Лекция 1.

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Современное состояние проблемы моделирования систем

Понятия модели и моделирования

Моделирование можно рассматривать как замещение исследуемогообъекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом,именуемым моделью и обеспечивающим близкое к оригиналу поведениев рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей. Моделированиеобычно выполняется с целью познания свойств оригинала путем исследованияего модели, а не самого объекта. Разумеется, моделирование оправдано в томслучае когда оно проще создания самого оригинала или когда последний покаким-то причинам лучше вообще не создавать.

Под моделью понимается физический или абстрактный объект, свойствакоторого в определенном смысле сходны со свойствами исследуемого объекта.При этом требования к модели определяются решаемой задачей и имеющимисясредствами. Существует ряд общих требований к моделям:

2) полнота – предоставление получателю всей необходимой информации

об объекте;

3) гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем

диапазоне изменения условий и параметров;

4) трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося

времени и программных средств.

Моделирование – это процесс построения модели объекта и исследованияего свойств путем исследования модели.

Таким образом, моделирование предполагает 2 основных этапа:

1) разработка модели;

2) исследование модели и получение выводов.

При этом на каждом из этапов решаются разные задачи и используются

отличающиеся по сути методы и средства.

На практике применяют различные методы моделирования. В зависимостиот способа реализации, все модели можно разделить на два больших класса:физические и математические.

Математическое моделирование принято рассматривать как средствоисследования процессов или явлений с помощью их математических моделей.

Под физическим моделированием понимается исследование объектов иявлений на физических моделях, когда изучаемый процесс воспроизводятс сохранением его физической природы или используют другое физическоеявление, аналогичное изучаемому. При этом физические модели предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойстворигинала, которые являются существенными в конкретной ситуации.Например, при проектировании нового самолета создается его макет,обладающий теми же аэродинамическими свойствами; при планированиизастройки архитекторы изготавливают макет, отражающий пространственноерасположение ее элементов. В связи с этим физическое моделированиеназывают также макетированием .

Полунатурное моделирование представляет собой исследованиеуправляемых систем на моделирующих комплексах с включением в составмодели реальной аппаратуры. Наряду с реальной аппаратурой в замкнутуюмодель входят имитаторы воздействий и помех, математические моделивнешней среды и процессов, для которых неизвестно достаточно точноематематическое описание. Включение реальной аппаратуры или реальныхсистем в контур моделирования сложных процессов позволяет уменьшитьаприорную неопределенность и исследовать процессы, для которых нет точногоматематического описания. С помощью полунатурного моделированияисследования выполняются с учетом малых постоянных времени инелинейностей, присущих реальной аппаратуре. При исследовании моделей свключением реальной аппаратуры используется понятие динамическогомоделирования , при исследовании сложных систем и явлений -эволюционного , имитационного и кибернетического моделирования .

Очевидно, действительная польза от моделирования может быть полученатолько при соблюдении двух условий:

1) модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств

оригинала, существенных с точки зрения исследуемой операции;

2) модель позволяет устранить перечисленные выше проблемы, присущие

проведению исследований на реальных объектах.

2. Основные понятия математического моделирования

Решение практических задач математическими методами последовательноосуществляется путем формулировки задачи (разработки математическоймодели), выбора метода исследования полученной математической модели,анализа полученного математического результата. Математическаяформулировка задачи обычно представляется в виде геометрических образов,функций, систем уравнений и т.п. Описание объекта (явления) может бытьпредставлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированнойили стохастической и другими математическими формами.

Теория математического моделирования обеспечивает выявлениезакономерностей протекания различных явлений окружающего мира илиработы систем и устройств путем их математического описания имоделирования без проведения натурных испытаний. При этом используютсяположения и законы математики, описывающие моделируемые явления,системы или устройства на некотором уровне их идеализации.

Математическая модель (ММ) представляет собой формализованноеописание системы (или операции) на некотором абстрактном языке, например,в виде совокупности математических соотношений или схемы алгоритма,т. е. такое математическое описание, которое обеспечивает имитацию работысистем или устройств на уровне, достаточно близком к их реальномуповедению, получаемому при натурных испытаниях систем или устройств.

Любая ММ описывает реальный объект, явление или процесс с некоторойстепенью приближения к действительности. Вид ММ зависит как от природыреального объекта, так и от задач исследования.

Математическое моделирование общественных, экономических,биологических и физических явлений, объектов, систем и различных устройствявляется одним из важнейших средств познания природы и проектированиясамых разнообразных систем и устройств. Известны примеры эффективногоиспользования моделирования в создании ядерных технологий, авиационных иаэрокосмических систем, в прогнозе атмосферных и океанических явлений,погоды и т.д.

Однако для таких серьезных сфер моделирования нередко нужнысуперкомпьютеры и годы работы крупных коллективов ученых по подготовкеданных для моделирования и его отладки. Тем не менее, и в этом случаематематическое моделирование сложных систем и устройств не толькоэкономит средства на проведение исследований и испытаний, но и можетустранить экологические катастрофы – например, позволяет отказаться отиспытаний ядерного и термоядерного оружия в пользу его математическогомоделирования или испытаний аэрокосмических систем перед их реальнымиполетами.Между тем математическое моделирование на уровне решения болеепростых задач, например, из области механики, электротехники, электроники,радиотехники и многих других областей науки и техники в настоящее времястало доступным выполнять на современных ПК. А при использованииобобщенных моделей становится возможным моделирование и достаточносложных систем, например, телекоммуникационных систем и сетей,радиолокационных или радионавигационных комплексов.

Целью математического моделирования является анализ реальныхпроцессов (в природе или технике) математическими методами. В своюочередь, это требует формализации ММ процесса, подлежащего исследованию.Модель может представлять собой математическое выражение, содержащеепеременные, поведение которых аналогично поведению реальной системы.Модель может включать элементы случайности, учитывающие вероятностивозможных действий двух или большего числа «игроков», как, например, втеории игр; либо она может представлять реальные переменные параметрывзаимосвязанных частей действующей системы.

Математическое моделирование для исследования характеристик системможно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное. В своюочередь, ММ делятся на имитационные и аналитические.

Аналитическое моделирование

Для аналитического моделирования характерно, что процессыфункционирования системы записываются в виде некоторых функциональныхсоотношений (алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений). Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

1) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явныезависимости для характеристик систем;

2) численным, когда не удается найти решение уравнений в общем виде иих решают для конкретных начальных данных;

3) качественным, когда при отсутствии решения находят некоторые егосвойства.

Аналитические модели удается получить только для сравнительно простыхсистем. Для сложных систем часто возникают большие математическиепроблемы. Для применения аналитического метода идут на существенноеупрощение первоначальной модели. Однако исследование на упрощенноймодели помогает получить лишь ориентировочные результаты. Аналитическиемодели математически верно отражают связь между входными и выходнымипеременными и параметрами. Но их структура не отражает внутреннююструктуру объекта.

При аналитическом моделировании его результаты представляются в видеаналитических выражений. Например, подключив RC -цепь к источникупостоянного напряжения E (R , C и E - компоненты данной модели), мыможем составить аналитическое выражение для временной зависимостинапряжения u (t ) на конденсаторе C :

Это линейное дифференциальное уравнение (ДУ) и являетсяаналитической моделью данной простой линейной цепи. Его аналитическоерешение, при начальном условии u (0) = 0 , означающем разряженныйконденсатор C в момент начала моделирования, позволяет найти искомуюзависимость – в виде формулы:

u (t ) = E (1− eх p (- t / RC )). (2)

Однако даже в этом простейшем примере требуются определенные усилиядля решения ДУ (1) или для применения систем компьютерной математики (СКМ) с символьными вычислениями – систем компьютернойалгебры. Для данного вполне тривиального случая решение задачимоделирования линейной RC -цепи дает аналитическое выражение (2)достаточно общего вида – оно пригодно для описания работы цепи при любыхноминалах компонентов R , C и E , и описывает экспоненциальный зарядконденсатора C через резистор R от источника постоянного напряжения E .

Безусловно, нахождение аналитических решений при аналитическоммоделировании оказывается исключительно ценным для выявления общихтеоретических закономерностей простых линейных цепей, систем и устройств.Однако его сложность резко возрастает по мере усложнения воздействий намодель и увеличения порядка и числа уравнений состояния, описывающихмоделируемый объект. Можно получить более или менее обозримыерезультаты при моделировании объектов второго или третьего порядка, но ужепри большем порядке аналитические выражения становятся чрезмерногромоздкими, сложными и трудно осмысляемыми. Например, даже простойэлектронный усилитель зачастую содержит десятки компонентов. Тем неменее, многие современные СКМ, например, системы символьной математикиMaple, Mathematica или среда MATLAB , способны в значительноймере автоматизировать решение сложных задач аналитическогомоделирования.

Одной из разновидностей моделирования является численное моделирование, которое заключается в получении необходимыхколичественных данных о поведении систем или устройств каким-либоподходящим численным методом, таким как методы Эйлера илиРунге-Кутта. На практике моделирование нелинейных систем и устройствс использованием численных методов оказывается намного болееэффективным, чем аналитическое моделирование отдельных частных линейныхцепей, систем или устройств. Например, для решения ДУ (1) или систем ДУв более сложных случаях решение в аналитическом виде не получается, но поданным численного моделирования можно получить достаточно полныеданные о поведении моделируемых систем и устройств, а также построитьграфики описывающих это поведение зависимостей.

Имитационное моделирование

Приимитационном 10имоделировании реализующий модель алгоритмвоспроизводит процесс функционирования системы во времени. Имитируютсяэлементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логическойструктуры и последовательности протекания во времени.

Основным преимуществом имитационных моделей по сравнениюсаналитическими является возможность решения более сложных задач.

Имитационные модели позволяют легко учитывать наличие дискретных илинепрерывных элементов, нелинейные характеристики, случайные воздействияи др. Поэтому этот метод широко применяется на этапе проектированиясложных систем. Основным средством реализации имитационногомоделирования служит ЭВМ, позволяющая осуществлять цифровоемоделирование систем и сигналов.

