Изложен метод решения пределов, используя разложение функций в ряд Тейлора. Приводятся применяемые в этом методе свойства о малого и разложения элементарных функций в ряд Маклорена. Подробно разобраны примеры решения пределов, содержащих неопределенности ∞ - ∞, один в степени бесконечность и 0/0.
СодержаниеМетод решения
Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов является разложение функций в степенной ряд Тейлора. Применение этого метода состоит из следующих шагов.
1)
Приводим неопределенность к виду 0/0
при переменной x
,
стремящейся к нулю. Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной .
2)
Раскладываем числитель и знаменатель в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0
.
При этом выполняем разложение до такой степени x n
,
которая необходима для устранения неопределенности. Остальные члены включаем в o(x n )
.
Этот метод применим, если после выполнения пункта 1), функции в числителе и знаменателе можно разложить в степенной ряд.
Выполнять разложение сложных функций и произведения функций удобно по следующей схеме. А)
Задаемся показателем степени n
,
до которого мы будем проводить разложение.
Б)
Применяем приведенные ниже формулы разложения функций в ряд Тейлора, сохраняя в них члены до включительно, и отбрасывая члены с при ,
или заменяя их на .
В)
В сложных функциях делаем замены переменных так, чтобы аргумент каждой ее части стремился к нулю при .
Например,
.
Здесь при .
Тогда можно использовать разложение функции в окрестности точки .
Примечание. Разложение функции в ряд Тейлора, в окрестности точки , называется рядом Маклорена . Поэтому для применяемых в наших целях рядов уместны оба названия.
Применяемые свойства о малого
Определение и доказательство свойств о малого приводится на странице: «О большое и о малое. Сравнение функций». Здесь мы приводим свойства, используемые при решении пределов разложением в ряд Маклорена (то есть при ).
Далее m
и n
- натуральные числа, .
;
;
,
если ;
;
;
;
,
где ;
,
где c ≠ 0
- постоянная;
.
Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию:
,
где .
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
;
;
,
где ;
;
;
,
где - числа Бернулли: ,
;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
;
.
Примеры
Пример 1
Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора.
.
Это неопределенность вида бесконечность минус бесконечность
. Приводим ее к неопределенности вида 0/0
.
Для этого выполняем преобразования.
.
Здесь мы учли, что номер элемента последовательности n
может принимать только положительные значения. Поэтому .
Делаем замену переменной .
При .
Будем искать предел считая, что x
- действительное число. Если предел существует, то он существует и для любой последовательности ,
сходящейся к нулю. В том числе и для последовательности .
.
Раскладываем функцию в числителе в ряд Тейлора. Применяем формулу:
.
Оставляем только линейный член.
.
.
Здесь мы учли, что поскольку существует двусторонний предел ,
то существуют равные ему односторонние пределы. Поэтому .
Пример 2
Показать, что значение второго замечательного предела можно получить, используя разложение в ряд Тейлора.
Делаем замену переменной .
Тогда .
При .
Подставляем.
.
Для вычисления предела можно считать, что значения переменной t
принадлежат любой, наперед выбранной, проколотой окрестности точки .
Мы полагаем, что .
Используем то, что экспонента и натуральный логарифм являются обратными функциями по отношению друг к другу. Тогда
.
Вычисляем предел в показателе, используя следующее разложение в ряд Тейлора:
.
.
Поскольку экспонента является непрерывной функцией для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.
Пример 3
Вычислить предел, используя разложение в ряд Тейлора.
.
Это неопределенность вида 0/0
.
Используем следующие разложения функций в окрестности точки :
;
;
.
Раскладываем с точностью до квадратичных членов:
;
.
Делим числитель и знаменатель на и находим предел:
.
Пример 4
Решить предел с помощью ряда Тейлора.
.
Легко видеть, что это неопределенность вида 0/0
.
Раскрываем ее, применяя разложения функций в ряд Тейлора. Используем приведенное выше :
(П4.1)
.
В разложении экспоненты, заменим x
на -x
:
(П4.2)
.
Далее, - сложная функция. Сделаем замену переменной .
При .
Поэтому мы можем используем разложение натурального логарифма в окрестности точки .
Используем приведенное выше разложение, в котором переименуем переменную x
в t
:
(П4.3)
.
