Признаком плоского напряженного состояния является: равенство нулю одного из нормальных напряжений и равенство нулю соответствующих ему касательных напряжений . Пусть , тогда касательные напряжения с индексами, содержащими y, тоже равны нулю: .

или в главных напряжениях

Касательные напряжения:

или в главных напряжениях , т.е. касательное напряжение достигает максимума при , т.е. при , т.е.

Или в главных осях

При тензор напряжений имеет вид: или в главных осях

При тензор напряжений имеет вид: или в главных осях

Из тензора видно, что при .

и определяются в этом случае из уравнения:

При этом знак ‘+’ относится к , а знак ‘-‘ к .

Девиатор напряжений в случае плоского напряженного состояния имеет вид:

, т.е. схема тензора напряжений плоская, а девиатора – объемная, и становится плоской только если , т.е. если .

Уравнения равновесия в случае плоской задачи примут вид:

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Теория омд

Введение.. обработка металлов давлением омд базируется на основных положениях механики.. основные способы омд..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Упругая и пластическая деформация
Деформация – изменение формы и размеров тела в результате действия на него внешних сил. Деформация представляет собой совокупность трех взаимно накладывающихся и по

Дефекты в кристаллах
Дефекты делятся на точечные, линейные и объемные. Точечные дефекты: Вакансия (дырка) – простейший дефект кристаллической решетки, когда вышедший из положен

Дислокации
Дислокация – линейный дефект кристаллической решетки, вдоль которого нарушены связи между соседними атомами и число ближайших соседей каждого атома не соответствует необходимому. Д

Изменение свойств наклепанного металла при нагреве
При нагревании металлов до сравнительно низких температур (~0.3Tпл.) в металлах происходит процесс возврата или отдыха, при котором наклепанный металл частично разупрочняется. В процессе

Величины, характеризующие деформацию тела
О величине деформации судят по изменению размеров деформируемого тела. Существует несколько вариантов характеристики деформации. Пусть размеры тела до деформации L0 – дли

Объем тела при пластической деформации остается постоянным
В случае прямоугольной заготовки закон постоянства объема имеет вид:

Смещенный объем
Смещенный объем – прибавленный или удаленный в процессе деформации объем в направлении одной из осей. Если рассматривать деформацию по высоте, смещенный объем – произведение началь

Общий случай деформации
В общем случае деформация нелинейная, а значит, кроме растяжения или сжатия в металле имеется и углова

Скорость деформации
Скорость деформации – изменение степени деформации в единицу времени. Совокупность всех скоростей деформации описывается тензором скоростей деформации:

Правило наименьшего сопротивления
При ОМД иногда необходимо определить соотношение между перемещениями металла в разных направлениях. Иногда это сделать достаточно просто на основании закона постоянства объема. Например, при плоско

Величины, характеризующие напряженное состояние тела
Если к телу приложены внешние силы и создано препятствие его свободному движению, то тело находится в напряженном состоянии. На тело действуют внешние силы; реакции связей, ограничивающие движение

Главные нормальные и главные касательные напряжения
Через точку тела, находящегося в напряженном состоянии, можно провести бесконечное мно

Октаэдрические напряжения
Наряду с площадками, по которым действуют главные нормальные и главные касательные напряжени

Связь между напряжениями и деформациями
Экспериментально зависимость между деформациями и напряжениями в условиях линейного напряжен

Связь обобщенного напряжения с обобщенной деформацией
Механические свойства большинства металлов и сплавов характеризуются кривыми упрочнения, не имеющими ярко выраженной площадки текучести. Такие кривые аппроксимируются степенной функцией. В самом об

Плоское напряженное и плоское деформированное состояние
При плоском напряженном состоянии напряжение по одной из осей отсутствует. Деформация при этом может происходить по всем трем осям. В других случаях пренебрегают деформацией по одно

Плоское деформированное состояние
Признаком плоского деформированного состояния является отсутствие деформаций по одной из осей, например по оси X:

Понятие сопротивления деформации и пластичности
Сопротивление деформации характеризует податливость обрабатываемого металла

