Idite na youtube kanal naše web stranice da budete u toku sa svim novim video lekcijama.
Prvo, prisjetimo se osnovnih formula snaga i njihovih svojstava.
Proizvod broja a javlja se na sebi n puta, ovaj izraz možemo zapisati kao a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Potencijske ili eksponencijalne jednadžbe– ovo su jednadžbe u kojima su varijable u stepenu (ili eksponentima), a baza je broj.
Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:
U ovom primjeru, broj 6 je baza; uvijek je na dnu i varijabla x stepen ili indikator.
Navedimo više primjera eksponencijalnih jednačina.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Pogledajmo sada kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?
Uzmimo jednostavnu jednačinu:
2 x = 2 3
Ovaj primjer se može riješiti čak i u vašoj glavi. Može se vidjeti da je x=3. Uostalom, da bi lijeva i desna strana bile jednake, trebate staviti broj 3 umjesto x.
Sada da vidimo kako formalizirati ovu odluku:
2 x = 2 3
x = 3
Da bismo riješili takvu jednačinu, uklonili smo se identične osnove(odnosno dvojke) i zapisao šta je ostalo, to su stepeni. Dobili smo odgovor koji smo tražili.
Sada da rezimiramo našu odluku.
Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti isto da li jednadžba ima baze na desnoj i lijevoj strani. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što baze postanu iste, izjednačiti stepena i riješi rezultirajuću novu jednačinu.
Pogledajmo sada nekoliko primjera:
Počnimo s nečim jednostavnim.
Osnove na lijevoj i desnoj strani jednake su broju 2, što znači da bazu možemo odbaciti i izjednačiti njihove potencije.
x+2=4 Dobije se najjednostavnija jednačina.
x=4 – 2
x=2
Odgovor: x=2
U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite: 3 i 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Prvo, pomerimo devetku na desnu stranu, dobićemo:
Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2. Koristimo formulu snage (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Dobijamo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Sada je jasno da su na lijevoj i desnoj strani baze iste i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stepene.
3x=2x+16 dobijamo najjednostavniju jednačinu
3x - 2x=16
x=16
Odgovor: x=16.
Pogledajmo sljedeći primjer:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Prije svega, gledamo baze, baze dva i četiri. I trebamo da budu isti. Transformišemo četiri koristeći formulu (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
A koristimo i jednu formulu a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Dodajte u jednačinu:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Naveli smo primjer iz istih razloga. Ali smetaju nam drugi brojevi 10 i 24. Šta da radimo s njima? Ako bolje pogledate možete vidjeti da na lijevoj strani imamo 2 2x ponovljeno, evo odgovora - možemo staviti 2 2x izvan zagrada:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Izračunajmo izraz u zagradama:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Cijelu jednačinu podijelimo sa 6:
Zamislimo 4=2 2:
2 2x = 2 2 baze su iste, odbacujemo ih i izjednačavamo stepene.
2x = 2 je najjednostavnija jednadžba. Podijelimo sa 2 i dobijemo
x = 1
Odgovor: x = 1.
Rešimo jednačinu:
9 x – 12*3 x +27= 0
transformirajmo:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Dobijamo jednačinu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Naše baze su iste, jednake su 3. U ovom primjeru možete vidjeti da prva tri ima stepen dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju, možete riješiti metoda zamjene. Broj zamjenjujemo najmanjim stepenom:
Tada je 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Sve x potencije u jednadžbi zamjenjujemo sa t:
t 2 - 12t+27 = 0
Dobijamo kvadratnu jednačinu. Rješavajući preko diskriminanta, dobijamo:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Vraćanje na varijablu x.
Uzmi t 1:
t 1 = 9 = 3 x
To je,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog od t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 = 2; x 2 = 1.
Na web stranici možete postaviti sva pitanja koja imate u odjeljku POMOĆ ODLUČITI, mi ćemo vam svakako odgovoriti.
Pridružite se grupi
Uvod
1. Teorijski dio
1.1 Osnovni koncepti i definicije
1.3 Cardano formula
2. Rješavanje problema
Zaključak
Uvod
Jednačine. Sa sigurnošću možemo reći da ne postoji osoba koja ih ne bi upoznala. Djeca počinju rješavati “probleme sa X” od malih nogu. Dalje više. Istina, za mnoge se poznavanje jednačina završava školskim radom. Čuveni nemački matematičar Courant je napisao: „Više od dva milenijuma posedovanje nekog, ne previše površnog, znanja iz oblasti matematike bilo je neophodna komponenta intelektualnog inventara svake obrazovane osobe. A među tim znanjem bila je i sposobnost rješavanja jednačina.
Već u davna vremena ljudi su shvatili koliko je važno naučiti rješavati algebarske jednadžbe oblika
a0xn + a1xn - 1 + … + an = 0
uostalom, na njih se svode mnoga i vrlo raznolika pitanja prakse i prirodnih nauka (naravno, ovdje odmah možemo pretpostaviti da je a0 ¹ 0, jer inače stepen jednačine zapravo nije n, već manji). Mnogi su, naravno, imali primamljivu ideju da pronađu, za bilo koji stepen n, formule koje bi izrazile korijene jednadžbe kroz njene koeficijente, odnosno riješile jednačinu u radikalima. Međutim, „mračni srednji vijek“ se pokazao što sumornijim u odnosu na problem o kojem se raspravlja - cijelih sedam stoljeća niko nije pronašao tražene formule! Tek u 16. veku italijanski matematičari su uspeli da napreduju dalje - da pronađu formule za n = 3 i 4. Istorija njihovih otkrića, pa čak i autorstvo pronađenih formula su do danas prilično nejasne, a mi ovde nećemo pojašnjavati složene veze između Ferra, Cardana, Tartaglie i Ferrarija. Hajde da bolje objasnimo matematičku suštinu stvari.
Svrha rada je istraživanje različitih metoda za rješavanje jednačina trećeg stepena.
Da biste postigli ovaj cilj, potrebno je izvršiti niz zadataka:
-Analiza znanstvene literature;
-Analiza školskih udžbenika;
-Izbor primjera za rješenje;
-Rješavanje jednadžbi različitim metodama.
Rad se sastoji iz dva dijela. U prvom se razmatraju različite metode za rješavanje jednačina. Drugi dio je posvećen rješavanju jednačina na različite načine.
1. Teorijski dio
1 Osnovni koncepti i definicije
Kubična jednačina je jednačina trećeg stepena oblika:
Broj x koji pretvara jednadžbu u identitet naziva se korijen ili rješenje jednadžbe. To je također korijen polinoma trećeg stepena na lijevoj strani kanonske notacije.
Nad poljem kompleksnih brojeva, prema osnovnoj teoremi algebre, kubna jednadžba uvijek ima 3 korijena (uzimajući u obzir višestrukost).