Заметим, что если бы у нас была функция ,
то при .
Поэтому подставить в предыдущее разложение нельзя, поскольку оно применимо в окрестности точки .
В этом случае нам потребовалось бы выполнить следующее преобразование:
.
Тогда при и мы могли бы применить разложение (П4.3).
Попробуем решить предел, выполняя разложение до первой степени переменной x
:
.
То есть оставляем только постоянные члены, не зависящие от x
:
,
и линейные .
Остальные будем отбрасывать. Точнее переносить в .
;
;
.
Поскольку ,
то в разложении логарифма мы отбрасываем члены, начиная со степени 2. Применяя, приведенные выше свойства о малого имеем:
.
Подставляем в предел:
.
Мы снова получили неопределенность вида 0/0
.
Значит разложения до степени не достаточно.
Если мы выполним разложение до степени ,
то опять получим неопределенность:
.
Выполним разложение до степени .
То есть будем оставлять только постоянные члены и члены с множителями .
Остальные включаем в .
;
;
;
.
Далее замечаем, что .
Поэтому в разложении логарифма нужно отбросить члены, начиная со степени ,
включив их в .
Используем разложение (П4.3), заменив t
на :
.
Подставляем в исходную функцию.
.
Находим предел.
.
Пример 5
Найти предел с помощью ряда Тейлора.
.
Будем проводить разложение числителя и знаменателя в ряд Маклорена до четвертой степени включительно.
Начнем со знаменателя. Используем и .
;
;
.
Теперь переходим к числителю. При .
Поэтому сделать подстановку и применить разложение для нельзя, поскольку это разложение применимо при ,
а у нас .
Заметим, что .
Поэтому выполним преобразование.
.
Теперь можно сделать подстановку ,
поскольку при .
Разложим функцию и ее степени в ряд Тейлора в окрестности точки .
Применяем .
;
;
;
;
;
;
Далее заметим, что .
Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до ,
нам нужно разложить с точностью до .
Раскладываем первый логарифм.
;
;
;
.
Разложим второй логарифм. Приводим его к виду ,
где при .
,
где .
Разложим z
в ряд Тейлора в окрестности точки с точностью до .
Применим :
.
Заменим x
на :
.
Тогда
;
;
Заметим, что .
Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до ,
нам нужно разложить с точностью до .
Раскладываем с точностью до и учитываем, что .
;
.
Находим разложение числителя.
;
;
.
Подставляем разложение числителя и знаменателя и находим предел.
;
.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а , производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а .
Если для некоторого значения х r n ®0 при n ®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х , если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.
При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :
Пример 1 f(x)= 2 x .
Решение . Найдем значения функции и ее производных при х =0
f(x) = 2 x , f(0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2 x ln2, f¢(0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2 x ln 2 2, f¢¢(0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) (0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:
Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥<x <+¥.
Пример 2 х +4) для функции f(x)= e x .
Решение . Находим производные функции e x и их значения в точке х =-4.
f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;
f¢(x) = е x , f¢(-4) = е -4 ;
f¢¢(x) = е x , f¢¢(-4) = е -4 ;
f (n) (x) = е x , f (n) ( -4) = е -4 .
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:
Данное разложение также справедливо для -¥<x <+¥.
Пример 3 . Разложить функцию f(x) =lnx в ряд по степеням (х- 1),
(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х =1).
Решение . Находим производные данной функции.
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:
С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при
½х- 1½<1. Действительно,
Ряд сходится, если ½х- 1½<1, т.е. при 0<x <2. При х =2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х =0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].
Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х =0) для некоторых элементарных функций:
(2) ,
(3) ,
(последнее разложение называют биномиальным рядом)
Пример 4 . Разложить в степенной ряд функцию
Решение . В разложении (1) заменяем х на –х 2 , получаем:
Пример 5 . Разложить в ряд Маклорена функцию
Решение . Имеем
Пользуясь формулой (4), можем записать:
подставляя вместо х в формулу –х , получим:
Отсюда находим:
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
Этот ряд сходится в интервале
(-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.
Замечание .
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а ). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а ) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t =х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.
Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.
Пример 6 . Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.
Решение . Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х =3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):
Полученный ряд сходится при или –3<x- 3<3, 0<x < 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Пример 7 . Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции .
