Сложные уравнения с логарифмами. Методика решения логарифмических уравнений

Алгебра 11 класс

Тема: « Методы решения логарифмических уравнений »

Цели урока:

образовательная: формирование знаний о разных способах решения логарифмических уравнений, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ;

развивающая: развитие умений наблюдать, сравнивать, применять знания в новой ситуации, выявлять закономерности, обобщать; формирование навыков взаимоконтроля и самоконтроля;

воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательного восприятия материала на уроке, аккуратности ведения записей.

Тип урока : урок ознакомления с новым материалом.

«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».
Французский математик и астроном П.С. Лаплас

Ход урока

I. Постановка цели урока

Изученные определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволят нам решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы рассмотрим сегодня на уроке. Их немного. Если их освоить, то любое уравнение с логарифмами будет посильно каждому из вас.

Запишите в тетради тему урока: «Методы решения логарифмических уравнений». Приглашаю всех к сотрудничеству.

II. Актуализация опорных знаний

Подготовимся к изучению темы урока. Каждое задание вы решаете и записываете ответ, условие можно не писать. Работайте в парах.

1) При каких значениях х имеет смысл функция:

а)

б)

в)

д)

(По каждому слайду сверяются ответы и разбираются ошибки)

2) Совпадают ли графики функций?

а) y = x и

б) и

3) Перепишите равенства в виде логарифмических равенств:

4) Запишите числа в виде логарифмов с основанием 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Вычислите :

6) Попытайтесь восстановить или дополнить недостающие элементы в данных равенствах.

III. Ознакомление с новым материалом

Демонстрируется на экране высказывание:

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
Современный польский математик С. Коваль

Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. (Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма ).

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: log а x = b (где а>0, a ≠ 1). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.

Вспомните определение логарифма. (Логарифм числа х по основанию а – это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х ). Из определения логарифма сразу следует, что а в является таким решением.

Запишите заголовок: Методы решения логарифмических уравнений

1. По определению логарифма .

Так решаются простейшие уравнения вида .

Рассмотрим № 514(а ): Решить уравнение

Как вы предлагаете его решать? (По определению логарифма )

Решение . , Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.

Ответ: 4.

В этом задании 2х – 4 > 0, так как > 0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать . Условие 2х – 4 > 0 в этом задании выписывать не надо.

2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Рассмотрим №519(г): log 5 ( x 2 +8)- log 5 ( x +1)=3 log 5 2

Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны) . Что можно сделать? (Потенцировать).

При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.

Решение: ОДЗ:

X 2 +8>0 лишнее неравенство

log 5 ( x 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( x +1)

log 5 ( x 2 +8)= log 5 (8 x +8)

Потенцируем исходное уравнение

x 2 +8= 8 x +8

получим уравнение x 2 +8= 8 x +8

Решаем его: x 2 -8 x =0

х=0, х=8

Ответ: 0; 8

В общем виде переходом к равносильной системе :

Уравнение

(Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).

Вопрос классу : Какое из этих трех решений вам больше всего понравилось? (Обсуждение способов).

Вы имеете право решать любым способом.

3. Введение новой переменной .

Рассмотрим № 520(г) . .

Что вы заметили? (Это квадратное уравнение относительно log3x) Ваши предложения? (Ввести новую переменную)

Решение . ОДЗ: х > 0.

Пусть , тогда уравнение примет вид: . Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета: .

Вернемся к замене: или .

Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:

; .

Ответ : 27;

4. Логарифмирование обеих частей уравнения.

Решить уравнение: .

Решение : ОДЗ: х>0, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

. Применим свойство логарифма степени:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Пусть lgx = y, тогда (у + 3)у = 4

, (D > 0) корни по теореме Виета: у1 = -4 и у2 = 1.

Вернемся к замене, получим: lgx = -4, ; lgx = 1, . . Он заключается в следующем : если одна из функций у = f(x) возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х .

Если корень имеется, то его можно угадать. .

