Ovo je naziv za jednadžbe oblika u kojima je nepoznata i u eksponentu iu bazi stepena.

Možete odrediti potpuno jasan algoritam za rješavanje jednadžbe oblika. Da biste to učinili, morate obratiti pažnju na činjenicu da kada Oh) nije jednaka nuli, jedan i minus jedan, jednakost stupnjeva sa istim bazama (bilo pozitivnim ili negativnim) moguća je samo ako su eksponenti jednaki, odnosno svi korijeni jednadžbe će biti korijeni jednadžbe f(x) = g(x) Obratna izjava nije tačna, kada Oh)< 0 i frakcijske vrijednosti f(x) I g(x) izrazi Oh) f(x) I

Oh) g(x) gube smisao. Odnosno, kada se krećete od do f(x) = g(x)(mogu se pojaviti i strani korijeni, koji se moraju isključiti provjerom u odnosu na originalnu jednadžbu. I slučajevi a = 0, a = 1, a = -1 treba razmotriti odvojeno.

Dakle, da bismo u potpunosti riješili jednačinu, razmatramo slučajeve:

a(x) = O f(x) I g(x)će biti pozitivni brojevi, onda je ovo rješenje. Inače, ne

a(x) = 1. Korijeni ove jednačine su također korijeni originalne jednačine.

a(x) = -1. Ako za vrijednost x koja zadovoljava ovu jednačinu, f(x) I g(x) su cijeli brojevi iste parnosti (ili oba parna ili oba neparna), onda je ovo rješenje. Inače, ne

Kada i rješavamo jednačinu f(x)= g(x) i zamjenom dobijenih rezultata u originalnu jednačinu odsijecamo strane korijene.

Primjeri rješavanja jednadžbi eksponencijalne snage.

Primjer br. 1.

1) x - 3 = 0, x = 3. jer 3 > 0 i 3 2 > 0, tada je x 1 = 3 rješenje.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Oba indikatora su parna. Ovo rješenje je x 3 = 1.

4) x - 3 ? 0 i x? ± 1. x = x 2, x = 0 ili x = 1. Za x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - ovo rješenje je tačno: x 4 = 0. Za x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - ovo rješenje je tačno x 5 = 1.

Odgovor: 0, 1, 2, 3, 4.

Primjer br. 2.

Po definiciji aritmetičkog kvadratnog korijena: x - 1? 0, x ? 1.

1) x - 1 = 0 ili x = 1, = 0, 0 0 nije rješenje.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 se ne uklapa u ODZ.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - nema korijena.

Šta je eksponencijalna jednačina? Primjeri.

Dakle, eksponencijalna jednačina... Novi jedinstveni eksponat na našoj općoj izložbi širokog spektra jednačina!) Kao što je gotovo uvijek slučaj, ključna riječ svakog novog matematičkog pojma je odgovarajući pridjev koji ga karakterizira. Tako je ovdje. Ključna riječ u terminu “eksponencijalna jednačina” je riječ "indikativno". šta to znači? Ova riječ znači da se nalazi nepoznata (x). u smislu bilo kog stepena. I samo tamo! Ovo je izuzetno važno.

Na primjer, ove jednostavne jednadžbe:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ili čak ova čudovišta:

2 sin x = 0,5

Odmah obratite pažnju na jednu važnu stvar: razlozi stepeni (dole) – samo brojevi. Ali unutra indikatori stepeni (iznad) - širok izbor izraza sa X. Apsolutno bilo koji.) Sve zavisi od specifične jednačine. Ako se odjednom pojavi x negdje drugdje u jednadžbi, pored indikatora (recimo, 3 x = 18 + x 2), tada će takva jednadžba već biti jednačina mješoviti tip. Takve jednačine nemaju jasna pravila za njihovo rješavanje. Stoga ih nećemo razmatrati u ovoj lekciji. Na radost učenika.) Ovdje ćemo razmatrati samo eksponencijalne jednačine u njihovom „čistom“ obliku.

Uopšteno govoreći, ne mogu se jasno riješiti sve, pa čak ni čiste eksponencijalne jednačine. Ali među svom bogatom raznolikošću eksponencijalnih jednačina, postoje određene vrste koje se mogu i trebaju riješiti. Upravo ove vrste jednačina ćemo razmotriti. I sigurno ćemo riješiti primjere.) Pa da se smjestimo i idemo! Kao iu kompjuterskim pucačinama, naše putovanje će se odvijati kroz nivoe.) Od osnovnog do jednostavnog, od jednostavnog do srednjeg i od srednjeg do složenog. Na putu će vas čekati i tajni nivo - tehnike i metode rješavanja nestandardnih primjera. One o kojima nećete čitati u većini školskih udžbenika... Pa, i na kraju, naravno, čeka vas konačni šef u vidu domaće zadaće.)

Nivo 0. Koja je najjednostavnija eksponencijalna jednačina? Rješavanje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi.

Prvo, pogledajmo neke iskrene elementarne stvari. Negdje morate početi, zar ne? Na primjer, ova jednadžba:

2 x = 2 2

Čak i bez ikakvih teorija, jednostavnom logikom i zdravim razumom jasno je da je x = 2. Nema drugog načina, zar ne? Nijedno drugo značenje X nije prikladno... A sada da skrenemo pažnju na zapisnik odluke ova cool eksponencijalna jednadžba:

2 x = 2 2

X = 2

Šta nam se desilo? I dogodilo se sljedeće. Mi smo ga zapravo uzeli i... jednostavno izbacili iste baze (dvojke)! Potpuno izbačen. I, dobra vijest je da smo pogodili!

Da, zaista, ako u eksponencijalnoj jednačini postoje lijevo i desno identičan brojeva u bilo kojem stepenu, onda se ti brojevi mogu odbaciti i jednostavno izjednačiti eksponente. Matematika dozvoljava.) I onda možete odvojeno raditi s indikatorima i riješiti mnogo jednostavniju jednačinu. Odlično, zar ne?

Evo ključne ideje za rješavanje bilo koje (da, baš bilo koje!) eksponencijalne jednačine: koristeći identične transformacije, potrebno je osigurati da lijeva i desna strana jednačine budu identičan bazni brojevi u raznim stepenima. I tada možete sigurno ukloniti iste baze i izjednačiti eksponente. I radite s jednostavnijom jednadžbom.

Sada se prisjetimo željeznog pravila: moguće je ukloniti identične baze ako i samo ako brojevi s lijeve i desne strane jednačine imaju osnovne brojeve u sjajnoj izolaciji.

Šta to znači, u sjajnoj izolaciji? To znači bez ikakvih susjeda i koeficijenata. Da objasnim.

Na primjer, u jednadžbi

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Trojke se ne mogu ukloniti! Zašto? Jer na lijevoj strani imamo ne samo usamljenu trojku do stepena, već rad 3·3 x-5 . Dodatna tri ometaju: koeficijent, razumiješ.)

Isto se može reći i za jednačinu

5 3 x = 5 2 x +5 x

I ovdje su sve baze iste - pet. Ali na desnoj strani nemamo ni jedan stepen petice: postoji zbir moći!

