Rješavanje zadataka iz zadataka Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Shvartsburd za 6. razred matematike na temu:

Poglavlje I. Obični razlomci.
§ 1. Deljivost brojeva:
6. Najveći zajednički djelitelj. Koprosti brojevi

146 Pronađite sve zajedničke faktore brojeva 18 i 60; 72, 96 i 120; 35 i 88.
RJEŠENJE

147 Naći prost faktorizaciju najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva a i b ako je a = 2·2·3·3 i b = 2·3·3·5; a = 5·5·7·7·7 i b = 3·5·7·7.
RJEŠENJE

148 Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva 12 i 18; 50 i 175; 675 i 825; 7920 i 594; 324, 111 i 432; 320, 640 i 960.
RJEŠENJE

149 Da li su brojevi 35 i 40 relativno prosti; 77 i 20; 10, 30, 41; 231 i 280?
RJEŠENJE

150 Jesu li brojevi 35 i 40 relativno prosti; 77 i 20; 10, 30, 41; 231 i 280?
RJEŠENJE

151 Zapišite sve prave razlomke sa nazivnikom 12 čiji su brojnik i imenilac relativno prosti brojevi.
RJEŠENJE

152 Momci su na novogodišnjoj jelki dobili identične poklone. Svi pokloni zajedno sadržavali su 123 narandže i 82 jabuke. Koliko je djece bilo prisutno na božićnom drvcu? Koliko narandži i koliko jabuka je bilo u svakom poklonu?
RJEŠENJE

153 Za putovanja van grada radnicima u fabrici je dodijeljeno nekoliko autobusa sa istim brojem sjedišta. U šumu je otišlo 424 osobe, a na jezero 477 ljudi. Sva mjesta u autobusima su bila zauzeta, a nijedna osoba nije ostala bez sjedišta. Koliko je autobusa dodijeljeno i koliko putnika je bilo u svakom autobusu?
RJEŠENJE

154 Izračunaj usmeno koristeći kolonu
RJEŠENJE

155 Koristeći sliku 7, odredite jesu li a, b i c prosti brojevi.
RJEŠENJE

156 Postoji li kocka čija je ivica izražena prirodnim brojem i u kojoj je zbir dužina svih ivica izražen prostim brojem; Je li površina izražena kao jednostavan broj?
RJEŠENJE

157 Faktor 875 u proste faktore; 2376; 5625; 2025; 3969; 13125.
RJEŠENJE

158 Zašto ako se jedan broj može rastaviti na dva prosta faktora, a drugi na tri, onda ti brojevi nisu jednaki?
RJEŠENJE

159 Da li je moguće pronaći četiri različita prosta broja tako da je proizvod dva od njih jednak proizvodu druga dva?
RJEŠENJE

160 Na koliko načina minibus sa devet sedišta može da primi 9 putnika? Na koliko načina mogu sjediti ako jedan od njih, koji dobro poznaje rutu, sjedi pored vozača?
RJEŠENJE

161 Pronađite vrijednosti izraza (3 · 8 · 5-11):(8 · 11); (2 ·2 ·3 ·5 ·7):(2 ·3 ·7); (2 · 3 · 7 · 1 · 3): (3 · 7); (3 · 5 · 11 · 17 · 23): (3 · 11 · 17).
RJEŠENJE

162 Uporedite 3/7 i 5/7; 11/13 i 8/13 1 2/3 i 5/3; 2 2/7 i 3 1/5.
RJEŠENJE

163 Koristeći kutomjer, konstruirajte AOB = 35° i DEF = 140°.
RJEŠENJE

164 1) Zrak OM podijelio je razvijeni ugao AOB na dva: AOM i MOB. AOM ugao je 3 puta veći od MOB-a. Koji su uglovi AOM i PTO? Izgradite ih. 2) Zraka OK podijelila je razvijeni ugao COD na dva: SOK i KOD. Ugao SOK je 4 puta manji od KOD. Koji su uglovi SOK i KOD? Izgradite ih.
RJEŠENJE

165 1) Radnici su za tri dana popravili put dug 820 m. U utorak su sanirali 2/5 ovog puta, a u srijedu 2/3 preostalog dijela. Koliko metara puta su radnici popravili u četvrtak? 2) Farma sadrži krave, ovce i koze, ukupno 3400 grla. Ovce i koze zajedno čine 9/17 svih životinja, a koze čine 2/9 ukupnog broja ovaca i koza. Koliko krava, ovaca i koza ima na farmi?
RJEŠENJE

