Predavanje 1.

METODOLOŠKE OSNOVE MODELIRANJA

Trenutno stanje problema modeliranja sistema

Koncepti modeliranja i simulacije

Modeliranje može se smatrati zamjenom predmeta proučavanja (originala) njegovom konvencionalnom slikom, opisom ili drugim objektom tzv. model i pružanje ponašanja bliskog originalu u okviru određenih pretpostavki i prihvatljivih grešaka. Modeliranje se obično izvodi s ciljem razumijevanja svojstava originala proučavanjem njegovog modela, a ne samog objekta. Naravno, modeliranje je opravdano kada je jednostavnije od stvaranja samog originala, ili kada je iz nekog razloga bolje uopće ne stvarati original.

Ispod model se podrazumijeva kao fizički ili apstraktni objekt čija su svojstva u određenom smislu slična svojstvima predmeta koji se proučava. U ovom slučaju zahtjevi za modelom su određeni problemom koji se rješava i raspoloživim sredstvima. Postoji nekoliko općih zahtjeva za modele:

2) potpunost – pružanje svih potrebnih informacija primaocu

o objektu;

3) fleksibilnost – sposobnost reprodukcije različitih situacija u svemu

raspon promjena uslova i parametara;

4) složenost razvoja mora biti prihvatljiva za postojeće

vremena i softvera.

Modeliranje je proces konstruisanja modela objekta i proučavanja njegovih svojstava ispitivanjem modela.

Dakle, modeliranje uključuje 2 glavne faze:

1) razvoj modela;

2) proučavanje modela i izvođenje zaključaka.

Istovremeno se u svakoj fazi rješavaju različiti zadaci i

suštinski različite metode i sredstva.

U praksi se koriste različite metode modeliranja. Ovisno o načinu implementacije, svi modeli se mogu podijeliti u dvije velike klase: fizičke i matematičke.

Matematičko modeliranje Obično se smatra sredstvom za proučavanje procesa ili pojava koristeći njihove matematičke modele.

Ispod fizičko modeliranje odnosi se na proučavanje objekata i pojava na fizičkim modelima, kada se proces koji se proučava reproducira uz očuvanje njegove fizičke prirode ili se koristi drugi fizički fenomen sličan onom koji se proučava. U isto vreme fizički modeli Po pravilu, oni pretpostavljaju stvarno oličenje onih fizičkih svojstava originala koja su značajna u određenoj situaciji. Prilikom planiranja razvoja, arhitekti izrađuju model koji odražava prostorni raspored njegovih elemenata. U tom smislu se naziva i fizičko modeliranje izrada prototipa.

Modeliranje poluživota je studija upravljivih sistema na modeliranju kompleksa uz uključivanje stvarne opreme u model. Zatvoreni model, pored realne opreme, uključuje simulatore uticaja i smetnji, matematičke modele spoljašnjeg okruženja i procesa za koje nije poznat dovoljno tačan matematički opis. Uključivanje stvarne opreme ili realnih sistema u krug modeliranja složenih procesa omogućava smanjenje apriorne nesigurnosti i istraživanje procesa za koje ne postoji tačan matematički opis. Koristeći poluprirodno modeliranje, istraživanje se provodi uzimajući u obzir male vremenske konstante i linearnosti svojstvene stvarnoj opremi. Prilikom proučavanja modela koristeći stvarnu opremu, koristi se koncept dinamička simulacija, prilikom proučavanja složenih sistema i pojava - evolucijski, imitacija I kibernetičko modeliranje.

Očigledno, stvarna korist od modeliranja može se postići samo ako su ispunjena dva uslova:

1) model daje ispravan (adekvatan) prikaz svojstava

original, značajan sa stanovišta operacije koja se proučava;

2) model vam omogućava da eliminišete probleme navedene iznad inherentne

vršenje istraživanja na stvarnim objektima.

2. Osnovni koncepti matematičkog modeliranja

Rješavanje praktičnih zadataka matematičkim metodama dosljedno se provodi formulisanjem problema (razvijanjem matematičkog modela), odabirom metode za proučavanje rezultirajućeg matematičkog modela i analizom dobivenog matematičkog rezultata. Matematička formulacija problema obično se predstavlja u obliku geometrijskih slika, funkcija, sistema jednačina itd. Opis objekta (fenomena) može se predstaviti pomoću kontinuiranih ili diskretnih, determinističkih ili stohastičkih i drugih matematičkih oblika.

Teorija matematičkog modeliranja osigurava identifikaciju obrazaca pojavljivanja različitih pojava u okolnom svijetu ili rada sistema i uređaja putem njihovog matematičkog opisa i modeliranja bez izvođenja testova u punoj mjeri. U ovom slučaju se koriste odredbe i zakoni matematike koji opisuju simulirane pojave, sisteme ili uređaje na nekom nivou njihove idealizacije.

matematički model (MM) je formalizirani opis sistema (ili operacije) u nekom apstraktnom jeziku, na primjer, u obliku skupa matematičkih odnosa ili dijagrama algoritma, tj. tj. takav matematički opis koji omogućava simulaciju rada sistema ili uređaja na nivou koji je dovoljno blizak njihovom stvarnom ponašanju dobijenom tokom testiranja sistema ili uređaja u punoj mjeri.

Svaki MM opisuje stvarni predmet, pojavu ili proces sa određenim stepenom aproksimacije stvarnosti. Tip MM zavisi kako od prirode stvarnog objekta tako i od ciljeva studije.

Matematičko modeliranje društvenih, ekonomskih, bioloških i fizičkih pojava, objekata, sistema i raznih uređaja jedno je od najvažnijih sredstava za razumijevanje prirode i dizajniranje širokog spektra sistema i uređaja. Poznati su primjeri efikasne upotrebe modeliranja u stvaranju nuklearnih tehnologija, zrakoplovnih i svemirskih sistema, u predviđanju atmosferskih i okeanskih pojava, vremena itd.

Međutim, tako ozbiljne oblasti modeliranja često zahtijevaju superkompjutere i godine rada velikih timova naučnika na pripremi podataka za modeliranje i njihovo otklanjanje grešaka. Međutim, u ovom slučaju, matematičko modeliranje složenih sistema i uređaja ne samo da štedi novac na istraživanju i testiranju, već može i eliminirati ekološke katastrofe - na primjer, omogućava vam da odustanete od testiranja nuklearnog i termonuklearnog oružja u korist njihovog matematičkog modeliranja. ili testiranje vazduhoplovnih sistema pre njihovih stvarnih letova. Između Stoga je matematičko modeliranje na nivou rešavanja jednostavnijih problema, na primer, iz oblasti mehanike, elektrotehnike, elektronike, radiotehnike i mnogih drugih oblasti nauke i tehnologije sada postalo. dostupan za izvođenje na modernim računarima. A kada se koriste generalizirani modeli, postaje moguće simulirati prilično složene sisteme, na primjer, telekomunikacijske sustave i mreže, radarske ili radio-navigacijske sustave.