Ответ : 2

«Правильному применению методов можно научиться,
только применяя их на различных примерах».
Датский историк математики Г. Г. Цейтен

I V. Домашнее задание

П. 39 рассмотреть пример 3, решить № 514(б), № 529(б), №520(б), №523(б)

V. Подведение итогов урока

Какие методы решения логарифмических уравнений мы рассмотрели на уроке?

На следующих уроках рассмотрим более сложные уравнения. Для их решения пригодятся изученные методы.

Демонстрируется последний слайд:

«Что есть больше всего на свете?
Пространство.
Что мудрее всего?
Время.
Что приятнее всего?
Достичь желаемого».
Фалес

Желаю всем достичь желаемого. Благодарю за сотрудничество и понимание.

основными свойствами .

logax + logay = loga (x · y);
logax − logay = loga (x: y).

одинаковые основания

Log6 4 + log6 9.

Теперь немного усложним задачу.

Примеры решения логарифмов

Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Найдите значение выражения:

Переход к новому основанию

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

Задача. Найдите значение выражения:

Смотрите также:

Основные свойства логарифма

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого.

Основные свойства логарифмов

Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.

Примеры на логарифмы

Прологарифмировать выражения

Пример 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

По свойствам 3,5 вычисляем

Пример 2. Найти х, если

Пример 3. Пусть задано значение логарифмов

Вычислить log(x), если

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами .

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: logax и logay. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

logax + logay = loga (x · y);
logax − logay = loga (x: y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания . Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log7 496.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем.

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения.

Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

logaa = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
loga 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Смотрите также:

Логарифмом числа b по основанию a обозначают выражение . Вычислить логарифм значит найти такой степень x (),при котором выполняется равенство

Основные свойства логарифма

Приведенные свойства необходимо знать, поскольку, на их основе решаются практически все задачи и примеры связаны с логарифмами. Остальные экзотических свойств можно вывести путем математических манипуляций с данными формулами

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При вычислениях формулы суммы и разности логарифмов (3,4) встречаются довольно часто. Остальные несколько сложные, но в ряде задач являются незаменимыми для упрощения сложных выражений и вычисления их значений.

Распространены случаи логарифмов

Одними из распространенных логарифмов такие в которых основание ровное десять, экспоненте или двойке.
Логарифм по основанию десять принято называть десятичным логарифмом и упрощенно обозначать lg(x).

Из записи видно, что основы в записи не пишут. Для примера

Натуральный логарифм – это логарифм у которого за основу экспонента (обозначают ln(x)).

Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого. Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.

И еще один важный логарифм по основанию два обозначают

Производная от логарифм функции равна единице разделенной на переменную

Интеграл или первообразная логарифма определяется зависимостью

Приведенного материала Вам достаточно, чтобы решать широкий класс задач связанных с логарифмами и логарифмирования. Для усвоения материала приведу лишь несколько распространенных примеров из школьной программы и ВУЗов.

Примеры на логарифмы

Прологарифмировать выражения

Пример 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

По свойствам 3,5 вычисляем

2.
По свойству разницы логарифмов имеем

3.
Используя свойства 3,5 находим

На вид сложное выражение с использованием ряда правил упрощается к виду

Нахождение значений логарифмов

Пример 2. Найти х, если

Решение. Для вычисления применим до последнего слагаемого 5 и 13 свойства

Подставляем в запись и скорбим

Поскольку основания равные, то приравниваем выражения

Логарифмы. Начальный уровень.

Пусть задано значение логарифмов

Вычислить log(x), если

Решение: Прологарифмируем переменную, чтобы расписать логарифм через сумму слагаемых

На этом знакомство с логарифмами и их свойствами только начинается. Упражняйтесь в вычислениях, обогащайте практические навыки — полученные знания Вам скоро понадобятся для решения логарифмических уравнений. Изучив основные методы решения таких уравнений мы расширим Ваши знания для другой не менее важной теме — логарифмические неравенства …

Основные свойства логарифмов

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: logax и logay. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

logax + logay = loga (x · y);
logax − logay = loga (x: y).

