Sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih zove sistem forme
Gdje a ij I b i (i=1,…,m; b=1,…,n) su neki poznati brojevi, i x 1 ,…,x n– nepoznato. U označavanju koeficijenata a ij prvi indeks i označava broj jednačine, a drugi j– broj nepoznate na kojoj stoji ovaj koeficijent.
Zapisaćemo koeficijente za nepoznate u obliku matrice 
, koje ćemo nazvati matrica sistema.
Brojevi na desnoj strani jednadžbe su b 1 ,…,b m su pozvani besplatni članovi.
Totalnost n brojevi c 1 ,…,c n pozvao odluka datog sistema, ako svaka jednadžba sistema postane jednakost nakon zamjene brojeva u nju c 1 ,…,c n umjesto odgovarajućih nepoznanica x 1 ,…,x n.
Naš zadatak će biti da pronađemo rješenja za sistem. U ovom slučaju mogu se pojaviti tri situacije:
Zove se sistem linearnih jednačina koji ima barem jedno rješenje joint. Inače, tj. ako sistem nema rješenja, onda se zove non-joint.
Razmotrimo načine za pronalaženje rješenja za sistem.
MATRIČNA METODA ZA RJEŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA
Matrice omogućavaju da se ukratko zapiše sistem linearnih jednačina. Neka je zadan sistem od 3 jednadžbe sa tri nepoznate:
Razmotrimo matricu sistema 
i kolone matrica nepoznatih i slobodnih pojmova 
Hajde da nađemo posao
one. kao rezultat proizvoda, dobijamo leve strane jednadžbi ovog sistema. Zatim, koristeći definiciju matrične jednakosti, ovaj sistem se može zapisati u obliku
ili kraće A∙X=B.
Evo matrica A I B poznati su i matrica X nepoznato. Potrebno ga je pronaći, jer... njegovi elementi su rješenje za ovaj sistem. Ova jednačina se zove matrična jednačina.
Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednačina rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednačine na lijevoj strani matricom A-1, inverzno od matrice A: . Pošto A -1 A = E I E∙X = X, tada dobijamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B .
Imajte na umu da budući da se inverzna matrica može naći samo za kvadratne matrice, metoda matrice može riješiti samo one sisteme u kojima broj jednačina se poklapa sa brojem nepoznatih. Međutim, matrično snimanje sistema moguće je i u slučaju kada broj jednačina nije jednak broju nepoznatih, tada se matrična A neće biti kvadratna i stoga je nemoguće pronaći rješenje sistema u obliku X = A -1 B.
Primjeri. Rješavanje sistema jednačina.
CRAMEROVO PRAVILO
Razmotrimo sistem od 3 linearne jednadžbe sa tri nepoznate:
Determinanta trećeg reda koja odgovara sistemskoj matrici, tj. sastavljena od koeficijenata za nepoznate,
pozvao determinanta sistema.
Sastavimo još tri determinante na sljedeći način: zamijenimo redom 1, 2 i 3 stupca u odrednici D kolonom slobodnih pojmova
Tada možemo dokazati sljedeći rezultat.
Teorema (Cramerovo pravilo). Ako je determinanta sistema Δ ≠ 0, onda sistem koji se razmatra ima jedno i samo jedno rješenje, i
Dokaz. Dakle, razmotrimo sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate. Pomnožimo prvu jednačinu sistema sa algebarskim komplementom A 11 element a 11, 2. jednačina – uključeno A 21 i 3. – na A 31:
Dodajmo ove jednačine:
Pogledajmo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednačine. Po teoremi o proširenju determinante u elemente 1. stupca
Slično, može se pokazati da i .
Konačno, to je lako primijetiti 
Tako dobijamo jednakost: .
Dakle, .
Jednakosti i se izvode na sličan način, iz čega slijedi izjava teoreme.
Dakle, primjećujemo da ako je determinanta sistema Δ ≠ 0, onda sistem ima jedinstveno rješenje i obrnuto. Ako je determinanta sistema jednaka nuli, onda sistem ili ima beskonačan broj rješenja ili nema rješenja, tj. nekompatibilno.
Primjeri. Riješiti sistem jednačina
GAUSS METODA
Prethodno razmatrane metode mogu se koristiti za rješavanje samo onih sistema u kojima se broj jednačina poklapa sa brojem nepoznanica, a determinanta sistema mora biti različita od nule. Gaussova metoda je univerzalnija i pogodnija za sisteme s bilo kojim brojem jednačina. Sastoji se u doslednom eliminisanju nepoznanica iz jednačina sistema.
Razmotrimo ponovo sistem od tri jednačine sa tri nepoznate:
.
