n+ C = 0,UN ≠ 0,N ≥ 2
2) equazione simmetrica di grado 3 – equazione della forma
3) equazione simmetrica di grado 4 – equazione della forma
ascia 4 + bx 3 + cx 2 +bx + UN = 0, UN≠ 0, coefficienti abcba O
ascia 4 + bx 3 + cx 2 –bx + UN = 0, UN≠ 0, coefficienti abc (–b) a
Perché X= 0 non è una radice dell'equazione, è possibile dividere entrambi i membri dell'equazione per X 2, quindi otteniamo: .
Effettuando la sostituzione risolviamo l'equazione quadratica UN(T 2 – 2) + bt + C = 0
Ad esempio, risolviamo l'equazione X 4 – 2X 3 – X 2 – 2X+ 1 = 0, dividi entrambi i lati per X 2 ,
, dopo la sostituzione otteniamo l'equazione T 2 – 2T – 3 = 0
– l’equazione non ha radici.
4) Equazione della forma ( x–a)(x–b)(x–c)(x–d) = Ascia 2, coefficienti ab = cd
Per esempio, ( x+2)(x+3)(x+8)(x+12) = 4x 2. Moltiplicando 1–4 e 2–3 parentesi, otteniamo ( X 2 + 14X+ 24)(X 2 +11X + 24) = 4X 2, dividi entrambi i membri dell'equazione per X 2, otteniamo:
Abbiamo ( T+ 14)(T + 11) = 4.
5) Equazione omogenea di grado 2 - un'equazione della forma P(x,y) = 0, dove P(x,y) è un polinomio, ciascun termine del quale ha grado 2.
Risposta: -2; -0,5; 0
IV. Tutte le equazioni di cui sopra sono riconoscibili e tipiche, ma che dire delle equazioni di forma arbitraria?
Sia dato un polinomio P N ( X) = UN N X n+ UN n-1 X n-1 + ...+ UN 1x+ UN 0, dove UN n ≠ 0
Consideriamo il metodo per ridurre il grado dell'equazione.
È noto che se i coefficienti UN sono numeri interi e UN n = 1, quindi le radici intere dell'equazione P N ( X) = 0 sono tra i divisori del termine libero UN 0 . Per esempio, X 4 + 2X 3 – 2X 2 – 6X+ 5 = 0, i divisori del numero 5 sono i numeri 5; -5; 1; -1. Poi P 4 (1) = 0, cioè X= 1 è la radice dell'equazione. Abbassiamo il grado dell'equazione P 4 (X) = 0 dividendo il polinomio con “angolo” per il fattore x –1, otteniamo
P 4 (X) = (X – 1)(X 3 + 3X 2 + X – 5).
Allo stesso modo, P 3 (1) = 0, quindi P 4 (X) = (X – 1)(X – 1)(X 2 + 4X+5), cioè l'equazione P 4 (x) = 0 ha radici X 1 = X 2 = 1. Mostriamo una soluzione più breve a questa equazione (usando lo schema di Horner).
1 | 2 | –2 | –6 | 5 | |
1 | 1 | 3 | 1 | –5 | 0 |
1 | 1 | 4 | 5 | 0 |
Significa, X 1 = 1 significa X 2 = 1.
COSÌ, ( X– 1) 2 (X 2 + 4X + 5) = 0
Cosa abbiamo fatto? Abbiamo abbassato il grado dell'equazione.
V. Considera le equazioni simmetriche di grado 3 e 5.
UN) ascia 3 + bx 2 + bx + UN= 0, ovviamente X= –1 è la radice dell'equazione, quindi abbassiamo il grado dell'equazione a due.
B) ascia 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + UN= 0, ovviamente X= –1 è la radice dell'equazione, quindi abbassiamo il grado dell'equazione a due.
Ad esempio, mostriamo la soluzione dell'equazione 2 X 5 + 3X 4 – 5X 3 – 5X 2 + 3X + = 0
2 | 3 | –5 | –5 | 3 | 2 | |
–1 | 2 | 1 | –6 | 1 | 2 | 0 |
1 | 2 | 3 | –3 | –2 | 0 | |
1 | 2 | 5 | 2 | 0 |
X = –1
Noi abbiamo ( X – 1) 2 (X + 1)(2X 2 + 5X+ 2) = 0. Ciò significa che le radici dell'equazione sono: 1; 1; -1; –2; –0,5.