Budući da svaki realni polinom neparnog stepena ima barem jedan realni korijen, svi mogući slučajevi sastava korijena kubične jednadžbe ograničeni su na tri opisana u nastavku. Ovi slučajevi se lako razlikuju pomoću diskriminanta
Dakle, moguća su samo tri slučaja:
Ako? > 0, onda jednačina ima tri različita realna korijena.
Ako?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.
Ako? = 0, tada se najmanje dva korijena poklapaju. Ovo se može dogoditi kada jednačina ima dvostruki realni korijen i drugi različiti realni korijen; ili, sva tri korijena se poklapaju, formirajući korijen višestrukosti 3. Rezultanta kubične jednadžbe i njenog drugog izvoda pomažu da se odvoje ova dva slučaja: polinom ima korijen višestrukosti 3 ako i samo ako je navedena rezultanta također jednaka nula.
Korijeni kubične jednadžbe povezani su s koeficijentima na sljedeći način:
1.2 Metode rješavanja kubnih jednačina
Najčešća metoda za rješavanje kubnih jednadžbi je metoda grube sile.
Prvo, pretraživanjem ćemo pronaći jedan od korijena jednadžbe. Činjenica je da kubične jednadžbe uvijek imaju barem jedan realan korijen, a cijeli korijen kubične jednadžbe sa cjelobrojnim koeficijentima je djelitelj slobodnog člana d. Koeficijenti ovih jednačina obično se biraju tako da željeni korijen leži među malim cijelim brojevima, kao što su: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Stoga ćemo tražiti korijen među tim brojevima i provjeriti ga zamjenom u jednačina. Verovatnoća uspeha sa ovim pristupom je veoma velika. Pretpostavimo da je ovo korijen.
Druga faza rješenja je dijeljenje polinoma binomom x - x1. Prema Bezoutovoj teoremi, ova podjela bez ostatka je moguća, a kao rezultat dobijamo polinom drugog stepena, koji se mora izjednačiti sa nulom. Rješavanjem rezultirajuće kvadratne jednadžbe naći ćemo (ili ne) preostala dva korijena.
Rješavanje binomne kubne jednadžbe
Binomna kubična jednadžba ima oblik (2)
Ova jednadžba se svodi na formu dijeljenjem koeficijentom koji nije nula. Zatim primijenite formulu za skraćeni zbroj množenja kocki:
Iz prve zagrade nalazimo, a kvadratni trinom ima samo kompleksne korijene.
Recipročne kubične jednadžbe
Recipročna kubna jednačina ima oblik i B -koeficijente.
Grupirajmo:
Očigledno, x=-1 je korijen takve jednadžbe, a korijeni rezultujućeg kvadratnog trinoma se lako mogu pronaći preko diskriminanta.
1.3 Cardano formula
Općenito, korijeni kubične jednadžbe se nalaze pomoću Cardano formule.
Za kubičnu jednadžbu (1) vrijednosti se nalaze zamjenom: x= (2), a jednačina se svodi na oblik:
nepotpuna kubna jednačina u kojoj će nedostajati član koji sadrži drugi stepen.
Pretpostavljamo da jednačina ima kompleksne brojeve kao koeficijente. Ova jednačina će uvijek imati kompleksne korijene.
Označimo jedan od ovih korijena: . Hajde da uvedemo pomoćnu nepoznatu u i razmotrimo polinom f(u)=.
Označimo korijene ovog polinoma sa? i?, prema Vietteovoj teoremi (vidi str. 8):
Zamjenom izraza (4) u jednačinu (3) dobijamo:
S druge strane od (5): (7)
Iz ovoga, odnosno iz formula (6), (7), slijedi da su brojevi korijeni jednadžbe:
Iz posljednje jednadžbe:
Druga dva korijena nalaze se po formuli:
1.4 Vieta trigonometrijska formula
Ova formula pronalazi rješenja redukovane kubične jednadžbe, odnosno jednačine oblika
Očigledno, svaka kubična jednadžba se može svesti na jednačinu oblika (4) jednostavnim dijeljenjem sa koeficijentom a. Dakle, algoritam za primjenu ove formule:
Računamo
2. Izračunajte
3. a) Ako, onda izračunavamo
I naša jednadžba ima 3 korijena (realna):
b) Ako, onda zamijenite trigonometrijske funkcije hiperboličkim.
Računamo
Zatim jedini korijen (pravi):
Imaginarni korijeni:
C) Ako, onda jednačina ima manje od tri različita rješenja:
2. Rješavanje problema
Primjer 1. Pronađite realne korijene kubične jednadžbe
Primjenjujemo formulu za skraćeno množenje razlike kocke:
Iz prve zagrade nalazimo da kvadratni trinom u drugoj zagradi nema realnih korijena, jer je diskriminant negativan.
Primjer 2: Riješite jednačinu
Ovo je recipročna jednačina. Grupirajmo:
je korijen jednadžbe. Pronalaženje korijena kvadratnog trinoma
Primjer 3. Pronađite korijene kubične jednadžbe
Hajde da transformišemo jednačinu u datu: pomnožimo sa obe strane i promenimo promenljivu.
Slobodni član je jednak 36. Zapišimo sve njegove djelitelje:
Zamijenjujemo ih u jednakost dok ne dobijemo identitet:
Dakle, je korijen. To odgovara
Podijelite korištenjem Hornerove sheme.
Polinomski koeficijenti2-11129-0,52-11+2*(-0,5)=-1212-12*(-0,5)=189+18*(-0,5)=0
Dobijamo
Nađimo korijene kvadratnog trinoma:
Očigledno, to jest, njegov višestruki korijen je.
Primjer 4. Naći realne korijene jednadžbe
je korijen jednadžbe. Nađimo korijene kvadratnog trinoma.
Pošto je diskriminant manji od nule, trinom nema realne korijene.
Primjer 5. Pronađite korijene kubične jednadžbe 2.
dakle,
Zamijenite u Cardano formulu:
uzima tri vrijednosti. Hajde da ih zapišemo.
Kad imamo
Kad imamo
Kad imamo
Podijelimo ove vrijednosti u parove koje daju u proizvodu
Prvi par vrijednosti i
Drugi par vrijednosti i
Treći par vrijednosti i
Vraćajući se Cardano formuli
dakle,
Zaključak
trinom kubne jednadžbe
Kao rezultat rada na predmetu, proučavane su različite metode za rješavanje jednačina trećeg stepena, kao što su metoda nabrajanja, Carano formula, Vieta formula, metode rješavanja recipročnih i binomnih jednačina.
Spisak korištenih izvora
1)Bronshtein I.N., Semendyaev K.A. “Priručnik iz matematike za inženjere i studente tehničkih fakulteta”, M., 1986.
2)Kolmogorov A.N. Algebra i počeci analize. Udžbenik za 9. razred gimnazije, 1977.