166 Predstavite brojeve 0,3 kao običan razlomak; 0,13; 0,2 i kao decimalni 3/8; 4 1/2; 3 7/25
RJEŠENJE

167 Izvedite radnju tako što ćete svaki broj napisati kao decimalni razlomak 1/2 + 2/5; 1 1/4 + 2 3/25
RJEŠENJE

168 Predstavite brojeve 10, 36, 54, 15, 27 i 49 kao zbir prostih članova tako da ih bude što manje. Koje prijedloge možete dati o predstavljanju brojeva kao zbira prostih članova?
RJEŠENJE

169 Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva a i b, ako je a = 3·3·5·5·5·7, b = 3·5·5·11; a = 2·2·2·3·5·7, b = 3·11·13.

Prosti i složeni brojevi

Definicija 1. Zajednički djelitelj nekoliko prirodnih brojeva je broj koji je djelitelj svakog od ovih brojeva.

Definicija 2. Najveći zajednički djelitelj se zove najveći zajednički djelitelj (GCD).

Primjer 1. Zajednički djelitelji brojeva 30, 45 i 60 su brojevi 3, 5, 15.

Najveći zajednički djelitelj ovih brojeva je

GCD (30, 45, 10) = 15. Definicija 3. Ako je najveći zajednički djelitelj nekoliko brojeva 1, onda se ti brojevi nazivaju.

uzajamno prime

Primjer 2. Brojevi 40 i 3 će biti međusobno prosti brojevi, ali brojevi 56 i 21 nisu međusobno prosti jer brojevi 56 i 21 imaju zajednički faktor 7, koji je veći od 1.

Bilješka. Ako su brojnik razlomka i nazivnik razlomka međusobno prosti brojevi, onda je takav razlomak nesvodljiv.

Algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja Hajde da razmotrimo algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja

nekoliko brojeva u sljedećem primjeru.

Primjer 3. Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva 100, 750 i 800.

Rješenje . Razložimo ove brojeve u proste faktore: Prosti faktor 2 je uključen u prvu faktorizaciju na stepen 2, u drugu faktorizaciju – na stepen 1, a u treću faktorizaciju – na stepen 5. Označimo najmanji = 1 .

Osnovni faktor 3 je uključen u prvu faktorizaciju na stepen 0 (drugim rečima, faktor 3 uopšte nije uključen u prvu faktorizaciju), u drugoj faktorizaciji je uključen u stepen 1, a u treća faktorizacija – na stepen 0. Prosti faktor 2 je uključen u prvu faktorizaciju na stepen 2, u drugu faktorizaciju – na stepen 1, a u treću faktorizaciju – na stepen 5. Označimo ovih ovlašćenja slovom b. = 0 .

Očigledno je da Prosti faktor 2 je uključen u prvu faktorizaciju na stepen 2, u drugu faktorizaciju – na stepen 1, a u treću faktorizaciju – na stepen 5. b Prosti faktor 5 je uključen u prvu faktorizaciju na stepen 2, u drugu faktorizaciju – na stepen 3, a u treću faktorizaciju – na stepen 2. = 2 .

Označimo

ovih ovlašćenja slovom c.

Očigledno je da

c

Zapamtite!

Ako je prirodan broj djeljiv samo sa 1 i samim sobom, onda se naziva prostim.

Svaki prirodan broj je uvijek djeljiv sa 1 i samim sobom.

• Broj 2 je najmanji prost broj. Ovo je jedini paran prosti broj; svi ostali prosti brojevi su neparni.
• Postoji mnogo prostih brojeva, a prvi među njima je broj 2. Međutim, ne postoji posljednji prost broj. U odjeljku “Za učenje” možete preuzeti tabelu prostih brojeva do 997.

Ali mnogi prirodni brojevi su također djeljivi sa drugim prirodnim brojevima.

Označimo

Na primjer:

broj 12 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv cjelinom (za 12 to su 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelji broja.

Označimo

Delitelj prirodnog broja a je prirodan broj koji dijeli dati broj “a” bez ostatka. Prirodni broj koji ima više od dva djelitelja naziva se kompozitni.

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke faktore.:

Ovi brojevi su: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Najveći djelitelj ovih brojeva je 12.

Zajednički djelitelj dva data broja “a” i “b” je broj kojim su oba data broja “a” i “b” podijeljena bez ostatka.