Задача. Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Как решать логарифмы

Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log7 496.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Переход к новому основанию

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

Задача. Найдите значение выражения:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

logaa = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
loga 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.

ФИО	Плотникова Татьяна Владимировна
Место работы	МБОУ «СОШ №1 г.Суздаля»
Должность	Учитель математики
Предмет	Алгебра и начала математического анализа
Класс
Тема урока	«Способы решения логарифмических уравнений», 2 часа
Базовый учебник	Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. / М. Просвещение 2014

Цель урока: повторить знания учащихся о логарифме числа, его свойствах; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

Задачи:

Обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;

Развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения;

Воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету

Тип урока: урок изучения нового материала.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.

Структура и ход урока:

Организационный момент.

Учитель .

Здравствуйте, садитесь! Сегодня тема нашего урока «Решение логарифмических уравнений», на котором мы познакомимся со способами их решения, используя определение и свойства логарифмов. (слайд № 1)

Устная работа.

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории:

1. Дайте определение логарифма. (слайд № 2)

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y=log 0,8 x является возрастающей или убывающей?Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов. (слайд № 3)

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать? (слайд № 4)

2. Работа по карточка(3-4 ученика):

Карточка №1: Вычислить: а) log 6 4 + log 6 9 =

Б) log 1/3 36 – log 1/3 12 =

Решить уравнение: log 5 х = 4 log 5 3 – 1/3 log 5 27

Карточка №2:

Вычислить: а) log211 – log244 =

Б) log1/64 + log1/69 =

Решить уравнение: log 7 х = 2 log 7 5 + 1/2 log 7 36 – 1/3 log 7 125.

Фронтальный опрос класса (устные упражнения)

Вычислить: (слайд № 5)

log 2 16
lоg 3 √3
log 7 1
log 5 (1 / 625 )
log 2 11 - log 2 44

log 8 14 + log 8 32/7
log 3 5 ∙ log 5 3
5 log 5 49
8 lоg 8 5 - 1
25 –log 5 10

Сравнить числа : (слайд № 6)

log ½ е и log ½ π;
log 2 √5/2 и log 2 √3/2.

Выяснить знак выражения log 0,8 3 · log 6 2/3. (слайд № 7)

Проверка домашнего задания:

На дом были задания следующие упражнения: №327(неч.), 331(неч.), 333(2) и 390(6). Проверить ответы к данным заданиям и ответить на вопросы учащихся.

Изучение нового материала:

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение
log a х =с (а > 0, а≠ 1)
Способы решения логарифмических уравнений: (слайд № 8)

Решение уравнений на основании определения логарифма. (слайд № 9)

log a х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение х = а с .

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

по данным основаниям и числу определяется логарифм,
по данному логарифму и основанию определяется число,
по данному числу и логарифму определяется основание.

Примеры:

log 2 128= х, log 16 х = ¾, log х 27= 3,

2 х = 128, х =16 ¾ , х 3 =27,

2 х = 2 7 , х =2 3 , х 3 = 3 3 ,

х =7 . х = 8. х =3.

а) log 7 (3х-1)=2 (ответ: х=3 1/3)

б) log 2 (7-8х)=2 (ответ: х=3/8).

Метод потенцирования. (слайд № 10)

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.

Log a f(х) = log a g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

Пример:

Решите уравнение =

ОДЗ:

3х-1>0; х>1/3

6х+8>0.

3х-1=6х+8

3х=9

х=-3

3 >1/3 - неверно

Ответ: решений нет.

lg(х 2 -2) = lg х (ответ: х=2)

Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. (слайд №11)

Пример:

Решите уравнение =log 2 (6-х)

ОДЗ:

6-х>0;

х>0;

х≠1;

log 2 х 2 >0;

х 2 >0.

Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).

Log 2 (6-х)

х 2 = 6-х

х 2 +х-6=0

х=-3 не принадлежит ОДЗ.

х=2 принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=2

С классом решить следующее уравнение :

= (ответ: х=1)

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. (слайд № 12)

Пример:

Решите уравнение log 16 х+ log 4 х+ log 2 х=7

ОДЗ: х>0

¼ log 2 х+½ log 2 х+ log 2 х=7

7/4 log 2 х=7

log 2 х=4

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=16.

С классом решить следующее уравнение:

3 (ответ: х=5/3)

Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма. (слайд № 13)

Пример:

Решите уравнение log 2 (х +1) - log 2 (х -2) = 2.

ОДЗ:

х+1>0;

х-2>0. х>1.

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log 2 = 2, откуда следует = 4.

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 - верно

Ответ: х = 3.

С классом решить следующие уравнения:

а)log 5 (х +1) + log 5 (х +5) = 1 (ответ: х=0).

б)log 9 (37-12х) log 7-2х 3 = 1,

37-12х >0, х

7-2х >0, х

7-2х≠ 1; х≠ 3; х≠ 3;

Log 9 (37-12х) / log 3 (7-2х) = 1,

½ log 3 (37-12х) = log 3 (7-2х) ,

Log 3 (37-12х) = log 3 (7-2х) 2 ,

37-12х= 49 -28х +4х 2 ,

4х 2 -16х +12 =0,

Х 2 -4х +3 =0, Д=19, х 1 =1, х 2 =3, 3 –посторонний корень.

Ответ: х=1 корень уравнения.

В) lg(х 2 -6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9.

(х 2 -6х+9) >0, х≠ 3,

Х-7 >0; х >7; х >7.

Lg ((х-3)/(х-7)) 2 = lg9

((х-3)/(х-7)) 2 = 9,

(х-3)/(х-7) = 3, (х-3)/(х-7)= - 3 ,

х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21,

х =9. х=6 - посторонний корень.

Проверка показывает 9 корень уравнения.

Ответ: 9

Уравнения, решаемые введением новой переменной. (слайд № 14)

Пример:

Решите уравнение lg 2 х - 6lgх+5 = 0.

ОДЗ: х>0.

Пусть lgх = р, тогда р 2 -6р+5=0.

р 1 =1, р 2 =5.

Возвращаемся к замене:

lgх = 1, lgх =5

х=10, 10>0 – верно х=100000, 100000>0 – верно

Ответ: 10, 100000

С классом решить следующее уравнение:

Log 6 2 х + log 6 х +14 = (√16 – х 2 ) 2 +х 2 ,

16 – х 2 ≥0 ; - 4≤ х ≤ 4;

Х >0 , х >0, О.Д.З. [ 0,4).

Log 6 2 х + log 6 х +14 = 16 – х 2 +х 2 ,

Log 6 2 х + log 6 х -2 = 0

Заменим log 6 х = t

T 2 + t -2 =0 ; D = 9 ; t 1 =1 , t 2 = -2.

Log 6 х = 1 , х = 6 посторонний корень.

Log 6 х = -2, х = 1/36 , проверка показывает 1/36 является корнем.

Ответ: 1/36.

Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. (слайд № 15)

Пример:

Решите уравнение log 4 (2х-1)∙ log 4 х=2 log 4 (2х-1)

ОДЗ:

2х-1>0;

Х >0. х>½.

log 4 (2х-1)∙ log 4 х - 2 log 4 (2х-1)=0

log 4 (2х-1)∙(log 4 х-2)=0

log 4 (2х-1)=0 или log 4 х-2=0

2х-1=1 log 4 х = 2

х=1 х=16

1;16 – принадлежат ОДЗ

Ответ: 1;16

С классом решить следующее уравнение:

log 3 х ∙log 3 (3х-2)= log 3 (3х-2) (ответ: х=1)