В связи с этим определим словосочетание «компьютерноемоделирование », которое все чаще используется в литературе. Будем полагать,что компьютерное моделирование - это математическое моделированиес использованием средств вычислительной техники. Соответственно,технология компьютерного моделирования предполагает выполнениеследующих действий:

1) определение цели моделирования;

2) разработка концептуальной модели;

3) формализация модели;

4) программная реализация модели;

5) планирование модельных экспериментов;

6) реализация плана эксперимента;

7) анализ и интерпретация результатов моделирования.

При имитационном моделировании используемая ММ воспроизводиталгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени приразличных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды.

Примером простейшей аналитической модели может служить уравнениепрямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процессас помощью имитационной модели должно быть реализовано наблюдениеза изменением пройденного пути с течением времени.Очевидно, в одних случаях более предпочтительным являетсяаналитическое моделирование, в других - имитационное (или сочетание того идругого). Чтобы выбор был удачным, необходимо ответить на два вопроса.

С какой целью проводится моделирование?

К какому классу может быть отнесено моделируемое явление?

Ответы на оба эти вопроса могут быть получены в ходе выполнения двухпервых этапов моделирования.

Имитационные модели не только по свойствам, но и по структуресоответствуют моделируемому объекту. При этом имеется однозначное и явноесоответствие между процессами, получаемыми на модели, и процессами,протекающими на объекте. Недостатком имитационного моделированияявляется большое время решения задачи для получения хорошей точности.

Результаты имитационного моделирования работы стохастическойсистемы являются реализациями случайных величин или процессов. Поэтомудля нахождения характеристик системы требуется многократное повторение ипоследующая обработка данных. Чаще всего в этом случае применяетсяразновидность имитационного моделирования - статистическое

моделирование (или метод Монте-Карло), т.е. воспроизведение в моделяхслучайных факторов, событий, величин, процессов, полей.

По результатам статистического моделирования определяют оценкивероятностных критериев качества, общих и частных, характеризующихфункционирование и эффективность управляемой системы. Статистическоемоделирование широко применяется для решения научных и прикладных задачв различных областях науки и техники. Методы статистическогомоделирования широко применяются при исследовании сложныхдинамических систем, оценке их функционирования и эффективности.

Заключительный этап статистического моделирования основан наматематической обработке полученных результатов. Здесь используют методыматематической статистики (параметрическое и непараметрическое оценивание,проверку гипотез). Примером параметрической оценки являетсявыборочное среднее показателя эффективности. Среди непараметрическихметодов большое распространение получил метод гистограмм .

Рассмотренная схема основана на многократных статистическихиспытаниях системы и методах статистики независимых случайных величин.Эта схема является далеко не всегда естественной на практике и оптимальнойпо затратам. Сокращение времени испытания систем может быть достигнуто засчет использования более точных методов оценивания. Как известно изматематической статистики, наибольшую точность при заданном объемевыборки имеют эффективные оценки. Оптимальная фильтрация и методмаксимального правдоподобия дают общий метод получения таких оценок.В задачах статистического моделирования обработка реализацийслучайных процессов необходима не только для анализа выходных процессов.

Весьма важен также и контроль характеристик входных случайныхвоздействий. Контроль заключается в проверке соответствия распределенийгенерируемых процессов заданным распределениям. Эта задача частоформулируется как задача проверки гипотез .

Общей тенденцией моделирования с использованием ЭВМ у сложныхуправляемых систем является стремление к уменьшению временимоделирования, а также проведение исследований в реальном масштабевремени. Вычислительные алгоритмы удобно представлять в рекуррентнойформе, допускающей их реализацию в темпе поступления текущей информации.

ПРИНЦИПЫ СИСТЕМНОГО ПОДХОДА В МОДЕЛИРОВАНИИ

Основные положения теории систем

Основные положения теории систем возникли в ходе исследованиядинамических систем и их функциональных элементов. Под системой понимают группу взаимосвязанных элементов, действующих совместнос целью выполнения заранее поставленной задачи. Анализ систем позволяетопределить наиболее реальные способы выполнения поставленной задачи,обеспечивающие максимальное удовлетворение поставленных требований.

Элементы, составляющие основу теории систем, не создаются с помощьюгипотез, а обнаруживаются экспериментальным путем. Для того чтобы начатьпостроение системы, необходимо иметь общие характеристикитехнологических процессов. Это же справедливо и в отношении принциповсоздания математически сформулированных критериев, которым долженудовлетворять процесс или его теоретическое описание. Моделированиеявляется одним из наиболее важных методов научного исследования иэкспериментирования.

При построении моделей объектов используется системный подход,представляющий собой методологию решения сложных задач, в основекоторой лежит рассмотрение объекта как системы, функционирующейв некоторой среде. Системный подход предполагает раскрытие целостностиобъекта, выявление и изучение его внутренней структуры, а также связейс внешней средой. При этом объект представляется как часть реального мира,которая выделяется и исследуется в связи с решаемой задачей построениямодели. Кроме этого, системный подход предполагает последовательныйпереход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цельпроектирования, а объект рассматривается во взаимосвязи с окружающейсредой.

Сложный объект может быть разделен на подсистемы, представляющие собой части объекта, удовлетворяющие следующим требованиям:

1) подсистема является функционально независимой частью объекта. Онасвязана с другими подсистемами, обменивается с ними информацией иэнергией;

2) для каждой подсистемы могут быть определены функции или свойства,не совпадающие со свойствами всей системы;

3) каждая из подсистем может быть подвергнута дальнейшему делению доуровня элементов.

В данном случае под элементом понимается подсистема нижнего уровня,дальнейшее деление которой нецелесообразно с позиций решаемой задачи.

Таким образом, систему можно определить как представление объектав виде набора подсистем, элементов и связей с целью его создания,исследования или усовершенствования. При этом укрупненное представлениесистемы, включающее в себя основные подсистемы и связи между ними,называется макроструктурой, а детальное раскрытие внутреннего строениясистемы до уровня элементов – микроструктурой.

Наряду с системой обычно существует надсистема – система болеевысокого уровня, в состав которой входит рассматриваемый объект, причёмфункция любой системы может быть определена только через надсистему.

Следует выделить понятие среды как совокупности объектов внешнего мира,существенно влияющих на эффективность функционирования системы, но невходящих в состав системы и ее надсистемы.

В связи с системным подходом к построению моделей используетсяпонятие инфраструктуры, описывающей взаимосвязи системы с ееокружением (средой).При этом выделение, описание и исследование свойств объекта,существенных в рамках конкретной задачи называется стратификациейобъекта, а всякая модель объекта является его стратифицированнымописанием.

Для системного подхода важным является определение структуры системы, т.е. совокупности связей между элементами системы, отражающих ихвзаимодействие. Для этого вначале рассмотрим структурный ифункциональный подходы к моделированию.

При структурном подходе выявляются состав выделенных элементов системы и связи между ними. Совокупность элементов и связей позволяет судить о структуре системы. Наиболее общим описанием структуры является топологическое описание. Оно позволяет определить составные части системыи их связи с помощью графов. Менее общим является функциональное описание, когда рассматриваютсяо тдельные функции, т. е. алгоритмы поведения системы. При этом реализуетсяфункциональный подход, определяющий функции, которые выполняетсистема.

На базе системного подхода может быть предложена последовательностьразработки моделей, когда выделяют две основные стадии проектирования:макропроектирование и микропроектирование.

На стадии макропроектирования строится модель внешней среды,выявляются ресурсы и ограничения, выбирается модель системы и критериидля оценки адекватности.

Стадия микропроектирования в значительной степени зависит отконкретного типа выбранной модели. В общем случае предполагает созданиеинформационного, математического, технического и программногообеспечения системы моделирования. На этой стадии устанавливаютсяосновные технические характеристики созданной модели, оцениваются времяработы с ней и затраты ресурсов для получения заданного качества модели.

Независимо от типа модели при ее построении необходиморуководствоваться рядом принципов системного подхода:

1) последовательное продвижение по этапам создания модели;

2) согласование информационных, ресурсных, надежностных и другиххарактеристик;

3) правильное соотношение различных уровней построения модели;

4) целостность отдельных стадий проектирования модели.

Формирование теоретических представлений на основе исследований в области естествознания, которые послужили основой информации для изучения природных процессов в водных экосистемах и развития математического моделирования как самостоятельного научного направления

Базовые понятия и определения

1.2.1. Модель (фр. мера, образец):

– некоторая совокупность объектов (пространственно-временных ячеек – станций, разрезов, матриц и т.д.), описывающая какие-либо параметры исследуемого явления;

Некоторая совокупность объектов, свойства которых и отношения между которыми удовлетворяют данной системе аксиом;

Мера, образец, норма – аналог (схема, структура, знаковая система) определенного фрагмента природной (или социальной) реальности.

(из словаря пусть найдут: метод, методика, методология ).

1.2.2. По классам сами модели бывают:

- физические;

- математические;

- социальные.

В свою очередь математические модели по принципу реализации могут быть:

- детерминированные – которые строятся на основе математически выраженных закономерностях, описывающих физико-химические процессы в объекте моделирования. Они позволяют однозначно определять значение переменных;

- статистические – строятся на основе экспериментальных данных и представляют собой системы соотношений, связывающих собой значения входных и выходных параметров;

- стохастические (или имитационные) – строятся на основе вероятностных представлений о процессах в объекте исследований и позволяют моделировать его поведение путем вычисления функций распределения вероятности переменных, характеризующих исследуемые свойства.

Имитация – подражание.

Стохастический – случайный, вероятностный.

Принцип – руководящая идея, основное правило деятельности.