Prvu jednačinu ostavićemo nepromenjenom, a iz 2. i 3. isključićemo članove koji sadrže x 1. Da biste to učinili, podijelite drugu jednačinu sa A 21 i pomnožite sa – A 11, a zatim ga dodajte prvoj jednačini. Slično, treću jednačinu dijelimo sa A 31 i pomnoži sa – A 11, a zatim ga dodajte s prvim. Kao rezultat toga, originalni sistem će poprimiti oblik:
Sada iz posljednje jednačine eliminiramo pojam koji sadrži x 2. Da biste to učinili, podijelite treću jednačinu sa, pomnožite sa i dodajte drugu. Tada ćemo imati sistem jednačina:
Odavde je lako pronaći iz posljednje jednačine x 3, zatim iz 2. jednačine x 2 i konačno, od 1. - x 1.
Kada se koristi Gaussova metoda, jednadžbe se mogu zamijeniti ako je potrebno.
Često, umjesto pisanja novog sistema jednačina, oni se ograničavaju na ispisivanje proširene matrice sistema:
a zatim ga dovedite u trouglasti ili dijagonalni oblik koristeći elementarne transformacije.
TO elementarne transformacije matrice uključuju sljedeće transformacije:
- preuređivanje redova ili kolona;
- množenje niza brojem koji nije nula;
- dodavanjem drugih linija u jednu liniju.
primjeri: Riješite sisteme jednačina Gaussovom metodom.
Dakle, sistem ima beskonačan broj rješenja.
Jednačine uopšte, linearne algebarske jednačine i njihovi sistemi, kao i metode za njihovo rešavanje, zauzimaju posebno mesto u matematici, teorijskoj i primenjenoj.
To je zbog činjenice da se velika većina fizičkih, ekonomskih, tehničkih, pa čak i pedagoških problema može opisati i riješiti korištenjem raznih jednačina i njihovih sistema. U posljednje vrijeme matematičko modeliranje je steklo posebnu popularnost među istraživačima, naučnicima i praktičarima u gotovo svim predmetnim oblastima, što se objašnjava njegovim očiglednim prednostima u odnosu na druge dobro poznate i dokazane metode za proučavanje objekata različite prirode, posebno tzv. sistemima. Postoji veliki izbor različitih definicija matematičkog modela koje su naučnici davali u različito vrijeme, ali po našem mišljenju, najuspješnija je sljedeća izjava. Matematički model je ideja izražena jednadžbom. Stoga je sposobnost sastavljanja i rješavanja jednačina i njihovih sistema sastavna karakteristika savremenog specijaliste.
Za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi najčešće korištene metode su Cramer, Jordan-Gauss i matrična metoda.
Metoda matričnog rješenja je metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina sa determinantom različitom od nule korištenjem inverzne matrice.
Ako zapišemo koeficijente za nepoznate veličine xi u matricu A, sakupimo nepoznate količine u vektorskom stupcu X, a slobodne članove u vektorskom stupcu B, tada se sistem linearnih algebarskih jednadžbi može zapisati u obliku slijedeći matričnu jednačinu A · X = B, koja ima jedinstveno rješenje samo kada determinanta matrice A nije jednaka nuli. U ovom slučaju rješenje sistema jednačina može se naći na sljedeći način X = A-1 · B, Gdje A-1 je inverzna matrica.
Metoda rješenja matrice je sljedeća.
Neka nam bude dat sistem linearnih jednačina sa n nepoznato:
Može se prepisati u matričnom obliku: AX = B, Gdje A- glavna matrica sistema, B I X- kolone slobodnih pojmova i rješenja sistema, odnosno:
Pomnožimo ovu matričnu jednačinu slijeva sa A-1 - matrica inverzna matrici A: A -1 (AX) = A -1 B
Jer A -1 A = E, dobijamo X=A -1 B. Desna strana ove jednačine će dati kolonu rješenja originalnog sistema. Uslov za primenljivost ove metode (kao i opšte postojanje rešenja nehomogenog sistema linearnih jednadžbi sa brojem jednačina jednakim broju nepoznanica) je nedegenerisanost matrice. A. Neophodan i dovoljan uslov za to je da determinanta matrice nije jednaka nuli A:det A≠ 0.
Za homogeni sistem linearnih jednačina, odnosno kada je vektor B = 0 , zapravo suprotno pravilo: sistem AX = 0 ima netrivijalno (tj. različito od nule) rješenje samo ako det A= 0. Takva veza između rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih jednačina naziva se Fredholmova alternativa.
Primjer rješenja nehomogenog sistema linearnih algebarskih jednačina.
Uvjerimo se da determinanta matrice, sastavljena od koeficijenata nepoznatih sistema linearnih algebarskih jednačina, nije jednaka nuli.
Sljedeći korak je izračunavanje algebarskih komplemenata za elemente matrice koje se sastoje od koeficijenata nepoznatih. Oni će biti potrebni za pronalaženje inverzne matrice.
Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda
Matrica A -1 se zove inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A*A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda.
Matrica identiteta- takva kvadratna matrica u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale, koji prelaze iz gornjeg lijevog kuta u donji desni kut, jedinice, a ostali su nule, na primjer:
Inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice one. za one matrice u kojima se broj redova i kolona poklapa.
Teorema za uslov postojanja inverzne matrice
Da bi matrica imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da bude nesingularna.
Matrica A = (A1, A2,...A n) se zove nedegenerisan, ako su vektori stupaca linearno nezavisni. Broj linearno nezavisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Dakle, možemo reći da je za postojanje inverzne matrice potrebno i dovoljno da rang matrice bude jednak njenoj dimenziji, tj. r = n.
Algoritam za pronalaženje inverzne matrice
- Upišite matricu A u tabelu za rješavanje sistema jednačina Gausovom metodom i dodijelite joj matricu E na desnoj strani (umjesto desne strane jednadžbi).
- Koristeći Jordan transformacije, svesti matricu A na matricu koja se sastoji od jediničnih stupaca; u ovom slučaju potrebno je istovremeno transformirati matricu E.
- Ako je potrebno, preuredite redove (jednačine) posljednje tablice tako da ispod matrice A originalne tablice dobijete matricu identiteta E.
- Zapišite inverznu matricu A -1, koja se nalazi u posljednjoj tablici ispod matrice E originalne tablice.
Za matricu A, pronađite inverznu matricu A -1
Rješenje: Zapisujemo matricu A i dodjeljujemo matricu identiteta E koristeći Jordanove transformacije, svodimo matricu A na matricu identiteta E. Proračuni su dati u tabeli 31.1.
Provjerimo ispravnost proračuna množenjem originalne matrice A i inverzne matrice A -1.
Kao rezultat množenja matrice, dobijena je matrica identiteta. Dakle, proračuni su napravljeni ispravno.
odgovor: 
Rješavanje matričnih jednadžbi
Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:
AX = B, HA = B, AXB = C,
gdje su A, B, C specificirane matrice, X je željena matrica.
Matrične jednadžbe se rješavaju množenjem jednačine inverznim matricama.
Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednačine, trebate pomnožiti ovu jednačinu sa lijevo.
Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je sa matricom na desnoj strani jednadžbe.
Ostale jednačine se rješavaju slično.
Riješite jednačinu AX = B ako 
Rješenje: Pošto je inverzna matrica jednaka (vidi primjer 1)
Matrična metoda u ekonomskoj analizi
Zajedno sa ostalima, također se koriste matrične metode. Ove metode su bazirane na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Ovakve metode se koriste za potrebe analize složenih i višedimenzionalnih ekonomskih pojava. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno izvršiti uporednu procjenu funkcionisanja organizacija i njihovih strukturnih podjela.
U procesu primjene metoda matrične analize može se izdvojiti nekoliko faza.
U prvoj fazi formira se sistem ekonomskih indikatora i na osnovu njega se sastavlja matrica početnih podataka, a to je tabela u kojoj su brojevi sistema prikazani u pojedinačnim redovima (i = 1,2,....,n), au vertikalnim kolonama - brojevi indikatora (j = 1,2,....,m).
U drugoj fazi Za svaki vertikalni stupac identificira se najveća od dostupnih vrijednosti indikatora, koja se uzima kao jedna.
Nakon toga, svi iznosi prikazani u ovoj koloni se dijele sa najvećom vrijednošću i formira se matrica standardiziranih koeficijenata.
U trećoj fazi sve komponente matrice su na kvadrat. Ako imaju različitu važnost, tada se svakom matričnom indikatoru dodjeljuje određeni težinski koeficijent k. Vrijednost potonjeg utvrđuje se stručnim mišljenjem.
na posljednjoj, četvrta faza pronađene vrijednosti ocjena Rj grupisane su po njihovom porastu ili smanjenju.
Navedene matrične metode treba koristiti, na primjer, u komparativnoj analizi različitih investicionih projekata, kao iu procjeni drugih ekonomskih pokazatelja aktivnosti organizacija.
Ovaj online kalkulator rješava sistem linearnih jednačina koristeći matričnu metodu. Dato je vrlo detaljno rješenje. Da biste riješili sistem linearnih jednačina, odaberite broj varijabli. Odaberite metodu za izračunavanje inverzne matrice. Zatim unesite podatke u ćelije i kliknite na dugme "Izračunaj".
×
Upozorenje
Obrisati sve ćelije?
Zatvori Clear
Instrukcije za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimale (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora unijeti u obliku a/b, gdje su a i b cijeli brojevi ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.