Метод логарифмирования обеих частей уравнения. (слайд № 16)

Пример:

Решите уравнения

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

Получим log 3 = log 3 (3х)

получаем: log 3 х 2 log 3 х = log 3 (3х),

2log 3 х log 3 х = log 3 3+ log 3 х,

2 log 3 2 х = log 3 х +1,

2 log 3 2 х - log 3 х -1=0,

заменим log 3 х = р, х >0

2 р 2 + р -2 =0 ; D = 9 ; р 1 =1 , р 2 = -1/2

Log 3 х = 1 , х=3,

log 3 х = -1/ 2 , х= 1/√3.

Ответ: 3 ; 1/√3

С классом решить следующее уравнение:

Log 2 х - 1

х = 64 (ответ: х=8 ; х=1/4 )

Функционально – графический метод. (слайд № 17)

Пример:

Решите уравнения: log 3 х = 12-х.

Так как функция у= log 3 х возрастающая, а функция у =12-х убывающая на (0; + ∞) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень.

Построим в одной системе координат графики двух функций: у= log 3 х и у =12-х.

При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.

С классом решить следующее уравнение:

1-√х =ln х (ответ: х=1).

Подведение итогов, рефлексия (раздать кружочки, на которых ребята отмечают свое настроение рисунком). (слайд № 18,19)

Определить метод решения уравнения:

Домашнее задание: 340(1), 393(1), 395(1,3), 1357(1,2), 337(1), 338(1), 339(1)

Литература

Рязановский, А.Р. Математика. 5 – 11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики/ А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа,2002
Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1997. № 1, 10, 46, 48; 1998. № 8, 16, 17, 20, 21, 47.
Скоркина, Н.М. Нестандартные формы внеклассной работы. Для средних и старших классов/ Н.М. Скоркина. – Волгоград: Учитель, 2004
Зив, Б.Г., Гольдич,В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса./Б.Г.Зив, В.А.Гольдич. – 3-е изд., исправленное. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004
Алгебра и начала анализа: математика для техникумов/под ред. Г.Н.Яковлева.-М.: Наука, 1987

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Способы решения логарифмических уравнений Учитель математики: Плотникова Т.В. МБОУ «СОШ №1 г.Суздаля»

Определение Логарифмом положительного числа b по основанию a , где a >0, а≠1 , называется такой показатель степени с, в которую надо возвести a , чтобы получить b .

Свойства логарифмов log a 1 = 0 log a a = 1 log a (x y)= log a x + log a y 3

Формулы перехода к другому основанию 4

Вычислите: 5

Сравните 6

7 Определите знак числа:

Основные методы решения логарифмических уравнений

1. Использование определения логарифма l og 2 128= х log х 27= 3 Решим следующие уравнения: а) log 7 (3х-1)=2 б) log 2 (7-8х)=2 9

2. Метод потенцирования Решим следующее уравнение: lg (х 2 -2) = lg х 10 2

11 3. Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества Решим следующее уравнение: 1

12 4 . Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию log 16 х + log 4 х + log 2 х=7 Решим следующее уравнение:

13 5. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма log 2 (х +1) - log 2 (х -2) = 2 Решим следующие уравнения: а) l og 5 (х +1) + log 5 (х +5) = 1 б)log 9 (37-12х) log 7-2х 3 = 1 в) lg(х 2 -6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9 0 1 9

6. Уравнения, решаемые введением новой переменной l g 2 х - 6lgх +5 = 0 Решим следующие уравнения: log 6 2 х + log 6 х +14 = (√16 – х 2) 2 +х 2 14

15 7. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители log 4 (2х-1)∙ log 4 х =2 log 4 (2х-1) Решим следующие уравнения: log 3 х ∙ log 3 (3х-2)= log 3 (3х-2) 1

8. Метод логарифмирования Решим следующее уравнение: 16

9. Функционально – графический метод log 3 х = 12-х Решим следующее уравнение: 17 1

Определить метод решения уравнения: Уравнение: Метод решения по определению логарифма переход к другому основанию разложение на множители потенцирование введение новой переменной переход к другому основанию использование свойств логарифма логарифмирование графический 18

Да! И кто придумал эти логарифмические уравнения! У меня всё получается!!! Надо решить ещё пару примеров?! Рефлексия 19

Математика – это больше чем наука , это язык науки.