Благодаря усилиям классиков современного естествознания, в ходе истории его развития формировалась качественная модель окружающего мира. Так, В.И. Вернадский заложил основы учения о живом веществе и морской геохимии, А.П. Виноградов начал изучать химический состав микроорганизмов, Н.М. Книпович был пионером рыбопромысловых исследований морей и солоноватых вод, С.В. Бруевич разработал аналитические методы морских гидрохимических работ, сформулировал основы гидрохимии, биогидрохимии и химической динамики морей, Л.А. Зенкевич изучал фауну и продуктивность морских вод, А.Б. Скопинцев начал исследования биогенных и органических веществ (ОВ) в водоемах и водотоках, Г.Г. Винберг обращался к вопросам формирования биологической продуктивности морей.

Эти работы послужили методологическим и теоретическим фундаментом начавшихся во всем мире со второй половины ХХ в. регулярных исследований экологического состояния морских экосистем, гидрохимических особенностей формирования сырьевой базы и биопродуктивности природных вод; закономерностей развития химико-биологических процессов трансформации и распада ОВ; механизмов регенерации биогенных субстратов в связи с изучением условий оборачиваемости и круговорота веществ в биосфере [Леонов, 1999], а также способов систематизации и анализа полученной информации [Фащук, 1997; Фащук и др., 1997].

По выражению известного математика, академика И.М. Яглома: “Уровень зрелости той или иной дисциплины в значительной мере определяется степенью использования в ней математического аппарата, содержательностью присущих дисциплине “математических моделей” и тесно с ними связанных дедуктивных выводов…” . Ко второй половине ХХ в. морская экология “созрела” как наука до такой степени, что математическое моделирование состояния морских экосистем стало самостоятельным научным направлением в естествознании. В его рамках Мировой океан рассматривается как сложная динамическая система физических, химических, биологических, геологических и других процессов.

Развитие средств вычислительной техники и аппарата прикладной математики привело к интенсивной разработке математических моделей морских экосистем, которые позволили систематизировать полученные знания в различных областях морской науки с целью прогноза и управления состоянием морских водоемов. В этой связи, математические модели морских экосистем, наряду с полевыми наблюдениями в море, можно рассматривать как фундамент научного понимания природы океана. Построение и использование математических моделей служит средством системного анализа условий функционирования морских экосистем.

1.4.1. На основе методологического подхода к моделированию природных процессов и явлений выделяют следующие типы моделей : эмпирические, полуэмпирические и теоретические.

Эмпирические модели описывают математическими зависимостями связи между отдельными параметрами состояния среды и действующими на них внешними факторами.

Теоретические модели строятся на широком фактическом материале, полученном в результате фундаментальных исследований отдельных элементов экосистемы, процессов трансформации вещества и энергии, закономерностей изменения химических и биологических параметров и др.

Полуэмпирические модели представляют собой синтез первых двух, и большая часть разработанных моделей может быть отнесена к этой категории.

1.4.2. По способу реализации модели делятся на:

- детерминистические (в них используются функциональные зависимости для связи между переменными);

- стохастические (построены на основании статистических связей). Первые из них применяются чаще, так как допускают бесконечное множество компонентов и не учитывают случайных колебаний параметров водной среды. Они удобны с точки зрения интерпретации результатов [Айзатуллин, Лебедев, 1977].

- стохастико-детерминистические , в которых на первом этапе решение ищется детерминистическим способом, а затем, с помощью метода статистических испытаний моделируется изменчивость различных параметров и исследуется реакция решения на эту изменчивость.

1.4.3. В зависимости от точности описания объекта модели можно подразделить на имитационные (приурочены к конкретным бассейнам или районам и разрабатываемые для конкретных задач исследований) и качественные (используются для выяснения общих закономерностей развития и анализа процессов, их иногда также называют теоретическими ). В имитационных моделях стремятся учесть максимум деталей, а в качественных – минимум (но наиболее важных), поэтому для последних главная проблема – выбор приоритетных переменных [Смит, 1976].

По другой классификации имитационные (они же стохастические) модели – это модели, построенные на основе вероятностных представлений о процессах в объекте исследований и позволяющие моделировать его поведение.

1.4.4. По способу представления (описания) пространственной структуры модели делятся на:

- точечные (или нульмерные) с сосредоточенными параметрами, в них значения характеристик состояния принимаются средними для всего объема воды, т.е. водоем рассматривается как точка (напр. как средняя океанологическая станция).

Основные этапы

Для обсуждения и обоснования основных подходов к разработке проблем математического моделирования технических устройств и процессов в них представляется целесообразным предварительно рассмотреть условную схему (рис. 1.1), опре­деляющую последовательность проведения отдельных этапов общей процедуры Исходной позицией этой схемы служит технический объект (ТО), под которым будем понимать конкретное техническое устройство, его агрегат или узел, систему устройств, процесс, явление или отдельную ситуацию в какой-либо системе или устройстве.

Рис. 1.1

На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого или существующего) ТО к его расчетной схеме (PC). При этом в зависимости от на­правленности вычислительного эксперимента и его конечной цели акцентируют те свойства, условия работы и особенности ТО, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в PC, и, наоборот, аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в PC те качества ТО, влияние которых предполагают в рассматриваемом случае несущественным. Иногда вместо PC используют термин содержательная модель* ТО, а в некоторых случаях - концептуальная модель. В сложившихся инженерных дисциплинах (например, в сопротивлении материалов, электротехнике и электронике) помимо описательной (вербальной) информации для характеристики PC разработаны специальные приемы и символы наглядного графического изображения. По ряду новых направлений развития техники подобная символика находится в стадии форми­рования.

При разработке новых ТО успешное проведение первого этапа в значительной мере зависит от профессионального уров­ня инженера, его творческого потенциала и интуиции. Полнота и правильность учета в PC свойств ТО, существенных с точки зрения поставленной цели исследования, являются основной предпосылкой получения в дальнейшем достоверных резульатов математического моделирования. И наоборот, сильная идеализация ТО ради получения простой PC может обесценить все последующие этапы исследования.

Надо сказать, что для некоторых типовых PC существуют банки ММ, что упрощает проведение второго этапа. Более того, одна и та же ММ может соответствовать PC из различных предметных областей. Однако при разработке новых ТО часто не удается ограничиться применением типовых PC и отвечающих им уже построенных ММ. Создание новых ММ или модификация существующих должны опираться на достаточно глубокую математическую подготовку и владение математи­кой как универсальным языком науки.

На третьем этапе проводят качественный и оценочный ко­личественный анализ построенной ММ. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточ­нения или пересмотра PC (штриховая линия на рис. 1.1). Количественные оценки могут дать основания упростить модель, исключив из рассмотрения некоторые параметры, соотношения или их отдельные составляющие, несмотря на то что влияние описываемых ими факторов учтено в PC. В большинстве случа­ев, принимая дополнительные по отношению к PC допущения, полезно построить такой упрощенный вариант ММ, который позволял бы получить или привлечь известное точное решение. Это решение затем можно использовать для сравнения при те­стировании результатов на последующих этапах. В некоторых случаях удается построить несколько ММ для одного и того же ТО, отличающихся различным уровнем упрощения. В этом случае говорят об иерархии ММ (греческое слово происходит от - священный и - власть и в данном случае означает упорядочение ММ по признаку их сложности и полноты).

Построение иерархии ММ связано с различной детализацией свойств изучаемого ТО. Сравнение результатов исследования различных ММ может существенно расширить и обогатить знания об этом ТО. Кроме того, такое сравнение позволяет оценить достоверность результатов последующего вычислитель­ного эксперимента: если более простая ММ правильно отражает некоторые свойства ТО, то результаты исследования этих свойств должны быть близки к результатам, полученным при использовании более полной и сложной ММ.

Итог анализа на рассматриваемом этапе - это обоснованный выбор рабочей ММ ТО, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу. Успех в проведении тре­тьего этапа зависит, как правило, от глубины понимания связи отдельных составляющих ММ со свойствами ТО, нашедшими отражение в его PC, что предполагает органическое сочетание владения математикой и инженерными знаниями в конкретной предметной области.

Четвертый этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ, в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, а пятый этап - в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники. Для успешного проведения четвертого этапа необходимо владеть арсеналом современных методов вычислительной математики, а при математическом моделировании довольно сложных ТО выполнение пятого этапа требует профессиональной подготовки в области программирования на ЭВМ.

Получаемые на шестом этапе (в итоге работы программы) результаты вычислений должны прежде всего пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенного варианта ММ рассматриваемого ТО. Тестирование может выявить недочеты как в программе, так и в алгоритме и потребовать доработки программы или же модификации и алгоритма и программы. Анализ результатов вычислений и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость в корректировке PC и соответствующей ММ. После устранения всех выявленных недочетов триаду „модель - алгоритм - программа" можно использовать в качестве рабочего инструмента для проведения вычислительного эксперимента и выработки на основе получаемой количественной информации практических рекомендаций, направленных на совершенствование ТО, что составляет содержание седьмого, завершающего „технологический цикл" этапа математического моделирования.

Представленная последовательность этапов носит общий и универсальный характер, хотя в некоторых конкретных случаях она может и несколько видоизменяться. Если при разработке ТО можно использовать типовые PC и ММ, то отпадает необходимость в выполнении ряда этапов, а при наличии и соответствующего программного комплекса процесс вычислительного эксперимента становится в значительной степени автоматизированным. Однако математическое моделирование ТО, не имеющих близких прототипов, как правило, связано с проведением всех этапов описанного „технологического цикла".

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Из последовательности основных этапов математического моделирования (см. рис. 1.1) следует, что определяющую роль в нем играет математическая модель (ММ) изучаемого технического объекта. Поэтому прежде всего следует уделить внимание основным свойствам ММ и требованиям к ней, а также классификации ММ.

2.1. Понятие математической модели

Понятие математической модели (ММ), как и ряд других понятий, используемых в математическом моделировании, не имеет строгого формального определения. Тем не менее в это понятие вкладывают вполне конкретное содержание, с которым, в частности, тесно связано применение математики в инженерной практике. Более того, такие научные дисциплины, как механика, физика и их многочисленные разделы, являются, по существу, упорядоченными множествами ММ, построение которых сопровождается теоретическим обоснованием адекватного отражения этими моделями свойств рассматриваемых процессов и явлений. Именно посредством ММ научные дисциплины взаимодействуют с математикой.