Svrha matematičkog modeliranja je analiza stvarnih procesa (u prirodi ili tehnologiji) korištenjem matematičkih metoda. Zauzvrat, ovo zahtijeva formalizaciju MM procesa koji treba proučiti. Model može biti matematički izraz koji sadrži varijable čije je ponašanje slično ponašanju realnog sistema moguće akcije dva ili više „igrača“, kao, na primjer, u teorijskim igrama; ili može predstavljati stvarne varijable međusobno povezanih dijelova operativnog sistema.

Matematičko modeliranje za proučavanje karakteristika sistema može se podeliti na analitičko, simulaciono i kombinovano. Zauzvrat, MM se dijele na simulacijske i analitičke.

Analitičko modeliranje

Za analitičko modeliranje Karakteristično je da su procesi funkcionisanja sistema zapisani u obliku određenih funkcionalnih odnosa (algebarske, diferencijalne, integralne jednačine). Analitički model se može proučavati korištenjem sljedećih metoda:

1) analitičke, kada nastoje da dobiju, u opštem obliku, eksplicitne zavisnosti za karakteristike sistema;

2) numeričke, kada nije moguće naći rešenje jednačina u opštem obliku i one se rešavaju za određene početne podatke;

3) kvalitativni, kada se u odsustvu rješenja pronađu neka njegova svojstva.

Analitički modeli se mogu dobiti samo za relativno jednostavne sisteme. Za složene sisteme često se javljaju veliki matematički problemi. Za primjenu analitičke metode ide se na značajno pojednostavljenje originalnog modela. Međutim, istraživanje korištenjem pojednostavljenog modela pomaže da se dobiju samo indikativni rezultati. Analitički modeli matematički ispravno odražavaju odnos između ulaznih i izlaznih varijabli i parametara. Ali njihova struktura ne odražava unutrašnju strukturu objekta.

Tokom analitičkog modeliranja njegovi rezultati se prikazuju u obliku analitičkih izraza. Na primjer, povezivanjem R.C.- spoj na izvor konstantnog napona E(R, C I E- komponente ovog modela), možemo napraviti analitički izraz za vremensku zavisnost napona u(t) na kondenzatoru C:

Ova linearna diferencijalna jednadžba (DE) je analitički model ovog jednostavnog linearnog kola. Njegovo analitičko rješenje, pod početnim uslovom u(0) = 0, što znači ispražnjeni kondenzator C na početku modeliranja, omogućava vam da pronađete potrebnu zavisnost - u obliku formule:

u(t) = E(1− exstr(- t/RC)). (2)

Međutim, čak iu ovom najjednostavnijem primjeru potrebni su određeni napori da se riješi DE (1) ili da se primijeni kompjuterski matematički sistemi(SCM) sa simboličkim proračunima – sistemi kompjuterske algebre. Za ovaj potpuno trivijalan slučaj, rješavanje problema modeliranja linearne R.C.-kolo daje analitički izraz (2) prilično općenitog oblika - pogodno je za opisivanje rada kola za bilo koju vrijednost komponenti R, C I E, i opisuje eksponencijalni naboj kondenzatora C kroz otpornik R iz izvora konstantnog napona E.

Naravno, pronalaženje analitičkih rješenja tokom analitičkog modeliranja pokazuje se izuzetno vrijednim za identifikaciju općih teorijskih obrazaca jednostavnih linearnih kola, sistema i uređaja jednadžbe stanja koje opisuju povećanje modeliranog objekta. Možete dobiti manje ili više vidljive rezultate kada modelirate objekte drugog ili trećeg reda, ali s višim redom, analitički izrazi postaju preglomazni, složeni i teško razumljivi. Na primjer, čak i jednostavno elektronsko pojačalo često sadrži desetke komponenti. Međutim, mnogi moderni SCM-ovi, na primjer, sistemi simboličke matematike Maple, Mathematica ili okolina MATLAB, sposobni su u velikoj mjeri automatizirati rješavanje složenih problema analitičkog modeliranja.

Jedna vrsta modeliranja je numeričko modeliranje, koji se sastoji u dobijanju potrebnih kvantitativnih podataka o ponašanju sistema ili uređaja bilo kojom odgovarajućom numeričkom metodom, kao što su Euler ili Runge-Kutta metode. U praksi se pokazalo da je modeliranje nelinearnih sistema i uređaja pomoću numeričkih metoda mnogo efikasnije od analitičkog modeliranja pojedinačnih privatnih linearnih kola, sistema ili uređaja. Na primjer, za rješavanje DE (1) ili DE sistema u složenijim slučajevima ne može se dobiti rješenje u analitičkom obliku, ali pomoću podataka numeričke simulacije možete dobiti prilično potpune podatke o ponašanju simuliranih sistema i uređaja, kao i kao konstruisati grafove zavisnosti koji opisuju ovo ponašanje.

Simulacijsko modeliranje

At imitacija 10i modeliranje, algoritam koji implementira model reproducira proces funkcionisanja sistema tokom vremena. Simuliraju se elementarne pojave koje čine proces, čuvajući njihovu logičku strukturu i slijed događaja tokom vremena.

Glavna prednost simulacijskih modela u odnosu na analitičke je mogućnost rješavanja složenijih problema.

Simulacijski modeli olakšavaju uzimanje u obzir prisutnosti diskretnih ili kontinuiranih elemenata, nelinearnih karakteristika, slučajnih utjecaja, itd. Stoga se ova metoda široko koristi u fazi projektovanja složenih sistema. Glavno sredstvo implementacije simulacionog modeliranja je kompjuter, koji omogućava digitalno modeliranje sistema i signala.

S tim u vezi, definišimo izraz „ kompjutersko modeliranje“, koji se sve više koristi u literaturi. Pretpostavimo to kompjutersko modeliranje je matematičko modeliranje pomoću računarske tehnologije. U skladu s tim, tehnologija kompjuterskog modeliranja uključuje izvođenje sljedećih radnji:

1) određivanje svrhe modeliranja;

2) razvoj konceptualnog modela;

3) formalizacija modela;

4) softverska implementacija modela;

5) planiranje eksperimenata modela;

6) sprovođenje eksperimentalnog plana;

7) analiza i interpretacija rezultata modeliranja.

At simulacijsko modeliranje korišteni MM reproducira algoritam („logiku“) funkcionisanja sistema koji se proučava tokom vremena za različite kombinacije vrijednosti parametara sistema i vanjskog okruženja.