Сверхпластичность
Все предыдущие закономерности относятся к обычным, промышленным условиям. Но при ряде условий наблюдается явление сверхпластичности, т.е. необычайно высокой для данного материала пластичности, хара

Методы оценки пластичности
Для сравнения пластичности образцы металлов подвергают деформации в одинаковых условиях. Доведя деформацию до разрушения (или до первых ее признаков), измеряют полученную остаточную деформацию, кот

Факторы, влияющие на сопротивление деформации
Сопротивление деформации зависит от природы деформированного металла, температуры, степени и скорости деформации и характера напряженного состояния. Опытным путем получают значение сопротивления де

Факторы, влияющие на пластичность металла
Пластичность зависит от природы вещества (его химического состава и структурного строения), температуры, скорости деформации, степени наклепа и от условий напряженного состояния в момент деформации

Условие пластичности для линейного напряженного состояния
Условием пластичности называется условие перехода упругой деформации в пластическую, т.е. оно определяет точку перегиба на диаграмме растяжение-сжатие. В линейном напряженном состоя

Частные случаи условия пластичности
При ОМД встречаются частные виды напряженного и деформированного состояния: плоское напряженное, плоское деформированное и осесимметричное состояние. Ввиду сложности условий пластичности при решени

Влияние механической схемы деформации на усилие деформирования и пластичность
При пользовании уравнением пластичности необходимо учитывать не только абсолютную величину главных напряжений, но и их знак. При одноименной схеме напряженного состояния уравнение пластичности имее

Особенности трения при ОМД
Условия трения играют в расчетах напряженного и деформированного состояния такую же роль, как и физические уравнения равновесия. Отличие лишь в том, что трение действует лишь по поверхности взаимод

Виды трения. Физико-химические особенности трения
Трение обрабатываемого металла и инструмента происходит с участием третьих веществ. К ним относятся окислы обрабатываемого металла и инструмента, продукты истирания взаимодействующих поверхностей и

Механизм сухого трения
Поверхность всякого тела имеет неровности – выступы и впадины при любом качестве отделки. Часть выступов поверхности одного тела попадает во впадины поверхности другого тела, в результате чего прои

Механизм граничного трения
Граничное трение имеет место при использовании смазок. Смазки, содержащие поверхностно-активные вещества, адсорбируются на трущихся поверхностях и образуют прочные пленки. Граничные молекулы таких

Механизм жидкостного трения
Природа жидкостного рения иная, чем сухого и граничного. Жидкостное трение – внутреннее трение в объеме смазки. Оно нашло применение при волочении проволоки. Смазка, экранирующая толстым слоем трущ

Смазка при ОМД
Для того чтобы смазка в достаточной степени изолировала деформируемое тело от инструмента, не разрывалась и не выдавливалась, она должна иметь достаточную активность и вязкость. Ак

Факторы, влияющие на сухое и граничное трение
Сила и напряжение трения зависят от прочностных свойств деформируемого тела и закономерностей изменения их в процессе деформации. Закономерности изменения прочностных свойств приконтактных слоев за

Влияние твердости металла и внешнего давления
Закон сухого трения в деталях машин имеет вид: сила трения Т пропорциональна нормальной нагрузке N и не зависит от площади контакта: T = f*N, где f – коэффициент трения (константа)

Факторы, влияющие на жидкостное трение
При прочих равных условиях сила гидродинамического трения на два порядка меньше трения граничного и сухого. Впрямую состояние поверхностей на силу гидродинамического трения не влияет, и понятия «ко

Трение при различных видах ОМД
1. Трение при прокатке В настоящее время горячую прокатку осуществляют в режиме сухого трения. Холодная прокатка осуществляется с применением смазок. При холодной прокатке листов и полосы

Неравномерность деформации
При равномерной (однородной) деформации напряженное состояние во всех точках тела одинаково, компоненты тензора напряжений и направление главных осей не изменяются при переходе от одной точки тела