Этапы развития многих естественно-научных направлений в познании законов природы и в совершенствовании техники - это построение последовательности все более точных и более полных ММ изучаемых процессов и явлений. Однако история науки знает не только случаи последовательного уточнения той или иной ММ, но и случаи отказа от некоторых ММ вследствие расхождений прогнозируемых ими результатов с реальностью.

Отвечающая реальности (адекватная) ММ является, как правило, большим научным достижением. Она позволяет провести детальное исследование изучаемого объекта и дать на­дежный прогноз его поведения в различных условиях. Но за адекватность ММ нередко приходится расплачиваться ее усложнением, что вызывает трудности при ее использовании. В этом случае на помощь математике и приходит современная вычислительная техника, существенно расширившая класс ММ, допускающих исчерпывающий количественный анализ.

Одни и те же ММ находят подчас совершенно различные приложения. Известно, например, что закон Ньютона притяжения двух материальных точек и закон взаимодействия двух точечных электрических зарядов при соответствующем выборе единиц измерения физических величин можно выразить одинаковыми формулами. При помощи одной и той же ММ, содержащей уравнение Пуассона

где - дифференциальный оператор Лапласа, а - искомая и заданная функции положения точки некоторой области V, можно изучать установившиеся процессы течения жидкости и распространения теплоты, распределение электрического потенциала, деформацию мембраны, механические напряжения при кручении бруса, фильтрацию нефти в нефтеносном слое или влаги в почве, распространение какой-либо примеси в воздухе или эпидемии в регионе. В каждой из перечисленных задач функции приобретают свой смысл, но их связь описывает общее для этих задач уравнение (2.1).

Приведенные примеры характеризуют свойство универсальности ММ. Благодаря этому свойству возникает „родство" между различными отраслями знаний, что ускоряет их совместное развитие. Такую общность и универсальность ММ можно объяснить тем, что в математике используют абстрактные основополагающие понятия, немногочисленные, но весьма емкие по содер­жанию. Это позволяет конкретные факты из самых различных областей знаний рассматривать как проявление этих понятий и отношений между ними. Совокупность таких понятий и отношений, выраженных при помощи системы математических символов и обозначений и отражающих некоторые свойства изучаемого объекта, и называют математической моделью этого объекта. В данном случае математика выступает, по существу, в роли универсального языка науки. Его универсальность французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912) определил всего одной фразой: „Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем".

2.2. Структура математической модели

В достаточно общем случае изучаемый технический объект (ТО) количественно можно охарактеризовать векторами внешних, внутренних и выходных параметров соответственно. Одни и те же физические, механические или информационные характеристики ТО в моделях различного уровня и содержания могут выполнять роль как внешних или внутренних, так и выходных параметров.

Например, для электронного усилителя выходными параметрами являются коэффициент усиления, полоса частот пропускаемых сигналов, входное сопротивление, рассеиваемая мощность, внешними - сопротивление и емкость нагрузки, напряжения источников питания, температура окружающей среды, а внутренними - сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, характеристики транзисторов* 2 . Но если в качестве ТО рассматривать отдельно взятый транзистор, то такие его характеристики, как отпирающее напряжение и коллекторный ток, следует уже отнести к его выходным параметрам, а в качестве внешних надо будет рассматривать токи и напряжения, задаваемые коммутирующими с ним элементами усилителя.

При создании ТО значения выходных параметров или диа­пазоны их возможного изменения оговаривают в техническом задании на разработку ТО, тогда как внешние параметры ха­рактеризуют условия его функционирования.

В сравнительно простом случае математическая модель (ММ) ТО может представлять собой соотношение

где - векторная функция векторного аргумента. Модель в виде (2.2) позволяет легко вычислять выходные параметры по задаваемым значениям внешних и внутренних параметров, т.е. решать так называемую прямую задачу. В инженерной практике решение прямой задачи часто называют поверочным расчетом. При создании ТО возникает необходимость решать более сложную так называемую обратную задачу: по обусловленным техническим заданием на проектирование ТО значениям внешних и выходных параметров находить его внутренние параметры. В инженерной практике решению обратной задачи соответствует так называемый проектировочный расчет, часто имеющий целью оптимизацию внутренних параметров по некоторому критерию оптимальности. Однако при построении ММ ТО функция в (2.2) обычно заранее не известна и ее предстоит установить. Это наиболее сложная так называемая задача идентификации ММ (от латинского слова identifico - отождествляю, которому в данном случае придают смысл „распознаю").

Задача идентификации может быть решена путем математической обработки информации о ряде таких состояний ТО, для каждого из которых известны (например, измерены экспериментально) значения выходных, внутренних и внешних параметров. Один из таких способов связан с применением регрессионного анализа . Если информация о внутренних параметрах отсутствует или же внутреннее устройство ТО слишком сложно, то ММ такого ТО строят по принципу черного ящика - устанавливают соотношение между внешними и выходными параметрами путем исследования реакции ТО на внешние воздействия.

Теоретический путь построения ММ состоит в установлении связи между у, х и gв виде операторного уравнения

L(u(z))=0, (2.3)

где L - некоторый оператор (в общем случае нелинейный), О - нулевой элемент пространства, в котором действует этот оператор, z -вектор независимых переменных, в общем случае включающий время и пространственные координаты, а и - вектор фазовых переменных, включающий те параметры ТО, которые характеризуют его состояние. Но даже если возможно получить решение (2.3) и найти зависимость u(z) от z, то далеко не всегда удается представить ММ ТО в явном относительно вектора у виде (2.2). Поэтому именно (2.3) определяет в общем случае структуру ММ ТО, а (2.2) является более простым частным случаем такой модели.

2.3. Свойства математических моделей

Из сказанного ранее следует, что при изучении реально существующего или мыслимого технического объекта (ТО) математические методы применяют к его математической модели (ММ). Это применение будет эффективным, если свойства ММ удовлетворяют определенным требованиям. Рассмотрим основные из этих свойств.

Полнота ММ позволяет отразить в достаточной мере именно те характеристики и особенности ТО, которые интересуют нас с точки зрения поставленной цели проведения вычислительного эксперимента. Например, модель может достаточно полно описывать протекающие в объекте процессы, но не отражать его габаритные, массовые или стоимостные показатели. Так, ММ резистора в виде хорошо известной формулы U = IR закона Ома обладает свойством полноты лишь с точки зрения установления связи между падением электрического напряжения U на резисторе, его сопротивлением R и протекающим через него током силой I, но не дает никакой информации о размерах, массе, теплостойкости, стоимости и других характеристиках резистора, по отношению к которым она не является полной. Отметим попутно, что в рассматриваемой ММ сопротивление R резистора выступает в роли его внутреннего параметра, тогда как если задано U, то I будет выходным параметром, a U - внешним параметром, и наоборот.

Точность ММ дает возможность обеспечить приемлемое совпадение реальных и найденных при помощи ММ значений выходных параметров ТО, составляющих вектор

Пусть - найденное при помощи ММ и реальное значения i-го выходного параметра. Тогда относительная погрешность ММ по отношению к этому параметру будет равна

В качестве скалярной оценки вектора

можно принять какую-либо его норму, например

Поскольку выходные параметры ТО при помощи ММ связаны с его внешними и внутренними параметрами, т. е, как количественная характеристика точности модели этого ТО, будет зависеть от координат векторов х и y.

Адекватность ММ - это способность ММ описывать выходные параметры ТО с относительной погрешностью не более некоторого заданного значения . Пусть при некоторых ожидаемых номинальных значениях внешних параметров ТО, составляющих вектор х ном, из условия минимума путей решения задачи конечномерной оптимизации найдены значения внутренних параметров, составляющие вектор g ном иобеспечивающие минимальное значение e min относительной погрешности ММ. Тогда при фиксированном векторе δ можно построить множество

называемое областью адекватности данной ММ. Ясно, что при , а чем больше заданное значение , тем шире область адекватности ММ, т.е. эта ММ применима в более широком диапазоне возможного изменения внешних параметров ТО.

В более общем смысле под адекватностью ММ понимают правильное качественное и достаточно точное количественное описание именно тех характеристик ТО, которые важны в данном конкретном случае. Модель, адекватная при выборе одних характеристик, может быть неадекватной при выборе других характеристик того же ТО. В ряде прикладных областей, еще недостаточно подготовленных к применению количественных математических методов, ММ имеют главным образом качественный характер. Эта ситуация типична, например, для биологической и социальной сфер, в которых количественные закономерности не всегда поддаются строгой математической формализации. В таких случаях под адекватностью ММ естественно понимать лишь правильное качественное описание по­ведения изучаемых объектов или их систем. Экономичность ММ оценивают затратами на вычислительные ресурсы (машинное время и память), необходимые для реализации ММ на ЭВМ. Эти затраты зависят от числа арифметических операций при использовании модели, от размерности пространства фазовых переменных, от особенностей применяемой ЭВМ и других факторов. Очевидно, что требова­ния экономичности, высокой точности и достаточно широкой области адекватности ММ противоречивы и на практике могут быть удовлетворены лишь на основе разумного компромисса. Свойство экономичности ММ часто связывают с ее простотой. Более того, количественный анализ некоторых упрощенных вариантов ММ может быть осуществлен и без привлечения современной вычислительной техники. Однако его результаты могут иметь лишь ограниченную ценность на стадии отладки алгоритма или ЭВМ-программы (см. 1.2 и рис. 1.1), если упрощение ММ не согласовано с расчетной схемой ТО.