Najveći zajednički djelitelj

(GCD) dva data broja “a” i “b” je najveći broj kojim su oba broja “a” i “b” podijeljena bez ostatka.

Ukratko, najveći zajednički djelitelj brojeva “a” i “b” piše se na sljedeći način

GCD (a; b) . Primjer: gcd (12; 36) = 12..

Označimo

Delitelji brojeva u zapisu rješenja označeni su velikim slovom “D”. D (7) = (1, 7)

D (9) = (1, 9)

GCD (7; 9) = 1

1. Brojevi 7 i 9 imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1.

Pogodno je pisati proračune pomoću vertikalne trake. Lijevo od reda prvo zapisujemo dividendu, desno - djelitelj. Zatim u lijevom stupcu zapisujemo vrijednosti količnika.

Objasnimo to odmah na primjeru. Razložimo brojeve 28 i 64 u proste faktore.

1. Naglašavamo iste proste faktore u oba broja.
   28 = 2 2 7

   64 = 2 2 2 2 2 2

2. Pronađite proizvod identičnih prostih faktora i zapišite odgovor;
   GCD (28; 64) = 2 2 = 4

   Odgovor: GCD (28; 64) = 4

Lokaciju GCD-a možete formalizirati na dva načina: u stupcu (kao što je gore urađeno) ili "u nizu".

Završeni radovi

DEGREE WORKS

Mnogo toga je već prošlo i sada ste diplomirani, ako, naravno, napišete tezu na vrijeme. Ali život je takva stvar da ti tek sada postaje jasno da ćeš, prestajući da budeš student, izgubiti sve studentske radosti, od kojih mnoge nikada nisi probao, odlažući sve i odlažući za kasnije. I sada, umjesto da sustižete, radite na svojoj tezi? Postoji odlično rješenje: preuzmite tezu koja vam je potrebna s naše web stranice - i odmah ćete imati puno slobodnog vremena!
Teze su uspješno odbranjene na vodećim univerzitetima Republike Kazahstan.
Trošak rada od 20.000 tenge

RADOVI NA PREDMETU

Kursni projekat je prvi ozbiljniji praktični rad. Upravo sa pisanjem predmeta počinje priprema za izradu diplomskih projekata. Ako student nauči pravilno predstaviti sadržaj teme u predmetnom projektu i kompetentno ga formatirati, u budućnosti neće imati problema s pisanjem izvještaja, sastavljanjem teza ili obavljanjem drugih praktičnih zadataka. Da bi se studentima pomoglo u pisanju ovakvog studentskog rada i da bi se razjasnila pitanja koja se javljaju tokom njegove izrade, kreirana je, zapravo, ova informativna rubrika.
Trošak rada od 2.500 tenge

MAGISTARSKE DISERTACIJE

Trenutno je u visokoškolskim ustanovama Kazahstana i zemalja ZND vrlo čest nivo visokog stručnog obrazovanja koji slijedi nakon diplome - master. Na master programu studenti studiraju s ciljem sticanja magistarske diplome, koja je u većini zemalja svijeta priznata više od diplome bachelor, a priznaju je i strani poslodavci. Rezultat magistarskog studija je odbrana magistarskog rada.
Obezbedićemo Vam ažuran analitički i tekstualni materijal u cenu su uključena 2 naučna članka i sažetak
Trošak rada od 35.000 tenge

IZVJEŠTAJI O PRAKSI

Nakon završene bilo koje vrste studentske prakse (obrazovne, industrijske, preddiplomske) obavezan je izvještaj. Ovaj dokument će biti potvrda studentovog praktičnog rada i osnova za formiranje ocjene za praksu. Obično, da biste sastavili izvještaj o stažiranju, potrebno je prikupiti i analizirati podatke o preduzeću, razmotriti strukturu i radnu rutinu organizacije u kojoj se praksa obavlja, izraditi kalendarski plan i opisati svoju praktičnu praksu. aktivnosti.
Pomoći ćemo vam da napišete izvještaj o vašoj praksi, uzimajući u obzir specifičnosti djelatnosti određenog preduzeća.

09.07.2015 6119 0

Ciljevi: razviti vještinu pronalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja; uvesti pojam koprostih brojeva; vježbati sposobnost rješavanja problema koristeći gcd brojeve; naučiti analizirati i donositi zaključke.