Ukratko, imamo pravo ukloniti identične baze samo kada naša eksponencijalna jednačina izgleda ovako i samo ovako:

af (x) = a g (x)

Ova vrsta eksponencijalne jednadžbe se naziva najjednostavniji. Ili, naučno, kanonski . I bez obzira kakvu zamršenu jednačinu imamo pred sobom, mi ćemo je, na ovaj ili onaj način, svesti upravo na ovaj najjednostavniji (kanonski) oblik. Ili, u nekim slučajevima, da totalitet jednačine ovog tipa. Tada se naša najjednostavnija jednačina može prepisati u opštem obliku ovako:

F(x) = g(x)

To je sve. Ovo bi bila ekvivalentna konverzija. U ovom slučaju, f(x) i g(x) mogu biti apsolutno bilo koji izrazi sa x. Kako god.

Možda će se posebno radoznali učenik zapitati: zašto, pobogu, tako lako i jednostavno odbacujemo iste osnove s lijeve i desne strane i izjednačavamo eksponente? Intuicija je intuicija, ali šta ako se u nekoj jednadžbi i iz nekog razloga ovaj pristup pokaže netačnim? Da li je uvijek legalno izbaciti iste osnove? Nažalost, da biste dobili rigorozan matematički odgovor na ovo zanimljivo pitanje, morate prilično duboko i ozbiljno zaroniti u opću teoriju strukture i ponašanja funkcija. I malo konkretnije – u fenomenu stroga monotonija. Konkretno, stroga monotonija eksponencijalna funkcijay= a x. Budući da je eksponencijalna funkcija i njena svojstva koja su u osnovi rješenja eksponencijalnih jednačina, da.) Detaljan odgovor na ovo pitanje bit će dat u posebnoj posebnoj lekciji posvećenoj rješavanju složenih nestandardnih jednačina korištenjem monotonosti različitih funkcija.)

Objašnjavanje ovog detalja sada bi samo oduvalo umove prosječnog školarca i prije vremena ga uplašilo suhoparnom i teškom teorijom. Neću to učiniti.) Zato što je naš glavni zadatak u ovom trenutku naučite rješavati eksponencijalne jednačine! Najjednostavniji! Stoga, nemojmo još brinuti i hrabro izbacimo iste razloge. Ovo Može, vjerujte mi na riječ!) I tada rješavamo ekvivalentnu jednačinu f(x) = g(x). U pravilu, jednostavniji od originalnog eksponencijala.

Pretpostavlja se, naravno, da u ovom trenutku ljudi već znaju riješiti barem , i jednadžbe, bez x u eksponentima.) Za one koji još ne znaju kako, slobodno zatvorite ovu stranicu, pratite relevantne linkove i popuniti stare praznine. U suprotnom, biće vam teško, da...

Ne govorim o iracionalnim, trigonometrijskim i drugim brutalnim jednačinama koje također mogu nastati u procesu eliminacije temelja. Ali nemojte biti uznemireni, za sada nećemo razmatrati potpunu okrutnost u smislu stepeni: prerano je. Treniraćemo samo na najjednostavnijim jednačinama.)

Pogledajmo sada jednadžbe koje zahtijevaju dodatni napor da ih svedemo na najjednostavnije. Radi razlikovanja, nazovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Dakle, idemo na sljedeći nivo!

Nivo 1. Jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Prepoznajmo diplome! Prirodni pokazatelji.

Ključna pravila u rješavanju eksponencijalnih jednačina su pravila za postupanje sa diplomama. Bez ovog znanja i vještina ništa neće raditi. Avaj. Dakle, ako ima problema sa diplomama, onda ste prvo dobrodošli. Osim toga, trebat će nam i . Ove transformacije (njih dvije!) su osnova za rješavanje svih matematičkih jednačina općenito. I ne samo demonstrativne. Dakle, ko je zaboravio, pogledajte i link: ne stavljam ih samo tamo.

Ali same operacije s moćima i transformacije identiteta nisu dovoljne. Lična opservacija i domišljatost su takođe potrebni. Trebaju nam isti razlozi, zar ne? Stoga ispitujemo primjer i tražimo ih u eksplicitnom ili prikrivenom obliku!

Na primjer, ova jednadžba:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Prvi pogled na osnove. Oni su... drugačiji! Tri i dvadeset sedam. Ali prerano je za paniku i očaj. Vreme je da se toga setimo

27 = 3 3

Brojevi 3 i 27 su rođaci po stepenu! I bliskih.) Stoga, imamo pravo da napišemo:

27 x +2 = (3 3) x+2

Sada povežimo naše znanje o akcije sa stepenom(i upozorio sam te!). Postoji vrlo korisna formula:

(a m) n = a mn

Ako ga sada sprovedete u djelo, funkcionira odlično:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Originalni primjer sada izgleda ovako:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

Odlično, osnove stepeni su se izravnale. To smo hteli. Pola bitke je gotovo.) Sada pokrećemo osnovnu transformaciju identiteta - pomaknite 3 3(x +2) udesno. Niko nije otkazao elementarne operacije matematike, da.) Dobijamo:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Šta nam ova vrsta jednačine daje? I činjenica da je sada naša jednadžba redukovana kanonskom obliku: lijevo i desno se nalaze isti brojevi (trojke) u stepenu. Štaviše, oboje troje su u sjajnoj izolaciji. Slobodno uklonite trojke i dobijete:

2x = 3(x+2)

Rešavamo ovo i dobijamo:

X = -6

To je to. Ovo je tačan odgovor.)

Sada razmislimo o rješenju. Šta nas je spasilo u ovom primjeru? Spasilo nas je znanje o moćima troje. Kako tačno? Mi identifikovan broj 27 sadrži šifrovanu trojku! Ovaj trik (kodiranje iste baze pod različitim brojevima) jedan je od najpopularnijih u eksponencijalnim jednačinama! Osim ako nije najpopularniji. Da, i na isti način, usput. Zbog toga su promatranje i sposobnost prepoznavanja potencija drugih brojeva u brojevima toliko važni u eksponencijalnim jednačinama!

Praktični savjeti:

Morate znati moći popularnih brojeva. U lice!

Naravno, svako može podići dva na sedmi stepen ili tri na peti stepen. Ne u mislima, ali barem u nacrtu. Ali u eksponencijalnim jednačinama mnogo češće nije potrebno dizati na stepen, već, naprotiv, saznati koji se broj i na koji stepen krije iza broja, recimo, 128 ili 243. A ovo je još složenije nego jednostavno podizanje, složićete se. Osjetite razliku, kako kažu!

Budući da će sposobnost lično priznavanja diploma biti korisna ne samo na ovom nivou, već i na sljedećim, evo malog zadatka za vas:

Odredi koje su snage i koji su brojevi brojevi:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Odgovori (nasumično, naravno):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Da, da! Nemojte se iznenaditi da ima više odgovora nego zadataka. Na primjer, 2 8, 4 4 i 16 2 su sve 256.

Nivo 2. Jednostavne eksponencijalne jednadžbe. Prepoznajmo diplome! Negativni i frakcijski eksponenti.

Na ovom nivou već u potpunosti koristimo naše znanje o stepenu. Naime, u ovaj fascinantan proces uključujemo negativne i frakcijske indikatore! Da, da! Moramo povećati svoju moć, zar ne?

Na primjer, ova strašna jednadžba:

Opet, prvi pogled je na temelje. Razlozi su različiti! I ovoga puta nisu ni približno slični jedno drugom! 5 i 0,04... A za eliminaciju baza su potrebne iste... Šta da se radi?

U redu je! Zapravo, sve je isto, samo je veza između petice i 0,04 vizuelno slabo vidljiva. Kako možemo izaći? Pređimo na broj 0,04 kao običan razlomak! A onda će, vidite, sve ispasti.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Vau! Ispostavilo se da je 0,04 1/25! Pa ko bi pomislio!)