Робастность ММ (от английского слова robust - крепкий, устойчивый) характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных данных, способность нивелировать эти погрешности и не допускать их чрезмерного влия­ния на результат вычислительного эксперимента. Причинами низкой робастности ММ могут быть необходимость при ее количественном анализе вычитания близких друг к другу приближенных значений величин или деления на малую по модулю величину, а также использование в ММ функций, быстро изменяющихся в промежутке, где значение аргумента известно с невысокой точностью. Иногда стремление увеличить полноту ММ приводит к снижению ее робастности вследствие введения дополнительных параметров, известных с невысокой точно­стью или входящих в слишком приближенные соотношения.

Продуктивность ММ связана с возможностью распола­гать достаточно достоверными исходными данными. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получа­ются при использовании ММ. В противном случае ММ будет непродуктивной и ее применение для анализа конкретного ТО теряет смысл. Ее можно будет использовать лишь для оценки характеристик некоторого класса ТО с гипотетическими исходными данными.

Наглядность ММ является ее желательным, но необязательным свойством. Тем не менее использование ММ и ее модификация упрощаются, если ее составляющие (например, отдельные члены уравнений) имеют ясный содержательный смысл. Это обычно позволяет ориентировочно предвидеть результаты вычислительного эксперимента и облегчает контроль их правильности.

В дальнейшем на конкретных примерах будут проиллюстрированы отмеченные выше свойства ММ (см. 3 и 6).

2.4. Структурные и функциональные

Различные особенности и признаки математических моделей (ММ) лежат в основе их типизации (или классификации). Среди таких признаков выделяют характер отображаемых свойств технического объекта (ТО), степень их детализации, способы получения и представления ММ.

Один из существенных признаков классификации связан с отражением в ММ тех или иных особенностей ТО. Если ММ отображает устройство ТО и связи между составляющими его элементами, то ее называют структурной математической моделью. Если же ММ отражает происходящие в ТО физические, механические, химические или информационные процессы, то ее относят к функциональным математическим моделям. Ясно, что могут существовать и комбиниро­ванные ММ, которые описывают как функционирование, так и устройство ТО. Такие ММ естественно называть структурно-функциональными математическими моделями.

Структурные ММ делят на топологические и геометрические составляющие два уровня иерархии ММ этого типа. Первые отображают состав ТО и связи между его элементами. Топологическую ММ целесообразно применять на начальной стадии исследования сложного по структуре ТО, состоящего из большого числа элементов, прежде всего для уяснения и уточнения их взаимосвязи. Такая ММ имеет форму графов, таблиц, матриц, списков и т.п., и ее построению обычно предшествует разработка структурной схемы ТО.

Геометрическая ММ дополнительно к информации, пред­ставленной в топологической ММ, содержит сведения о форме и размерах ТО и его элементах, об их взаимном расположении. В геометрическую ММ обычно входят совокупность уравнений линий и поверхностей и алгебрологические соотношения, определяющие принадлежность областей пространства телу ТО или его элементам. Такую ММ иногда задают координатами некоторого множества точек, по которым интерполированием можно построить ограничивающие область линии или поверхности. Границы области задают и кинематическим способом: линию - как траекторию движения точки, а поверхность - как результат перемещения линии. Возможно представление формы и размеров области совокупностью типовых фрагментов достаточно простой конфигурации. Такой способ характерен, например, для метода конечных элементов , широко используемого в математическом моделировании.

Геометрические ММ находят применение при проектировании ТО, разработке технической документации и технологических процессов изготовления деталей (например, на станках с числовым программным управлением).

Функциональные ММ состоят из соотношений, связывающих между собой фазовые переменные, т.е. внутренние, внешние и выходные параметры ТО. Функционирование сложных ТО нередко удается описать лишь при помощи совокупности его реакций на некоторые известные (или заданные) входные воздействия (сигналы). Такую разновидность функциональной ММ относят к типу черного ящика и обычно называют имитационной математической моделью, имея в виду, что она лишь имитирует внешние проявления функционирования ТО, не раскрывая и не описывая существа протекающих в нем процессов. Имитационные ММ находят широкое применение в технической кибернетике- научном направлении, изучающем системы управления сложными ТО.

По форме представления имитационная ММ является примером алгоритмической математической модели, поскольку связь в ней между внешними и выходными параметрами ТО удается описать лишь в форме алгоритма, пригодного для реализации в виде ЭВМ-программы. По этому признаку к типу алгоритмических относят более широкий класс как функциональных, так и структурных ММ. Если связи между параметрами ТО можно выразить в аналитической форме, то говорят об аналитических математических моделях. При построении иерархии ММ одного и того же ТО обычно стремятся к тому, чтобы упрощенный вариант ММ (см. 1.2) был представлен в аналитической форме, допускающей точное решение, которое можно было бы использовать для сравнения при тестировании результатов, полученных при помощи более полных и поэтому более сложных вариантов ММ.

Ясно, что ММ конкретного ТО по форме представления может включать признаки как аналитической, так и алгорит­мической ММ. Более того, на стадии количественного иссле­дования достаточно сложной аналитической ММ и проведения вычислительного эксперимента на ее основе разрабатывают алгоритм, который реализуют в виде ЭВМ-программы, т.е. в процессе математического моделирования аналитическую ММ преобразуют в алгоритмическую ММ.

2.5. Теоретические и эмпирические

По способу получения математические модели (ММ) делят на теоретические и эмпирические . Первые получают в результате изучения свойств технического объекта (ТО) и протекающих в нем процессов, а вторые являются итогом обработки результатов наблюдения внешних проявлений этих свойств и процессов. Один из способов построения эмпирических ММ заключается в проведении экспериментальных исследований, связанных с измерением фазовых переменных ТО, и в последующем обобщении результатов этих измерений в алгоритмической форме или в виде аналитических зависимостей. Поэтому эмпирическая ММ по форме представления может содержать признаки как алгоритмической, так и аналитической математической модели. Таким образом, построение эмпирической ММ сводится к решению задачи идентификации.

При построении теоретических ММ прежде всего стремятся использовать известные фундаментальные законы сохранения таких субстанций, как масса, электрический заряд, энергия, количество движения и момент количества движения. Кроме того, привлекают определяющие соотношения (называемые также уравнениями состояния), в роли которых могут выступать так называемые феноменологические законы (например, уравнение Клапейрона - Менделеева состояния совершенного газа, закон Ома о связи силы тока в проводнике и падения электрического напряжения, закон Гука о связи деформации и механического напряжения в линейно упругом материале, закон Фурье о связи градиента температуры в теле с плотностью теплового потока и т.п.).

Сочетание теоретических соображений качественного характера с обработкой результатов наблюдения внешних проявлений свойств изучаемого ТО приводит к смешанному типу ММ, называемых полуэмпирическими. При построении таких ММ используют основные положения теории размерностей, в том числе так называемую П-теорему (Пи-теорему*): если между п параметрами, характеризующими изучаемый объект, существует зависимость, имеющая физический смысл, то эту зависимость можно представить в виде зависимости между = п - к их безразмерными комбинациями, где к - число независимых единиц измерения, через которые можно выразить размерности этих параметров. При этом п определяет число независимых (не выражаемых друг через друга) безразмерных комбинаций, обычно называемых критериями подобия .

Объекты, для которых равны значения соответствующих критериев подобия, считают подобными. Например, любой треугольник однозначно определен длинами a, b и с его сторон, т.е n= 3, a k = 1. Поэтому, согласно -теореме, множество подобных треугольников можно задать значениями = п - к = 2 критериев подобия. В качестве таких критериев можно выбрать безразмерные отношения длин сторон: b/а и с/а или любые два других независимых отношения. Так как углы треугольника однозначно связаны с отношениями сторон и являются безразмерными величинами, то множество подобных тре­угольников можно определить равенством двух соответствующих углов или равенством угла и отношения длин прилегающих к нему сторон. Все перечисленные варианты соответствуют из­вестным признакам подобия треугольников.

Для успешного применения П-теоремы к построению моделей ТО необходимо располагать полным набором параметров, описывающих изучаемый объект, причем выбор этих параметров должен опираться на аргументированный качественный анализ тех свойств и особенностей ТО, влияние которых су­щественно в данном конкретном случае. Отметим, что такой анализ необходим при любом способе построения ММ, и про­иллюстрируем это положение примерами.

Пример 2.1. Рассмотрим хорошо известную расчетную схему математического маятника (рис. 2.1) в виде материальной точки массой , подвешенной на невесомом стержне постоянной длины , который может свободно вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О. Отклонение маятника на угол от его вертикального положения

равновесия приведет к возрастанию потенциальной энергии материальной точки на величину где - ускорение свободного падения. Если после отклонения маятник начнет движение, то при отсутствии сопротивления он в силу закона сохранения энергии будет совершать незатухающие колебания относительно положения равновесия (точка А на рис. 2.1). При прохождении положения равновесия скорость v материальной точки является наибольшей по абсолютной величине, поскольку в этом положении кинетическая энергия этой точки равна , так

Пусть необходимо установить зависимость периода Т колебаний маятника (т.е. наименьшего промежутка времени, через который маятник возвращается в некоторое фиксированное положение, не совпадающее с положением равновесия) от параметров (параметр v следует исключить из рассмотрения, поскольку его удалось выразить через указанные выше параметры). Размерности [.] четырех указанных параметров и периода Т колебаний можно выразить через к = 3 независимые стандартные единицы измерения: [Т] = с, [т] = кг, [l] = мс, = 0 и [g] = м/с 2 . Поэтому в силу П-теоремы из п = 5 параметров можно составить безразмерные комбинации, причем угол , будучи безразмерным, является одной из них. Во вторую безразмерную комбинацию не удается включить массу m материальной точки, поскольку единица измерения массы (кг) входит лишь в размерность массы. Следовательно, величина m не является аргументом искомой зависимости, что можно установить и при построении теоретической ММ рассматриваемого маятника (см. пример 5.12). После исключения параметра m имеем п = 4 и к = 2, т.е. снова п = 2, так что наряду с безразмерным параметром остальные

Пример 2.3. Пусть поток несжимаемой жидкости обтека­ет неподвижное твердое тело заданной формы, имеющее характерный размер и постоянную температуру То (рис. 2.3). Скорость v и температура Т ж > То жидкости на большом (по сравнению с I) расстоянии от тела сохраняют постоянные значения. Необходимо при некотором фиксированном положении тела относительно направления вектора v скорости найти количество теплоты Q, передаваемое в единицу времени от жидкости к телу и называемое тепловым потоком.

