Этот закон, называемый законом всемирного тяготения, в математической форме записывается следующим образом:

где m 1 и m 2 – массы тел, R – расстояние между ними (см. рис. 11а), а G - гравитационная постоянная, равная 6,67.10-11 Н.м 2 /кг2.

Закон всемирного тяготения был впервые сформулирован И. Ньютоном, когда он пытался объяснить один из законов И. Кеплера, утверждающий, что для всех планет отношение куба их расстояния R до Солнца к квадрату периода T обращения вокруг него одинаково, т.е.

Выведем закон всемирного тяготения так, как сделал это Ньютон, считая, что планеты движутся по окружностям. Тогда по второму закону Ньютона на планету массой mПл, движущуюся по окружности радиуса R со скоростью v и центростремительным ускорением v2/R должна действовать сила F, направленная к Солнцу (см. рис. 11б) и равная:

Скорость v планеты можно выразить через радиус R орбиты и период обращения T:

Подставляя (11.4) в (11.3) получаем следующее выражение для F:

Из закона Кеплера (11.2) следует, что T2 = const.R3 . Следовательно, (11.5) можно преобразовать в:

Таким образом, Солнце притягивает планету с силой прямо пропорциональной массе планеты и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Формула (11.6) очень похожа на (11.1), не хватает лишь массы Солнца в числителе дроби справа. Однако если сила притяжения между Солнцем и планетой зависит от массы планеты, то эта сила должна зависеть также и от массы Солнца, а значит, константа в правой части (11.6) содержит массу Солнца в качестве одного из сомножителей. Поэтому Ньютон выдвинул своё знаменитое предположение, что гравитационная сила должна зависеть от произведения масс тел и закон стал таким, каким мы его записали в (11.1).

Закон всемирного тяготения и третий закон Ньютона не противоречат друг другу. По формуле (11.1) сила, с которой тело 1 притягивает тело 2, равно силе, с которой тело 2 притягивает тело 1.

Для тел обычных размеров гравитационные силы очень малы. Так, два рядом стоящих легковых автомобиля притягиваются друг к другу с силой, равной весу капли дождя. С тех пор, как Г. Кавендиш в 1798 г. определил значение гравитационной постоянной, формула (11.1) помогла совершить очень много открытий в «мире огромных масс и расстояний». Например, зная величину ускорения свободного падения (g=9,8 м/с2) и радиус Земли (R=6,4.106 м), можно вычислить её массу mЗ следующим образом. На каждое тело массой m1 вблизи поверхности Земли (т.е. на расстоянии R от её центра) действует гравитационная сила её притяжения, равная m1g, подстановка которой в (11.1) вместо F даёт:

откуда получаем, что m З = 6.1024 кг.

Вопросы для повторения:

· Сформулируйте закон всемирного тяготения?

· Что такое гравитационная постоянная?

Рис. 11. (а) – к формулировке закона всемирного тяготения; (б) – к выводу закона всемирного тяготения из закона Кеплера.

§ 12. СИЛА ТЯЖЕСТИ. ВЕС. НЕВЕСОМОСТЬ. ПЕРВАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ.

где G=6,67×10 -11 Н×м 2 /кг 2 – универсальная гравитационная постоянная.

Этот закон называется законом всемирного тяготения.

Силу, с которой тела притягиваются к Земле, называли силой тяжести. Главной особенностью силы тяжести является тот опытный факт, что эта сила всем телам, независимо от их массы , сообщает одинаковое ускорение, направленное к центру Земли.

Из этого следует, что древнегреческий философ Аристотель был неправ, когда утверждал, что тяжелые тела падают на Землю быстрее, чем легкие. Он не учитывал, что помимо силы тяжести на тело действует сила сопротивления о воздух, которая зависит от формы тела.

Мушкетная пуля и тяжелое ядро, брошенные итальянским физиком Галилео Галилеем со знаменитой башни высотой 54,5 м, находящейся в городе Пиза, достигали поверхности Земли практически одновременно, т.е. падали с одинаковым ускорением (рис.4.27).