Primjer najjednostavnijeg analitičkog modela je jednadžba pravolinijskog ravnomjernog kretanja. Prilikom proučavanja takvog procesa korišćenjem simulacionog modela, potrebno je posmatrati promene putanje tokom vremena. Očigledno je da je u nekim slučajevima poželjnije analitičko modeliranje, u drugim - simulacija (ili kombinacija oba). Da biste napravili uspješan izbor, morate odgovoriti na dva pitanja.

Koja je svrha modeliranja?

U koju se klasu može klasificirati modelirani fenomen?

Odgovori na oba ova pitanja mogu se dobiti tokom prve dvije faze modeliranja.

Simulacijski modeli ne samo po svojstvima, već i po strukturi odgovaraju modeliranom objektu. U ovom slučaju postoji nedvosmislena i očigledna korespondencija između procesa dobijenih na modelu i procesa koji se dešavaju na objektu. Nedostatak simulacije je što je potrebno mnogo vremena da se riješi problem kako bi se postigla dobra tačnost.

Rezultati simulacijskog modeliranja rada stohastičkog sistema su realizacije slučajnih varijabli ili procesa. Stoga, pronalaženje karakteristika sistema zahtijeva višestruko ponavljanje i naknadnu obradu podataka. Najčešće se u ovom slučaju koristi vrsta simulacije - statistički

modeliranje(ili Monte Carlo metoda), tj. reprodukcija slučajnih faktora, događaja, veličina, procesa, polja u modelima.

Na osnovu rezultata statističkog modeliranja određuju se procjene vjerovatnostnih kriterijuma kvaliteta, opštih i specifičnih, koji karakterišu funkcionisanje i efikasnost upravljanog sistema. Statističko modeliranje se široko koristi za rješavanje naučnih i primijenjenih problema u različitim oblastima nauke i tehnologije. Metode statističkog modeliranja se široko koriste u proučavanju složenih dinamičkih sistema, ocjenjivanju njihovog funkcionisanja i efikasnosti.

Završna faza statističkog modeliranja zasniva se na matematičkoj obradi dobijenih rezultata. Ovdje se koriste metode matematičke statistike (parametrijska i neparametarska procjena, testiranje hipoteza). Primjer parametarskog estimatora je srednja vrijednost uzorka mjere učinka. Među neparametarskim metodama, široko rasprostranjena histogramska metoda.

Razmatrana šema se zasniva na ponovljenim statističkim testovima sistema i metodama statistike nezavisnih slučajnih varijabli. Ova šema nije uvijek prirodna u praksi i optimalna u smislu troškova. Smanjenje vremena testiranja sistema može se postići upotrebom preciznijih metoda evaluacije. Kao što je poznato iz matematičke statistike, efektivne procjene imaju najveću tačnost za datu veličinu uzorka. Optimalno filtriranje i metoda maksimalne vjerovatnoće daju opći metod za dobivanje takvih procjena U problemima statističkog modeliranja, obrada implementacija slučajnih procesa je neophodna ne samo za analizu izlaznih procesa.

Kontrola karakteristika ulaznih slučajnih uticaja je takođe veoma važna. Kontrola se sastoji od provjere usklađenosti distribucija generiranih procesa sa datim distribucijama. Ovaj problem se često formuliše kao problem testiranja hipoteza.

Opšti trend u kompjuterskom modeliranju složenih kontrolisanih sistema je želja da se skrati vreme modeliranja, kao i da se istraživanja sprovedu u realnom vremenu. Pogodno je predstaviti računske algoritme u ponavljajućem obliku, omogućavajući njihovu implementaciju brzinom prijema trenutnih informacija.

PRINCIPI SISTEMSKOG PRISTUPA U MODELIRANJU

Osnovni principi teorije sistema

Osnovni principi teorije sistema nastali su tokom proučavanja dinamičkih sistema i njihovih funkcionalnih elemenata. Sistem se shvata kao grupa međusobno povezanih elemenata koji deluju zajedno da bi postigli unapred određeni zadatak. Analiza sistema nam omogućava da odredimo najrealnije načine za obavljanje datog zadatka, obezbeđujući maksimalno zadovoljenje navedenih zahteva.

Elementi koji čine osnovu teorije sistema ne stvaraju se hipotezama, već se otkrivaju eksperimentalno. Da bi se pristupilo izgradnji sistema potrebno je imati opšte karakteristike tehnoloških procesa. Isto važi i za principe kreiranja matematički formulisanih kriterijuma koje proces ili njegov teorijski opis mora da zadovolji. Modeliranje je jedna od najvažnijih metoda naučnog istraživanja i eksperimentiranja.

Prilikom izgradnje modela objekata koristi se sistemski pristup, koji je metodologija za rješavanje složenih problema, koja se zasniva na posmatranju objekta kao sistema koji djeluje u određenom okruženju. Sistematski pristup podrazumeva otkrivanje integriteta objekta, identifikaciju i proučavanje njegove unutrašnje strukture, kao i veze sa spoljašnjim okruženjem. U ovom slučaju, objekt je predstavljen kao dio stvarnog svijeta koji je izoliran i proučavan u vezi s problemom konstruiranja modela. Osim toga, sistemski pristup uključuje konzistentan prijelaz sa opšteg na specifično, kada je cilj dizajna osnova razmatranja, a objekt se razmatra u odnosu na okruženje.

Složeni objekat se može podijeliti na podsisteme, koji su dijelovi objekta koji ispunjavaju sljedeće zahtjeve:

1) podsistem je funkcionalno nezavisan deo objekta. Povezan je sa drugim podsistemima, razmenjuje informacije i energiju sa njima;

2) za svaki podsistem mogu se definisati funkcije ili svojstva koja se ne poklapaju sa svojstvima celog sistema;

3) svaki od podsistema može biti podvrgnut daljoj podeli na nivo elemenata.

U ovom slučaju, element se shvata kao podsistem nižeg nivoa, čija je dalja podela neprikladna sa stanovišta problema koji se rešava.

Dakle, sistem se može definisati kao reprezentacija objekta u obliku skupa podsistema, elemenata i veza u cilju njegovog stvaranja, istraživanja ili poboljšanja. U ovom slučaju, prošireni prikaz sistema, koji uključuje glavne podsisteme i veze između njih, naziva se makrostruktura, a detaljno otkrivanje unutrašnje strukture sistema do nivoa elemenata naziva se mikrostruktura.

Uz sistem obično postoji i supersistem - sistem višeg nivoa, koji uključuje predmetni objekat, a funkcija bilo kog sistema može se odrediti samo preko supersistema.

Neophodno je istaći pojam okruženja kao skupa objekata spoljašnjeg sveta koji značajno utiču na efikasnost sistema, ali nisu deo sistema i njegovog nadsistema.