)Omelchenko V.P. Matematika: udžbenik / V.P. Omelchenko, E.V. Kurbatova. - Rostov n/d.: Phoenix, 2005.- 380 str.
Tutoring
Trebate pomoć u proučavanju teme?
Naši stručnjaci će savjetovati ili pružiti usluge podučavanja o temama koje vas zanimaju.
Pošaljite svoju prijavu naznačivši temu upravo sada kako biste saznali o mogućnosti dobivanja konsultacija.
Bez pomoći skripte, morat ćete izvesti prilično složene proračune koristeći Cardano metodu, koja uključuje najmanje 6 koraka. Proračun počinje svođenjem originalne jednadžbe na oblik y³ + py + q = 0, itd.
Proračun jednačina trećeg stepena je tražen pri rješavanju mnogih fundamentalnih i primijenjenih matematičkih, fizičkih, statističkih, istraživačkih i inženjerskih problema.
Jednačina trećeg stepena online
Kubična jednačina izgleda ovako:
$$ x^3 + a \cdot x^2 + b \cdot x +c =0 $$
gdje su a, b, c numerički koeficijenti za x.
x je varijabla čija će vrijednost, pretvarajući kubni polinom u identitet, biti korijen kubne jednadžbe.
Da biste riješili kubičnu jednačinu na mreži, morate postaviti koeficijente jednadžbe jedan po jedan.
Kubična jednadžba može imati tri realna korijena, ili jedan (ili dva za degenerirani slučaj) i dva kompleksna konjugirana korijena.
Jednačina ima tri realna korijena ako je $$R^2< Q^3$$
$$ R $$ se nalazi pomoću sljedeće formule:
$$ Q $$ se može pronaći pomoću formule:
Ako je $$R^2< Q^3 $$ , то уравнение имеет три действительных корня:
Ako je $$ R^2 >= Q^3 $$, tada jednačina ima jedan pravi korijen (ili dva, za degenerirane slučajeve) i dva kompleksna konjugata:
Funkcija y = x³ i njen graf
Napravimo tablicu vrijednosti funkcije y = x 3: Vidimo da je za x > 0 i y > 0 (kocka pozitivnog broja je pozitivna), a za x< 0 и y < 0 (куб отрицательного числа отрицателен). Следовательно, график расположится на координатной плоскости в I и III четвертях. Заменим значение аргумента x противоположным значением –x , тогда и функция примет противоположное значение; так как если y = x 3 , то
To znači da svaka tačka (x; y) grafa odgovara tački (–x; –y) istog grafa, koja se nalazi simetrično u odnosu na ishodište.
Dakle, ishodište je centar simetrije grafa.
Grafikon funkcije y = x 3 prikazan je na slici 81. Ova prava se naziva kubna parabola.
U prvom tromjesečju kubična parabola (za x > 0) "strmo" se diže prema gore (vrijednost y "brzo" raste kako se x povećava, vidi tabelu); za male vrijednosti x, linija se "blisko" približava x-osa (za “male” vrijednosti x vrijednost y je “vrlo mala”, vidi tabelu). Lijeva strana kubične parabole (u trećoj četvrtini) je simetrična desnoj strani u odnosu na ishodište.
Uredno nacrtan graf može poslužiti kao sredstvo za aproksimaciju kocki brojeva. Tako, na primjer, stavljajući x = 1.6, iz grafa nalazimo y ≈ 4.1.
Za približan proračun kocki sastavljene su posebne tabele.
Takva tabela dostupna je i u priručniku V. M. Bradisa „Četvorocifrene matematičke tabele“.
Ova tabela sadrži približne kocke brojeva od 1 do 10, zaokružene na 4 značajne brojke.
Struktura tablice kocke i pravila za njeno korištenje su ista kao i kvadratna tablica. Međutim, kada se broj poveća (ili smanji) za 10, 100, itd. puta, njegova kocka se povećava (ili smanjuje) za 1000, itd. puta. To znači da kada koristite tablicu kockica, morate imati na umu sljedeće pravilo prelomanja zareza:
Ako u broju pomjerite zarez na nekoliko znamenki, tada u kocki ovog broja trebate pomaknuti zarez u istom smjeru za trostruki broj znamenki.
Objasnimo ovo na primjerima:
1) Izračunajte 2,2353. Iz tabele nalazimo: 2.233 ≈ 11.09; poslednjoj cifri dodajemo ispravku od 8 za poslednju cifru: 2,2353 ≈ 11,17.
2) Izračunaj (–179,8) 3 . Kako je (–a) 3 = –a 3, nalazimo (179.8) 3.
Koristeći tablicu, nalazimo 1.798 3 ≈ 5.813, pomjerajući decimalni zarez, dobijamo 179.8 3 ≈.
To znači (–179,8) 3 ≈ –.
Približne formule. Ako u identitetu
(1 ± α)³ ≈ 1 ± 3α ± 3α² ± α³
broj α je mali u poređenju sa jedinicom, a onda odbacivanjem pojmova sa α² i α³ dobijamo približne formule:
Koristeći ove formule lako je pronaći približne kocke brojeva bliskih jedan, na primjer:
1,02³ ≈ 1 + 3 * 0,02 = 1,06; tačna kocka: 1,061208;
1,03³ ≈ 1 + 3 * 0,03 = 1,09; tačna kocka: 1,092727;
0,98³ ≈ 1 – 3 * 0,02 = 0,94; tačna kocka: 0,941192;
0,97³ ≈ 1 – 3 * 0,03 = 0,91; tačna kocka: 0,912673.
Brojevi kocke na ravnalu. Za brojeve kocke, na telu lenjira nalazi se kocka skala K. Skala kocke se sastoji od tri dijela: lijevog, srednjeg i desnog (vidi crtež 82); svaki od ovih dijelova predstavlja glavnu D skalu, ali smanjenu za faktor tri.
Vrijednost kockastog broja označavamo tražilom na glavnoj skali D, a rezultat očitavamo na skali kocke K.
Na primjer, 2³ = 8 (vidi dijagram 39).
Nekoliko primjera kockastih brojeva dato je u sljedećoj tabeli. Za poređenje, date su vrijednosti kocki istih brojeva, izračunate iz četverocifrenih tablica.
Rješavanje kubnih jednadžbi.
Svaka kubična jednadžba sa realnim koeficijentima ima barem jedan realan korijen, druge dvije su također realne ili su složeni konjugirani par.
Započnimo pregled s najjednostavnijim slučajevima - binom I povratno jednačine. Zatim prelazimo na pronalaženje racionalnih korijena (ako ih ima). Završimo s primjerom pronalaženja korijena kubične jednadžbe pomoću Cardanova formula za opšti slučaj.
Navigacija po stranici.
Rješavanje dvočlane kubične jednadžbe.
Binomna kubična jednačina ima oblik.