II. Verbalno brojanje

1. Može li osnovna faktorizacija broja 24,753 sadržavati faktor 5? Zašto? (Ne, jer se ovaj broj ne završava sa 0 ili 5.)

2. Imenujte broj koji je djeljiv sa svim brojevima bez ostatka. (Nula.)

3. Zbir dva cijela broja je neparan. Da li je njihov proizvod paran ili neparan? (Ako je zbir dva broja neparan, onda je jedan broj paran, drugi neparan. Pošto je jedan od faktora paran broj, dakle, on je djeljiv sa 2, što znači da je proizvod djeljiv sa 2. Tada cijeli proizvod je ujednačen.)

4. U jednoj porodici, svaki od tri brata ima sestru. Koliko je djece u porodici? (4 djece: tri dječaka i jedna njihova sestra.)

III . Individualni rad

Proširite broj 210 na sve moguće načine:

a) sa 2 množitelja; (210 = 21 10 = 14 15 = 7 30 = 70 3 = 6 35 = 42 5 = 105 2.)

b) sa 3 množitelja; (210 = 3 7 10 = 5 3 14 = 7 5 6 = 35 2 3 = 21 2 5 = 7 2 15.)

c) sa 4 faktora. (210 = 3 7 2 5.)

IV. Poruka o temi lekcije

"Brojevi vladaju svijetom." Ove reči pripadaju starogrčkom matematičaru Pitagori, koji je živeo u 5. veku. BC.

Danas ćemo se upoznati sa drugom grupom brojeva, koji se nazivaju relativno prosti.

V. Učenje novog gradiva

1. Pripremni radovi.

br. 146 str. 25 (na tabli i u sveskama). (Samostalno, u ovom trenutku jedan učenik radi na poleđini table.)

Pronađite sve djelitelje svakog broja.

Podvuci njihove zajedničke djelitelje.

Zapišite najveći zajednički djelitelj.

odgovor:

Koji brojevi imaju samo jedan zajednički faktor? (35 i 88.)

2. Radite na novoj temi.

(Samostalno, u ovom trenutku jedan učenik radi na poleđini table.)

Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva: 7 i 21; 25 i 9; 8 i 12; 5 i 3; 15 i 40; 7 i 8.

odgovor:

GCD (7; 21) = 7; GCD (25; 9) = 1; GCD (8; 12) = 4;

GCD (5; 3)= 1; GCD (15; 40) = 5; GCD (7; 8) = 1.

Koji parovi brojeva imaju isti zajednički faktor? (25 i 9; 5 i 3; 7 i 8 - zajednički djelitelj 1.)

Takvi brojevi se nazivaju relativno prosti.

Dajte definiciju međusobno prostih brojeva.

Navedite primjere međusobno prostih brojeva. (35 i 88, 3 i 7; 12 i 35; 16 i 9.)

VI. Istorijski trenutak

Stari Grci su smislili divan način da pronađu najveći zajednički djelitelj dva prirodna broja bez rastavljanja na faktore. Zvao se "Euklidski algoritam".

Nepoznati su pouzdani podaci o životu grčkog matematičara Euklida. Posjeduje izvanredan naučni rad pod nazivom “Principi”. Sastoji se od 13 knjiga i postavlja temelje cjelokupne starogrčke matematike.

Ovdje je opisan Euklid algoritam koji se sastoji u tome da je najveći zajednički djelitelj dva prirodna broja posljednji, različit od nule, ostatak pri sukcesivnom dijeljenju ovih brojeva. Sekvencijalno dijeljenje znači dijeljenje većeg broja manjim brojem, manjeg broja prvim ostatkom, prvog ostatka drugim ostatkom, itd., sve dok se dijeljenje ne završi bez ostatka. Pretpostavimo da onda trebamo pronaći GCD (455; 312).

455: 312 = 1 (preostalo 143), dobijamo 455 = 312 1 + 143.

312: 143 = 2 (preostalih 26), 312 = 143 2 + 26,

143: 26 = 5 (preostalih 13), 143 = 26 5 + 13,

26: 13 = 2 (preostalo 0), 26 = 13 2.

Posljednji djelitelj ili zadnji ostatak koji nije nula je 13 i bit će željeni gcd (455; 312) = 13.

VII. Minut fizičkog vaspitanja

VIII. Rad na zadatku

1. br. 152 str. 26 (sa detaljnim komentarima na tabli i u sveskama).

Pročitajte problem.

O čemu se radi o problemu?

Šta kaže problem?

Imenujte 1. pitanje problema.