Датский физик, общественный деятель Нильс Бор

Логарифмические уравнения

К числу типовых задач , предлагаемых на вступительных (конкурсных) испытаниях , являются задачи , связанные с решением логарифмических уравнений. Для успешного решения таких задач необходимо хорошо знать свойства логарифмов и иметь навыки их применения.

В настоящей статье сначала приводятся основные понятия и свойства логарифмов , а затем рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений.

Основные понятия и свойства

Первоначально приведем основные свойства логарифмов , использование которых позволяет успешно решать относительно сложные логарифмические уравнения.

Основное логарифмическое тождество записывается в виде

, (1)

К числу наиболее известных свойств логарифмов относятся следующие равенства:

1. Если , , и , то , ,

2. Если , , , и , то .

3. Если , , и , то .

4. Если , , и натуральное число , то

5. Если , , и натуральное число , то

6. Если , , и , то .

7. Если , , и , то .

Более сложные свойства логарифмов формулируются посредством следующих утверждений:

8. Если , , , и , то

9. Если , , и , то

10. Если , , , и , то

Доказательство последних двух свойств логарифмов приведено в учебном пособии автора «Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной математики» (М.: Ленанд / URSS , 2014).

Также следует отметить , что функция является возрастающей , если , и убывающей , если .

Рассмотрим примеры задач на решение логарифмических уравнений , расположенных в порядке возрастания их сложности.

Примеры решения задач

Пример 1 . Решить уравнение

. (2)

Решение. Из уравнения (2) имеем . Преобразуем уравнение следующим образом: , или .

Так как , то корнем уравнения (2) является .

Ответ: .

Пример 2 . Решить уравнение

Решение. Уравнение (3) равносильно уравнениям

Или .

Отсюда получаем .

Ответ: .

Пример 3 . Решить уравнение

Решение. Из уравнения (4) следует , что . Используя основное логарифмическое тождество (1) , можно записать

или .

Если положить , то отсюда получаем квадратное уравнение , которое имеет два корня и . Однако , поэтому и подходящим корнем уравнения является лишь . Так как , то или .

Ответ: .

Пример 4 . Решить уравнение

Решение. Областью допустимых значений переменной в уравнении (5) являются .

Пусть и . Так как функция на области определения является убывающей , а функция возрастает на всей числовой оси , то уравнение не может иметь более одного корня.

Подбором находим единственный корень .

Ответ: .

Пример 5 . Решить уравнение .

Решение. Если обе части уравнения прологарифмировать по основанию 10, то

Или .

Решая квадратное уравнение относительно , получаем и . Следовательно, здесь имеем и .

Ответ: , .

Пример 6 . Решить уравнение

. (6)

Решение. Воспользуется тождеством (1) и преобразуем уравнение (6) следующим образом:

Или .

Ответ: , .

Пример 7 . Решить уравнение

. (7)

Решение. Принимая во внимание свойство 9, имеем . В этой связи уравнение (7) принимает вид

Отсюда получаем или .

Ответ: .

Пример 8 . Решить уравнение

. (8)

Решение. Воспользуемся свойством 9 и перепишем уравнение (8) в равносильном виде .

Если затем обозначить , то получим квадратное уравнение , где . Так как уравнение имеет только один положительный корень , то или . Отсюда следует .

Ответ: .

Пример 9 . Решить уравнение

. (9)

Решение. Так как из уравнения (9) следует , то здесь . Согласно свойству 10 , можно записать .

В этой связи уравнение (9) будет равносильно уравнениям

Или .