Процесс передачи теплоты локализован у поверхности тела и зависит не только от перечисленных параметров, но и от объемной теплоемкости с и коэффициента теплопроводности жидкости, поскольку эти параметры характеризуют способность жидкости подводить тепловую энергию и передавать ее поверхности тела. Подвод тепловой энергии к телу также зависит от распределения скорости жидкости у его поверхности. В случае идеальной (невязкой) жидкости оно однозначно определено фиксированным положением тела относительно вектора v, а для вязкой жидкости зависит и от соотношения между силами вязкости и инерции, характеризуемого коэффициентом вязкости , называемым кинематическим и измеряемым в м 2 /с.

При сравнительно близких значениях Т ж и То естественно предположить, что тепловой поток зависит не от каждой из этих температур, а от их разности . Тогда в случае идеальной жидкости имеем п = 6 размерных параметров, размерности которых можно выразить через к = 4 независимые стандартные единицы измерения: [l] = м, [v] = м/с,

K, [Q]=Дж/с=Вт=н м/с, [c]=Дж/(м 3 К)=кг/(м с 2 К), =Вт/(м К)=кг м/(с 3 К), где Дж (джоуль) и Вт (ватт) - единицы измерения энергии (работы) и мощности соответственно, а К (кельвин) - единица измерения температуры в абсолютной шкале. В силу П-теоремы из этих параметров можно составить лишь п = п - к = 2 независимые безразмерные комбинации, например и . В итоге приходим к функциональной зависимости

установленной в 1915 г. Дж.У. Стреттом.

Отношение q = Q/S называют усредненной по площади S поверхности тела плотностью теплового потока и измеряют в Вт/м 2 . Так как для геометрически подобных тел , то (2.7) можно представить в виде

где Ki - тепловой критерий Кирпичева и Ре - критерий Пекле. Интенсивность теплообмена на поверхности тела обычно характеризуют усредненным коэффициентом теплоотдачи - , измеряемым в Вт/(м 2 К). Тогда вместо (2.8) получим

где Nu - критерий (число) Нуссельта. Вид функции в (2.7)-(2.9) нельзя установить в рамках теории размерностей и его приходится определять путем обработки результатов экспериментов, хотя в некоторых простых случаях удается построить и теоретические ММ процесса теплообмена.

В случае вязкой жидкости имеем п = 7 размерных параметров, размерности которых по-прежнему можно выразить через к = 4 независимые единицы измерения, т.е. число независмых безразмерных комбинаций равно . К рассмотренным выше следует добавить любую безразмерную комбинацию, включающую новый параметр и. Эту комбинацию можно выбрать, например, в виде или . В первом случае ее называют критерием (числом) Рейнолъдса и обозначают Re = , а во втором - критерием (числом)Прандтля и обозначают Рг = . Критерий Прандтля характеризует только свойства жидкости, а критерий Рейнольдса - соотношение между инерционными силами и силами вязкого трения. В итоге вместо (2.9) получим

Так как Ре = RePr, то в случае вязкой жидкости критерий Нуссельта может быть представлен функцией любых двух из трех аргументов Ре, Re, Pr.

Ясно, что при наличии трех и более безразмерных комбинаций параметров построение полуэмпирической ММ существенно усложняется. В этом случае обычно выделяют так называемый определяемый критерий (в примере 2.3 это Ki или Nu), a остальные критерии относят к определяющим и проводят несколько серий экспериментальных измерений для установления функциональной зависимости определяемого критерия от двух или более определяющих, рассматриваемых в качестве аргументов искомой функции (в (2.10) это функции ). В каждой серии измерений размерные параметры изменяют таким образом, чтобы изменялось значение лишь одного из определяющих критериев. Тогда обработка результатов такой серии измерений позволяет выявить функциональную зависимость определяемого критерия от одного из аргументов при фиксированных значениях остальных. В итоге в некоторой области изменения значений определяющих критериев удается с некоторой степенью приближения построить искомую функцию, т.е. решить задачу идентификации полуэмпирической ММ.

Отметим, что применение -теоремы к аналитической ММ, представленной в виде уравнений, позволяет привести их к безразмерной форме и сократить число параметров, характеризующих изучаемый ТО. Это упрощает качественный анализ и позволяет еще до проведения количественного анализа оценить влияние отдельных факторов (см. Д.2.2). Кроме того, безразмерная форма ММ дает возможность представить в более компактном виде результаты ее количественного анализа.

2.6. Особенности функциональных моделей

Одной из характерных особенностей функциональной математической модели (ММ) является наличие или отсутствие среди ее параметров случайных величин. При наличии таких величин ММ называют стохастической , а при их отсутствии - детерминированной .

Далеко не все параметры реальных технических объектов (ТО) можно характеризовать вполне определенными значениями. Поэтому ММ таких ТО, строго говоря, следует отнести к стохастическим. Например, если изучаемый ТО является изделием массового производства и его внутренние параметры могут принимать случайные значения в пределах допусков, установленных относительно номинальных значений, то и выходные параметры ТО будут случайными величинами. Случайными могут быть и значения внешних параметров при воздействии на ТО таких факторов, как порывы ветра, турбулентные пульсации, сигналы на фоне шума и т.п.

Для анализа стохастических ММ необходимо использовать методы теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики. Однако основная трудность их применения обычно связана с тем, что вероятностные характеристики случайных величин (математические ожидания, дисперсии, законы распределения) часто не известны или известны с невысокой точностью, т.е. ММ не удовлетворяет требованию продуктивности ММ. В таких случаях эффективнее использовать ММ, более грубую по сравнению со стохастической, но и более устойчивую по отношению к недостоверности исходных данных, т.е. в большей мере удовлетворяющую требованию робастности.

Существенным признаком классификации ММ является их возможность описывать изменение параметров ТО во времени. Рассмотренная в примере 2.4 ММ теплообмена тела с окружающей средой учитывает такое изменение, и ее относят к нестационарным (или эволюционным) математическим моделям. Если при этом в ММ отражено влияние инерционных свойств ТО, то ее обычно называют динамической. В противоположность этому ММ, которая не учитывает изменение во времени параметров ТО, называют статической. Рассмотренные в примерах 2.2 и 2.3 ММ являются статическими. Несмотря на движение воздушного потока и жидкости, обтекающих профиль крыла и нагреваемое тело соответственно, все параметры, характеризующие эти процессы остаются постоянными во времени.

Если изменение параметров ТО происходит столь медленно, что в рассматриваемый фиксированный момент времени этим изменением можно пренебречь, то говорят о квазистатической математической модели. Например, в медленно протекающих механических процессах можно пренебречь инерционными силами, при малой скорости изменения температуры - тепловой инерцией тела, а при медленно изменя­ющейся силе тока в электрической цепи - индуктивностью элементов этой цепи. Стационарные математические модели описывают ТО, в которых протекают так называемые установившиеся процессы, т.е. процессы, в которых инте­ресующие нас выходные параметры постоянны во времени. К установившимся относят и периодические процессы, в которых некоторые выходные параметры остаются неизменными, а остальные претерпевают колебания. Например, ММ математического маятника (см. пример 2.1) является стационарной по отношению к не зависящим от времени периоду и полуразмаху колебаний, хотя материальная точка перемещается во времени относительно положения равновесия.

Если интересующие нас выходные параметры ТО изменя­ются медленно и в рассматриваемый фиксированный момент времени таким изменением можно пренебречь, то говорят о квазистационарной математической модели. При описании некоторых процессов нестационарная ММ может быть преобразована в квазистационарную соответствующим выбо­ром системы координат. Например, при дуговой электросварке температурное поле в свариваемых стальных листах в окрест­ности движущегося с постоянной скоростью электрода в непо­движной системе координат описывает нестационарная ММ, а в подвижной системе координат, связанной с электродом, - квазистационарная ММ.

Важным с точки зрения последующего анализа свойством ММ является ее линейность. В ТО его параметры связаны линейными соотношения­ми. Это означает, что при изменении какого-либо внешнего (или внутреннего) параметра ТО линейная ММ предсказывает линейное изменение зависящего от него выходного параметра, а при изменении двух или более параметров - сложение их вли­яний, т.е. такая ММ обладает свойством суперпозиции (от латинского слова superpositio - наложение). Если ММ не обла­дает свойством суперпозиции, то ее называют нелинейной.

Для количественного анализа линейных ММ разработано большое число математических методов, тогда как возможно­сти анализа нелинейных ММ связаны в основном с методами вычислительной математики. Чтобы для исследования нели­нейной ММ ТО можно было использовать аналитические методы, ее обычно линеаризуют, т.е. нелинейные соотношения между параметрами заменяют приближенными линейными и получают так называемую линеаризованную математическую модель рассматриваемого ТО. Так как линеаризация связана с внесением дополнительных погрешностей, то к результатам анализа линеаризованной модели следует относиться с определенной осторожностью. Дело в том, что линеаризация ММ может привести к утрате или существенному искажению реальных свойств ТО. Учет в ММ нелинейных эффектов особенно важен, например, при описании смены форм движения или положений равновесия ТО, когда малые изменения внешних параметров могут вызвать качественные изменения в его состоянии.

Каждый параметр ТО может быть двух типов - непрерывно изменяющимся в некотором промежутке своих значений или принимающим только некоторые дискретные значения. Возможна и промежуточная ситуация, когда в одной области параметр принимает все возможные значения, а в другой - только дискретные. В связи с этим выделяют непрерывные, дискретные и смешанные математические модели. В процессе анализа ММ этих типов могут быть преобразованы одна в другую, но при таком преобразовании следует контролировать выполнение требования адекватности ММ рассматриваемому ТО.