VI. Ecco un elenco di diverse equazioni da risolvere in classe e a casa.
Suggerisco al lettore di risolvere da solo le equazioni 1–7 e di ottenere le risposte...
Analizziamo due tipi di soluzioni ai sistemi di equazioni:
1. Risolvere il sistema utilizzando il metodo di sostituzione.
2. Risolvere il sistema mediante addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema.
Per risolvere il sistema di equazioni con il metodo di sostituzione devi seguire un semplice algoritmo:
1. Esprimere. Da qualsiasi equazione esprimiamo una variabile.
2. Sostituto. Sostituiamo il valore risultante in un'altra equazione invece della variabile espressa.
3. Risolvi l'equazione risultante con una variabile. Troviamo una soluzione al sistema.
Risolvere sistema mediante il metodo di addizione (sottrazione) termine per termine bisogno di:
1. Seleziona una variabile per la quale creeremo coefficienti identici.
2. Aggiungiamo o sottraiamo equazioni, ottenendo un'equazione con una variabile.
3. Risolvi l'equazione lineare risultante. Troviamo una soluzione al sistema.
La soluzione del sistema sono i punti di intersezione dei grafici delle funzioni.
Consideriamo in dettaglio la soluzione dei sistemi utilizzando esempi.
Esempio 1:
Risolviamo con il metodo di sostituzione
Risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione2x+5y=1 (1 equazione)
x-10y=3 (2a equazione)
1. Esprimere
Si può vedere che nella seconda equazione c'è una variabile x con un coefficiente pari a 1, il che significa che è più semplice esprimere la variabile x dalla seconda equazione.
x=3+10y
2.Dopo averlo espresso, sostituiamo 3+10y nella prima equazione al posto della variabile x.
2(3+10a)+5a=1
3. Risolvi l'equazione risultante con una variabile.
2(3+10y)+5y=1 (aprire le parentesi)
6+20a+5a=1
25 anni=1-6
25a=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
La soluzione del sistema di equazioni sono i punti di intersezione dei grafici, quindi dobbiamo trovare xey, perché il punto di intersezione è formato da xey.Troviamo x, nel primo punto in cui l'abbiamo espresso sostituiamo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
È consuetudine scrivere i punti, in primo luogo scriviamo la variabile x e in secondo luogo la variabile y.
Risposta: (1; -0,2)
Esempio n.2:
Risolviamo utilizzando il metodo di addizione (sottrazione) termine per termine.
Risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo dell'addizione3x-2y=1 (1 equazione)
2x-3y=-10 (2a equazione)
1. Scegliamo una variabile, diciamo che scegliamo x. Nella prima equazione, la variabile x ha un coefficiente di 3, nella seconda - 2. Dobbiamo rendere uguali i coefficienti, per questo abbiamo il diritto di moltiplicare le equazioni o dividerle per qualsiasi numero. Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 3 e otteniamo un coefficiente totale di 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Sottrai il secondo dalla prima equazione per eliminare la variabile x. Risolvi l'equazione lineare.
__6x-4y=2
5a=32 | :5
y=6,4
3. Trova x. Sostituiamo la y trovata in una qualsiasi delle equazioni, diciamo nella prima equazione.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Il punto di intersezione sarà x=4.6; y=6,4
Risposta: (4.6; 6.4)
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Ricordiamo le proprietà fondamentali dei gradi. Sia a > 0, b > 0, n, m un numero reale qualsiasi. Poi
1) a n a m = a n+m
2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)
3) (a n) m = a nm
4) (ab) n = a n b n
5) \(\sinistra(\frac(a)(b) \destra)^n = \frac(a^n)(b^n) \)
7) a n > 1, se a > 1, n > 0
8) un n. 1, n
9) a n > a m se 0
In pratica vengono spesso utilizzate funzioni della forma y = ax, dove a è un dato numero positivo, x è una variabile. Tali funzioni sono chiamate indicativo. Questo nome è spiegato dal fatto che l'argomento della funzione esponenziale è l'esponente e la base dell'esponente è il numero dato.
Definizione. Una funzione esponenziale è una funzione della forma y = a x, dove a è un dato numero, a > 0, \(a \neq 1\)
La funzione esponenziale ha le seguenti proprietà
1) Il dominio di definizione della funzione esponenziale è l'insieme di tutti i numeri reali.
Questa proprietà deriva dal fatto che la potenza a x dove a > 0 è definita per tutti i numeri reali x.