Отсюда получаем корень уравнения (9).

Пример 10 . Решить уравнение

. (10)

Решение. Областью допустимых значений переменной в уравнении (10) являются . Согласно свойству 4 здесь имеем

. (11)

Так как , то и уравнение (11) принимает вид квадратного уравнения , где . Корнями квадратного уравнения являются и .

Поскольку , то и . Отсюда получаем и .

Ответ: , .

Пример 11 . Решить уравнение

. (12)

Решение. Обозначим , тогда и уравнение (12) принимает вид

Или

. (13)

Нетрудно видеть, что корнем уравнения (13) является . Покажем, что данное уравнение других корней не имеет. Для этого разделим обе его части на и получим равносильное уравнение

. (14)

Так как функция является убывающей, а функция возрастающей на всей числовой оси , то уравнение (14) не может иметь более одного корня. Так как уравнения (13) и (14) равносильные, то уравнение (13) имеет единственный корень .

Поскольку , то и .

Ответ: .

Пример 12 . Решить уравнение

. (15)

Решение. Обозначим и . Так как функция убывает на области определения , а функция является возрастающей для любых значений , то уравнение не может иметь боде одного корня. Непосредственным подбором устанавливаем, что искомым корнем уравнения (15) является .

Ответ: .

Пример 13 . Решить уравнение

. (16)

Решение. Используя свойства логарифмов, получаем

Так как , то и имеем неравенство

Полученное неравенство совпадает с уравнением (16) только в том случае, когда или .

Подстановкой значения в уравнение (16) убеждаемся в том , что является его корнем.

Ответ: .

Пример 14 . Решить уравнение

. (17)

Решение. Так как здесь , то и уравнение (17) принимает вид .

Если положить , то отсюда получаем уравнение

, (18)

где . Из уравнения (18) следует: или . Так как , то уравнение имеет один подходящий корень . Однако , поэтому и .

Пример 15 . Решить уравнение

. (19)

Решение. Обозначим , тогда и уравнение (19) принимает вид . Если данное уравнение прологарифмировать по основанию 3, то получим

Или

Отсюда следует, что и . Поскольку , то и . В этой связи и .

Ответ: , .

Пример 16 . Решить уравнение

. (20)

Решение . Введем параметр и перепишем уравнение (20) в виде квадратного уравнения относительно параметра , т.е.

. (21)

Корнями уравнения (21) являются

или , . Так как , то имеем уравнения и . Отсюда получаем и .

Ответ: , .

Пример 17 . Решить уравнение

. (22)

Решение. Для установления области определения переменной в уравнении (22) необходимо рассмотреть совокупность трех неравенств: , и .

Применяя свойство 2 , из уравнения (22) получаем

Или

. (23)

Если в уравнении (23) положить , то получим уравнение

. (24)

Уравнение (24) будем решать следующим образом:

Или

Отсюда следует, что и , т.е. уравнение (24) имеет два корня: и .

Так как , то , или , .

Ответ: , .

Пример 18 . Решить уравнение

. (25)

Решение. Используя свойства логарифмов, преобразуем уравнение (25) следующим образом:

, , .

Отсюда получаем .

Пример 19 . Решить уравнение

. (26)

Решение. Так как , то .

Далее , имеем . Следовательно , равенство (26) выполняется только в том случае , когда обе части уравнения одновременно равны 2.

Таким образом , уравнение (26) равносильно системе уравнений

Из второго уравнения системы получаем

Или .

Нетрудно убедиться , что значение удовлетворяет также и первому уравнению системы.

Ответ: .

Для более глубокого изучения методов решения логарифмических уравнений можно обратиться к учебным пособиям из списка рекомендуемой литературы.

1. Кушнир А.И. Шедевры школьной математики (задачи и решения в двух книгах). – Киев: Астарта , книга 1 , 1995. – 576 с.

2. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с.

4. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 200 с.

5. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 296 с.

Остались вопросы?

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.