2.7. Иерархия математических моделей и формы их представления

При математическом моделировании достаточно сложного технического объекта (ТО) описать его поведение одной математической моделью (ММ), как правило, не удается, а если такая ММ и была бы построена, то она оказалась бы слиш­ком сложной для количественного анализа. Поэтому к таким ТО обычно применяют принцип декомпозиции. Он состоит в условном разбиении ТО на отдельные более простые блоки и элементы, допускающие их независимое исследование с последующим учетом взаимного влияния блоков и элементов друг на друга. В свою очередь, принцип декомпозиции можно применить и к каждому выделенному блоку вплоть до уровня достаточно простых элементов. В таком случае возникает иерархия ММ связанных между собой блоков и элементов.

Иерархические уровни выделяют и для отдельных типов ММ. Например, среди структурных математических моделей ТО к более высокому уровню иерархии относят топологические математические модели, а к более низкому уровню, характеризующемуся большей детализацией ТО, - геометрические математические модели.

Среди функциональных математических моделей иерархи­ческие уровни отражают степень детализации описания процессов, протекающих в ТО, его блоках или элементах. С этой точки зрения обычно выделяют три основных уровня: микро-, макро- и метауровень.

Математические модели микроуровня описывают процессы в системах с распределенными параметрами (в континуальных системах), а математические модели макроуровня - в системах с сосредоточенными параметрами (в дискретных системах). В первых из них фазовые переменные могут зависеть как от времени, так и от пространственных координат, а во вторых - только от времени.

Если в ММ макроуровня число фазовых переменных имеет порядок 10 4 -10 5 , то количественный анализ такой ММ становится громоздким и требует значительных затрат вычислительных ресурсов. Кроме того, при столь большом числе фазовых переменных трудно выделить существенные характери­стики ТО и особенности его поведения. В таком случае путем объединения и укрупнения элементов сложного ТО стремятся уменьшить число фазовых переменных за счет исключения из рассмотрения внутренних параметров элементов, ограничиваясь лишь описанием взаимных связей между укрупненными элементами. Такой подход характерен для математических моделей метауровня.

ММ метауровня обычно относят к высшему уровню иерар­хии, ММ макроуровня - к среднему, а ММ микроуровня - к низшему. Наиболее распространенной формой представления динамической (эволюционной) математической модели микроуровня является формулировка краевой задачи для дифференциальных уравнений математической физики . Такая формулировка включает дифференциальные уравнения с частными производ­ными и краевые условия. В свою очередь, краевые условия со­держат начальные условия - распределения искомых фазовых переменных в некоторый момент времени, принимаемый за на­чальный, в пространственной области, конфигурация которой соответствует рассматриваемому ТО или его элементу, - и граничные условия на границах этой области. При представлении ММ целесообразно использовать безразмерные переменные (независимые и искомые) и коэффициенты уравнений, сократив число параметров, характеризующих рассматриваемый ТО (см. Д.2.2).

ММ микроуровня называют одномерной, двумерной или трехмерной, если искомые фазовые переменные зависят от одной, двух или трех пространственных координат соответственно. Два последних типа ММ объединяют в многомерные математические модели микроуровнл. Одномерная ММ микроуровня, фазовые переменные в которой не зависят от времени, имеет представление в виде системы ОДУ с заданными граничными условиями (в простейшем случае одного фазового переменного такая ММ включает лишь одно ОДУ и граничные условия).

Поскольку краевой задаче, содержащей дифференциальные уравнения с частными производными и краевые условия, можно поставить в соответствие интегральную формулировку, то и ММ микроуровня также может быть представлена в ин­тегральной форме. При определенных условиях интегральную форму краевой задачи удается привести к вариационной фор­мулировке в виде функционала, который допустимо рас­сматривать на некотором множестве функций, содержащем искомую функцию. В этом случае говорят о вариационной форме модели микроуровня. Искомая функция обращает в нуль вариацию функционала, т.е. является его стационарной точкой.

Построение функционала и соответствующей ему вариационной формы модели микроуровня обычно основано на некотором содержательном с физической точки зрения вариационном принципе механики или электродинамики сплошной среды (например, на принципе минимума потенциальной энергии континуальной системы в положении равновесия или на принципе минимума времени прохождения светового луча между двумя точками оптически неоднородной среды). В этом случае стационарная точка функционала соответствует его экстремальному (в частности, минимальному) значению на допустимом множе­стве функций. Такая форма модели микроуровня, называемая экстремальной вариационной, позволяет, сравнивая значения функционала на любых двух функциях из допустимого множества, оценивать в интегральном смысле близость этих функций к искомой. Это свойство экстремальной вариационной формы модели важно при качественном анализе ММ и при сравнении различных приближенных решений соответствующей краевой задачи*.

При выполнении некоторых ограничений можно построить двойственную вариационную форму модели микроуровня, включающую пару функционалов, достигающих в одной и той же стационарной точке равных между собой альтернативных экстремальных значений (минимума и максимума) . Такая форма ММ дает возможность по разности значений этих Функционалов, вычисленных на некоторой функции из допусти­мого множества, количественно оценить погрешность, возника­ющую при выборе этой функции в качестве искомой.

Основной формой динамической (эволюционной) ММ макроуровня являются ОДУ или их системы вместе с заданными начальными условиями. Независимым переменным в таких ММ будет время, а искомыми - фазовые переменные, характеризующие состояние ТО (например, перемещения, скорости и ускорения элементов механических устройств, а также приложенные к этим элементам силы и моменты; давление и расход жидкости или газа в трубопроводе; напряжения и силы тока в электрических цепях и т.п.). В некоторых случаях ММ макроуровня удается представить в интегральной форме, используя принцип Гамильтона - Остроградского или экстремальный вариационный принцип Гамильтона.

Если эволюцию ТО определяет его состояние не только в текущий момент времени t, но и в некоторый предшествующий момент t - τ , то ММ макроуровня включает ОДУ вида

относительно искомой функции u(t). Такие ОДУ называют уравнениями запаздывающего и нейтрального типа соответственно и относят к дифференциально-функциональным уравнениям* (ДФУ) (или дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом). Наиболее широко ДФУ и их системы представлены в ММ систем автоматического управления и регулирования. Кроме того, ДФУ находят применение в моделях биологических и экономических процессов.

Запаздывающая реакция ТО на изменение своего состояния может определяться более чем одним интервалом времени . Тогда ДФУ будет включать не одно, а несколько дискретных запаздываний. В более общем случае запаздывание может быть непрерывным во времени, что приводит, например, для линейной математической модели к интегро-дифференциальному уравнению (ИДУ) вида

Заданную функцию K(t,r) называют ядром этого ИДУ, а о рассматриваемом ТО говорят, что он обладает памятью, поскольку его эволюция зависит от всей предыстории изменения состояний ТО.

В статическую математическую модель макроуровня не входит время. Поэтому она включает лишь конечное (в общем случае нелинейное) уравнение или систему таких уравнений (в частности, систему линейных алгебраических уравнений - СЛАУ). Такой же вид имеют квазистатическая, стационарная и квазистационарная математические модели макроуровня.

Если для рассматриваемого ТО удается выделить поддающееся количественной характеристике некоторое важное свойство или сочетание таких свойств (надежность, долговечность, массу, стоимость, какой-либо из определяющих качество ТО выходных параметров) и установить их связь с фазовыми переменными при помощи действительной функции, то можно говорить об оптимизации ТО по критерию, выражаемому этой функцией. Ее называют целевой функцией , поскольку ее значения характеризуют меру (или степень) достижения определенной цели совершенствования ТО в соответствии с выбранным критерием.

Вследствие ограниченности располагаемых ресурсов в ре­альной ситуации имеют смысл лишь те экстремальные значения целевой функции, которые достигаются в области возможного изменения фазовых переменных ТО, обычно ограниченной системой неравенств. Эти неравенства вместе с целевой функцией и статической ММ ТО в виде конечного нелинейного Уравнения или систем таких уравнений входят в математическую формулировку задачи оптимизации ТО по выбранному критерию, называемой (в общем случае) задачей нелинейного программирования. В частном случае линейной математической модели ТО в виде СЛАУ, линейных целевой функции и неравенств говорят о задаче линейного программирования. К таким задачам обычно приходят при рассмотрении проблем технико-экономического содержания. Задачу оптимизации ТО, описываемого динамической (эволюционной) ММ макроуровня, относят к классу задач оптимального управления.

Для ММ метауровня характерны те же типы уравнений, что и для ММ макроуровня, но эти уравнения включают фазовые переменные, описывающие состояние укрупненных элементов сложных ТО. Если определен закон непрерывного перехода ТО из одного состояния в другое, то для анализа ММ метауровня часто используют аппарат передаточных функций*, а при рассмотрении состояний ТО в дискретные моменты времени ОДУ и их системы переходят в разностные уравнения относительно значений фазовых переменных в эти моменты времени. В слу­чае дискретного множества состояний ТО применяют также аппарат математической логики и конечных автоматов.

Математическая модел ь – это математическое представление реальности.

Математическое моделирование - процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.

Определения.

Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

Определение модели по А. А. Ляпунову: Моделирование - это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система:

находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;

способная замещать его в определённых отношениях;

дающая при её исследовании, в конечном счёте, информацию о самом моделируемом объекте.

По учебнику Советова и Яковлева: «модель - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.» «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием.» «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.»

По Самарскому и Михайлову, математическая модель – это «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства: законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д. Существует в триадах «модель-алгоритм-программа». Создав триаду «модель- алгоритм-программа», исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах. После того, как адекватность триады исходному объекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные «опыты», дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта.

По монографии Мышкиса: «Перейдём к общему определению. Пусть мы собираемся исследовать некоторую совокупность S свойств реального объекта a с

помощью математики. Для этого мы выбираем „математический объект“ a" - систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого и т. д.,- исследование которого средствами математики и должно ответить на поставленные вопросы о свойствах S. В этих условиях a" называется математической моделью объекта a относительно совокупности S его свойств».