U vezi sa sistemskim pristupom građenju modela koristi se koncept infrastrukture, koji opisuje odnos sistema sa okolinom (okruženjem), u ovom slučaju, identifikaciju, opis i proučavanje svojstava objekta koja su bitna u okviru određenog zadatka naziva se stratifikacija objekta, a svaki model objekta je njegov stratifikovani opis.

Za sistemski pristup važno je odrediti strukturu sistema, tj. skup veza između elemenata sistema, koji odražava njihovu interakciju. Da bismo to učinili, prvo ćemo razmotriti strukturne i funkcionalne pristupe modeliranju.

Strukturalnim pristupom otkriva se sastav odabranih elemenata sistema i veze između njih. Skup elemenata i veza nam omogućava da prosudimo strukturu sistema. Najopštiji opis strukture je topološki opis. Omogućava vam da odredite komponente sistema i njihove veze pomoću grafova. Manje je uopšten funkcionalni opis, kada se razmatraju pojedinačne funkcije, tj. algoritmi za ponašanje sistema. U ovom slučaju se implementira funkcionalni pristup koji definira funkcije koje sistem obavlja.

Na osnovu sistemskog pristupa može se predložiti slijed razvoja modela, kada se razlikuju dvije glavne faze projektovanja: makrodizajn i mikrodizajn.

U fazi makro-dizajna izgrađuje se model eksternog okruženja, identifikuje resurse i ograničenja, bira sistemski model i kriterijume za procenu adekvatnosti.

Faza mikro dizajna u velikoj mjeri ovisi o specifičnoj vrsti odabranog modela. Općenito, uključuje kreiranje informacionih, matematičkih, tehničkih i softverskih sistema za modeliranje. U ovoj fazi utvrđuju se glavne tehničke karakteristike kreiranog modela, procjenjuju se vrijeme potrebno za rad s njim i trošak resursa za postizanje navedenog kvaliteta modela.

Bez obzira na vrstu modela, prilikom njegove izgradnje potrebno je voditi se nizom principa sistematskog pristupa:

1) dosledno napredovanje kroz faze kreiranja modela;

2) koordinaciju informacija, resursa, pouzdanosti i drugih karakteristika;

3) ispravan odnos između različitih nivoa konstrukcije modela;

4) integritet pojedinih faza dizajna modela.

Formiranje teorijskih koncepata zasnovanih na istraživanjima u oblasti prirodnih nauka, koji su poslužili kao osnova za informacije za proučavanje prirodnih procesa u vodenim ekosistemima i razvoj matematičkog modeliranja kao samostalnog naučnog pravca.

Osnovni pojmovi i definicije

1.2.1. Model(francuska mjera, uzorak):

– određeni skup objekata (prostorno-vremenske ćelije - stanice, sekcije, matrice itd.), koji opisuju bilo koje parametre fenomena koji se proučava;

Određeni skup objekata čija svojstva i odnosi između njih zadovoljavaju dati sistem aksioma;

Mjera, uzorak, norma je analog (šema, struktura, znakovni sistem) određenog fragmenta prirodne (ili društvene) stvarnosti.

(neka pronađu iz rječnika: metoda, tehnika, metodologija).

1.2.2. Po razredu Sami modeli su:

- fizički;

- matematički;

- društveni.

Zauzvrat matematički modeli zasnovani na principu implementacije može biti:

- deterministički – koji su izgrađeni na osnovu matematički izraženih zakona koji opisuju fizičke i hemijske procese u objektu modeliranja. Oni dozvoljavaju definitivno odrediti vrijednost varijabli;

- statistički – izgrađeni su na osnovu eksperimentalnih podataka i predstavljaju sisteme relacija koji povezuju vrednosti ulaznih i izlaznih parametara;

- stohastički (ili simulacija) - izgrađene su na osnovu probabilističkih ideja o procesima u objektu istraživanja i omogućavaju vam da modelirate njegovo ponašanje izračunavanjem funkcija raspodjele vjerovatnoće varijabli koje karakteriziraju svojstva koja se proučavaju.

Imitacija– imitacija.

Stohastic– nasumično, vjerovatno.

Princip- ideja vodilja, osnovno pravilo aktivnosti.

Zahvaljujući naporima klasika moderne prirodne nauke, tokom istorije njenog razvoja formiran je kvalitetan model okolnog sveta. Dakle, V.I. Vernadsky je postavio temelje doktrine o živoj materiji i geohemiji mora, A.P. Vinogradov je počeo proučavati hemijski sastav mikroorganizama, N.M. Knipovich je bio pionir u ribarskom istraživanju mora i bočatih voda, S.V. Bruevich je razvio analitičke metode za morske hidrohemijske radove, formulisao osnove hidrohemije, biohidrokemije i hemijske dinamike mora, L.A. Zenkevich je proučavao faunu i produktivnost morskih voda, A.B. Skopintsev je započeo istraživanje biogenih i organskih supstanci (OM) u rezervoarima i vodotocima, G.G. Vinberg se bavio pitanjima oblikovanja biološke produktivnosti mora.

Ovi radovi poslužili su kao metodološka i teorijska osnova za istraživanja koja su započela širom svijeta u drugoj polovini dvadesetog stoljeća. redovno proučavanje ekološkog stanja morskih ekosistema, hidrohemijskih karakteristika formiranja sirovinske baze i bioproduktivnosti prirodnih voda; obrasci razvoja hemijskih i bioloških procesa transformacije i propadanja organske materije; mehanizmi regeneracije biogenih supstrata u vezi sa proučavanjem uslova prometa i cirkulacije supstanci u biosferi [Leonov, 1999], kao i metode za sistematizaciju i analizu dobijenih informacija [Fashchuk, 1997; Fashchuk et al., 1997].

Prema rečima poznatog matematičara, akademika I.M. Yagloma : “Nivo zrelosti određene discipline u velikoj mjeri je određen stepenom upotrebe matematičkog aparata u njoj, sadržajem “matematičkih modela” svojstvenih disciplini i deduktivnim zaključcima koji su usko povezani s njima...”. Do druge polovine dvadesetog veka. Ekologija mora je kao nauka „sazrela“ do te mere da je matematičko modeliranje stanja morskih ekosistema postalo samostalan naučni pravac u prirodnim naukama. U svom okviru, Svjetski okean se posmatra kao složen dinamički sistem fizičkih, hemijskih, bioloških, geoloških i drugih procesa.

Razvoj računarske tehnologije i primenjene matematike doveo je do intenzivnog razvoja matematičkih modela morskih ekosistema, koji su omogućili sistematizaciju stečenih znanja iz različitih oblasti nauke o moru za potrebe predviđanja i upravljanja stanjem morskih tela. vode. U tom smislu, matematički modeli morskih ekosistema, uz terenska posmatranja na moru, mogu se smatrati osnovom naučnog razumijevanja prirode okeana. Izgradnja i korištenje matematičkih modela služi kao sredstvo za sistematsku analizu uslova rada morskih ekosistema.