Pa kako? Da li je sada lakše vidjeti vezu između brojeva 5 i 1/25? to je to...

A sada prema pravilima radnji sa diplomama sa negativan indikator Možete pisati mirnom rukom:

To je super. Tako smo stigli do iste baze - pet. Sada zamjenjujemo nezgodan broj 0.04 u jednadžbi sa 5 -2 i dobijamo:

Opet, prema pravilima operacija sa stepenima, sada možemo napisati:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Za svaki slučaj, podsjećam (ako neko ne zna) da osnovna pravila za postupanje sa diplomama vrijede za bilo koji indikatori! Uključujući i negativne.) Dakle, slobodno uzmite i pomnožite indikatore (-2) i (x-1) prema odgovarajućem pravilu. Naša jednačina postaje sve bolja i bolja:

Sve! Osim usamljenih petica, nema ničeg drugog u moćima s lijeve i desne strane. Jednačina je svedena na kanonski oblik. A onda - uz nazubljenu stazu. Uklanjamo petice i izjednačavamo indikatore:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Primjer je skoro riješen. Ostala je samo matematika osnovne škole - otvorite (ispravno!) zagrade i sakupite sve što je lijevo:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Riješimo ovo i dobijemo dva korijena:

x 1 = 1; x 2 = 3

To je sve.)

Hajde da razmislimo ponovo. U ovom primjeru, opet smo morali prepoznati isti broj u različitim stepenima! Naime, vidjeti šifriranu peticu u broju 0,04. I ovaj put - u negativan stepen! Kako smo to uradili? Odmah - nema šanse. Ali nakon prelaska sa decimalnog razlomka 0,04 na obični razlomak 1/25, sve je postalo jasno! A onda je cijela odluka prošla kao po satu.)

Stoga, još jedan zeleni praktični savjet.

Ako eksponencijalna jednadžba sadrži decimalne razlomke, onda prelazimo s decimalnih razlomaka na obične razlomke. Mnogo je lakše prepoznati stepene mnogih popularnih brojeva u razlomcima! Nakon prepoznavanja prelazimo sa razlomaka na stepene s negativnim eksponentima.

Imajte na umu da se ovaj trik javlja vrlo, vrlo često u eksponencijalnim jednačinama! Ali osoba nije u temi. Gleda, na primjer, brojeve 32 i 0,125 i uznemiri se. Ne znajući, ovo je jedno te isto dvoje, samo u različitim stepenima... Ali ti već znaš!)

Riješite jednačinu:

In! Izgleda kao tihi horor... Međutim, izgled vara. Ovo je najjednostavnija eksponencijalna jednadžba, uprkos svom zastrašujućem izgledu. A sada ću vam to pokazati.)

Prvo, pogledajmo sve brojeve u bazama i koeficijentima. Oni su, naravno, različiti, da. Ali ipak ćemo riskirati i pokušati ih ostvariti identičan! Hajde da pokušamo da dođemo do toga isti broj u različitim stepenima. Štaviše, poželjno je da brojevi budu što manji. Dakle, počnimo s dekodiranjem!

Pa, sa četvorkom sve je odmah jasno - to je 2 2. Dakle, to je već nešto.)

Sa frakcijom od 0,25 - još uvijek je nejasno. Treba provjeriti. Koristimo se praktičnim savjetima - prijeđite s decimalnog razlomka na obični razlomak:

0,25 = 25/100 = 1/4

Već mnogo bolje. Jer sada je jasno vidljivo da je 1/4 2 -2. Odlično, a broj 0,25 je također sličan dva.)

Za sada dobro. Ali najgori broj od svih ostaje - kvadratni korijen od dva!Šta raditi sa ovom paprikom? Može li se i ona predstaviti kao stepen dvojke? I ko zna...

Pa, zaronimo ponovo u našu riznicu znanja o diplomama! Ovoga puta dodatno povezujemo svoja znanja o korenima. Od kursa 9. razreda, ti i ja smo trebali naučiti da se svaki korijen, ako se želi, uvijek može pretvoriti u diplomu sa frakcionim indikatorom.

ovako:

u našem slučaju:

Vau! Ispada da je kvadratni korijen od dva 2 1/2. To je to!

To je super! Svi naši nezgodni brojevi zapravo su se ispostavili kao šifrirana dvojka.) Ne sporim, negdje vrlo sofisticirano šifrirano. Ali mi također poboljšavamo našu profesionalnost u rješavanju ovakvih šifri! I tada je sve već očigledno. U našoj jednadžbi zamjenjujemo brojeve 4, 0,25 i korijen dva stepenom dvojke:

Sve! Osnove svih stupnjeva u primjeru su postale iste - dva. A sada se koriste standardne akcije sa stupnjevima:

a ma n = a m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Za lijevu stranu dobijate:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Za desnu stranu to će biti:

A sada naša zla jednačina izgleda ovako:

Za one koji nisu shvatili kako je tačno nastala ova jednačina, onda ovdje nije pitanje eksponencijalnih jednačina. Pitanje je o akcijama sa stepenom. Zamolio sam vas da to hitno ponovite onima koji imaju problema!

Evo cilja! Dobijen je kanonski oblik eksponencijalne jednadžbe! Pa kako? Jesam li te uvjerio da nije sve tako strašno? ;) Uklanjamo dvojke i izjednačavamo indikatore:

Ostaje samo riješiti ovu linearnu jednačinu. Kako? Uz pomoć identičnih transformacija, naravno.) Odlučite što se događa! Pomnožite obe strane sa dva (da biste uklonili razlomak 3/2), pomerite članove sa X ulevo, bez X udesno, donesite slične, brojite - i bićete srećni!

Sve bi trebalo da ispadne prelepo:

X=4

Sada ponovo razmislimo o rješenju. U ovom primjeru pomogao nam je prijelaz iz kvadratni korijen To stepen sa eksponentom 1/2. Štaviše, samo takva lukava transformacija nam je pomogla da stignemo do iste baze (dvije) svuda, što je spasilo situaciju! I, da nije tako, onda bismo imali sve šanse da se zauvek smrznemo i da se nikada ne nosimo sa ovim primerom, da...

Stoga ne zanemarujemo sljedeće praktične savjete:

Ako eksponencijalna jednadžba sadrži korijene, prelazimo s korijena na stepene s razlomačnim eksponentima. Vrlo često samo takva transformacija pojašnjava dalju situaciju.

Naravno, negativne i frakcijske moći su već mnogo složenije od prirodnih moći. Barem sa stanovišta vizualne percepcije i, posebno, prepoznavanja s desna na lijevo!

Jasno je da direktno povećanje, na primjer, dva na stepen -3 ili četiri na stepen -3/2 nije tako veliki problem. Za one koji znaju.)

Ali idi, na primjer, odmah to shvati

0,125 = 2 -3

Ovdje vlada samo praksa i bogato iskustvo, da. I, naravno, jasna ideja, Šta je negativan i razlomak stepen? I praktični savjeti! Da, da, te iste zeleno.) Nadam se da će vam ipak pomoći da se bolje snalazite u čitavom raznolikom nizu diploma i značajno povećati vaše šanse za uspjeh! Zato ih nemojmo zanemariti. Nije slučajno što ponekad pišem zelenom bojom.)