2) L'insieme dei valori della funzione esponenziale è l'insieme di tutti i numeri positivi.
Per verificarlo, è necessario dimostrare che l'equazione a x = b, dove a > 0, \(a \neq 1\), non ha radici se \(b \leq 0\), e ha radice per ogni b > 0 .
3) La funzione esponenziale y = a x è crescente sull'insieme di tutti i numeri reali se a > 1, e decrescente se 0. Ciò segue dalle proprietà di grado (8) e (9)
Costruiamo grafici delle funzioni esponenziali y = a x per a > 0 e per 0. Utilizzando le proprietà considerate, notiamo che il grafico della funzione y = a x per a > 0 passa per il punto (0; 1) e si trova sopra l'asse del bue.
Se x0.
Se x > 0 e |x| aumenta, il grafico sale rapidamente.
Grafico della funzione y = a x a 0 Se x > 0 e aumenta, allora il grafico si avvicina rapidamente all'asse Ox (senza attraversarlo). Pertanto, l'asse del bue è l'asintoto orizzontale del grafico.
Se x
Equazioni esponenziali
Consideriamo diversi esempi di equazioni esponenziali, ad es. equazioni in cui l'incognita è contenuta nell'esponente. Risolvere equazioni esponenziali spesso si riduce a risolvere l'equazione a x = a b dove a > 0, \(a \neq 1\), x è un'incognita. Questa equazione si risolve utilizzando la proprietà della potenza: potenze con la stessa base a > 0, \(a \neq 1\) sono uguali se e solo se i loro esponenti sono uguali.
Risolvi l'equazione 2 3x 3 x = 576
Poiché 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, l'equazione può essere scritta come 8 x 3 x = 24 2, oppure come 24 x = 24 2, da cui x = 2.
Rispondi x = 2
Risolvi l'equazione 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Prendendo il fattore comune 3 x - 2 tra parentesi a sinistra, otteniamo 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
da cui 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Rispondi x = 2
Risolvi l'equazione 3 x = 7 x
Poiché \(7^x \neq 0 \) , l'equazione può essere scritta nella forma \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), da cui \(\left(\frac(3 )( 7) \right) ^x = 1 \), x = 0
Rispondi x = 0
Risolvi l'equazione 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Sostituendo 3 x = t, questa equazione si riduce all'equazione quadratica t 2 - 4t - 45 = 0. Risolvendo questa equazione, troviamo le sue radici: t 1 = 9, t 2 = -5, da cui 3 x = 9, 3 x = -5 .
L'equazione 3 x = 9 ha radice x = 2 e l'equazione 3 x = -5 non ha radici, poiché la funzione esponenziale non può assumere valori negativi.
Rispondi x = 2
Risolvi l'equazione 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Scriviamo l'equazione nella forma
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, da cui
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x-2 = 0
Rispondi x = 2
Risolvi l'equazione 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Poiché 3 > 0, \(3 \neq 1\), allora l'equazione originale è equivalente all'equazione |x-1| = |x+3|
Elevando al quadrato questa equazione si ottiene il suo corollario (x - 1) 2 = (x + 3) 2, da cui
x2 - 2x + 1 = x2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Il controllo mostra che x = -1 è la radice dell'equazione originale.
Risposta x = -1
Le equazioni quadratiche vengono studiate in terza media, quindi qui non c'è nulla di complicato. La capacità di risolverli è assolutamente necessaria.
Un'equazione quadratica è un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove i coefficienti a, b e c sono numeri arbitrari e a ≠ 0.
Prima di studiare metodi di soluzione specifici, si noti che tutte le equazioni quadratiche possono essere divise in tre classi:
- Non hanno radici;
- Avere esattamente una radice;
- Hanno due radici diverse.
Questa è una differenza importante tra le equazioni quadratiche e quelle lineari, dove la radice esiste sempre ed è unica. Come determinare quante radici ha un'equazione? C'è una cosa meravigliosa in questo - discriminante.
Discriminante
Sia data l'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0. Allora il discriminante è semplicemente il numero D = b 2 − 4ac.
Devi conoscere questa formula a memoria. Da dove viene non è importante adesso. Un'altra cosa è importante: dal segno del discriminante puoi determinare quante radici ha un'equazione quadratica. Vale a dire:
- Se d< 0, корней нет;
- Se D = 0, esiste esattamente una radice;
- Se D > 0 ci saranno due radici.