1.4.1. Na osnovu metodološkog pristupa modeliranju prirodnih procesa i pojava izdvajaju se: vrste modela: empirijski, poluempirijski i teorijski.

Empirijski modeli matematičkim ovisnostima opisati veze između pojedinih parametara stanja okoliša i vanjskih faktora koji na njih djeluju.

Teorijski modeli zasnivaju se na širokom činjeničnom materijalu dobijenom kao rezultat fundamentalnih studija pojedinih elemenata ekosistema, procesa transformacije materije i energije, obrazaca promjena hemijskih i bioloških parametara itd.

Poluempirijski modeli predstavljaju sintezu prva dva, a većina razvijenih modela može se svrstati u ovu kategoriju.

1.4.2. Prema načinu implementacije modeli se dijele na:

- deterministički(koriste funkcionalne zavisnosti za povezivanje varijabli);

- stohastički (izgrađen na osnovu statističkih odnosa). Prvi od njih se češće koriste, jer dopuštaju beskonačan broj komponenti i ne uzimaju u obzir slučajne fluktuacije u parametrima vodenog okoliša. Oni su pogodni sa stanovišta interpretacije rezultata [Aizatullin, Lebedev, 1977].

- stohastičko-deterministički, u kojoj se u prvoj fazi traži rješenje na deterministički način, a zatim se metodom statističkih testova modelira varijabilnost različitih parametara i proučava odgovor rješenja na tu varijabilnost.

1.4.3. U zavisnosti na tačnost opisa objekta modeli se mogu podeliti na imitacija (locirani u određenim slivovima ili područjima i razvijeni za specifične istraživačke ciljeve) i kvaliteta (koriste se za razjašnjavanje općih obrazaca razvoja i analize procesa, ponekad se nazivaju i teorijski). IN imitacija modeli nastoje uzeti u obzir maksimalne detalje, i in kvaliteta - minimum (ali najvažniji), stoga je za potonje glavni problem izbor varijabli prioriteta [Smith, 1976].

Prema drugoj klasifikaciji imitacija (aka stohastički) modeli su modeli izgrađeni na osnovu probabilističkih ideja o procesima u objektu istraživanja i omogućavaju simulaciju njegovog ponašanja.

1.4.4. Prema načinu predstavljanja (opisa) prostorne strukture, modeli se dijele na:

- tačka(ili nul-dimenzionalne) sa pauširanim parametrima, u njima se vrijednosti karakteristika stanja uzimaju kao prosjek za cijelu zapreminu vode, tj. vodeno tijelo se smatra tačkom (na primjer, kao prosječna okeanografska stanica).

Glavne faze

Raspraviti i obrazložiti glavne pristupe razvoju problema matematičko modeliranje tehničkih uređaja i procesa u njima, čini se da je preporučljivo prvo razmotriti uslovni dijagram (slika 1.1), koji određuje redoslijed pojedinih faza opće procedure Polazna tačka ove šeme je tehnički objekat(TO), pod kojim podrazumijevamo određeni tehnički uređaj, njegovu jedinicu ili komponentu, sistem uređaja, proces, pojavu ili posebnu situaciju u bilo kojem sistemu ili uređaju.

Rice. 1.1

U prvoj fazi se vrši neformalni prijelaz sa razmatranog (razvijenog ili postojećeg) TO u njegov shema dizajna(PC). Istovremeno, u zavisnosti od smera računarskog eksperimenta i njegovog konačnog cilja, naglašavaju se ona svojstva, uslovi rada i karakteristike tehničke opreme, koje bi, zajedno sa parametrima koji ih karakterišu, trebalo da se odraze na računaru, a , naprotiv, oni se zalažu za pretpostavke i pojednostavljenja koja omogućavaju da se u PC TE ne uzmu u obzir oni kvaliteti, čiji se uticaj pretpostavlja da je beznačajan u predmetu koji se razmatra. Ponekad se izraz koristi umjesto PC model sadržaja* TO, au nekim slučajevima - konceptualni model. U uspostavljenim inženjerskim disciplinama (na primjer, u čvrstoći materijala, elektrotehnici i elektronici), pored deskriptivnih (verbalnih) informacija, razvijene su posebne tehnike i simboli za vizuelno grafičko predstavljanje za karakterizaciju računara. U nizu novih područja tehnološkog razvoja takva simbolika je u fazi formiranja.

Prilikom razvoja nove tehničke opreme, uspješan završetak prve etape u velikoj mjeri zavisi od profesionalnog nivoa inženjera, njegove kreativnosti i intuicije. Potpunost i ispravnost uzimanja u obzir u PC-u svojstava TO, koja su značajna sa stanovišta navedenog cilja studije, glavni su preduslov za dobijanje pouzdanih rezultata matematičkog modeliranja u budućnosti. Suprotno tome, snažna idealizacija TO-a radi dobijanja jednostavnog PC-a može obezvrijediti sve naredne faze studije.

Mora se reći da za neke standardne računare postoje MM banke, što pojednostavljuje drugu fazu. Štaviše, isti MM može odgovarati računarima iz različitih predmetnih oblasti. Međutim, kada razvijamo nove TO-ove, često nije moguće ograničiti se na upotrebu standardnih računara i već izgrađenih MM-ova koji im odgovaraju. Stvaranje novih MM ili modifikacija postojećih treba da se zasniva na dovoljno dubokoj matematičkoj obuci i poznavanju matematike kao univerzalnog jezika nauke.

U trećoj fazi vrši se kvalitativna i evaluativna kvantitativna analiza izgrađenog MM. U ovom slučaju mogu se identifikovati kontradiktornosti, čije će eliminisanje zahtevati pojašnjenje ili reviziju računara (isprekidana linija na slici 1.1). Kvantitativne procjene mogu dati osnov za pojednostavljenje modela isključivanjem iz razmatranja nekih parametara, omjera ili njihovih pojedinačnih komponenti, uprkos činjenici da se u PC-u uzima u obzir utjecaj faktora koje oni opisuju. U većini slučajeva, uzimajući dodatne pretpostavke u odnosu na PC, korisno je konstruirati pojednostavljenu verziju MM koja bi omogućila da se dobije ili koristi poznato tačno rješenje. Ovo rješenje se zatim može koristiti za poređenje prilikom testiranja rezultata u narednim fazama. U nekim slučajevima moguće je konstruisati nekoliko MM za isti TO, koji se razlikuju u različitim nivoima pojednostavljenja. U ovom slučaju govore o MM hijerarhija(grčka riječ dolazi od - sveti i - moć i u ovom slučaju znači poredak MM na osnovu njihove složenosti i potpunost).