Ali ako se upoznate čak i sa takvim egzotičnim moćima kao što su negativne i razlomke, tada će se vaše sposobnosti u rješavanju eksponencijalnih jednadžbi enormno proširiti i moći ćete rukovati gotovo svim vrstama eksponencijalnih jednadžbi. Pa, ako ne bilo koja, onda 80 posto svih eksponencijalnih jednačina - sigurno! Da, da, ne šalim se!

Dakle, naš prvi dio našeg uvoda u eksponencijalne jednadžbe došao je do svog logičnog zaključka. I, kao srednju vježbu, tradicionalno predlažem malo samorefleksije.)

Zadatak 1.

Kako moje riječi o dešifriranju negativnih i razlomaka ne bi bile uzaludne, predlažem da se malo igramo!

Izrazite brojeve kao stepen dvojke:

Odgovori (u neredu):

Je li uspjelo? Odlično! Zatim radimo borbenu misiju - rješavamo najjednostavnije i najjednostavnije eksponencijalne jednadžbe!

Zadatak 2.

Riješite jednačine (svi odgovori su nered!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

odgovori:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Je li uspjelo? Zaista, mnogo je jednostavnije!

Zatim rješavamo sljedeću igru:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

odgovori:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

I ovi primjeri su ostali? Odlično! Vi rastete! Zatim evo još nekoliko primjera za grickanje:

odgovori:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

I da li je ovo odlučeno? Pa, postovanje! Skidam kapu.) To znači da lekcija nije bila uzaludna, a početni nivo rješavanja eksponencijalnih jednačina može se smatrati uspješno savladanim. Sledeći nivoi i složenije jednadžbe su pred nama! I nove tehnike i pristupi. I nestandardni primjeri. I nova iznenađenja.) Sve ovo u sledećoj lekciji!

Je li nešto pošlo po zlu? To znači da su najvjerovatnije problemi u . Ili u . Ili oboje odjednom. Ovde sam nemoćan. Još jednom mogu predložiti samo jedno - ne budite lijeni i pratite linkove.)

Nastavlja se.)

Predavanje: “Metode rješavanja eksponencijalnih jednačina.”

1 . Eksponencijalne jednadžbe.

Jednačine koje sadrže nepoznanice u eksponentima nazivaju se eksponencijalne jednadžbe. Najjednostavnija od njih je jednačina ax = b, gdje je a > 0, a ≠ 1.

1) Na b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Za b > 0, koristeći monotonost funkcije i teoremu o korijenu, jednačina ima jedinstveni korijen. Da bismo ga pronašli, b mora biti predstavljeno u obliku b = as, ax = bs ó x = c ili x = logab.

Eksponencijalne jednadžbe algebarskim transformacijama dovode do standardnih jednadžbi, koje se rješavaju sljedećim metodama:

1) način svođenja na jednu osnovu;

2) način ocjenjivanja;

3) grafički metod;

4) način uvođenja novih varijabli;

5) metod faktorizacije;

6) eksponencijalne – jednačine stepena;

7) demonstrativna sa parametrom.

2 . Metoda redukcije na jednu bazu.

Metoda se zasniva na sljedećem svojstvu potencija: ako su dva stepena jednaka, a njihove baze jednake, onda su im eksponenti jednaki, tj., treba pokušati svesti jednadžbu na oblik

Primjeri. Riješite jednačinu:

1 . 3x = 81;

Predstavimo desnu stranu jednačine u obliku 81 = 34 i napišimo jednačinu koja je ekvivalentna originalnom 3 x = 34; x = 4. Odgovor: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">i prijeđimo na jednadžbu za eksponente 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Odgovor: 0,5.

3. DIV_ADBLOCK217">

Odgovor: 1 i 2.

Imajte na umu da brojevi 0,2, 0,04, √5 i 25 predstavljaju potencije od 5. Iskoristimo ovo i transformirajmo originalnu jednačinu na sljedeći način:

, odakle je 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, iz čega nalazimo rješenje x = -1. Odgovor: -1.

5. 3x = 5. Po definiciji logaritma, x = log35. Odgovor: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Prepišimo jednačinu u obliku 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, tj.png" width="181" height="49 src="> Dakle x – 4 =0, x = 4. Odgovor: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Koristeći svojstva stepena, zapisujemo jednačinu u obliku 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, zatim 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, tj. x+1 = 2, x =1. Odgovor: 1.

Problemska banka br. 1.

Riješite jednačinu:

Test br. 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez korijena
	1) 7;1 2) bez korijena 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test br. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) nema korijena 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda evaluacije.

Teorema o korijenu: ako se funkcija f(x) povećava (smanjuje) na intervalu I, broj a je bilo koja vrijednost koju uzima f na ovom intervalu, tada jednačina f(x) = a ima jedan korijen na intervalu I.

Prilikom rješavanja jednadžbi metodom procjene koristi se ova teorema i svojstva monotonosti funkcije.

Primjeri. Riješite jednačine: 1. 4x = 5 – x.

Rješenje. Prepišimo jednačinu kao 4x +x = 5.

1. ako je x = 1, tada je 41+1 = 5, 5 = 5 tačno, što znači da je 1 korijen jednačine.

Funkcija f(x) = 4x – raste na R, a g(x) = x – raste na R => h(x)= f(x)+g(x) raste na R, kao zbir rastućih funkcija, tada je x = 1 jedini korijen jednačine 4x = 5 – x. Odgovor: 1.

Rješenje. Prepišimo jednačinu u formu .

1. ako je x = -1, onda , 3 = 3 je tačno, što znači da je x = -1 korijen jednačine.

2. dokazati da je on jedini.

3. Funkcija f(x) = - opada na R, a g(x) = - x – opada na R=> h(x) = f(x)+g(x) – opada na R, kao zbir opadajuće funkcije. To znači, prema teoremi o korijenu, x = -1 je jedini korijen jednačine. Odgovor: -1.

Problemska banka br. 2. Riješite jednačinu

a) 4x + 1 =6 – x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Način uvođenja novih varijabli.

Metoda je opisana u paragrafu 2.1. Uvođenje nove varijable (supstitucija) obično se vrši nakon transformacije (pojednostavljenja) članova jednačine. Pogledajmo primjere.

Primjeri. R Riješite jednačinu: 1. .

Hajde da prepišemo jednačinu drugačije: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj.png" width="210" visina = "45">

Rješenje. Zapišimo jednačinu drugačije:

Označimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nije prikladno.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - iracionalna jednadžba. Napominjemo da

Rješenje jednadžbe je x = 2,5 ≤ 4, što znači da je 2,5 korijen jednačine. Odgovor: 2.5.

Rješenje. Prepišimo jednačinu u obliku i obje strane podijelimo sa 56x+6 ≠ 0. Dobijamo jednačinu

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Korijeni kvadratne jednadžbe su t1 = 1 i t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Rješenje . Prepišimo jednačinu u formu

i primijetiti da je to homogena jednačina drugog stepena.

Podijelimo jednačinu sa 42x, dobijamo

Zamijenimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Odgovor: 0; 0.5.

Problemska banka br. 3. Riješite jednačinu

Test br. 3 sa izborom odgovora. Minimalni nivo.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) nema korijena 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) nema korijena 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test br. 4 sa izborom odgovora. Opšti nivo.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) nema korijena

5. Metoda faktorizacije.

1. Riješite jednačinu: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Rješenje..png" width="169" height="69"> , odakle

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Rješenje. Stavimo 6x iz zagrada na lijevu stranu jednačine, a 2x na desnu. Dobijamo jednačinu 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Pošto je 2x >0 za sve x, možemo podijeliti obje strane ove jednadžbe sa 2x bez straha od gubitka rješenja. Dobijamo 3x = 1— x = 0.