Влияние формы инструмента и заготовки на неравномерность деформации
В большинстве процессов ОМД форма заготовки отличается от формы готового изделия, определяемой формой инструмента. Обычно форма заготовки проще формы изделия, что приводит к неодинаковому обжатию о

Влияние внешнего трения на неравномерность деформации
Внешнее трение затрудняет скольжение деформируемого тела по инструменту. Действие его распространяется неодинаково по объему тела, оно наиболее сильно вблизи поверхности контакта и минимально внутр

Влияние неоднородности свойств на неравномерность деформации
Неоднородность свойств может быть макроскопической (неравномерный прогрев, соединение разных металлов в одном слитке) или микроскопической (неоднородность свойств кристаллов). При неравном

Остаточные напряжения
Остаточные (внутренние) напряжения уравновешиваются внутри тела и присутствуют в нем без приложения внешней нагрузки. Внутренние напряжения могут возникнуть в результате фазовых превращений при нер

Методы устранения остаточных напряжений
Основной метод – предотвращение их появления правильным режимом обработки, при котором неравномерность сводится к минимуму, а дополнительные напряжения снимаются в процессе деформации и не приводят

Рассмотрим тонкую пластинку под действием сил, лежащих в плоскости пластинки (рис. 2.12). В этой плоскости расположим систему координат (х, у). Торцевые (фасадные) поверхности пластинки свободны от напряжений, и потому

Векторы напряжений и лежат в одной плоскости, и напряженное состояние называется плоским. Отметим, что все точки пластинки находятся в плоском напряженном состоянии. В общем случае понятие «плоское напряженное состояние» относится к рассматриваемой точке элемента конструкции.

Если в данной точке А существует площадка, в которой отсутствуют (нормальное и касательное) напряжения, то напряженное состояние в точке является плоским. Например, в точках свободной поверхности детали (рис. 2.13) напряженное состояние будет плоским (ось z в точке А направлена по нормали к поверхности).

Особая важность плоского напряженного состояния связана с тем, что оно реализуется в точках поверхности элементов конструкции, которые часто являются «опасными точками». (точками с наибольшими напряжениями в поверхностном слое).

Напряжения в косых площадках при плоском напряженном состоянии. Изучим напряжения в косых площадках, перпендикулярных плоскости пластинки (рис. 2.14).

Рис. 2.12. Плоское напряженное состояние

Рис. 2.13. Плоское напряженное состояние в точках свободной поверхности детали

Условный термин «косая» или «наклонная» площадка означает, что нормаль к площадке не совпадает ни с одной из осей выбранной системы координат.

В площадке ВС, нормаль к которой v составляет угол а с осью х, действуют нормальное и касательное напряжения. Напряжения распределены равномерно по толщине пластинки h, торцевые грани элемента ABC не загружены. Ближайшая задача состоит в определении величин из условий равновесия элемента АБС. Проектируя все усилия на направление нормали v, найдем

Массовые силы, действующие на элемент,

составляют усилия второго порядка малости, и в уравнении (15) они отсутствуют. Учитывая, что из рис. 2.14 следует

получим из соотношения (15)

Проектируя все усилия на направление вектора найдем

Формулы (17) и (19) дают значение нормальных и касательных напряжений в косой площадке.

Замечания. 1. Следует строго уяснить, что при выводе уравнений (15) и (18) рассматриваются условия равновесия не напряжений (таких условий не существует!), а действующих усилий по граням элемента.

2. Напряжения по граням элементарного объема (рис. 2.14) распределяются равномерно. Косую площадку можно рассматривать как косое сечение в элементарном параллелепипеде (рис. 2.15), и те же результаты (равенства (17) и (19)) вытекают из условий равновесия заштрихованной частя параллелепипеда.

3. Неизвестные векторные величины, для которых принято определенное правило знаков, при выводе следует принимать положительно направленными. Например, на рис. 2.14 направлено как растягивающее напряжение.

Выделим из тела в окрестности точки бесконечно малую треугольную призму, по основанию которой нормальные и касательные напряжения равны нулю.