Ova jednadžba se svodi na formu dijeljenjem koeficijentom koji nije nula. Zatim primijenite formulu za skraćeni zbroj množenja kocki:
Iz prve zagrade nalazimo, a kvadratni trinom ima samo kompleksne korijene.
Pronađite prave korijene kubične jednadžbe.
Primjenjujemo formulu za skraćeno množenje razlike kocke:
Iz prve zagrade nalazimo da kvadratni trinom u drugoj zagradi nema realnih korijena, jer je njegov diskriminant negativan.
Rješavanje recipročne kubne jednadžbe.
Recipročna kubična jednačina ima oblik gdje su A i B koeficijenti.
Očigledno, x = -1 je korijen takve jednadžbe, a korijeni rezultujućeg kvadratnog trinoma se lako mogu pronaći preko diskriminanta.
Riješite kubnu jednačinu.
Ovo je recipročna jednačina. Grupirajmo:
Očigledno je da je x = -1 korijen jednadžbe.
Pronalaženje korijena kvadratnog trinoma:
Rješavanje kubnih jednadžbi s racionalnim korijenima.
Počnimo s najjednostavnijim slučajem, kada je x=0 korijen kubične jednadžbe.
U ovom slučaju, slobodni član D je jednak nuli, odnosno, jednačina ima oblik.
Ako izvučemo x iz zagrada, tada će u zagradama ostati kvadratni trinom, čiji se korijeni lako mogu pronaći ili preko diskriminanta ili Vietinog teorema.
Pronađite prave korijene jednadžbe.
x=0 je korijen jednadžbe. Nađimo korijene kvadratnog trinoma.
Pošto je njegov diskriminanta manji od nule, trinom nema realne korijene.
Ako su koeficijenti kubične jednadžbe cijeli brojevi, onda jednačina može imati racionalne korijene.
Kada, pomnožite obje strane jednačine sa i promijenite varijable y = Ax:
Došli smo do zadate kubne jednačine. Može imati cijele korijene, koji su djelitelji slobodnog člana. Dakle, zapisujemo sve djelitelje i počinjemo ih zamjenjivati u rezultirajuću jednadžbu dok ne dobijemo identičnu jednakost. Delitelj na kojem se dobija identitet je korijen jednadžbe. Dakle, korijen originalne jednadžbe je.
Pronađite korijene kubične jednadžbe.
Hajde da transformišemo jednačinu na gornju: pomnožimo sa obe strane i promenimo promenljivu y = 2x.
Slobodan termin je 36. Zapišimo sve njegove djelitelje: .
Zamijenjujemo ih u jednakost dok ne dobijemo identitet:
Dakle, y = -1 je korijen. Odgovara mu.
Sve što ostaje je pronaći korijene kvadratnog trinoma.
Očigledno, to jest, njegov višestruki korijen je x=3.
Ovaj algoritam se može koristiti za rješavanje recipročnih jednačina. Budući da je -1 korijen bilo koje recipročne kubične jednadžbe, možemo podijeliti lijevu stranu originalne jednadžbe sa x+1 i pronaći korijene rezultirajućeg kvadratnog trinoma.
U slučaju kada kubična jednadžba nema racionalne korijene, koriste se druge metode rješenja, na primjer, specifične metode faktoringa polinoma.
Rješavanje kubnih jednadžbi pomoću Cardano formule.
Općenito, korijeni kubične jednadžbe se nalaze pomoću Cardano formule.
Pronađite vrijednosti za kubnu jednadžbu. Zatim nalazimo i.
Zamjenjujemo rezultirajuće p i q u Cardano formulu:
Vrijednosti kubnih korijena treba uzeti tako da je njihov proizvod jednak. Kao rezultat, pronalazimo korijene originalne jednadžbe koristeći formulu.
Rješimo prethodni primjer koristeći Cardano formulu.
Kako riješiti kubične jednadžbe
Kubične jednačine imaju oblik sjekira 3 + bx 2 + cx + d= 0. Metoda za rešavanje ovakvih jednačina poznata je već nekoliko vekova (otkrili su je u 16. veku italijanski matematičari). Neke kubične jednadžbe je prilično teško riješiti, ali uz pravi pristup (i dobar nivo teoretskog znanja) možete riješiti i najteže kubične jednadžbe.
Koraci Uredi
Metoda 1 od 3:
Rješenje pomoću formule za rješavanje kvadratne jednadžbe Uredi
Metoda 2 od 3:
Pronalaženje cjelobrojnih rješenja korištenjem faktorizacije Edit
Kubične jednadžbe
gdje su \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) neki brojevi.
Kubična jednačina uvijek ima barem jedan korijen \(x_1\) .
To znači da je sljedeće uvijek zadovoljeno: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\) , gdje su \(m, n\) neki brojevi.
za bilo koji broj \(a\) ima jedan korijen
Rješenje jednačine \(x^3=-8\) je \(x=\sqrt=-2\) .
\(>\) Kubične jednadžbe oblika \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) u nekim slučajevima se mogu riješiti faktoriranjem lijeve strane.
Riješite jednačinu \(5x^3-x^2-20x+4=0\) .
Grupirajmo pojmove na lijevoj strani i činimo ih: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2) - 4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]
Tada su korijeni ove jednadžbe \(x_1=-2, x_2=2, x_3=\frac15\) .
U nekim problemima mogu biti korisne skraćene formule za množenje:
\(>\) Kubične jednadžbe oblika \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) u kojima nije moguće faktorizirati lijevu stranu mogu se riješiti na drugi način: odabrati racionalno root, ako postoji.
Da biste to učinili, možete koristiti sljedeće izjave:
\(\blacktriangleright\) Ako je zbir \(a+b+c+d=0\) , tada je korijen jednadžbe broj \(1\) .
\(\blacktriangleright\) Ako je \(b+d=a+c\) , tada je korijen jednadžbe broj \(-1\) .
\(\blacktriangleright\) Neka su \(a,b,c,d\) \(>>\) brojevi. Zatim ako jednadžba ima racionalni korijen \(\large >\) , tada će za nju vrijediti sljedeće:
\(d\) je djeljiv sa \(p\) ; \(a\) je djeljiv sa \(q\) .
1. Jednačina \(7x^3+3x^2-x-9=0\) ima zbir koeficijenata jednak \(7+3-1-9=0\), što znači \(x=1\ ) je korijen (ne nužno jedini) ove jednačine.
2. Jednačina \(4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0\) vrijedi: \(4,5-0,5=-3+7\), što znači da je \(x= -1\) korijen ove jednačine.