Matrična metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina
Razmotrimo sljedeći sistem linearnih jednačina:
S obzirom na definiciju inverzne matrice, imamo A −1 A=E, Gdje E- matrica identiteta. Stoga (4) se može napisati na sljedeći način:
Dakle, da bi se riješio sistem linearnih jednačina (1) (ili (2)), dovoljno je pomnožiti inverznu vrijednost A matrica po vektoru ograničenja b.
Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina matričnom metodom
Primjer 1. Riješite sljedeći sistem linearnih jednadžbi koristeći matričnu metodu:
Nađimo inverz matrice A koristeći Jordan-Gaussov metod. Na desnoj strani matrice A Napišimo matricu identiteta:
Isključimo elemente 1. kolone matrice ispod glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte redove 2,3 sa linijom 1, pomnožene sa -1/3, -1/3, respektivno:
Isključimo elemente 2. kolone matrice ispod glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte red 3 sa linijom 2 pomnožen sa -24/51:
Isključimo elemente 2. kolone matrice iznad glavne dijagonale. Da biste to učinili, dodajte red 1 sa linijom 2 pomnožen sa -3/17:
Odvojite desnu stranu matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna matrica od A :
Matrični oblik pisanja sistema linearnih jednačina: Ax=b, Gdje
Izračunajmo sve algebarske komplemente matrice A:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
Gdje A ij − algebarski komplement matričnog elementa A, koji se nalazi na raskrsnici i-ti red i j-ti stupac, a Δ je determinanta matrice A.
Koristeći formulu inverzne matrice, dobijamo:
Prema Cramerovim formulama;
Gaussova metoda;
Rješenje: Kronecker-Capelli teorema. Sistem je konzistentan ako i samo ako je rang matrice ovog sistema jednak rangu njegove proširene matrice, tj. r(A)=r(A 1), Gdje
Proširena matrica sistema izgleda ovako:
Pomnožite prvi red sa ( –3 ), a drugi na ( 2 ); Nakon toga, dodajte elemente prvog reda odgovarajućim elementima drugog reda; oduzmite treći od drugog reda. U rezultirajućoj matrici prvi red ostavljamo nepromijenjenim.
6 ) i zamijenite drugi i treći red:
Pomnožite drugi red sa ( –11 ) i dodati odgovarajućim elementima trećeg reda.
Podijelite elemente trećeg reda sa ( 10 ).
Nađimo determinantu matrice A.
dakle, r(A)=3 . Prošireni matrični rang r(A 1) je takođe jednako 3 , tj.
r(A)=r(A 1)=3 Þ Sistem je kooperativan.
1) Prilikom ispitivanja konzistentnosti sistema, proširena matrica je transformisana Gausovom metodom.
Gaussova metoda je sljedeća:
1. Svođenje matrice na trouglasti oblik, tj. ispod glavne dijagonale treba da postoje nule (direktno kretanje).
2. Iz posljednje jednačine nalazimo x 3 i zamenimo ga drugim, nalazimo x 2, i znajući x 3, x 2 zamjenjujemo ih u prvu jednačinu, nalazimo x 1(obrnuto).
Napišimo Gaussovu transformiranu proširenu matricu
u obliku sistema od tri jednačine:
Þ x 3 =1
x 2 = x 3Þ x 3 =1
2x 1 =4+x 2 +x 3Þ 2x 1 =4+1+1Þ
Þ 2x 1 =6 Þ x 1 =3
.
2) Rešimo sistem koristeći Cramerove formule: ako je determinanta sistema jednačina Δ različita od nule, onda sistem ima jedinstveno rešenje, koje se nalazi pomoću formula
Izračunajmo determinantu sistema Δ:
Jer Ako je determinanta sistema različita od nule, onda prema Cramerovom pravilu sistem ima jedinstveno rješenje. Izračunajmo determinante Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Dobijaju se iz determinante sistema Δ zamjenom odgovarajuće kolone kolonom slobodnih koeficijenata.
Nepoznate pronalazimo pomoću formula:
Odgovor: x 1 =3, x 2 =1, x 3 =1 .
3) Rešimo sistem pomoću matričnog računa, odnosno pomoću inverzne matrice.
A×X=B Þ X=A -1 × B, Gdje A -1– inverzna matrica za A,
Kolona slobodnih članova,
Matrica-kolona nepoznatih.
Inverzna matrica se izračunava pomoću formule:
Gdje D- matrična determinanta A, A ij– algebarski komplementi elementa a ij matrice A. D= 60 (iz prethodnog stava). Determinanta je različita od nule, stoga je matrica A invertibilna, a njena inverzna matrica se može naći pomoću formule (*). Nađimo algebarske komplemente za sve elemente matrice A koristeći formulu:
I ij =(-1 )i+j M ij .
x 1, x 2, x 3 pretvorili su svaku jednačinu u identičnost, a zatim su pronađene ispravno.
Primjer 6. Rešite sistem Gausovom metodom i pronađite dva osnovna rešenja sistema.