Решение .
Ряд сходится при , или -2 < x £ 5.
16.1. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и
Маклорена
Покажем,
что если произвольная функция
задана на множестве
, в окрестности точки
имеет множество производных и является
суммой степенного ряда:
то можно найти коэффициенты этого ряда.
Подставим
в степенной ряд
.
Тогда
.
Найдем
первую производную функции
:
При
:
.
Для второй производной получим:
При
:
.
Продолжая
эту процедуру n
раз получим:
.
Таким образом, получили степенной ряд вида:
,
который
называется рядом Тейлора
для функции
в окресности точки
.
Частным
случаем ряда Тейлора является ряд
Маклорена
при
:
Остаток
ряда Тейлора (Маклорена) получается
отбрасыванием от основных рядов n
первых членов и обозначается как
.
Тогда функцию
можно записать как сумму n
первых членов ряда
и остатка
:,
.
Остаток
обычно
выражают разными формулами.
Одна из них в форме Лагранжа:
,
где
.
.
Заметим,
что на практике чаще используется
ряд Маклорена. Таким
образом, для того, чтобы записать функцию
в виде суммы степенного ряда
необходимо:
1) найти коэффициенты ряда Маклорена (Тейлора);
2) найти область сходимости полученного степенного ряда;
3)
доказать, что данный ряд сходится
к функции
.
Теорема
1
(необходимое и достаточное условие
сходимости ряда Маклорена). Пусть радиус
сходимости ряда
.
Для того, чтобы этот ряд сходился
в интервале
к функции
,
необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось условие:
в указанном интервале.
Теорема
2.
Если производные любого порядка
функции
в некотором промежутке
ограниченны по абсолютной величине
одним и тем же числом M
,
то есть
,
то в этом промежутке функцию
можно разложить в ряд
Маклорена.
Пример
1
.
Разложить в
ряд Тейлора в окрестности
точки
функцию
.
Решение.
.
, ;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Область сходимости
.
Пример
2
.
Разложить
функцию
в ряд Тейлора в окрестности
точки
.
Решение:
Находим
значение функции и ее производных при
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Подставляем эти значения в ряд. Получаем:
или
.
Найдем область сходимости этого ряда. По признаку Даламбера ряд сходится, если
.
Следовательно,
при любом
этот предел менее 1, а
потому область сходимости ряда будет:
.
Рассмотрим несколько примеров разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций. Напомним, что ряд Маклорена:
.
сходится
на интервале
к функции
.
Отметим, что для разложения функции в ряд необходимо:
а) найти коэффициенты ряда Маклорена для данной функции;
б) вычислить радиус сходимости для полученного ряда;
в)
доказать, что полученный ряд сходится
к функции
.
Пример
3.
Рассмотрим функцию
.
Решение.
Вычислим
значение функции и ее производных при
.
Тогда числовые коэффициенты ряда имеют вид:
для
любого n.
Подставим найденные
коэффициенты в ряд Маклорена и получим:
Найдем радиус сходимости полученного ряда, а именно:
.
Следовательно,
ряд сходится на
интервале
.
Этот
ряд сходится к функции
при любых значениях
,
потому что на любом
промежутке
функция
и ее производные по
абсолютной величине
ограничены числом
.
Пример
4
.
Рассмотрим
функцию
.
Решение .
:
Нетрудно
заметить, что производные четного
порядка
,
а производные нечетного
порядка
.
Подставим найденные коэффициенты в ряд
Маклорена и получим
разложение:
Найдем интервал сходимости данного ряда. По признаку Даламбера:
для
любого
.
Следовательно, ряд сходится
на интервале
.
Этот
ряд сходится к функции
,
потому что все ее производные
ограничены единицей.
Пример
5
.
.
Решение.
Найдем
значение функции и ее производных при
:
Таким
образом, коэффициенты данного ряда:
и
,
следовательно:
Аналогично
с предыдущим рядом область сходимости
.
Ряд сходится к функции
,
потому что все ее
производные ограничены единицей.
Обратим
внимание, что функция
нечетная и разложение
в ряд по нечетным
степеням, функция
– четная и разложение в ряд по четным
степеням.
Пример
6
.
Биномиальный
ряд:
.