Konstrukcija hijerarhije MM povezana je sa različitim detaljima svojstava proučavane TO. Upoređivanje rezultata studija različitih MM može značajno proširiti i obogatiti znanje o ovoj TO. Osim toga, takvo poređenje nam omogućava da procijenimo pouzdanost rezultata naknadnog računskog eksperimenta: ako jednostavniji MM ispravno odražava neka svojstva TO, onda bi rezultati proučavanja ovih svojstava trebali biti bliski rezultatima dobivenim korištenjem potpunijeg i složeni MM.

Rezultat analize u fazi koja se razmatra je utemeljen izbor radnog MM TO, koji je podložan daljoj detaljnoj kvantitativnoj analizi. Uspeh u sprovođenju treće etape po pravilu zavisi od dubine razumevanja veze između pojedinih komponenti MM i svojstava TO, koja se ogleda u njegovom PC, što pretpostavlja organsku kombinaciju znanja matematike i inženjersko znanje u određenoj predmetnoj oblasti.

Četvrta faza se sastoji od razumnog izbora metode za kvantitativnu analizu MM, u razvoju efikasnog algoritma za računarski eksperiment, a peta faza je u kreiranju izvodljivog programa koji implementira ovaj algoritam korišćenjem računarske tehnologije. Za uspješno izvođenje četvrte etape potrebno je posjedovati arsenal savremenih metoda računske matematike, a u slučaju matematičkog modeliranja prilično složenih tehničkih operacija, implementacija pete etape zahtijeva stručno usavršavanje u oblasti kompjuterskog programiranja. .

Rezultati proračuna dobiveni u šestoj fazi (kao rezultat programa) moraju se prije svega testirati upoređivanjem s podacima kvantitativne analize pojednostavljene verzije MM razmatranog TO. Testiranje može otkriti nedostatke i u programu i u algoritmu i zahtijevati izmjenu programa ili modifikaciju i algoritma i programa. Analiza rezultata proračuna i njihova inženjerska interpretacija može zahtijevati prilagođavanje PC-a i odgovarajućeg MM. Nakon otklanjanja svih uočenih nedostataka, trijada “model – algoritam – program” može se koristiti kao radni alat za izvođenje računskog eksperimenta i razvijanje, na osnovu dobijenih kvantitativnih informacija, praktičnih preporuka za poboljšanje održavanja, što čini sadržaj sedmi, završavajući fazu „tehnološkog ciklusa“ matematičkog modeliranja.

Prikazani slijed faza je opći i univerzalan, iako u nekim specifičnim slučajevima može biti malo izmijenjen. Ako se standardni PC i MM mogu koristiti pri razvoju TO, onda nema potrebe za izvođenjem niza koraka, a ako je odgovarajući softverski paket dostupan, proces računskog eksperimenta postaje u velikoj mjeri automatiziran. Međutim, matematičko modeliranje tehničke opreme koja nema bliske prototipove po pravilu je povezano sa izvođenjem svih faza opisanog „tehnološkog ciklusa“.

MATEMATIČKI MODEL

Iz redosleda glavnih faza matematičko modeliranje(vidi sliku 1.1) proizilazi da je odlučujuća uloga u tome matematički model(MM) proučavanog tehnički objekat. Stoga, prije svega, treba obratiti pažnju na osnovna svojstva MM i zahtjeve za njega, kao i na klasifikaciju MM.

2.1. Koncept matematičkog modela

Koncept matematički model(MM), kao i brojni drugi koncepti koji se koriste u matematičko modeliranje, nema strogu formalnu definiciju. Ipak, ovaj koncept ima vrlo specifičan sadržaj s kojim je, posebno, usko povezana primjena matematike u inženjerskoj praksi. Štaviše, takve naučne discipline kao što su mehanika, fizika i njihove brojne grane su, u suštini, uređeni skupovi MM, čiju konstrukciju prati teorijsko opravdanje za adekvatan odraz ovih modela svojstava procesa i pojava koje se razmatraju. . Kroz MM naučne discipline stupaju u interakciju sa matematikom.

Faze razvoja mnogih prirodnonaučnih pravaca u poznavanju zakona prirode i unapređenju tehnologije su izgradnja niza sve preciznijih i potpunijih MM procesa i pojava koje se proučavaju. Međutim, istorija nauke poznaje ne samo slučajeve doslednog usavršavanja jednog ili drugog MM, već i slučajeve napuštanja nekih MM zbog neslaganja između rezultata koje su oni predvideli i stvarnosti.

MM koji odgovara stvarnosti (adekvatan) je po pravilu veliko naučno dostignuće. Omogućava vam da provedete detaljnu studiju objekta koji se proučava i da date pouzdanu prognozu njegovog ponašanja u različitim uvjetima. Ali adekvatnost MM često dolazi po cijenu njegove složenosti, što uzrokuje poteškoće u njegovoj upotrebi. U ovom slučaju, moderna računarska tehnologija dolazi u pomoć matematici, koja je značajno proširila klasu MM-ova koji omogućavaju iscrpnu kvantitativnu analizu.

Isti MM-ovi ponekad nađu potpuno različite aplikacije. Poznato je, na primjer, da se Newtonov zakon privlačenja dviju materijalnih tačaka i zakon interakcije dvaju tačkastih električnih naboja, uz odgovarajući izbor mjernih jedinica fizičkih veličina, mogu izraziti istim formulama. Koristeći isti MM koji sadrži Poissonovu jednačinu

gdje je Laplaceov diferencijalni operator, a tražena i specificirana funkcija položaja tačke u određenom području V, moguće je proučavati ustaljene procese protoka fluida i raspodjele topline, raspodjelu električnog potencijala, deformaciju membrane , mehanička naprezanja tokom torzije grede, filtriranje ulja u naftonosnom sloju ili vlaga u tlu, širenje bilo kakve nečistoće u vazduhu ili epidemija u regionu. U svakom od navedenih problema funkcije dobijaju svoje značenje, ali je njihova povezanost opisana jednačinom (2.1) zajedničkom za ove probleme.

Navedeni primjeri karakteriziraju svojstvo univerzalnost MM. Zahvaljujući ovom svojstvu nastaje „srodstvo“ između različitih grana znanja, što ubrzava njihov zajednički razvoj. Sadržaj Ovo omogućava da se konkretne činjenice iz raznih oblasti znanja posmatraju kao manifestacija ovih koncepata i odnosa među njima, skupa takvih pojmova i odnosa, izraženih pomoću sistema matematičkih simbola i oznaka i koji odražavaju neka svojstva. predmet koji se proučava, zove se. matematički model ovaj objekat. U ovom slučaju, matematika u suštini djeluje kao univerzalni jezik nauke. Francuski matematičar Henri Poincaré (1854-1912) definisao je njenu univerzalnost u samo jednoj rečenici: “Matematika je umjetnost nazivanja različitih stvari istim imenom.”