Nota: il discriminante indica il numero di radici e non i loro segni, come per qualche motivo molte persone credono. Dai un'occhiata agli esempi e capirai tutto da solo:
Compito. Quante radici hanno le equazioni quadratiche:
- x2 − 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x2 − 6x + 9 = 0.
Scriviamo i coefficienti della prima equazione e troviamo il discriminante:
un = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Quindi il discriminante è positivo, quindi l'equazione ha due radici diverse. Analizziamo la seconda equazione in modo simile:
un = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
Il discriminante è negativo, non ci sono radici. L'ultima equazione rimasta è:
un = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Il discriminante è zero, la radice sarà uno.
Si prega di notare che i coefficienti sono stati scritti per ciascuna equazione. Sì, è lungo, sì, è noioso, ma non confonderai le probabilità e non commetterai errori stupidi. Scegli tu stesso: velocità o qualità.
A proposito, se ci prendi la mano, dopo un po' non avrai più bisogno di annotare tutti i coefficienti. Eseguirai tali operazioni nella tua testa. La maggior parte delle persone inizia a farlo da qualche parte dopo 50-70 equazioni risolte, in generale, non così tanto.
Radici di un'equazione quadratica
Passiamo ora alla soluzione stessa. Se il discriminante D > 0 le radici si possono trovare utilizzando le formule:
Formula base per le radici di un'equazione quadratica
Quando D = 0, puoi utilizzare una qualsiasi di queste formule: otterrai lo stesso numero, che sarà la risposta. Infine, se il d< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Prima equazione:
x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ l'equazione ha due radici. Troviamoli:
Seconda equazione:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ l'equazione ha ancora due radici. Troviamoli
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(allinea)\]
Infine, la terza equazione:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ l'equazione ha una radice. È possibile utilizzare qualsiasi formula. Ad esempio, il primo:
Come puoi vedere dagli esempi, tutto è molto semplice. Se conosci le formule e sai contare, non ci saranno problemi. Molto spesso si verificano errori quando si sostituiscono coefficienti negativi nella formula. Anche in questo caso, la tecnica sopra descritta aiuterà: guarda la formula letteralmente, annota ogni passaggio e molto presto ti libererai degli errori.
Equazioni quadratiche incomplete
Accade che un'equazione quadratica sia leggermente diversa da quanto indicato nella definizione. Per esempio:
- x2 + 9x = 0;
- x2-16 = 0.
È facile notare che a queste equazioni manca uno dei termini. Tali equazioni quadratiche sono ancora più facili da risolvere di quelle standard: non richiedono nemmeno il calcolo del discriminante. Quindi, introduciamo un nuovo concetto:
L'equazione ax 2 + bx + c = 0 è chiamata equazione quadratica incompleta se b = 0 o c = 0, cioè il coefficiente della variabile x o dell'elemento libero è uguale a zero.
Naturalmente, un caso molto difficile è possibile quando entrambi questi coefficienti sono uguali a zero: b = c = 0. In questo caso, l'equazione assume la forma ax 2 = 0. Ovviamente, tale equazione ha un'unica radice: x = 0.
Consideriamo i restanti casi. Sia b = 0, quindi otteniamo un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0. Trasformiamola un po':
Poiché la radice quadrata aritmetica esiste solo di un numero non negativo, l’ultima uguaglianza ha senso solo per (−c /a) ≥ 0. Conclusione:
- Se in un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0 la disuguaglianza (−c /a) ≥ 0 è soddisfatta, ci saranno due radici. La formula è quella riportata sopra;
- Se (−c /a)< 0, корней нет.
Come puoi vedere, non era richiesto un discriminante: non ci sono calcoli complessi nelle equazioni quadratiche incomplete. In realtà non è nemmeno necessario ricordare la disuguaglianza (−c /a) ≥ 0. Basta esprimere il valore x 2 e vedere cosa c'è dall'altra parte del segno di uguale. Se c'è un numero positivo, ci saranno due radici. Se è negativo, non ci saranno radici.
Consideriamo ora le equazioni della forma ax 2 + bx = 0, in cui l'elemento libero è uguale a zero. Qui tutto è semplice: ci saranno sempre due radici. È sufficiente fattorizzare il polinomio:
Togliendo il fattore comune tra parentesiIl prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero. Da qui provengono le radici. In conclusione, diamo un’occhiata ad alcune di queste equazioni:
Compito. Risolvere equazioni quadratiche:
- x2-7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Non ci sono radici, perché un quadrato non può essere uguale a un numero negativo.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.