Правило знаков любого σ > 0, если нормальные напряжения направлены от площадки; t > 0, если стремится вращать плоскость чертежа по ходу часовой стрелки; a > 0, если грань bc для совмещения с гранью ас нужно повернуть на острый угол против часовой стрелки.

Найдем равнодействующую силы приложенной к каждой грани призмы. Для этого нужно соответствующие напряжения умножить на площадь грани.

Эти равнодействующие силы должны удовлетворять всем условиям равнодействия. Проведём оси U и V, и реализуем шесть условий равновесия.

åU =0 Ta + Fy ·cos a - Tx · sin a - Fx · sin a - Ty ·cos a

Ta + cos a (Fy - Ty) – sin a (Tx + Fx) (1)

åV = 0 Fa - Fx · cos a+ Ty · sin a - Fx ·cos a - Fy ·sin a

Fa -Fx + Tx ·cos a + (Ty – Fy ·sin a) = 0 (2)

Сумма моментов относительно точки на оси å m 0 = 0

å m 0 = 0 Tx · dy/2 + Ty · dx/2 = 0 (3)

Подставим значения Tx и Ty и разделим обе части на dx/2 · dy dz

t x · dx/2 · dy dz + t y · dx/2 · dy dz = 0

Касательные напряжения по двум взаимно-перпендикулярным площадям равны по модулю обратны по знаку. Зависимость (4) называется законом парности касательных напряжений. Из (4) следует что касательные напряжения направлены или к вершине прямого угла или от него.

Если подставить в зависимость (1) и (2) и заменить t y на - t ч, а также учесть, что dx/ds = sin a , а dy/ds =cos a , то после преобразований получим значения нормальных и касательных напряжений по площадке повернутой относительно площадки с σ х и σ y на угол a.

σ a = σ x · cos 2 a + σ y · sin 2 a + tx · sin2a (5)

t y = ((σ x · σ y)/2) sin2a - tx · cos2a (6)

Если формулу (5) подставить в значение a и a ¹ 90°, то получим

σ a + σ (a+90°) = σ x + σ y = const. (7)

Вывод: сумму нормальных напряжений по двум взаимно- перпендикулярным площадкам является величиной постоянной, значит если на первой площадке имеем max нормальных напряжений, то по перпендикулярной ей площадке будут σ min.

Главные напряжения. Главные площади.

При инженерных расчетах нет необходимости в определении напряжений по всем площадкам проходящим через данную точку. Достаточно знать их экстремальные значения σ max и σ min , которые называются главными напряжениями, а площадки по которым они действуют называются главными площадками.

Чтобы получить экстремальное значение σ нужно первую производную от выражения (5) по углу a приравнять нулю.

Вывод: по главным площадкам касательные напряжения равны нулю.

tg2a 0 = (8)

tg2a 0 = (9)

Для определения положения главных площадок площадки по которым действуют σ x и σ y нужно повернуть на угол a 0 против хода часовой стрелки, если a 0 > 0 .

Из формулы (8) 2a 0 изменяется от –90° до 90°, а значит - 45°£a 0 £45° , это значит, что поворот может быть на угол не более 45 °.

При определении главных напряжений значение a 0 из (8) можно подставить в (5) или пользоватся формулой полученной из зависимости (6) и (9).

(10)

Экстремальные касательные напряжения.

Площадки по которым действуют экстремальные касательные напряжения называют площадками сдвига.

Чтобы определить экстремальные касательные напряжения нужно, взяв первую производную от (6) по углу a приравнивая её к нулю.

;
;

Разделим обе части уравнения на cos2a 1 получим:

(σ x - σ y) + 2 t x tg2a 1 = 0

tg2a 1 = (11)

Угол наклона плоскости с экстремальным касательным напряжением к площадке с dх нужно повернуть против хода часовой стрелки на угол a 1.