Kako saznati koliko je djece bilo na božićnom drvcu? (Pronađi gcd brojeva 123 i 82.)

Pročitajte zadatak za ovaj problem iz svojih bilježnica. (Broj narandži i jabuka mora biti djeljiv sa istim najvećim brojem.)

Kako saznati koliko je narandži bilo u svakom poklonu? (Podijelite ukupan broj narandži sa brojem djece prisutne na drvetu.)

Kako saznati koliko je jabuka bilo u svakom poklonu? (Podijelite ukupan broj jabuka sa brojem djece prisutne na drvetu.)

Rešenje zadatka zapišite u štampane sveske.

Rješenje:

GCD (123; 82) = 41, što znači 41 osoba.

123: 41 = 3 (ap.)

82: 41 = 2 (jabuka)

(Odgovor: 41 momak, 3 pomorandže, 2 jabuke.)

2. Br. 164 (2) str. 27 (nakon kratke analize, jedan učenik je na poleđini ploče, ostali sami, zatim samotestiranje).

Pročitajte problem.

Koja je mjera stepena razvijenog ugla?

Ako je jedan ugao 4 puta manji, šta se onda može reći o drugom uglu? (4 puta je veći.)

Zapišite to u kratku bilješku.

Kako ćete riješiti problem? (Algebarski.)

Rješenje:

1) Neka je x mjera stepena ugla RNS,

4x - mera stepena ugla KOD.

Pošto je zbir uglova RNS i KOD jednak 180°, onda kreiramo jednačinu:

x + 4x = 180

5x = 180

x = 180: 5

x = 36; 36° je stepen stepena za ugao SOC.

2) 36 · 4 = 144° - stepenova mjera ugla KOD.

(Odgovor: 36°, 144°.)

Konstruirajte ove uglove.

Odrediti vrstu uglova RNS i KOD . (Ugao SOK - oštar, ugao KOD - glupo.)

Zašto?

IX. Učvršćivanje naučenog materijala

1. br. 149 str. 26 (na tabli sa detaljnim komentarom).

Šta treba da uradite da biste utvrdili da li su brojevi međusobno prosti? (Nađite njihov najveći zajednički djelitelj; ako je jednak 1, tada su brojevi relativno prosti.)

2. br. 150 str. 26 (usmeni).

Molimo potvrdite svoj odgovor. (9 i 14; 14 i 15; 14 i 27 su parovi međusobno prostih brojeva, pošto je njihov gcd 1.)

3. br. 151 str. 26 (jedan učenik za tablom, ostali u sveskama).

(odgovor: .)

Ko se ne slaže?

4. Usmeno, sa detaljnim obrazloženjem.

Kako pronaći najveći zajednički djelitelj nekoliko prirodnih brojeva? (Pronađite na isti način kao dva broja.)

Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva:

a) 18, 14 i 6; b) 26, 15 i 9; c) 12, 24, 48; d) 30, 50, 70.

Rješenje:

a) 1. Provjerimo da li su brojevi 18 i 14 djeljivi sa 6. Ne.

2. Razložimo najmanji broj 6 = 2 3 na faktore.

3. Provjerimo da li su brojevi 18 i 14 djeljivi sa 3. Ne.

4. Provjerimo da li su brojevi 18 i 14 djeljivi sa 2. Da. Dakle, GCD (18; 14; 6) = 2.

b) GCD (26; 15; 9) = 1.

Šta možete reći o ovim brojevima? (Oni su relativno dobri.)

c) GCD (12; 24; 48) = 12.

d) GCD (30; 50; 70) = 10.

X. Samostalni rad

Peer review. (Odgovori su napisani na završnoj tabli.)

Opcija I. br. 161 (a, b) str. 27, br. 157 (b - 1. i 3.) str.

Opcija II . br. 161 (c, d) str. 27, br. 157 (b - 2. i 3.) str.

XI. Sumiranje lekcije

Koji brojevi se nazivaju međusobno prosti?

Kako možete saznati da li su dati brojevi međusobno prosti?

Kako pronaći najveći zajednički djelitelj nekoliko prirodnih brojeva?

Zadaća

br. 169 (6), 170 (c, d), 171, 174 str.

Dodatni zadatak:Kada preuredite cifre prostog broja 311, opet ćete dobiti prost broj (provjerite to u tabeli prostih brojeva). Pronađite sve dvocifrene brojeve koji imaju isto svojstvo. (113, 131; 13, 31; 17, 71; 37, 73; 79, 97.)