Расчеты, проведенные Г.Галилеем показали, что ускорение, приобретаемое телами под действием притяжения Земли, равно 9,8 м/с 2 .

Дальнейшие более точные опыты были проведены И.Ньютоном. Он брал длинную стеклянную трубку, в которую помещал свинцовый шарик, пробку и перышком (рис.4.28).

Эту трубку сейчас называют «трубкой Ньютона». Переворачивая трубку, он видел, что первым падал шарик, затем пробка и лишь потом перышко. Если же из трубки предварительно откачать воздух с помощью насоса, то после переворачивания трубки все тела упадут на дно трубки одновременно. А это означает, что во втором случае все тела увеличивали свою скорость одинаково, т.е. получали одинаковое ускорение. И это ускорение им сообщала единственная сила – сила притяжения тел к Земле, т.е. сила тяжести. Расчеты, произведенные Ньютоном, подтвердили правильность расчетов Г.Галилея, так как он тоже получил значение ускорения, приобретаемого свободно падающими телами в «трубке Ньютона», равное 9,8 м/с 2 . Это постоянное ускорение называется ускорением свободного падения на Земле и обозначается буквой g (от латинского слова «gravitas» - тяжесть), т.е. g = 9,8 м/с 2 .

Под свободным падением понимают движение тела, происходящее под действием одной единственной силы – силы тяжести (силы сопротивления о воздух не учитываются).

На других планетах или звездах значение этого ускорения другое, так оно зависит от масс и радиусов планет и звезд.

Приводим значения ускорения свободного падения на некоторых планетах Солнечной системы и на Луне:

1. Солнце g = 274 Н/кг

2. Венера g = 8,69Н/кг

3. Марс g = 3,86 Н/кг

4. Юпитер g = 23 Н/кг

5. Сатурн g = 9,44 Н/кг

6. Луна (спутник Земли) g = 1,623 Н/кг

Как же можно объяснить тот факт, что ускорение у всех тел, свободно падающих на Землю, одинаково? Ведь чем больше масса тела, тем большая сила тяжести действует на него. Мы с вами знаем, что 1 Н – это сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение равное 1 м/с 2 . В то же время опыты Г.Галилея и И.Ньютона показали, что сила тяжести меняет скорость любого тела в 9,8 раз больше. Следовательно, на тело массой 1 кг действует сила 9,8 Н, а на тело массой 2 кг будет действовать сила тяжести равная 19,6 Н и т.д. То есть, чем больше масса тела, тем большая сила тяжести будет действовать на него, а коэффициентом пропорциональности будет величина равная 9,8 Н/кг. Тогда формула для вычисления силы тяжести будет иметь вид или в общем виде:

Точные измерения показали, что ускорение свободного падения уменьшается с высотой и незначительно меняется с изменением широты местности в связи с тем, что Земля не является строго шарообразным телом (она немного сплющена у полюсов). Кроме этого она может зависеть от географического места на планете, так как плотность пород, из которых слагается поверхностный слой Земли, разная. Последний факт позволяет обнаруживать залежи полезных ископаемых.

Приводим некоторые значения ускорения свободного падения на Земле:

1. На Северном полюсе g = 9,832 Н/кг

2. На экваторе g = 9,780 Н/кг

3. На широте 45 о g = 9,806 Н/кг

4. На уровне моря g = 9,8066 Н/кг

5. На пике Хан-Тенгри, высотой 7 км, g = 9,78 Н/кг

6. На глубине 12 км g = 9,82 Н/кг

7. На глубине 3000 км g = 10,20 Н/кг

8. На глубине 4500 км g = 6,9 Н/кг

9. В центре Земли g = 0 Н/кг

Притяжение Луны приводит к образованию на Земле приливов и отливов в морях и океанах. Величина прилива в открытом океане около 1 м, а у берегов залива Фанди в Атлантическом океане достигает 18 метров.