Из формулы (11) можно получить a 1 и a 1 +90, которые определяются двумя взаимно-перпендикулярными площадками. На одной из них будет действовать t max, а по другой t min . Но в соответствии с законами парности касательных напряжений t max = - t min . Из сравнения (8) и (11) получим a 1 ¹ a 0 +45°

Вывод: между главными площадками и площадками сдвига угол 45°

Подставив в формулу (6) σ х = σ max ; σ y = σ min ; t x = 0; a 1 =+ 45° получим

= + (12)

подставим в (12) значение из (10) и после преобразований получим зависимость экстремальных касательных напряжений от напряжений по случайным площадям

= + 1/2 (13)

Круги Мора.

Пусть дано некоторое плоское напряженное состояние.

Построим для этого напряженного состояния круг Мора в системе прямоугольных координат.

Порядок действий:

1. по оси d отложим в максимальную величину dх

2. по оси t отложим значение ty

3. на пересечении получим точку А

4. аналогично отложим) dу и tх; точка А характеризует направление по вертикальным граням, точка В – по горизонтальным.

5. Соединим точки А и В и на пересечении с осью d получим точку О

6. Из точки О, как из центра круга проведем окружность

7. Определим радиус окружности из прямоугольного треугольника ОКВ

R =

На пересечении горизонтальных и вертикальных площадок с окружностью получим точку С, которую назовём полюсом.

Теперь можно определить направление на любой площадке, для этого нужно параллельно заданной площадке провести через полюс прямую до пересечения с окружностью.

Точка М будет иметь координаты da и ta. Можно решить и обратную задачу, т. е. по значениям da и ta определить угол a.

Выделим вокруг некоторой точки К тела параллелепипед с рёбрами бесконечно малой длины. На гранях этого элементарного параллелепипеда в общем случае могут действовать нормальные и касательные напряжения. Совокупность напряжений на всевозможных площадках, проходящих через точку, называется напряженным состоянием материала в точке . Доказано, что можно так расположить в пространстве параллелепипед, что на его гранях останутся только нормальные напряжения. Такие грани называются главными площадками , а напряжения на них – главными напряжениями . Наибольшее главное напряжение обозначается σ 1 , наименьшее – σ 3 , а промежуточное – σ 2 , поэтому .

Различают три вида напряженного состояния: линейное, плоское и объёмное (рис. 3.1).

Рис.1. Виды напряженного состояния в точке: а – линейное; б – плоское; в – объемное

2. Плоское напряженное состояние

Рассмотрим более подробно плоское напряженное состояние. Выделим из тонкой пластинки толщиной t бесконечно малый элемент, по боковым граням которого действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 2, а ). Принимаем, что напряжения по толщине пластинки распределены равномерно, поэтому конкретный размер t не влияет на дальнейший анализ. Будем смотреть на элемент с острия оси z , а напряжения на боковых гранях элемента считать положительными (рис. 2, б ).

Рис. 2. Плоское напряженное состояние

Согласно закону парности касательных напряжений , т. е. касательные напряжения на взаимно-перпендикулярных площадках рав­ны по величине и направлены так, что стремятся вращать элемент в противоположных направлениях.

Главные площадки (рис. 3) составляют угол a 0 с исходными площадками, величину которого определяют из выражения

Рис. 3. Главные площадки и главные напряжения

Главные напряжения, обозначаемые как и, вычисляют по формуле

Экстремальные касательные напряжения равны полуразности главных напряжений и действуют на площадках, наклоненных к главным площадкам под углом 45°

Деформации бесконечно малого элемента при плоском напряженном состоянии заключаются в изменении линейных размеров элемента и в изменении формы элемента. Если в общем случае на гранях элемента действуют нормальные и касательные напряжения, то в точке тела возникают относительные линейные деформации

и угловая деформация (относительный сдвиг ) в виде угла сдвига (рис. 4,б ).

Рис.4. Плоское напряженное состояние: а – напряжения; б – деформации

Между относительными линейными деформациями и напряжениями в точке упругого тела существуют зависимости в виде закона Гука:

Здесь – модуль продольной упругости (модуль упругости первого рода);– коэффициент Пуассона.

Частным случаем плоского напряженного состояния является такой, при котором на взаимно-перпендикулярных площадках действуют только касательные напряжения (рис. 5).