3. Jednačina \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) ima koeficijente koji su cijeli brojevi, tako da možete odabrati korijen: djelitelje slobodnog člana \(-3\) : \(\pm 1, \pm 3 \) ; djelitelji vodećeg koeficijenta \(2\) : \(\pm1, \pm2\) . To znači da su moguće kombinacije racionalnih korijena: \[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\]
Zamjenjujući svaki broj redom u jednadžbu, uvjeravamo se da je \(x=\frac12\) korijen (pošto nakon zamjene ovog broja u jednačinu, on se pretvara u pravu jednakost):
Imajte na umu da ako su koeficijenti jednačine racionalni brojevi, onda množenjem jednačine njihovim zajedničkim nazivnikom možemo dobiti ekvivalentnu jednačinu sa cjelobrojnim koeficijentima. Na primjer, jednadžba \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) nakon množenja sa \(6\) svodi se na jednadžbu s cjelobrojnim koeficijentima: \(3x^3+x+12=0\) .
Pronađite korijen jednačine \((2x + 1)^3 = 27\) . Ako jednačina ima više od jednog korijena, zapišite veći u svoj odgovor.
Originalna jednačina \((2x + 1)^3 = 3^3\) je standardnog oblika, ekvivalentna je jednadžbi \(2x + 1 = 3\), iz čega zaključujemo da je \(x = 1\ ) odgovara prema ODZ-u.
Pronađite korijen jednačine \((2x + 1)^3 = -27\) . Ako jednačina ima više od jednog korijena, zapišite veći u svoj odgovor.
ODZ: \(x\) – proizvoljno. Odlučimo se za ODZ:
Originalna jednačina \((2x + 1)^3 = (-3)^3\) je standardnog oblika, ekvivalentna je jednačini \(2x + 1 = -3\), iz čega zaključujemo da je \( x = -2\) – Pogodno za ODZ.
Pronađite korijen jednačine \((3x + 2)^3 = -64\) . Ako jednačina ima više od jednog korijena, zapišite veći u svoj odgovor.
ODZ: \(x\) – proizvoljno. Odlučimo se za ODZ:
Originalna jednačina \((3x + 2)^3 = (-4)^3\) je standardnog oblika, ekvivalentna je jednadžbi \(3x + 2 = -4\), iz čega zaključujemo da je \( x = -2\) – Pogodno za ODZ.
Pronađite korijen jednačine \((7x + 11)^3 = 64\) . Ako jednačina ima više od jednog korijena, zapišite veći u svoj odgovor.
ODZ: \(x\) – proizvoljno. Odlučimo se za ODZ:
Originalna jednačina \((7x + 11)^3 = 4^3\) je standardnog oblika, ekvivalentna je jednadžbi \(7x + 11 = 4\), iz čega zaključujemo da je \(x = -1 \) odgovara prema ODZ-u.
Pronađite korijen jednačine \((-x - 11)^3 = 216\) . Ako jednačina ima više od jednog korijena, zapišite veći u svoj odgovor.
ODZ: \(x\) – proizvoljno. Odlučimo se za ODZ:
Originalna jednačina \((-x - 11)^3 = 6^3\) je standardnog oblika, ekvivalentna je jednačini \(-x - 11 = 6\), iz čega zaključujemo da je \(x = -17\) je pogodan za ODZ.
Riješite jednačinu \(8x^3-36x^2+54x-27=0\) .
Imajte na umu da je lijeva strana kocka razlike: \[(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 3+3\cdot (2x)\cdot3^2-3^3=0\quad \ Leftrightarrow\quad (2x-3)^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\frac32.\]
Pronađite veći korijen jednačine \(8x^3+12x^2+6x+1=0\) .
Imajte na umu da je lijeva strana kocka zbira: \[(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot 1+3\cdot (2x)\cdot1^2+1^3=0\quad \ Leftrightarrow\quad (2x+1)^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-\frac12.\]
U Jedinstvenom državnom ispitu kubične jednačine se nalaze i na profilnom i na osnovnom nivou. To znači da svaki učenik treba da bude u stanju da pravilno reši ovakve zadatke. Neki bi mogli reći da je broj bodova na Jedinstvenom državnom ispitu za rješavanje jednačina trećeg stepena mali i da se na njih ne isplati trošiti vrijeme. Teško je složiti se sa ovim. Prvo, svaki bod na Jedinstvenom državnom ispitu je izuzetno važan, a drugo, jednadžbe trećeg stepena nisu toliko komplikovane ako im se posveti dužna pažnja tokom priprema. Da bi učenik brzo i, što je najvažnije, ispravno izvršio takve zadatke, vrijedi koristiti naš obrazovni resurs.
"Školkovo" je jedinstvena platforma koja omogućava diplomcima iz Moskve i drugih regiona sa bilo kojim nivoom matematičkog znanja da nauče kako da rešavaju kubične jednačine i efikasno se pripreme za polaganje Jedinstvenog državnog ispita. Prije svega, preporučujemo da počnete s pregledom ili proučavanjem teorijskog materijala na ovu temu. Studentima iz Moskve i drugih gradova koji se pripremaju za Jedinstveni državni ispit „Školkovo“ predstavlja, zapravo, autorski priručnik, koji jasno i pristupačno predstavlja materijal na temu „Kubične jednačine“.
Osim predstavljanja osnovnih definicija i formula, moći ćete se upoznati s primjerima na tu temu i naučiti kako ih riješiti. Vrijedi napomenuti da su naši stručnjaci odabrali vrlo zanimljive opcije. Da biste naučili kako samouvjereno rješavati ispitne probleme, potrebna vam je obuka. Stoga preporučujemo da zatim odete u odjeljak „Katalog“ i počnete samostalno raditi sa jednadžbama trećeg stepena.
X na treći stepen
Funkcija je jednaka x kubnoj
Svojstva funkcije i jednaka su x kubiranoj
Funkcija jednaka x u kocki ima sljedeća svojstva:
2. Funkcija y je jednaka x kubno raste duž cijele brojevne prave;
3. Područje definicije funkcije y = x 3 je cijela brojevna prava;
4. Skup vrijednosti funkcije y = x 3 je cijela brojevna prava.
Grafikon funkcije i jednak je x kubnom
Grafikon funkcije y = x 3 naziva se kubna parabola:
Možete sami da konstruišete graf funkcije y = x 3 koristeći alat za pravljenje grafova. U njemu odaberite vrstu funkcije "Snaga: y = k * x n + b", navedite vrijednost "n" jednaku tri i kliknite gumb "Izgradi grafikon".
Funkcija y = x 3 je poseban slučaj funkcije stepena.
Ovo su svojstva i graf funkcije i jednak je x kubiranom.
Kubna jednadžba
Rješavanje kubične jednadžbe pomoću Vietine formule. Kreiran na zahtjev korisnika.
Kanonski oblik kubne jednadžbe:
Rešit ćemo kubnu jednačinu koristeći Vietinu formulu.
Vietina formula je metoda za rješavanje kubne jednadžbe oblika
Kalkulator je ispod, a ispod njega je opis Vietine formule
Kubna jednadžba
Inače, iz nekog razloga druge stranice koriste Cardanovu formulu za rješavanje kubnih jednadžbi, ali slažem se s Wikipedijom da je Vietina formula prikladnija za praktičnu upotrebu. Dakle, zašto je Cardano formula posvuda nije jasno, osim ako ljudi nisu previše lijeni da implementiraju hiperboličke funkcije i inverzne hiperboličke funkcije. Pa, nisam bio lijen.