Расстояние от Земли до Луны огромно: около 384000 км. Но сила тяготения между Землей и Луной велика и составляет 2×10 20 Н. это связано с тем, что массы Земли и Луны велики.

При решении задач, если нет специальных оговорок, величину 9,8 Н/кг можно округлять до 10 Н/кг.

Отставание маятников часов, синхронизированных на первом этаже высотного здания, связано с изменением величины g . Так как величина g с ростом высоты уменьшается, то часы на последнем этаже начнут отставать.

Пример. Определить силу, с которой стальное ведро массой 500 г, объемом 12 л, полностью заполненное водой, давит на опору.

Сила тяжести равна сумме силы тяжести самого ведра, равной F тяж1 =m 1 g , и силы тяжести воды, налитой в ведро, равной F тяж1 =m 2 g = ρ 2 V 2 g , т.е.

F тяж = m 1 g + ρ 2 V 2 g

Подставляя численные значения, получим:

F тяж =0,5кг·10Н/кг+10 3 кг/м 3 ·12·10 -3 м 3 ·10Н/кг= = 125 Н.

Ответ: F тяж = 125 Н

Вопросы для самоконтроля:

1. Какая сила называется гравитационной? Какова причина появления этой силы?

2. О чем гласит закон всемирного тяготения?

3. Какая сила называется силой тяжести? В чем состоит ее главная особенность?

4. Существует ли сила тяжести на других планетах? Ответ обоснуйте.

5. С какой целью Г.Галилей проводил опыты на Пизанской башне?

6. Что нам доказывают опыты, которые проводил Ньютон с «трубкой Ньютона»?

7. Какое ускорение называется ускорением свободного падения?

8. У вас имеются два одинаковых листа бумаги. Почему скомканный лист упадет на землю быстрее, несмотря на то, что на каждый лист действует одинаковая сила тяжести?

9. В чем состоит принципиальная разница в объяснении свободного падения Аристотелем и Ньютоном?

10. Сделайте сообщение о том, как изучали свободное падение Аристотель, Галилей и Ньютон.

«Тела притягиваются друг к другу с силой, модуль которой пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними.» Кому принадлежит данное утверждение? «Тела притягиваются друг к другу с силой, модуль которой пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними.» Кому принадлежит данное утверждение? Галилео Галилей Галилео Галилей Ньютон Ньютон Архимед Архимед Торричелли Торричелли

Закон... звучит следующим образом: Закон... звучит следующим образом: «Давление в жидкостях и газах передаётся без изменения в каждую точку жидкости или газа.» «Давление в жидкостях и газах передаётся без изменения в каждую точку жидкости или газа.» Архимеда Архимеда Ньютона Ньютона Паскаля Паскаля Ампера Ампера

Закон... гласит: Закон... гласит: « Сила тока в участке цепи прямо пропорционально напряжению и обратно пропорционально сопротивлению» « Сила тока в участке цепи прямо пропорционально напряжению и обратно пропорционально сопротивлению» Ампера Ампера Эрстеда Эрстеда Ома Ома Фарадея Фарадея

Явление возникновения электрического тока в проводнике, пересекающем магнитные линии, называется электромагнитной индукцией. Кем она была открыта? Явление возникновения электрического тока в проводнике, пересекающем магнитные линии, называется электромагнитной индукцией. Кем она была открыта? Ампером Ампером Омом Омом Фарадеем Фарадеем Эрстедом Эрстедом

Сэр Исаак Ньютон, получив по голове яблоком, вывел закон всемирного тяготения, который гласит:

Любые два тела притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной произведению масс тела и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

F = (Gm 1 m 2)/R 2 , где

m1, m2 - массы тел
R - расстояние между центрами тел
G = 6,67·10 -11 Нм 2 /кг - константа

Определим ускорение свободного падения на поверхности Земли:

F g = m тела g = (Gm тела m Земли)/R 2

R (радиус Земли) = 6,38·10 6 м
m Земли = 5,97·10 24 кг

m тела g = (Gm тела m Земли)/R 2 или g = (Gm Земли)/R 2

Обратите внимание, что ускорение свободного падения не зависит от массы тела!

g = 6,67·10 -11 ·5,97·10 24 /(6,38·10 6) = 398,2/40,7 = 9,8 м/с 2

Мы говорили ранее, что силу тяжести (гравитационное притяжение) называют весом .