2.2. Struktura matematičkog modela

U prilično opštem slučaju, proučavano tehnički objekat(TO) se može kvantitativno okarakterizirati vektorima spoljašnje, unutrašnje I izlazni parametri respektivno. Iste fizičke, mehaničke ili informacione karakteristike tehničke opreme u modelima različitih nivoa i sadržaja mogu poslužiti i kao eksterni ili unutrašnji parametri i izlazni parametri.

Na primjer, za elektronsko pojačalo, izlazni parametri su pojačanje, frekvencijski opseg prenošenih signala, ulazni otpor, disipacija snage, vanjski parametri su otpor opterećenja i kapacitivnost, naponi napajanja, temperatura okoline, a unutarnji parametri su otpor otpornika, kapacitivnost kondenzatora , karakteristike tranzistora* 2 . Ali ako posmatramo jedan tranzistor kao TO, onda njegove karakteristike kao što su napon otključavanja i struja kolektora već treba pripisati njegovim izlaznim parametrima, a kao eksterne parametre bit će potrebno uzeti u obzir struje i napone određene elementima pojačala. putovanje s njim.

Prilikom kreiranja TO-a, vrijednosti izlaznih parametara ili rasponi njihovih mogućih promjena specificiraju se u tehničkim specifikacijama za razvoj TO-a, dok vanjski parametri karakteriziraju uvjete njegovog funkcioniranja.

U relativno jednostavnom slučaju matematički model(MM) TO može biti omjer

gdje je vektorska funkcija vektorskog argumenta. Model u obliku (2.2) omogućava jednostavno izračunavanje izlaznih parametara iz navedenih vrijednosti vanjskih i unutrašnjih parametara, tj. rješavaju tzv direktni zadatak. U inženjerskoj praksi, rješavanje direktnog problema se često naziva verifikacijskim proračunom. Prilikom kreiranja TO postoji potreba za rješavanjem složenije tzv inverzni problem: koristeći vrijednosti vanjskih i izlaznih parametara predviđenih tehničkim specifikacijama za dizajn opreme za održavanje, pronađite njene interne parametre. U inženjerskoj praksi rješavanje inverznog problema odgovara takozvanom proračunskom proračunu, često usmjerenom na optimizaciju unutrašnjih parametara prema nekim kriterijum optimalnosti. Međutim, kada se konstruiše MM TO, funkcija u (2.2) obično nije poznata unaprijed i treba je uspostaviti. Ovo je najteža tzv problem identifikacije MM (od latinske riječi identifico - identifikujem, što u ovom slučaju ima značenje "prepoznajem").

Problem identifikacije može se riješiti matematičkom obradom informacija o nizu takvih TO stanja, za svako od kojih su poznate vrijednosti izlaznih, unutrašnjih i vanjskih parametara (na primjer, izmjereno eksperimentalno). Jedna od ovih metoda uključuje korištenje regresione analize. Ako nema informacija o unutrašnjim parametrima ili je unutrašnja struktura TO previše složena, tada se MM takvog TO gradi po principu crna kutija- uspostaviti odnos između eksternih i izlaznih parametara proučavanjem odgovora TO na vanjske utjecaje.

Teorijski način konstruisanja MM je uspostavljanje veze između y, X i g u obliku operator jednačina

L(u(z))=0,(2.3)

Gdje L- neki operator (općenito, nelinearan), O - nulti element prostora u kojem ovaj operator djeluje, z-vektor nezavisnih varijabli, općenito uključujući vremenske i prostorne koordinate, i I- vektor fazne varijable, uključujući one parametre održavanja koji karakterišu njegovo stanje. Ali čak i ako je moguće dobiti rješenje (2.3) i pronaći zavisnost u(z) iz z, onda nije uvijek moguće eksplicitno predstaviti MM TO u odnosu na vektor at oblik (2.2). Dakle, (2.3) je ono što određuje strukturu MM TO u opštem slučaju, a (2.2) je jednostavniji specijalni slučaj takvog modela.

2.3. Osobine matematičkih modela

Iz prethodno rečenog proizilazi da pri proučavanju stvarno postojeće ili zamislivo tehnički objekat(THE) matematičke metode su primijenjene na njega matematički model(MM). Ova aplikacija će biti efikasna ako svojstva MM zadovoljavaju određene zahtjeve. Razmotrimo glavna od ovih svojstava.

Kompletnost MM omogućava nam da u dovoljnoj mjeri odrazimo upravo one karakteristike i karakteristike održavanja koje nas zanimaju sa stanovišta navedene svrhe izvođenja kompjuterski eksperiment. Na primjer, model može prilično u potpunosti opisati procese koji se dešavaju u objektu, ali ne odražava njegove dimenzije, masu ili pokazatelje troškova. Dakle, MM otpornik u obliku dobro poznate formule U = IR zakon Ohm ima svojstvo potpunosti samo sa stanovišta uspostavljanja veze između pada električnog napona U na otporniku, to otpor R i struja koja kroz njega teče sa silom I, ali ne daje nikakve informacije o dimenzijama, težini, otpornosti na toplinu, cijeni i drugim karakteristikama otpornika, u odnosu na koje nije potpun. Napomenimo usput da je u razmatranom MM otpor R otpornik djeluje kao njegov interni parametar, dok ako je dato U, To Iće izlazni parametar, a U- eksterni parametar, i obrnuto.

PreciznostMM omogućava da se osigura prihvatljiva podudarnost realnog i pronađenog pomoću MM vrijednosti izlaznih parametara TO koji čine vektor

Neka je vrijednost i-tog izlaznog parametra pronađenog pomoću MM i stvarna vrijednost. Tada će relativna greška MM u odnosu na ovaj parametar biti jednaka

Kao skalarna vektorska procjena

može se prihvatiti bilo koja od njegovih normi, na primjer

Pošto su izlazni parametri TO-a koji koristi MM povezani sa njegovim eksternim i unutrašnjim parametrima, tj. kao kvantitativna karakteristika tačnosti modela ovog TO-a, zavisiće od koordinata vektora X i y .

Adekvatnost MM- ovo je sposobnost MM da opiše izlazne parametre TO sa relativnom greškom ne većom od određene specificirane vrijednosti . Neka za neke očekivane nominalne vrijednosti vanjskih parametara TO-a čine vektor x nom, Iz uslova minimalnih putanja za rješavanje problema konačno dimenzionalne optimizacije, nalaze se vrijednosti unutrašnjih parametara koji čine vektor g nom i osiguravanje minimalne vrijednosti e min relativne greške MM. Tada, za fiksni vektor δ, možemo konstruisati skup

pozvao oblast adekvatnosti dato MM. Jasno je da je za , i što je veća data vrijednost, širi raspon MM adekvatnosti, tj. ovaj MM je primjenjiv u širem rasponu mogućih promjena vanjskih parametara održavanja.