Решение .
Найдем
значение функции и ее производных при
:
Отсюда видно, что:
Подставим эти значения коэффициентов в ряд Маклорена и получим разложение данной функции в степенной ряд:
Найдем радиус сходимости этого ряда:
Следовательно,
ряд сходится на интервале
.
В предельных точках при
и
ряд может сходится или нет в зависимости
от показателя степени
.
Исследованный
ряд сходится на интервале
к функции
,
то есть сумма ряда
при
.
Пример
7
.
Разложим в
ряд Маклорена функцию
.
Решение.
Для
разложения в ряд этой
функции используем биномиальный ряд
при
.
Получим:
На основе свойства степенных рядов (степенной ряд можно интегрировать в области его сходимости) найдем интеграл от левой и правой частей данного ряда:
Найдем
область сходимости данного ряда:
,
то
есть областью сходимости данного ряда
является интервал
.
Определим сходимость ряда на концах
интервала. При
.
Этот ряд является гармоничным рядом,
то есть расходится. При
получим числовой ряд с общим членом
.
Ряд
по признаку Лейбница сходится. Таким
образом, областью сходимости данного
ряда является промежуток
.
16.2. Применение степенных рядов степеней в приближенных вычислениях
В приближенных вычислениях степенные ряды играют исключительно большую роль. С их помощью составлены таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов, таблицы значений других функций, которые используют в разных областях знаний, например в теории вероятностей и математической статистике. Кроме того, разложение функций в степенной ряд полезно для их теоретического исследования. Главным вопросом при использовании степенных рядов в приближенных вычислениях является вопрос оценки погрешности при замене суммы ряда суммой его первых n членов.
Рассмотрим два случая:
функция разложена в знакочередующийся ряд;
функция разложена в знакопостоянный ряд.
Вычисление с помощью знакочередующихся рядов
Пусть
функция
разложена в знакочередующийся степенной
ряд. Тогда при вычислении этой функции
для конкретного значения
получаем числовой ряд, к которому можно
применить признак Лейбница. В соответствии
с этим признаком, если сумму ряда заменить
суммой его первых n
членов, то
абсолютная погрешность не превышает
первого члена остатка этого ряда, то
есть:
.
Пример
8
.
Вычислить
с точностью до 0,0001.
Решение .
Будем
использовать ряд Маклорена для
,
подставив значение угла в радианах:
Если сравнить первый и второй члены ряда с заданной точностью, то: .
Третий член разложения:
меньше
заданной точности вычисления.
Следовательно, для вычисления
достаточно оставить два члена ряда, то
есть
.
Таким
образом
.
Пример
9
.
Вычислить
с точностью 0,001.
Решение .
Будем
использовать формулу биномиального
ряда. Для этого запишем
в виде:
.
В
этом выражении
,
Сравним
каждый из членов ряда с точностью,
которая задана. Видно, что
.
Следовательно, для вычисления
достаточно оставить три члена ряда.
или
.
Вычисление с помощью знакоположительных рядов
Пример 10 . Вычислить число с точностью до 0,001.
Решение .
В
ряд для функцїї
подставим
.
Получим:
Оценим погрешность, которая возникает при замене суммы ряда суммой первых членов. Запишем очевидное неравенство:
то
есть 2<<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
По
условию задачи нужно найти n
такое, чтобы выполнялось неравенство:
или
.
Легко
проверить, что при n
= 6:
.
Следовательно,
.
Пример
11
.
Вычислить
с точностью 0,0001.
Решение .
Заметим,
что для вычисления логарифмов можно
было бы применить ряд для функции
,
но этот ряд очень медленно сходится и
для достижения заданной точности нужно
было бы взять 9999 членов! Поэтому для
вычисления логарифмов, как правило,
используется ряд для функции
,
который сходится на интервале
.
Вычислим
с помощью этого ряда. Пусть
,
тогда
.
Следовательно,
,
Для
того, чтобы вычислить
с заданной точностью, возьмем сумму
первых четырех членов:
.
Остаток
ряда
отбросим. Оценим погрешность. Очевидно,
что
или
.
Таким
образом, в ряду, который был использован
для вычисления, достаточно было взять
только четыре первые
слагаемые вместо 9999 в ряду для функции
.