По Севостьянову А. Г. : «Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе».

Несколько менее общее определение математической модели, основанное на идеализации «вход - выход - состояние», заимствованной из теории автоматов, даёт Wiktionary: «Абстрактное математическое представление процесса, устройства или теоретической идеи; оно использует набор переменных, чтобы представлять входы, выходы и внутренние состояния, а также множества уравнений и неравенств для описания их взаимодействия.»

Наконец, наиболее лаконичное определение математической модели: «Уравнение, выражающее идею.»

Формальная классификация моделей.

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий:

Линейные или нелинейные модели; Сосредоточенные или распределённые системы; Детерминированные или стохастические; Статические или динамические; Дискретные или непрерывные.

и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные, в другом – распределённые модели и т. д.

Классификация по способу представления объекта.

Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:

Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика» Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика».

Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель. Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель, умозрительная модель или предмодель. При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели. Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий, создание содержательных моделей резко усложняется.

В работе Р. Пайерлса дана классификация математических моделей, используемых в физике и, шире, в естественных науках. В книге А. Н. Горбаня и Р. Г. Хлебопроса эта классификация проанализирована и расширена. Эта классификация сфокусирована, в первую очередь, на этапе построения содержательной модели.

Эти модели «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным». По Р. Пайерлсу это, например, модель Солнечной системы по Птолемею и модель Коперника, модель атома Резерфорда и модель Большого Взрыва.

Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко это сформулировал Ричард Фейнман:

«У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть.»

Если модель первого типа построена, то это означает что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только временной паузой: статус модели первого типа может быть только временным.

Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус временных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до

статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира, проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае - использование приближений. Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример - закон Ома.

Если мы используем модель идеального газа для описания достаточно разреженных газов, то это - модель типа 3. При более высоких плотностях газа тоже полезно представлять себе более простую ситуацию с идеальным газом для качественного понимания и оценок, но тогда это уже тип 4.

В модели типа 4 отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Одни и те же уравнения могут служить моделью типа 3 или 4 - это зависит от явления, для изучения которого используется модель. Так, если модели линейного отклика применяются при отсутствии более сложных моделей, то это уже феноменологические линейные модели, и относятся они к следующему типу 4.

Примеры: применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики. Путь от микроописания к свойствам тел, состоящих из большого числа частиц, очень длинен. Приходится отбрасывать многие детали. Это приводит к моделям 4-го типа.

Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и даёт предсказания только «по порядку величины». Типичный пример - приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Оно даёт простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины.

Но при построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта - модель пятого типа. В этом случае часто используют модель по аналогии, отражающую действительность хоть в какой-нибудь черте.

Р. Пайерлс приводит историю использования аналогий в первой статье В. Гейзенберга о природе ядерных сил. «Это произошло после открытия нейтрона, и хотя сам В. Гейзенберг понимал, что можно описывать ядра состоящими из нейтронов и протонов, он не мог все же избавиться от мысли, что нейтрон должен в конечном счете состоять из протона и электрона. При этом возникала аналогия между взаимодействием в системе нейтрон - протон и взаимодействием атома водорода и протоном. Эта-то аналогия и привела его к заключению, что должны существовать обменные силы взаимодействия между нейтроном и протоном, которые аналогичны обменным силам в системе H − H , обусловленным переходом электрона между двумя протонами. … Позднее было все-таки доказано существование обменных сил взаимодействия между нейтроном и протоном, хотя ими не исчерпывалось полностью

взаимодействие между двумя частицами… Но, следуя все той же аналогии, В. Гейзенберг пришёл к заключению об отсутствии ядерных сил взаимодействия между двумя протонами и к постулированию отталкивания между двумя нейтронами. Оба последних вывода находятся в противоречии с данными более поздних исследований».

А. Эйнштейн был одним из великих мастеров мысленного эксперимента. Вот один из его экспериментов. Он был придуман в юности и, в конце концов, привел к построению специальной теории относительности. Предположим, что в классической физике мы движемся за световой волной со скоростью света. Мы будем наблюдать периодически меняющееся в пространстве и постоянное во времени электромагнитное поле. Согласно уравнениям Максвелла, этого быть не может. Отсюда юный Эйнштейн заключил: либо законы природы меняются при смене системы отсчета, либо скорость света не зависит от системы отсчета. Он выбрал второй - более красивый вариант. Другой знаменитый мысленный эксперимент Эйнштейна - Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена.

А вот и тип 8, широко распространенный в математических моделях биологических систем.

Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.

Один из самых знаменитых таких экспериментов - геометрия Лобачевского. Другой пример - массовое производство формально - кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн и др. Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена был задуман как модель 7 типа, для демонстрации противоречивости квантовой механики. Совершенно незапланированным образом он со временем превратился в модель 8 типа - демонстрацию возможности квантовой телепортации информации.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой m, прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины. Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием x от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука после чего воспользуемся вторым законом Ньютона, чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения:

где означает вторую производную от x по времени..

Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором».

По формальной классификации эта модель линейная, детерминисткая, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе её построения мы сделали множество допущений, которые в реальности могут не выполняться.

По отношению к реальности это, чаще всего, модель типа 4 упрощение, поскольку опущены некоторые существенные универсальные особенности. В некотором приближении, такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, поскольку

отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на её поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведет к новой модели, с более широкой областью применимости.

Впрочем, при уточнении модели сложность её математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная.

Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далёким от физики, её содержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели к биологическим популяциям, её следует отнести, скорее всего, к типу 6 аналогия.

Жёсткие и мягкие модели.

Гармонический осциллятор - пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Для решения вопроса о её применимости необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жёсткой». Она может задаваться, например, следующим уравнением:

Здесь - некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения, ε - некоторый малый параметр. Явный вид функции f нас в данный момент не интересует. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой, задача сведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида

То есть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением, мы получим затухающие колебания. Поведение системы качественно изменилось.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор - пример структурно-неустойчивой системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Универсальность моделей.

Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности: принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в U-образном сосуде или изменение силы тока в колебательном контуре. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизм законов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания, подвиг Людвига фон Берталанфи на создание «Общей теории систем».

Прямая и обратная задачи математического моделирования

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных

тел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическая идеализация, после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются, как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача: структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача - провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку, как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера, - вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Великобритании обрушился металлический мост через реку Тей, конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на 20-кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул.

В простейшем случае прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту. Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента.

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный И. Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

В качестве другого примера можно привести математическую статистику. Задача этой науки - разработка методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений. Т.е. множество возможных моделей ограничено вероятностными моделями. В конкретных задачах множество моделей ограничено сильнее.

Компьютерные системы моделирования.

Для поддержки математического моделирования разработаны системы компьютерной математики, например, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim и др. Они позволяют создавать формальные и блочные модели как простых, так и сложных процессов и устройств и легко менять параметры моделей в ходе моделирования. Блочные модели представлены блоками, набор и соединение которых задаются диаграммой модели.

Дополнительные примеры.

Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением

где α - некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция x = x0 e. Если рождаемость превосходит смертность, размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности

ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста

где xs - «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению xs , причем такое поведение структурно устойчиво.

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики и лисы. Пусть число кроликов x, число лис y. Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Лотки - Вольтерра:

Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели может привести к качественному изменению поведения. Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра - Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

вектор выходных переменных, Y= t ,

Z - вектор внешних воздействий, Z= t ,

t - координата времени.

Построение математической модели заключается в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат.

Обычно их оказывается настолько много, что ввести в модель всю их совокупность не удается. При построении математической модели перед исследованием возникает задача выявить и исключить из рассмотрения факторы, несущественно влияющие на конечный результат (математическая модель обычно включает значительно меньшее число факторов, чем в реальной действительности). На основе данных эксперимента выдвигаются гипотезы о связи между величинами, выражающими конечный результат, и факторами, введенными в математическую модель . Такая связь зачастую выражается системами дифференциальных уравнений в частных производных (например, в задачах механики твердого тела, жидкости и газа, теории фильтрации, теплопроводности, теории электростатического и электродинамического полей).

Конечной целью этого этапа является формулирование математической задачи, решение которой с необходимой точностью выражает результаты, интересующие специалиста.

Форма и принципы представления математической модели зависит от многих факторов.

По принципам построения математические модели разделяют на:

1. аналитические;
2. имитационные.

В аналитических моделях процессы функционирования реальных объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей .

Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической проблемы:

1. уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные),
2. аппроксимационные задачи ( интерполяция , экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование ),
3. задачи оптимизации,
4. стохастические проблемы.

Однако по мере усложнения объекта моделирования построение аналитической модели превращается в трудноразрешимую проблему. Тогда исследователь вынужден использовать имитационное моделирование .

В имитационном моделировании функционирование объектов, процессов или систем описывается набором алгоритмов. Алгоритмы имитируют реальные элементарные явления, составляющие процесс или систему с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Имитационное моделирование позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса или системы в определенные моменты времени, однако прогнозирование поведения объектов, процессов или систем здесь затруднительно. Можно сказать, что имитационные модели - это проводимые на ЭВМ вычислительные эксперименты с математическими моделями , имитирующими поведение реальных объектов, процессов или систем.

В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:

1. детерминированные,
2. стохастические.

В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные, поведение системы можно точно определить. При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра .

Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики.

По виду входной информации модели разделяются на:

1. непрерывные,
2. дискретные.

Если информация и параметры являются непрерывными, а математические связи устойчивы, то модель - непрерывная. И наоборот, если информация и параметры - дискретны, а связи неустойчивы, то и математическая модель - дискретная.

По поведению моделей во времени они разделяются на:

1. статические,
2. динамические.

Статические модели описывают поведение объекта, процесса или системы в какой-либо момент времени. Динамические модели отражают поведение объекта, процесса или системы во времени.

По степени соответствия между