На поверхности Земли вес и масса тела имеют одинаковое значение. Но по мере удаления от Земли вес тела будет уменьшаться (т.к. будет увеличиваться расстояние между центром Земли и телом), а масса будет оставаться постоянной (поскольку масса - это выражение инерции тела). Масса измеряется в килограммах , вес - в ньютонах .

Благодаря силе гравитации, небесные тела вращаются друг относительно друга: Луна вокруг Земли; Земля вокруг Солнца; Солнце вокруг центра нашей Галактики и т.д. При этом тела удерживаются центробежной силой, которую обеспечивает сила гравитации.

Это же относится и к искусственным телам (спутникам), вращающимся вокруг Земли. Окружность по которой спутник вращается, называется орбитой вращения.

При этом на спутник действует центробежная сила:

F ц = (m спутника V 2)/R

Сила гравитации:

F g = (Gm спутника m Земли)/R 2

F ц = F g = (m спутника V 2)/R = (Gm спутника m Земли)/R 2

V2 = (Gm Земли)/R; V = √(Gm Земли)/R

По этой формуле можно вычислить скорость любого тела, вращающегося по орбите с радиусом R вокруг Земли.

Естественным спутником Земли является Луна. Определим ее линейную скорость на орбите:

Масса Земли = 5,97·10 24 кг

R - это расстояние между центром Земли и центром Луны. Чтобы определить это расстояние, нам надо сложить три величины: радиус Земли; радиус Луны; расстояние от Земли до Луны.

R луны = 1738 км = 1,74·10 6 м
R земли = 6371 км = 6,37·10 6 м
R зл = 384400 км = 384,4·10 6 м

Общее расстояние между центрами планет: R = 392,5·10 6 м

Линейная скорость Луны:

V = √(Gm Земли)/R = √6,67·10 -11 ·5,98·10 24 /392,5·10 6 = 1000 м/с = 3600 км/ч

Луна движется по круговой орбите вокруг Земли с линейной скоростью в 3600 км/ч !

Определим теперь период обращения Луны вокруг Земли. За период обращения Луна преодолевает расстояние, равное длине орбиты - 2πR . Орбитальная скорость Луны: V = 2πR/T ; с другой стороны: V = √(Gm Земли)/R :

2πR/T = √(Gm Земли)/R отсюда T = 2π√R 3 /Gm Земли

T = 6,28·√(60,7·10 24)/6,67·10 -11 ·5,98·10 24 = 3,9·10 5 с

Период обращения Луны вокруг Земли составляет 2 449 200 секунд, или 40 820 минут, или 680 часов, или 28,3 суток.

1. Вертикальное вращение

Ранее в цирках был очень популярным трюк в котором велосипедист (мотоциклист) делал полный оборот внутри окружности, расположенной вертикально.

Какой же минимальной скоростью должен обладать трюкач, чтобы в верхней точке не свалиться вниз?

Для прохождения верхней точки без падения тело должно обладать скоростью, создающей такую центробежную силу, которая бы компенсировала силу тяжести.

Центробежная сила: F ц = mV 2 /R

Сила тяжести: F g = mg

F ц = F g ; mV 2 /R = mg; V = √Rg

И опять обратите внимание, что в расчетах отсутствует масса тела! Следует учесть, что это скорость, которой должно обладать тело в верхней точке!

Допустим, что на арене цирка установлена окружность с радиусом 10 метров. Рассчитаем безопасную скорость для трюка:

V = √Rg = √10·9,8 = 10 м/с = 36 км/ч

В курсе физики 7 класса вы изучали явление всемирного тяготения. Оно заключается в том, что между всеми телами во Вселенной действуют силы притяжения.