Rješenje. Rešimo jednačinu metodom faktorizacije.

Odaberimo kvadrat binoma

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 je korijen jednadžbe.

Jednadžba x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test br. 6 Opšti nivo.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponencijalno – jednadžbe snaga.

Uz eksponencijalne jednačine su takozvane jednadžbe eksponencijalne snage, odnosno jednačine oblika (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Ako je poznato da je f(x)>0 i f(x) ≠ 1, onda se jednačina, kao i eksponencijalna, rješava izjednačavanjem eksponenata g(x) = f(x).

Ako uvjet ne isključuje mogućnost f(x)=0 i f(x)=1, tada moramo uzeti u obzir ove slučajeve prilikom rješavanja eksponencijalne jednadžbe.

1..png" width="182" height="116 src=">

Rješenje. x2 +2x-8 – ima smisla za bilo koji x, jer je polinom, što znači da je jednačina ekvivalentna ukupnosti

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. Eksponencijalne jednadžbe s parametrima.

1. Za koje vrijednosti parametra p jednačina 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) ima jedinstveno rješenje?

Rješenje. Uvedemo zamjenu 2x = t, t > 0, tada će jednačina (1) poprimiti oblik t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminanta jednačine (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Jednačina (1) ima jedinstveno rješenje ako jednačina (2) ima jedan pozitivan korijen. To je moguće u sljedećim slučajevima.

1. Ako je D = 0, odnosno p = 1, tada će jednačina (2) dobiti oblik t2 – 2t + 1 = 0, dakle t = 1, dakle, jednačina (1) ima jedinstveno rješenje x = 0.

2. Ako je p1, onda je 9(p – 1)2 > 0, tada jednačina (2) ima dva različita korijena t1 = p, t2 = 4p – 3. Uslove problema zadovoljava skup sistema

Zamjenom t1 i t2 u sisteme imamo

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Rješenje. Neka tada će jednačina (3) dobiti oblik t2 – 6t – a = 0. (4)

Nađimo vrijednosti parametra a za koje barem jedan korijen jednadžbe (4) zadovoljava uvjet t > 0.

Uvedimo funkciju f(t) = t2 – 6t – a. Mogući su sljedeći slučajevi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Slučaj 2. Jednačina (4) ima jedinstveno pozitivno rješenje ako

D = 0, ako je a = – 9, tada će jednačina (4) dobiti oblik (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Slučaj 3. Jednačina (4) ima dva korijena, ali jedan od njih ne zadovoljava nejednakost t > 0. To je moguće ako

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Dakle, za a 0, jednadžba (4) ima jedan pozitivan korijen . Tada jednačina (3) ima jedinstveno rješenje

Kada a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ako a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ako je a = – 9, onda je x = – 1;

ako je a  0, onda

Uporedimo metode za rješavanje jednačina (1) i (3). Imajte na umu da je pri rješavanju jednadžbe (1) svedeno na kvadratnu jednačinu, čiji je diskriminanta savršen kvadrat; Dakle, korijeni jednadžbe (2) su odmah izračunati korištenjem formule za korijene kvadratne jednadžbe, a zatim su izvedeni zaključci u vezi s tim korijenima. Jednadžba (3) je svedena na kvadratnu jednačinu (4), čiji diskriminanta nije savršen kvadrat, stoga je pri rješavanju jednadžbe (3) preporučljivo koristiti teoreme o lokaciji korijena kvadratnog trinoma i grafički model. Imajte na umu da se jednadžba (4) može riješiti korištenjem Vietine teoreme.

Hajde da rešimo složenije jednačine.

Problem 3: Riješite jednačinu

Rješenje. ODZ: x1, x2.

Hajde da predstavimo zamenu. Neka je 2x = t, t > 0, tada će kao rezultat transformacija jednadžba dobiti oblik t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Nađimo vrijednosti a za koje je barem jedan korijen od jednačina (*) zadovoljava uslov t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odgovor: ako je a > – 13, a  11, a  5, onda ako je a – 13,

a = 11, a = 5, tada nema korijena.

Spisak korišćene literature.

1. Guzejev temelji obrazovne tehnologije.

2. Guzejevska tehnologija: od recepcije do filozofije.

M. “Direktor škole” br. 4, 1996

3. Guzejev i organizacioni oblici obuke.

4. Guzeev i praksa integralne obrazovne tehnologije.

M. “Narodno obrazovanje”, 2001

5. Guzeev iz oblika lekcije - seminar.

Matematika u školi br. 2, 1987. str. 9 – 11.

6. Seleuko obrazovne tehnologije.

M. “Narodno obrazovanje”, 1998

7. Episheva školarci da studiraju matematiku.

M. "Prosvjeta", 1990

8. Ivanova priprema nastavu - radionice.

Matematika u školi br. 6, 1990. str. 37 – 40.

9. Smirnovov model nastave matematike.

Matematika u školi br. 1, 1997. str. 32 – 36.

10. Tarasenko načini organizovanja praktičnog rada.

Matematika u školi br. 1, 1993. str. 27 – 28.

11. O jednoj od vrsta individualnog rada.

Matematika u školi br. 2, 1994, str. 63 – 64.

12. Khazankin kreativne sposobnosti učenika.

Matematika u školi br. 2, 1989. str. 10.

13. Scanavi. Izdavač, 1997

14. i drugi Algebra i počeci analize. Didaktički materijali za

15. Krivonogov zadaci iz matematike.

M. “Prvi septembar”, 2002

16. Čerkasov. Priručnik za srednjoškolce i

upis na univerzitete. “A S T - press škola”, 2002

17. Zhevnyak za one koji ulaze na univerzitete.

Minsk i Ruska Federacija “Pregled”, 1996

18. Priprema za ispit iz matematike. M. Rolf, 1999

19. itd. Učenje rješavanja jednačina i nejednačina.

M. "Intelekt - Centar", 2003

20. itd. Edukativni materijali i materijali za obuku za pripremu za EGE.

M. "Inteligencija - Centar", 2003. i 2004.

21 i druge opcije CMM. Centar za testiranje Ministarstva odbrane Ruske Federacije, 2002, 2003.

22. Goldbergove jednadžbe. "Kvant" br. 3, 1971

23. Kako uspješno predavati matematiku.

Matematika, 1997. br. 3.

24 Okunev za lekciju, djeco! M. Obrazovanje, 1988

25. Yakimanskaya - orijentirano učenje u školi.

26. Liimets rad u nastavi. M. Znanje, 1975

Ova lekcija je namenjena onima koji tek počinju da uče eksponencijalne jednačine. Kao i uvijek, počnimo s definicijom i jednostavnim primjerima.

Ako čitate ovu lekciju, onda pretpostavljam da već imate barem minimalno razumijevanje najjednostavnijih jednačina - linearnih i kvadratnih: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, itd. Sposobnost rješavanja ovakvih konstrukcija je apsolutno neophodna kako se ne bi „zaglavili“ u temi o kojoj će se sada raspravljati.