Dakle, Vietina formula (sa Wikipedije)
Imajte na umu da je prema prikazu Vieta formule, a drugi koeficijent, a koeficijent prije x3 se uvijek smatra jednakim 1. Kalkulator vam omogućava da unesete a kao koeficijent prije x3, ali odmah dijeli jednadžbu s njim da dobijem 1
Ako je S > 0, onda izračunavamo:
Ako je S< 0, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны два случая в зависимости от знака Q
(par složenih korijena)
(par složenih korijena)
Ako je S = 0, tada je jednadžba degenerirana i ima manje od 3 različita rješenja (drugi korijen množenosti 2):
Kalkulator radi koristeći ove formule. Čini se da je točno riješeno, iako nisam provjerio rješenja sa imaginarnim dijelom. Ako išta, pišite.
Koreni i stepeni
Stepen
Stepen je izraz oblika: , gdje je:
Definirajmo pojam stepena čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).
- A-prioritet: .
- Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
- Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta: .
Povećati broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
Stepen sa cjelobrojnim eksponentom
Ako je eksponent pozitivan cijeli broj:
Podizanje na nultu snagu:
Ako je eksponent negativan cijeli broj:
Napomena: izraz nije definiran u slučaju n ≤ 0. Ako je n > 0, tada
Potencija s racionalnim eksponentom
Svojstva stepeni
Root
Jednačina ima dva rješenja: x=2 i x=-2. Ovo su brojevi čiji je kvadrat 4.
Razmotrite jednačinu. Nacrtajmo graf funkcije i vidimo da i ova jednadžba ima dva rješenja, jedno pozitivno, drugo negativno.
Ali u ovom slučaju rješenja nisu cijeli brojevi. Štaviše, nisu racionalni. Da bismo zapisali ove iracionalne odluke, uvodimo poseban simbol kvadratnog korijena.
Aritmetički kvadratni korijen je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak a ≥ 0. Kada je a< 0 - выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу.
Kvadratni korijen
Na primjer, . I rješenja jednadžbe, odnosno, i
Kockasti korijen
Kubni korijen broja je broj čija je kocka jednaka. Kockasti korijen je definiran za svakoga. Može se izdvojiti iz bilo kojeg broja: .
n-ti korijen
Koren broja je broj čiji je --ti stepen jednak.
- Onda ako a< 0 корень n-ой степени из a не определен.
- Ili ako je a ≥ 0, tada se nenegativni korijen jednadžbe naziva n-ti aritmetički korijen od a i označava se
- Tada jednačina ima jedinstveni korijen za bilo koje.
Koreni i stepeni
Stepen je izraz forme.
Ovdje - osnova stepena, - eksponent.
Stepen sa prirodnim indikatorom
Najlakši način za određivanje stepena je prirodnim (to jest, pozitivnim cijelim) eksponentom.
Izrazi "kvadrat" i "kocka" odavno su nam poznati.
Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom.
Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta.
Podići broj na prirodni stepen znači pomnožiti ga sam sa sobom puta:
Stepen sa cjelobrojnim eksponentom
Eksponent može biti ne samo prirodan broj (tj. pozitivan cijeli broj), već i jednak nuli, kao i negativan cijeli broj.
Ovo je tačno za. Izraz nije definiran.
Hajde da definišemo i šta je stepen sa negativnim celobrojnim eksponentom.
Naravno, sve ovo važi za, jer ne možete dijeliti sa nulom.
Imajte na umu da kada se podigne na negativan prvi stepen, razlomak je obrnut.
Eksponent može biti ne samo cijeli broj, već i razlomak, odnosno racionalni broj. U članku "Numerički skupovi" govorili smo o tome šta su racionalni brojevi. To su brojevi koji se mogu napisati kao razlomak, gdje je - cijeli broj - prirodan broj.
Ovdje nam je potreban novi koncept - korijen stepena. Korijeni i stepeni su dvije međusobno povezane teme. Počnimo s već poznatim aritmetičkim kvadratnim korijenom.
Aritmetički kvadratni korijen
Jednačina ima dva rješenja: i.
To su brojevi čiji je kvadrat jednak.
Kako riješiti jednačinu?
Ako nacrtamo graf funkcije, vidjet ćemo da i ova jednadžba ima dva rješenja, od kojih je jedno pozitivno, a drugo negativno.
Ali ova rješenja nisu cijeli brojevi. Štaviše, nisu racionalni. Da bismo zapisali ova rješenja, uvodimo poseban simbol kvadratnog korijena.
Aritmetički kvadratni korijen broja je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak.
Zapamtite ovu definiciju.
Aritmetički kvadratni korijen je označen sa.
1) Kvadratni korijen se može uzeti samo iz nenegativnih brojeva
2) Izraz je uvijek nenegativan. Na primjer, .
Nabrojimo svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena:
Zapamtite da izraz nije jednak. Lako se provjeri:
Dobio sam drugačiji odgovor.
Kockasti korijen
Slično tome, kubni korijen od je broj koji, kada se podigne na treći stepen, daje broj.
Na primjer, pošto;
Imajte na umu da se treći korijen može uzeti iz pozitivnih i negativnih brojeva.
Sada možemo definirati korijenski stepen za bilo koji cijeli broj.
Koren n-tog stepena
Koren broja je broj koji, kada se podigne na stepen th, proizvodi broj.
Imajte na umu da se treći, peti, deveti korijen - jednom riječju, bilo koji neparni stepen - može izdvojiti i iz pozitivnih i iz negativnih brojeva.
Kvadratni korijen, kao i četvrti, deseti i općenito, bilo koji parni stepen može se izvući samo iz nenegativnih brojeva.
Dakle, - takav broj. Ispostavilo se da se korijeni mogu zapisati kao potencije s racionalnim eksponentom. To je udobno.
Odmah se složimo da je osnova stepena veća.
Izraz je po definiciji jednak.
U ovom slučaju, uslov koji je veći je takođe zadovoljen.
Prisjetimo se pravila za postupanje sa diplomama:
Kada se množe stepeni, eksponenti se sabiraju
Prilikom dijeljenja po stepenu, eksponenti se oduzimaju
Kada se stepen podiže na stepen, eksponenti se množe
Hajde da pokažemo kako se ove formule koriste u zadacima Jedinstvenog državnog ispita iz matematike:
Sve smo doveli pod zajednički korijen, rastavili na faktore, smanjili razlomak i izvukli korijen.
Ovdje smo napisali korijene u obliku potencija i koristili formule za operacije s potencijama.