Вопросы для самодиагностики
1. Что такое ряд Тейлора?
2. какой вид имеел ряд Маклорена?
3. Сформулировать теорему о разложении функции в ряд Тейлора.
4. Записать разложение в ряд Маклорена основных функций.
5. Указать области сходимости рассмотренных рядов.
6. Как выполнить оценку погрешности в приближенных вычислениях с помощью степенных рядов?
Изучающим высшую математику должно быть известно, что суммой некоего степенного ряда, принадлежащего интервалу сходимости данного нам ряда, оказывается непрерывное и безграничное число раз дифференцированная функция. Возникает вопрос: можно ли утверждать, что заданная произвольная функция f(х) - это сумма некоего степенного ряда? То есть при каких условиях ф-ия f(х) может быть изображена степенным рядом? Важность такого вопроса состоит в том, что существует возможность приближенно заменить ф-ию f(х) суммой нескольких первых членов степенного ряда, то есть многочленом. Такая замена функции довольно простым выражением - многочленом - является удобной и при решении некоторых задач а именно: при решении интегралов, при вычислении и т. д.
Доказано, что для некой ф-ии f(х), в которой можно вычислить производные до (n+1)-го порядка, включая последний, в окрестности (α - R; x 0 + R) некоторой точки х = α справедливой является формула:
Данная формула носит имя известного ученого Брука Тейлора. Ряд, который получают из предыдущего, называется ряд Маклорена:
Правило, которое дает возможность произвести разложение в ряд Маклорена:
- Определить производные первого, второго, третьего... порядков.
- Высчитать, чему равны производные в х=0.
- Записать ряд Маклорена для данной функции, после чего определить интервал его сходимости.
- Определить интервал (-R;R), где остаточная часть формулы Маклорена
R n (х) -> 0 при n -> бесконечности. В случае если таковой существует, в нем функция f(х) должна совпадать с суммой ряда Маклорена.
Рассмотрим теперь ряды Маклорена для отдельных функций.
1. Итак, первой будет f(x) = е х. Разумеется, что по своим особенностям такая ф-ия имеет производные самых разных порядков, причем f (k) (х) = e x , где k равняется всем Подставим х=0. Получим f (k) (0) = e 0 =1, k=1,2... Исходя из вышесказанного, ряд е х будет выглядеть следующим образом:
2. Ряд Маклорена для функции f(х) = sin х. Сразу же уточним, что ф-ия для всех неизвестных будет иметь производные, к тому же f " (х) = cos х = sin(х+п/2), f "" (х) = -sin х = sin(х+2*п/2)..., f (k) (х) = sin(х+k*п/2), где k равняется любому натуральному числу. То есть, произведя несложные расчеты, можем прийти к выводу, что ряд для f(х) = sin х будет такого вида:
3. Теперь попробуем рассмотреть ф-ию f(х) = cos х. Она для всех неизвестных имеет производные произвольного порядка, причем |f (k) (x)| = |cos(х+k*п/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
Итак, мы перечислили важнейшие функции, которые могут быть разложены в ряд Маклорена, однако их дополняют ряды Тейлора для некоторых функций. Сейчас мы перечислим и их. Стоит также отметить, что ряды Тейлора и Маклорена являются важной частью практикума решения рядов в высшей математике. Итак, ряды Тейлора.
1. Первым будет ряд для ф-ии f(х) = ln(1+x). Как и в предыдущих примерах, для данной нам f(х) = ln(1+х) можно сложить ряд, используя общий вид ряда Маклорена. однако для этой функции ряд Маклорена можно получить значительно проще. Проинтегрировав некий геометрический ряд, мы получим ряд для f(х) = ln(1+х) такого образца:
2. И вторым, который будет заключительным в нашей статье, будет ряд для f(х) = arctg х. Для х, принадлежащего промежутку [-1;1] справедливым является разложение:
На этом все. В данной статье были рассмотрены наиболее употребляемые ряды Тейлора и Маклорена в высшей математике, в частности, в экономических и технических вузах.
В теории функциональных рядов центральное место занимает раздел, посвященный разложению функции в ряд.
Таким образом, ставится задача: по заданной функции требуется найти такой степенной ряд
который на некотором
интервале сходился и его сумма была
равна
,
т.е.