Dakle, eksponencijalne jednadžbe. Dozvolite mi da vam dam par primjera:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Neki od njih vam mogu izgledati složeniji, dok su drugi, naprotiv, previše jednostavni. Ali svi imaju jednu važnu zajedničku osobinu: njihova notacija sadrži eksponencijalnu funkciju $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Dakle, hajde da uvedemo definiciju:

Eksponencijalna jednačina je svaka jednačina koja sadrži eksponencijalnu funkciju, tj. izraz oblika $((a)^(x))$. Osim naznačene funkcije, takve jednadžbe mogu sadržavati bilo koje druge algebarske konstrukcije - polinome, korijene, trigonometriju, logaritme itd.

OK onda. Sredili smo definiciju. Sada se postavlja pitanje: kako riješiti svo ovo sranje? Odgovor je i jednostavan i složen.

Počnimo s dobrim vijestima: iz mog iskustva podučavanja mnogih učenika, mogu reći da većina njih mnogo lakše pronalazi eksponencijalne jednačine nego iste logaritme, a još više trigonometriju.

Ali ima loših vijesti: ponekad pisce zadataka za sve vrste udžbenika i ispita pogodi "inspiracija", a njihov mozak napaljen drogom počinje proizvoditi tako brutalne jednačine da njihovo rješavanje postaje problematično ne samo za studente - čak i za mnoge nastavnike zaglavite na takvim problemima.

Međutim, da ne pričamo o tužnim stvarima. I vratimo se na one tri jednačine koje su date na samom početku priče. Pokušajmo riješiti svaki od njih.

Prva jednadžba: $((2)^(x))=4$. Pa, na koji stepen morate podići broj 2 da biste dobili broj 4? Verovatno drugi? Uostalom, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - i dobili smo tačnu numeričku jednakost, tj. zaista $x=2$. Pa, hvala, Cap, ali ova jednačina je bila toliko jednostavna da je čak i moja mačka mogla da je riješi :)

Pogledajmo sljedeću jednačinu:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ali ovdje je sve malo komplikovanije. Mnogi učenici znaju da je $((5)^(2))=25$ tablica množenja. Neki također sumnjaju da je $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ u suštini definicija negativnih snaga (slično formuli $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Konačno, samo nekolicina odabranih shvata da se ove činjenice mogu kombinovati i daju sledeći rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Dakle, naša originalna jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Strelica desno ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ali ovo je već potpuno rješivo! S lijeve strane u jednadžbi je eksponencijalna funkcija, s desne strane u jednadžbi je eksponencijalna funkcija, nigdje osim njih nema ničega drugog. Stoga možemo "odbaciti" baze i glupo izjednačiti indikatore:

Dobili smo najjednostavniju linearnu jednačinu koju svaki učenik može riješiti u samo nekoliko redova. U redu, u četiri reda:

\[\početak(poravnati)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]

Ako ne razumijete šta se dogodilo u posljednja četiri reda, svakako se vratite na temu "linearne jednačine" i ponovite je. Jer bez jasnog razumijevanja ove teme, prerano je da se bavite eksponencijalnim jednadžbama.

\[((9)^(x))=-3\]

Pa kako to možemo riješiti? Prva pomisao: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, tako da se originalna jednačina može prepisati na sljedeći način:

\[((\left(((3)^(2)) \desno))^(x))=-3\]

Zatim se prisjetimo da se pri podizanju stepena na stepen eksponenti množe:

\[((\left((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Strelica desno ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\početak(poravnati)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]

A za takvu odluku dobićemo pošteno zasluženu dvojku. Jer, sa smirenošću Pokemona, poslali smo znak minus ispred trojke na snagu ove trojice. Ali to ne možete učiniti. A evo i zašto. Pogledajte različite moći troje:

\[\begin(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrica)\]

Kada sam sastavljao ovu tabletu, nisam ništa izopačio: gledao sam pozitivne snage, i negativne, pa čak i razlomke... pa, gdje je ovdje barem jedan negativan broj? Otišao je! A ne može biti, jer eksponencijalna funkcija $y=((a)^(x))$, prvo, uvijek uzima samo pozitivne vrijednosti (bez obzira koliko se jedna pomnoži ili podijeli sa dva, ona će i dalje biti pozitivan broj), i drugo, baza takve funkcije - broj $a$ - je po definiciji pozitivan broj!

Pa, kako onda riješiti jednačinu $((9)^(x))=-3$? Ali nema šanse: nema korijena. I u tom smislu, eksponencijalne jednadžbe su vrlo slične kvadratnim jednadžbama - možda i nema korijena. Ali ako je u kvadratnim jednadžbama broj korijena određen diskriminantom (pozitivan diskriminant - 2 korijena, negativan - bez korijena), onda u eksponencijalnim jednačinama sve ovisi o tome što je desno od znaka jednakosti.

Dakle, hajde da formulišemo ključni zaključak: najjednostavnija eksponencijalna jednačina oblika $((a)^(x))=b$ ima koren ako i samo ako je $b \gt 0$. Znajući ovu jednostavnu činjenicu, lako možete odrediti da li jednadžba koja vam je predložena ima korijen ili ne. One. Vrijedi li to uopće rješavati ili odmah zapisati da nema korijena.

Ovo znanje će nam mnogo puta pomoći kada budemo morali rješavati složenije probleme. Za sada dosta tekstova - vrijeme je da proučimo osnovni algoritam za rješavanje eksponencijalnih jednačina.

Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe

Dakle, hajde da formulišemo problem. Potrebno je riješiti eksponencijalnu jednačinu:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

Prema „naivnom“ algoritmu koji smo ranije koristili, potrebno je broj $b$ predstaviti kao potenciju broja $a$:

Osim toga, ako umjesto varijable $x$ postoji bilo koji izraz, dobićemo novu jednačinu koja se već može riješiti. na primjer:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(3))\Strelica desno x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Strelica desno ((3)^(-x))=((3)^(4))\Strelica desno -x=4\Strelica desno x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Strelica desno ((5)^(2x))=((5)^(3))\Strelica desno 2x=3\Strelica desno x=\frac(3)( 2). \\\end(poravnati)\]

I što je čudno, ova shema funkcionira u oko 90% slučajeva. Šta je onda sa preostalih 10%? Preostalih 10% su blago "šizofrene" eksponencijalne jednadžbe oblika:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Pa, na koji stepen trebate podići 2 da biste dobili 3? Prvi? Ali ne: $((2)^(1))=2$ nije dovoljno. Drugo? Nijedno: $((2)^(2))=4$ je previše. Koji onda?

Upućeni učenici su vjerovatno već pogodili: u takvim slučajevima, kada se to ne može riješiti “lijepo”, u igru dolazi “teška artiljerija” – logaritmi. Da vas podsjetim da se korištenjem logaritma svaki pozitivan broj može predstaviti kao potencija bilo kojeg drugog pozitivnog broja (osim jednog):

Sjećate se ove formule? Kada svojim studentima govorim o logaritmima, uvijek upozoravam: ova formula (to je ujedno i glavni logaritamski identitet ili, ako želite, definicija logaritma) će vas dugo proganjati i „iskakati“ u većini slučajeva. neočekivana mjesta. Pa, isplivala je. Pogledajmo našu jednačinu i ovu formulu:

\[\begin(poravnaj)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(poravnaj) \]

Ako pretpostavimo da je $a=3$ naš originalni broj s desne strane, a $b=2$ sama baza eksponencijalne funkcije na koju želimo svesti desnu stranu, dobićemo sljedeće:

\[\begin(align)& a=((b)^((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Strelica desno x=( (\log )_(2))3. \\\end(poravnati)\]

Dobili smo pomalo čudan odgovor: $x=((\log )_(2))3$. U nekom drugom zadatku mnogi bi imali nedoumice s takvim odgovorom i počeli bi još jednom provjeravati svoje rješenje: šta ako se negdje uvukla greška? Požurim da vas zadovoljim: tu nema greške, a logaritmi u korijenima eksponencijalnih jednačina su sasvim tipična situacija. Zato se naviknite na to. :)

Sada analogno riješimo preostale dvije jednadžbe:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Strelica desno ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Strelica desno ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Strelica desno 2x=( (\log )_(4))11\Strelica desno x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(poravnati)\]

To je to! Inače, zadnji odgovor se može napisati drugačije:

Uveli smo množitelj u argument logaritma. Ali niko nas ne brani da dodamo ovaj faktor bazi:

Štaviše, sve tri opcije su ispravne - to su samo različiti oblici pisanja istog broja. Koje ćete odabrati i zapisati u ovo rješenje, na vama je da odlučite.