К выводу о существовании сил всемирного тяготения (их называют также гравитационными) пришёл Ньютон в результате изучения движения Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца.

Заслуга Ньютона заключается не только в его гениальной догадке о взаимном притяжении тел, но и в том, что он сумел найти закон их взаимодействия, т. е. формулу для расчёта гравитационной силы между двумя телами.

Закон всемирного тяготения гласит:

• два любых тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной массе каждого из них и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними

где F - модуль вектора силы гравитационного притяжения между телами массами m 1 и m 2 , г - расстояние между телами (их центрами); G - коэффициент, который называется гравитационной постоянной .

Если m 1 = m 2 = 1 кг и г = 1 м, то, как видно из формулы, гравитационная постоянная G численно равна силе F. Другими словами, гравитационная постоянная численно равна силе F притяжения двух тел массой по 1 кг, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга. Измерения показывают, что

G = 6,67 10 -11 Нм 2 /кг 2 .

Формула даёт точный результат при расчёте силы всемирного тяготения в трёх случаях: 1) если размеры тел пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними (рис. 32, а); 2) если оба тела однородны и имеют шарообразную форму (рис. 32, б); 3) если одно из взаимодействующих тел - шар, размеры и масса которого значительно больше, чем у второго тела (любой формы), находящегося на поверхности этого шара или вблизи неё (рис. 32, в).

Рис. 32. Условия, определяющие границы применимости закона всемирного тяготения

Третий из рассмотренных случаев является основанием для того, чтобы рассчитывать по приведённой формуле силу притяжения к Земле любого из находящихся на ней тел. При этом в качестве расстояния между телами следует брать радиус Земли, поскольку размеры всех тел, находящихся на ее поверхности или вблизи неё, пренебрежимо малы по сравнению с земным радиусом.

По третьему закону Ньютона яблоко, висящее на ветке или падающее с неё с ускорением свободного падения, притягивает к себе Землю с такой же по модулю силой, с какой его притягивает Земля. Но ускорение Земли, вызванное силой её притяжения к яблоку, близко к нулю, поскольку масса Земли несоизмеримо больше массы яблока.

Вопросы

1. Что было названо всемирным тяготением?
2. Как иначе называются силы всемирного тяготения?
3. Кто и в каком веке открыл закон всемирного тяготения?
4. Сформулируйте закон всемирного тяготения. Запишите формулу, выражающую этот закон.
5. В каких случаях следует применять закон всемирного тяготения для расчёта гравитационных сил?
6. Притягивается ли Земля к висящему на ветке яблоку?

Упражнение 15

1. Приведите примеры проявления силы тяготения.
2. Космическая станция летит от Земли к Луне. Как меняется при этом модуль вектора силы её притяжения к Земле; к Луне? С одинаковыми или различными по модулю силами притягивается станция к Земле и Луне, когда она находится посередине между ними? Если силы различны, то какая больше и во сколько раз? Все ответы обоснуйте. (Известно, что масса Земли примерно в 81 раз больше массы Луны.)
3. Известно, что масса Солнца в 330 000 раз больше массы Земли. Верно ли, что Солнце притягивает Землю в 330 000 раз сильней, чем Земля притягивает Солнце? Ответ поясните.
4. Мяч, подброшенный мальчиком, в течение некоторого времени двигался вверх. При этом его скорость всё время уменьшалась, пока не стала равной нулю. Затем мяч стал падать вниз с возрастающей скоростью. Объясните: а) действовала ли на мяч сила притяжения к Земле во время его движения вверх; вниз; б) что послужило причиной уменьшения скорости мяча при его движении вверх; увеличения его скорости при движении вниз; в) почему при движении мяча вверх его скорость уменьшалась, а при движении вниз - увеличивалась.
5. Притягивается ли к Луне человек, стоящий на Земле? Если да, то к чему он притягивается сильнее - к Луне или к Земле? Притягивается ли Луна к этому человеку? Ответы обоснуйте.