Pozovite nas: (besplatan poziv unutar Rusije) (besplatan poziv unutar Moskve)
Ili kliknite na dugme “Saznaj više” da popunite obrazac za kontakt. Definitivno ćemo vas pozvati.
Pozovite sada i mi ćemo vam dati 25% popusta na vaš prvi mjesec nastave! nazovite:
Za normalno funkcioniranje i vašu udobnost, stranica koristi kolačiće. Ovo je sasvim normalna praksa. Nastavkom korištenja portala slažete se s našom Politikom privatnosti.
Dobijamo odgovor: \
Jednačina trećeg stepena online
Pogledajmo dva primjera kubnih jednadžbi koje kalkulator jednadžbi može lako riješiti s detaljnim rješenjem:
Primjer jednostavne kubične jednadžbe
Prvi primjer će biti jednostavan:
49*x^3 – x = 0
Nakon što kliknete na “Riješi jednačinu!”, dobićete odgovor sa detaljnim objašnjenjem:
S obzirom na jednačinu:
transformirati
Uzmimo zajednički faktor x iz zagrada
dobijamo jednačinu
Ovo je jednadžba oblika
koristeći diskriminant.
Korijeni kvadratne jednadžbe:
(0)^2 — 4 * (49) * (-1) = 196
Jer D>
Dobijamo konačni odgovor za -x + 49*x^3 = 0:
Drugi jednostavan primjer kubične jednadžbe bi bio:
8 = (1/2 + 3*x)^3
Idemo do detaljnog rješenja:
S obzirom na jednačinu:
transformirati:
Izvadimo zajednički faktor iz zagrada
/ 2\ -9*(-1 + 2*x)*\7 + 12*x + 12*x / ——————————— = 0 8
Kubična jednačina
desna strana jednačine jednaka je nuli, tada će jednačina imati rješenje ako je barem jedan od faktora na lijevoj strani jednačine jednak nuli.
Dobijamo jednačinu
riješi rezultirajuće jednačine:
Slobodni uslovi za selidbu (bez x)
s lijeva na desno dobijamo:
Podijelite obje strane jednačine sa -9/4
Dobijamo odgovor: x1 = 1/2
Ovo je jednadžba oblika
Kvadratna jednačina se može riješiti
koristeći diskriminant.
Korijeni kvadratne jednadžbe:
___ \/ D — b x2 = ——— 2*a ___ -b — \/ D x3 = ———- 2*a
gdje je D = b^2 - 4*a*c diskriminanta.
(12)^2 — 4 * (12) * (7) = -192
Jer D< 0, то уравнение
nema prave korene,
ali postoje složeni korijeni.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
Zatim, konačni odgovor je:
1 I*\/ 3 x2 = — — + ——- 2 3 ___ 1 I*\/ 3 x3 = — — — ——- 2 3
Primjer složene kubične jednadžbe
Treći primjer će biti složeniji - recipročna kubna jednačina online.
5*x^3 -8*x^2 — 8*x + 5 = 0
Da biste riješili takvu recipročnu kubnu jednačinu, unesite ovu jednačinu u kalkulator:
S obzirom na jednačinu:
2 3 5 – 8*x – 8*x + 5*x = 0
transformirati
3 2 5*x + 5 — 8*x + 8 — 8*x — 8 = 0
3 3 2 2 5*x — 5*(-1) — 8*x — -8*(-1) — 8*x — 8 = 0 / 3 3\ / 2 2\ 5*\x — (-1 ) / — 8*\x — (-1) / — 8*(x + 1) = 0 / 2 2\ 5*(x + 1)*\x — x + (-1) / + -8*( x + 1)*(x - 1) - 8*(x + 1) = 0
Uzmimo zajednički faktor 1 + x iz zagrada
/ / 2 2\ \ (x + 1)*\5*\x — x + (-1) / — 8*(x — 1) — 8/ = 0
/ 2\ (1 + x)*\5 — 13*x + 5*x / = 0
dobijamo jednačinu
Ovo je jednadžba oblika
Kvadratna jednačina se može riješiti
koristeći diskriminant.
Korijeni kvadratne jednadžbe:
___ \/ D — b x2 = ——— 2*a ___ -b — \/ D x3 = ———- 2*a
gdje je D = b^2 - 4*a*c diskriminanta.
(-13)^2 — 4 * (5) * (5) = 69
Jer D > 0, tada jednačina ima dva korijena.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
Dobijamo konačni odgovor za 5 - 8*x - 8*x^2 + 5*x^3 = 0:
13 \/ 69 x2 = — + —— 10 10 ____ 13 \/ 69 x3 = — — —— 10 10
Tagovi: jednačina
Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Čovjek je koristio jednačine u drevnim vremenima, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Kubična jednačina je jednačina trećeg reda i ima sljedeći oblik:
\ gdje se \ Broj \ naziva korijenom kubične jednadžbe ako se pri zamjeni jednačina pretvara u pravu jednakost.
Pročitajte i naš članak "Rešite jednadžbu na mreži za 9. razred pomoću rešavača"
Ova vrsta jednadžbe uvijek ima 3 korijena. Korijeni mogu biti stvarni ili složeni. Ako vam početni podaci omogućavaju da odaberete jedan od korijena kubične jednadžbe \, tada možete podijeliti kubni polinom sa \ i riješiti rezultirajuću kvadratnu jednadžbu.
Pretpostavimo da nam je data jednadžba oblika:
Da riješimo, grupišimo:
Analizirajući jednačinu, jasno je da je \ korijen jednačine
Nađimo korijene rezultirajućeg kvadratnog trinoma \
Dobijamo odgovor: \
Gdje mogu riješiti jednačinu 3. stepena koristeći online rješavač?
Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici pocketteacher.ru. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač.
Kako riješiti jednačinu trećeg stepena
Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako i dalje imate pitanja, možete ih postaviti u našoj grupi VKontakte: džepna učiteljica. Pridružite se našoj grupi, mi ćemo vam uvijek rado pomoći.
Kako riješiti jednačine 3. stepena
Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima.
Kako riješiti jednačine 3. stepena
Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Čovjek je koristio jednačine u drevnim vremenima, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Kubična jednačina je jednačina trećeg reda i ima sljedeći oblik:
\ gdje se \ Broj \ naziva korijenom kubične jednadžbe ako se pri zamjeni jednačina pretvara u pravu jednakost.
Pročitajte i naš članak "Rešite jednadžbu na mreži za 9. razred pomoću rešavača"
Ova vrsta jednadžbe uvijek ima 3 korijena. Korijeni mogu biti stvarni ili složeni. Ako vam početni podaci omogućavaju da odaberete jedan od korijena kubične jednadžbe \, tada možete podijeliti kubni polinom sa \ i riješiti rezultirajuću kvadratnu jednadžbu.