Dakle, naučili smo rješavati sve eksponencijalne jednadžbe oblika $((a)^(x))=b$, gdje su brojevi $a$ i $b$ striktno pozitivni. Međutim, surova realnost našeg svijeta je da će se tako jednostavni zadaci susresti vrlo, vrlo rijetko. Češće nego ne naići ćete na nešto poput ovoga:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(poravnati)\]

Pa kako to možemo riješiti? Može li se ovo uopće riješiti? I ako da, kako?

Ne paničite. Sve ove jednadžbe se brzo i lako svode na jednostavne formule koje smo već razmatrali. Samo treba da zapamtite nekoliko trikova iz kursa algebre. I naravno, ne postoje pravila za rad sa diplomama. Sad ću vam reći o svemu ovome. :)

Pretvaranje eksponencijalnih jednadžbi

Prva stvar koju treba zapamtiti: svaka eksponencijalna jednadžba, ma koliko složena bila, na ovaj ili onaj način mora se svesti na najjednostavnije jednadžbe - one koje smo već razmatrali i koje znamo riješiti. Drugim riječima, shema za rješavanje bilo koje eksponencijalne jednadžbe izgleda ovako:

Zapišite originalnu jednačinu. Na primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Uradi neka čudna sranja. Ili čak neko sranje zvano "pretvori jednačinu";
Na izlazu dobijete najjednostavnije izraze oblika $((4)^(x))=4$ ili nešto slično. Štaviše, jedna početna jednačina može dati nekoliko takvih izraza odjednom.

Sve je jasno sa prvom tačkom - čak i moja mačka može da napiše jednačinu na komadu papira. Čini se da je i treća tačka manje-više jasna - već smo riješili čitavu gomilu takvih jednačina iznad.

Ali šta je sa drugom tačkom? Kakve transformacije? Pretvoriti šta u šta? I kako?

Pa, hajde da saznamo. Prije svega, želio bih napomenuti sljedeće. Sve eksponencijalne jednadžbe su podijeljene u dvije vrste:

Jednačina je sastavljena od eksponencijalnih funkcija sa istom bazom. Primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Formula sadrži eksponencijalne funkcije s različitim bazama. Primjeri: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ i $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Počnimo s jednadžbama prvog tipa - njih je najlakše riješiti. A u njihovom rješavanju pomoći će nam takva tehnika kao što je isticanje stabilnih izraza.

Izolacija stabilnog izraza

Pogledajmo ponovo ovu jednačinu:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

šta vidimo? Četiri su podignuta na različite stepene. Ali sve ove potencije su jednostavne sume varijable $x$ sa drugim brojevima. Stoga je potrebno zapamtiti pravila za rad sa diplomama:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(poravnati)\]

Jednostavno rečeno, sabiranje se može pretvoriti u proizvod stepena, a oduzimanje se može lako pretvoriti u dijeljenje. Pokušajmo primijeniti ove formule na stupnjeve iz naše jednadžbe:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(poravnati)\]

Prepišimo originalnu jednačinu uzimajući u obzir ovu činjenicu, a zatim sakupimo sve članove s lijeve strane:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(poravnati)\]

Prva četiri pojma sadrže element $((4)^(x))$ - izvadimo ga iz zagrade:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(poravnati)\]

Ostaje podijeliti obje strane jednadžbe razlomkom $-\frac(11)(4)$, tj. u suštini pomnoži sa obrnutim razlomkom - $-\frac(4)(11)$. dobijamo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \lijevo(-\frac(4)(11) \desno); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(poravnati)\]

To je to! Originalnu jednačinu smo sveli na njen najjednostavniji oblik i dobili konačni odgovor.

Istovremeno, u procesu rješavanja otkrili smo (pa čak i izvadili iz zagrade) zajednički faktor $((4)^(x))$ - to je stabilan izraz. Može se označiti kao nova varijabla ili je jednostavno možete pažljivo izraziti i dobiti odgovor. U svakom slučaju, ključni princip rješenja je sljedeći:

Pronađite u originalnoj jednadžbi stabilan izraz koji sadrži varijablu koja se lako razlikuje od svih eksponencijalnih funkcija.

Dobra vest je da vam skoro svaka eksponencijalna jednačina omogućava da izolujete tako stabilan izraz.

Ali loša vijest je da ovi izrazi mogu biti prilično zeznuti i da ih je prilično teško identificirati. Pa pogledajmo još jedan problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Možda neko sada ima pitanje: „Paša, jesi li kamenovan? Ovdje postoje različite baze – 5 i 0,2.” Ali hajde da pokušamo pretvoriti snagu u bazu 0,2. Na primjer, riješimo se decimalnog razlomka tako što ćemo ga svesti na običan:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Kao što vidite, broj 5 se ipak pojavio, iako u nazivniku. Istovremeno, indikator je prepisan kao negativan. Sada se prisjetimo jednog od najvažnijih pravila za rad sa diplomama:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \desno))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Ovdje sam, naravno, malo lagao. Jer za potpuno razumijevanje, formula za otklanjanje negativnih pokazatelja morala je biti napisana ovako:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \desno))^(n ))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

S druge strane, ništa nas nije spriječilo da radimo samo sa razlomcima:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left((5)^(-1)) \ desno))^(-\left(x+1 \desno)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \desno) \desno) ))=((5)^(x+1))\]

Ali u ovom slučaju, morate biti u mogućnosti da povećate snagu na drugu snagu (da vas podsjetim: u ovom slučaju, indikatori se zbrajaju). Ali nisam morao "obrnuti" razlomke - možda će nekome ovo biti lakše :)

U svakom slučaju, originalna eksponencijalna jednačina će se prepisati kao:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(poravnati)\]

Tako se ispostavilo da se originalna jednadžba može riješiti još jednostavnije od one koja je prethodno razmatrana: ovdje čak ni ne morate odabrati stabilan izraz - sve je smanjeno samo od sebe. Ostaje samo zapamtiti da je $1=((5)^(0))$, od čega dobijamo:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(poravnati)\]

To je rešenje! Dobili smo konačni odgovor: $x=-2$. U isto vrijeme, želio bih napomenuti jednu tehniku koja nam je uvelike pojednostavila sve proračune:

U eksponencijalnim jednadžbama, obavezno se riješite decimalnih razlomaka i pretvorite ih u obične. To će vam omogućiti da vidite iste baze stupnjeva i uvelike pojednostavite rješenje.

Prijeđimo sada na složenije jednadžbe u kojima postoje različite baze koje se uopće ne mogu svesti jedna na drugu korištenjem potencija.