Такой случай называется чистым сдвигом , а исходные площадки называются площадками чистого сдвига. Главные площадки оказываются наклоненными к площадкам чистого сдвига под углом 45°, а главные напряжения численно равны касательным напряжениям, причем одно из главных напряжений – растягивающее, а другое – сжимающее. Согласно принятому правилу обозначения главных напряжений ;

Деформации бесконечно малого элемента при чистом сдвиге заключаются в искажении прямых углов на величину , которая называетсяуглом сдвига (рис. 4 и 5).

Между углом сдвига и касательными напряжениями существует пропорциональная зависимость, называемая законом Гука при чистом сдвиге

где коэффициент пропорциональности G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода), измеряемый в тех же единицах, что и напряжения, МПа, кН/см 2 .

Три характеристики упругих свойств изотропного материала оказываются связанными между собой зависимостью, которую наиболее часто записывают в следующей форме:

Рассмотрим важный для приложений случай плоского напряженного состояния, реализуемого, например, в плоскости Oyz. Тензор напряжений в этом случае имеет вид

Геометрическая иллюстрация представлена на рис.1. При этом площадки х= const являются главными с соответствующими нулевыми главными напряжениями. Инварианты тензора напряжений равны , а характеристическое уравнение принимает вид

Корни этого уравнения равны

(1)

Нумерация корней произведена для случая

Рис.1. Исходное плоское напряженное состояние.

Рис.2. Позиция главных напряжений

Произвольная площадка характеризуется углом на рис. 1, при этом вектор п имеет компоненты: , , n х =0. Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке выражаются через угол следующим образом:

Наименьший положительный корень уравнения (4) обозначим через . Так как tg(х )-периодическая функция с периодом , то имеем два взаимно ортогональных направления, составляющие углы и с осью Оу. Эти направления соответствуют взаимно перпендикулярным главным площадкам (рис. 2).

Если продифференцировать соотношение (2) по и приравнять производную нулю, то придем к уравнению (4), что доказывает экстремальность главных напряжений.

Для нахождения ориентации площадок с экстремальными касательными напряжениями приравняем нулю производную от выражения

откуда получим

(5)

Сравнивая соотношения (4) и (5), находим, что

Это равенство возможно, если углы и отличаются на угол . Следовательно, направления площадок с экстремальными касательными напряжениями отличаются от направлений главных площадок на угол (рис. 3).

Рис.3. Экстремальность касательных напряжений

Величины экстремальных касательных напряжений получим после подстановки (5) в соотношение (3) с использованием формул

.

После некоторых преобразований получим

Сравнивая это выражение с полученными ранее значениями главных напряжений (2.21), выразим экстремальные касательные напряжения через главные напряжения

Аналогичная подстановка в (2) приводит к выражению для нормальных напряжений на площадках с

Полученные соотношения позволяют проводить направленно-ориентированный расчет конструкций на прочность в случае плоского напряженного состояния.

ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ

Рассмотрим вначале случай плоской деформации (рис. 4). Пусть плоский элемент MNPQ перемещается в пределах плоскости и деформируется (изменяет форму и размеры). Координаты точек элемента до и после деформации отмечены на рисунке.

Рис.4. Плоская деформация.

По определению относительная линейная деформация в точке М в направлении оси Ох равна

Из рис. 4 следует

Учитывая, что MN=dx, получим

В случае малых деформаций, когда , , можно пренебречь квадратичными слагаемыми. С учетом приближенного соотношения

справедливого при x <<1, окончательно для малой деформации получим

Угловая деформация определяется как сумма углов и (4). В случае малых деформаций

Для угловой деформации имеем

Проводя аналогичные выкладки в общем случае трехмерной деформации, имеем девять соотношений

Этот тензор полностью определяет деформированное состояние твердого тела. Он обладает теми же свойствами, что и тензор напряжений. Свойство симметрии непосредственно следует из определения угловых деформаций. Главные значения и главные направления, а также экстремальные значения угловых деформаций и соответствующие им направления находятся теми же методами, что и для тензора напряжений.