Pretpostavimo da nam je data jednadžba oblika:
Da riješimo, grupišimo:
Analizirajući jednačinu, jasno je da je \ korijen jednačine
Nađimo korijene rezultirajućeg kvadratnog trinoma \
Dobijamo odgovor: \
Gdje mogu riješiti jednačinu 3. stepena koristeći online rješavač?
Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici pocketteacher.ru. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako i dalje imate pitanja, možete ih postaviti u našoj grupi VKontakte: džepna učiteljica. Pridružite se našoj grupi, mi ćemo vam uvijek rado pomoći.
Skraćene formule za množenje
Skraćene formule za množenje.
— Proučavanje formula za skraćeno množenje: kvadrat zbira i kvadrat razlike dva izraza; razlika kvadrata dva izraza; kocka zbira i kocka razlike dva izraza; sume i razlike kubova dva izraza.
— Primjena skraćenih formula za množenje pri rješavanju primjera.
Za pojednostavljenje izraza, faktorskih polinoma i reduciranja polinoma na standardni oblik, koriste se skraćene formule za množenje. Formule za skraćeno množenje treba znati napamet.
Neka a, b R. Tada:
1. Kvadrat zbira dva izraza je jednak kvadrat prvog izraza plus dvostruki proizvod prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Kvadrat razlike dva izraza je jednak kvadrat prvog izraza minus dvostruki proizvod prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
5. Jednačine trećeg i četvrtog stepena
Razlika kvadrata dva izraza jednak je proizvodu razlike ovih izraza i njihovog zbira.
a2 - b2 = (a -b) (a+b)
4. Kocka zbira dva izraza jednaka su kocki prvog izraza plus trostruki proizvod kvadrata prvog izraza i drugi plus trostruki proizvod prvog izraza i kvadrata drugog plus kocke drugog izraza.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5. Kocka razlike dva izraza je jednaka kocki prvog izraza minus trostruki proizvod kvadrata prvog izraza i drugog plus trostruki proizvod prvog izraza i kvadrata drugog minus kocke drugog izraza.
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
6. Zbir kocki dva izraza jednak je proizvodu zbira prvog i drugog izraza i nepotpunog kvadrata razlike ovih izraza.
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
7. Razlika kocke dva izraza jednak je proizvodu razlike prvog i drugog izraza nepotpunim kvadratom zbira ovih izraza.
Primjena skraćenih formula za množenje pri rješavanju primjera.
Primjer 1.
Izračunati
a) Koristeći formulu za kvadrat zbira dva izraza, imamo
(40+1)2 = 402 + 2 40 1 + 12 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Koristeći formulu za kvadrat razlike dva izraza, dobijamo
982 = (100 – 2)2 = 1002 – 2 100 2 + 22 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Primjer 2.
Izračunati
Koristeći formulu za razliku kvadrata dva izraza, dobijamo
Primjer 3.
Pojednostavite izraz
(x - y)2 + (x + y)2
Koristimo formule za kvadrat zbira i kvadrat razlike dva izraza
(x - y)2 + (x + y)2 = x2 - 2xy + y2 + x2 + 2xy + y2 = 2x2 + 2y2
Skraćene formule za množenje u jednoj tabeli:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = (a - b) (a+b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
Algebarska jednadžba četvrtog stepena.
1. Svođenje jednadžbe na kanonski oblik.
Napravimo promjenu varijable koristeći formulu:
Dobijamo jednačinu:
Proširimo zagrade:
Dobijamo jednačinu:
Jednačina se svodi na kanonski oblik:
2.
"Rješavanje jednačina viših stupnjeva." 9. razred
Rješavanje jednačine
Metoda broj 1.
Rješenje dekompozicijom u dvije kvadratne jednadžbe
Hajde da razmotrimo slučaj kada q nije jednako nuli.
Identitet je istinit:
Dobili smo jednačinu:
Odaberimo parametar z tako da je desna strana ove jednadžbe savršen kvadrat u odnosu na y . Za ovo je potrebno i dovoljno da diskriminanta iz koeficijenata trinoma u odnosu na y , koji stoji desno, okrenut na nulu: z na plus beskonačnost, vrijednost polinoma na lijevoj strani jednačine također teži plus beskonačnosti, odnosno postaje pozitivna na nekoj pozitivnoj z=M , i budući da je kontinuirano na segmentu funkcija preuzima interval (0; M) bilo koju međuvrijednost, uključujući nulu, tada postoji pozitivan korijen ove kubične jednadžbe. Takav pozitivan korijen je ili prvi korijen u programu za rješavanje kubične jednadžbe, gdje je argument pod znakom kosinusa F/3 , jer Cos(F/3)0 na 0F3/2*Pi , ako kubična jednadžba ima tri različita realna korijena, ili jedan realni korijen ove kubične jednadžbe.
Ako bilo koji od realnih korijena kubične jednadžbe ima nultu vrijednost, tada je bikvadratna jednadžba riješena
Metoda broj 2.
Descartes-Eulerovo rješenje.
Nakon redukcije algebarske jednadžbe četvrtog stepena na kanonski oblik, program pronalazi tri korijena kubične jednačine
Ako ova kubična jednačina ima tri realna pozitivna korijena, onda jednačina četvrtog stepena ima četiri realna korijena.
Ako ova kubična jednačina ima tri realna korijena, jedan pozitivan i dva negativna, onda jednačina četvrtog stepena ima dva para kompleksnih konjugiranih korijena.
Ako ova kubična jednačina ima jedan pozitivan realni korijen i dva kompleksna konjugirana korijena, onda jednačina četvrtog stepena ima dva realna i dva kompleksna konjugirana korijena. javascript program “Rješavanje jednačine četvrtog stepena Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0” Program “Rješavanje jednačine četvrtog stepena Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0”. Programski kod “Rješavanje jednačine četvrtog stepena Ax4+ Bx3+ Cx2+Dx+E=0"Izvođenje korijena kubne jednadžbe. Na glavnu stranicu.
Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Čovjek je koristio jednačine u drevnim vremenima, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Kubična jednačina je jednačina trećeg reda i ima sljedeći oblik:
\ gdje se \ Broj \ naziva korijenom kubične jednadžbe ako se pri zamjeni jednačina pretvara u pravu jednakost.
Ova vrsta jednadžbe uvijek ima 3 korijena. Korijeni mogu biti stvarni ili složeni. Ako vam početni podaci omogućavaju da odaberete jedan od korijena kubične jednadžbe \ tada možete podijeliti kubni polinom sa \[(x - x1)\] i riješiti rezultirajuću kvadratnu jednadžbu.
Pretpostavimo da nam je data jednadžba oblika:
Da riješimo, grupišimo:
Nakon analize jednačine, jasno je da je \ korijen jednačine
Nađimo korijene rezultirajućeg kvadratnog trinoma \
Dobijamo odgovor: \
Gdje mogu riješiti jednačinu 3. stepena koristeći online rješavač?
Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako i dalje imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, mi ćemo vam uvijek rado pomoći.