Korištenje svojstva stupnjeva

Da vas podsjetim da imamo dvije posebno oštre jednadžbe:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(poravnati)\]

Glavna poteškoća je u tome što nije jasno šta dati i na osnovu čega. Gdje su stabilni izrazi? Gdje su iste osnove? Nema ništa od ovoga.

Ali hajde da pokušamo da idemo drugim putem. Ako nema gotovih identičnih baza, možete ih pokušati pronaći faktoringom postojećih baza.

Počnimo s prvom jednačinom:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Strelica desno ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \desno))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(poravnati)\]

Ali možete učiniti suprotno - napravite broj 21 od brojeva 7 i 3. Ovo je posebno lako učiniti s lijeve strane, jer su indikatori oba stepena isti:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(poravnati)\]

To je to! Uzeli ste eksponent izvan proizvoda i odmah dobili prekrasnu jednadžbu koja se može riješiti u nekoliko redaka.

Pogledajmo sada drugu jednačinu. Ovde je sve mnogo komplikovanije:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

U ovom slučaju, razlomci su se pokazali nesvodljivim, ali ako se nešto može smanjiti, svakako to smanjite. Često će se pojaviti zanimljivi razlozi s kojima već možete raditi.

Nažalost, za nas se ništa posebno nije pojavilo. Ali vidimo da su eksponenti na lijevoj strani u proizvodu suprotni:

Da vas podsjetim: da biste se riješili znaka minus u indikatoru, samo trebate "okrenuti" razlomak. Pa, hajde da prepišemo originalnu jednačinu:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\lijevo(\frac(1000)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(poravnati)\]

U drugom redu, jednostavno smo izvadili ukupni eksponent iz proizvoda iz zagrade prema pravilu $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) \cdot b \right))^ (x))$, a u posljednjem su jednostavno pomnožili broj 100 s razlomkom.

Sada imajte na umu da su brojevi na lijevoj strani (u osnovi) i na desnoj strani donekle slični. Kako? Da, očigledno je: to su moći istog broja! imamo:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \desno))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \desno))^(2)). \\\end(poravnati)\]

Dakle, naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\desno))^(2))\]

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \desno))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

U ovom slučaju, na desnoj strani također možete dobiti diplomu s istom bazom, za koju je dovoljno jednostavno "preokrenuti" razlomak:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Naša jednačina će konačno poprimiti oblik:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(poravnati)\]

To je rešenje. Njegova glavna ideja se svodi na to da čak i sa različitim osnovama, pokušavamo, na udicu ili misao, svesti te osnove na istu stvar. U tome nam pomažu elementarne transformacije jednadžbi i pravila za rad sa potencijama.

Ali koja pravila i kada koristiti? Kako shvatiti da u jednoj jednadžbi trebate obje strane podijeliti s nečim, a u drugoj morate rastaviti bazu eksponencijalne funkcije?

Odgovor na ovo pitanje doći će s iskustvom. Prvo se okušajte u jednostavnim jednadžbama, a zatim postepeno komplikujte probleme - i vrlo brzo će vaše vještine biti dovoljne da riješite bilo koju eksponencijalnu jednadžbu sa istog Jedinstvenog državnog ispita ili bilo koji samostalni/testni rad.

A da vam pomognem u ovom teškom zadatku, predlažem da preuzmete skup jednadžbi s moje web stranice kako biste ga sami riješili. Sve jednačine imaju odgovore, tako da se uvijek možete testirati.

Generalno, želim vam uspješan trening. I vidimo se u sljedećoj lekciji - tamo ćemo analizirati zaista složene eksponencijalne jednadžbe, gdje gore opisane metode više nisu dovoljne. A ni jednostavan trening neće biti dovoljan. :)

Idite na youtube kanal naše web stranice da budete u toku sa svim novim video lekcijama.

Prvo, prisjetimo se osnovnih formula snaga i njihovih svojstava.

Proizvod broja a javlja se na sebi n puta, ovaj izraz možemo zapisati kao a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Potencijske ili eksponencijalne jednadžbe– to su jednadžbe u kojima su varijable u stepenu (ili eksponentima), a baza je broj.

Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

U ovom primjeru, broj 6 je osnova, ona je uvijek na dnu, a varijabla x stepen ili indikator.

Navedimo više primjera eksponencijalnih jednačina.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Pogledajmo sada kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?

Uzmimo jednostavnu jednačinu:

2 x = 2 3

Ovaj primjer se može riješiti čak i u vašoj glavi. Može se vidjeti da je x=3. Uostalom, da bi lijeva i desna strana bile jednake, trebate staviti broj 3 umjesto x.
Sada da vidimo kako formalizirati ovu odluku:

2 x = 2 3
x = 3

Da bismo riješili takvu jednačinu, uklonili smo se identične osnove(odnosno dvojke) i zapisao šta je ostalo, to su stepeni. Dobili smo odgovor koji smo tražili.

Sada da rezimiramo našu odluku.

Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti identičan da li jednadžba ima baze na desnoj i lijevoj strani. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što baze postanu iste, izjednačiti stepena i riješi rezultirajuću novu jednačinu.

Pogledajmo sada nekoliko primjera:

Počnimo s nečim jednostavnim.

Osnove na lijevoj i desnoj strani jednake su broju 2, što znači da bazu možemo odbaciti i izjednačiti njihove potencije.

x+2=4 Dobija se najjednostavnija jednačina.
x=4 – 2
x=2
Odgovor: x=2

U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite: 3 i 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Prvo, pomerimo devetku na desnu stranu, dobićemo:

Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2. Koristimo formulu snage (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Dobijamo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Sada je jasno da su na lijevoj i desnoj strani baze iste i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stepene.

3x=2x+16 dobijamo najjednostavniju jednačinu
3x - 2x=16
x=16
Odgovor: x=16.

Pogledajmo sljedeći primjer:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Prije svega, gledamo baze, baze dva i četiri. I trebamo da budu isti. Transformišemo četiri koristeći formulu (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

A koristimo i jednu formulu a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodajte u jednačinu:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Naveli smo primjer iz istih razloga. Ali drugi brojevi 10 i 24 nam smetaju. Ako bolje pogledate možete vidjeti da na lijevoj strani imamo 2 2x ponovljeno, evo odgovora - možemo staviti 2 2x iz zagrada:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Izračunajmo izraz u zagradama:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Cijelu jednačinu podijelimo sa 6:

Zamislimo 4=2 2:

2 2x = 2 2 baze su iste, odbacujemo ih i izjednačavamo stepene.
2x = 2 je najjednostavnija jednadžba. Podijelimo sa 2 i dobijemo
x = 1
Odgovor: x = 1.

Rešimo jednačinu:

9 x – 12*3 x +27= 0

transformirajmo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dobijamo jednačinu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naše baze su iste, jednake tri U ovom primjeru možete vidjeti da prva tri ima stepen dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju možete riješiti metoda zamjene. Broj zamjenjujemo najmanjim stepenom:

Tada je 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Sve x potencije u jednadžbi zamjenjujemo sa t:

t 2 - 12t+27 = 0
Dobijamo kvadratnu jednačinu. Rješavajući kroz diskriminant, dobijamo:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Vraćanje na varijablu x.

Uzmi t 1:
t 1 = 9 = 3 x

stoga,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog od t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 = 2; x 2 = 1.

Na web stranici možete postaviti sva pitanja koja imate u odjeljku POMOĆ ODLUČITI, mi ćemo vam svakako odgovoriti.

Pridružite se grupi