= ..
Эта задача называется задачей разложения функции в степенной ряд.
Необходимым условием разложимости функции в степенной ряд является её дифференцируемость бесконечное число раз – это следует из свойств сходящихся степенных рядов. Такое условие выполняется, как правило, для элементарных функций в их области определения.
Итак, предположим,
что функция
имеет производные любого порядка. Можно
ли её разложить в степенной ряд, если
можно, то как найти этот ряд? Проще
решается вторая часть задачи, с неё и
начнем.
Допустим, что
функцию
можно представить в виде суммы степенного
ряда, сходящегося в интервале, содержащем
точкух
0 :
= .. (*)
где а 0 ,а 1 ,а 2 ,...,а п ,... – неопределенные (пока) коэффициенты.
Положим в равенстве (*) значение х = х 0 , тогда получим
.
Продифференцируем степенной ряд (*) почленно
= ..
и полагая здесь х = х 0 , получим
.
При следующем дифференцировании получим ряд
= ..
полагая х
= х
0 ,
получим
,
откуда
.
После п -кратного дифференцирования получим
Полагая в последнем
равенстве х
= х
0 ,
получим
,
откуда
Итак, коэффициенты найдены
,
,
,
…,
,….,
подставляя которые в ряд (*), получим
Полученный
ряд называется рядом
Тейлора
для функции
.
Таким образом, мы установили, что если функцию можно разложить в степенной ряд по степеням (х - х 0 ), то это разложение единственно и полученный ряд обязательно является рядом Тейлора.
Заметим, что ряд Тейлора можно получить для любой функции, имеющей производные любого порядка в точке х = х 0 . Но это еще не означает, что между функцией и полученным рядом можно поставить знак равенства, т.е. что сумма ряда равна исходной функции. Во-первых, такое равенство может иметь смысл только в области сходимости, а полученный для функции ряд Тейлора может и расходиться, во-вторых, если ряд Тейлора будет сходиться, то его сумма может не совпадать с исходной функцией.
3.2. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора
Сформулируем утверждение, с помощью которого будет решена поставленная задача.
Если функция
в некоторой
окрестности точки х
0
имеет производные до (n
+
1)-го
порядка включительно, то в этой окрестности
имеет место
формула
Тейлора
где R n (х )-остаточный член формулы Тейлора – имеет вид (форма Лагранжа)
где точка ξ лежит между х и х 0 .
Отметим, что между рядом Тейлора и формулой Тейлора имеется различие: формула Тейлора представляет собой конечную сумму, т.е. п - фиксированное число.
Напомним, что сумма ряда S (x ) может быть определена как предел функциональной последовательности частичных сумм S п (x ) на некотором промежутке Х :
.
Согласно этому, разложить функцию в ряд Тейлора означает найти такой ряд, что для любого х X
Запишем формулу Тейлора в виде, где
Заметим, что
определяет ту
ошибку, которую мы получаем, заменяй
функцию f
(x
)
многочленом
S
n
(x
).
Если
,
то
,т.е. функция
разлагается в ряд
Тейлора. Инаоборот,
если
,
то
.
Тем самыммы доказали критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
Для того, чтобы
в некотором промежутке функция
f
(х)
разлагалась в ряд Тейлора, необходимо
и достаточно, чтобы на этом промежутке
,
где
R
n
(x
)
- остаточный член ряда Тейлора.
С помощью сформулированного критерия можно получить достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
Если в некоторой окрестности точки х 0 абсолютные величины всех производных функции ограничены одним и тем же числом М ≥ 0, т.е.
, т о в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора.
Из вышеизложенного следует алгоритм разложения функции f (x ) в ряд Тейлора в окрестности точки х 0 :
1. Находим производные функции f (x ):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…
2. Вычисляем значение функции и значения её производных в точке х 0
f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…
3. Формально записываем ряд Тейлора и находим область сходимости полученного степенного ряда.
4. Проверяем
выполнение достаточных условий, т.е.
устанавливаем, для каких х
из области
сходимости, остаточный член R
n
(x
)
стремится
к нулю при
или
.
Разложение функций в ряд Тейлора по данному алгоритму называют разложением функции в ряд Тейлора по определению или непосредственным разложением.