U širem smislu, adekvatnost MM se shvata kao ispravan kvalitativni i dovoljno tačan kvantitativni opis upravo onih karakteristika TO koje su važne u ovom konkretnom slučaju. Model koji je adekvatan pri izboru nekih karakteristika može biti neadekvatan kada se biraju druge karakteristike istog TO. U nizu primijenjenih oblasti koje još uvijek nisu dovoljno pripremljene za korištenje kvantitativnih matematičkih metoda, MM su uglavnom kvalitativne prirode. Ova situacija je tipična, na primjer, za biološku i socijalnu sferu, u kojoj kvantitativni obrasci ne podliježu uvijek strogoj matematičkoj formalizaciji. U takvim slučajevima, adekvatnost MM se prirodno shvata samo kao ispravan kvalitativni opis ponašanja objekata ili njihovih sistema koji se proučavaju. Isplativost MM procjenjuju se troškovima računarskih resursa (računarsko vrijeme i memorija) potrebnih za implementaciju MM na računar. Ovi troškovi zavise od broja aritmetičkih operacija pri korišćenju modela, od dimenzije prostora faznih varijabli, od karakteristika računara koji se koristi i drugih faktora. Očigledno je da su zahtjevi za efikasnošću, visokom preciznošću i prilično širokim rasponom adekvatnosti MM kontradiktorni i u praksi se mogu zadovoljiti samo na osnovu razumnog kompromisa. Ekonomsko svojstvo MM često se povezuje sa njegovom jednostavnošću. Štaviše, kvantitativna analiza nekih pojednostavljenih verzija MM može se izvršiti bez uključivanja moderne kompjuterske tehnologije. Međutim, njegovi rezultati mogu imati samo ograničenu vrijednost u fazi otklanjanja grešaka u algoritmu ili kompjuterskom programu (vidi 1.2 i sliku 1.1), ako pojednostavljenje MM nije u skladu sa shema proračuna TO.

Robusnost MM(od engleske riječi robust - jak, stabilan) karakterizira njegovu stabilnost u odnosu na greške u izvornim podacima, sposobnost da se te greške izravnaju i spriječi njihov pretjerani utjecaj na rezultat računskog eksperimenta. Razlozi niske robusnosti MM mogu biti potreba u njegovoj kvantitativnoj analizi da se oduzmu približne vrijednosti veličina koje su bliske jedna drugoj ili se podijele s malom vrijednošću veličine, kao i upotreba u MM funkcija koje se mijenjaju. brzo u intervalu u kojem je vrijednost argumenta poznata sa malom preciznošću. Ponekad želja za povećanjem kompletnosti MM dovodi do smanjenja njegove robusnosti zbog uvođenja dodatnih parametara koji su poznati sa malom preciznošću ili su uključeni u previše približne odnose.

Produktivnost MM povezana je sa mogućnošću posjedovanja dovoljno pouzdanih početnih podataka. Ako su rezultat mjerenja, tada bi tačnost njihovog mjerenja trebala biti veća nego za one parametre dobijene pomoću MM. U suprotnom, MM će biti neproduktivan i njegova upotreba za analizu specifičnog TO postaje besmislena. Može se koristiti samo za procjenu karakteristika određene klase opreme sa hipotetičkim početnim podacima.

MM vidljivost je njegovo poželjno, ali opciono svojstvo. Ipak, upotreba MM i njegova modifikacija su pojednostavljene ako njegove komponente (na primjer, pojedinačni članovi jednadžbi) imaju jasno smisleno značenje. Ovo obično omogućava grubo predviđanje rezultata računarskog eksperimenta i olakšava kontrolu njihove ispravnosti.

U budućnosti će gore navedena svojstva MM biti ilustrovana konkretnim primjerima (vidi 3 i 6).

2.4. Strukturno i funkcionalno

Različite karakteristike i simptomi matematički modeli(MM) čine osnovu njihove tipizacije (ili klasifikacije). Među takvim karakteristikama izdvaja se priroda prikazanih svojstava tehnički objekat(TO), stepen njihove detaljnosti, metode dobijanja i prezentacije MM.

Jedna od bitnih karakteristika klasifikacije povezana je sa odrazom u MM određenih karakteristika TO. Ako MM prikazuje TO uređaj i veze između njegovih sastavnih elemenata, tada se poziva strukturni matematički model. Ako MM odražava fizičke, mehaničke, hemijske ili informacione procese koji se dešavaju u TO, onda se klasifikuje kao funkcionalni matematički modeli. Jasno je da mogu postojati i kombinovani MM koji opisuju i funkcionisanje i dizajn TO. Prirodno je nazvati takve MM strukturni i funkcionalni matematički modeli.

Strukturni MM se dijele na topološki I geometrijskičine dva nivoa MM hijerarhija ovaj tip. Prvi odražavaju sastav TO i veze između njegovih elemenata. Preporučljivo je koristiti topološki MM u početnoj fazi proučavanja strukturno složenog TO, koji se sastoji od velikog broja elemenata, prvenstveno da bi se razumio i razjasnio njihov odnos. Takav MM ima oblik grafikoni, tabele, matrice, liste itd., a njegovoj konstrukciji obično prethodi izrada dijagrama tehničke strukture.

Geometrijski MM, pored informacija predstavljenih u topološkom MM, sadrži informacije o obliku i veličini TO-a i njegovih elemenata, te njihovom relativnom položaju. Geometrijski MM obično uključuje skup jednačina linija i površina i algebroloških odnosa koji određuju pripadnost područja prostora tijelu TO ili njegovim elementima. Takav MM je ponekad specificiran koordinatama određenog skupa tačaka, iz kojih se interpolacijom mogu konstruisati linije ili površine koje ograničavaju područje. Granice područja su također određene na kinematički način: linija kao putanja kretanja točke i površina kao rezultat kretanja linije. Moguće je predstaviti oblik i veličinu područja skupom tipičnih fragmenata prilično jednostavne konfiguracije. Ova metoda je tipična, na primjer, za metodu konačnih elemenata, koja se široko koristi u matematičko modeliranje.

Geometrijski MM se koriste u projektovanju održavanja, izradi tehničke dokumentacije i tehnoloških procesa za izradu delova (na primer, na numerički kontrolisanim mašinama).

Funkcionalni MM se sastoje od odnosa koji se povezuju fazne varijable, one. unutrašnje, spoljašnje I izlazni parametri TO. Funkcionisanje složenih TO se često može opisati samo uz pomoć skupa njegovih reakcija na neke poznate (ili date) ulazne uticaje (signale). Ova vrsta funkcionalnog MM je klasifikovana kao crna kutija i obično se zove simulacijski matematički model, imajući u vidu da samo oponaša vanjske manifestacije funkcionisanja TO, a da ne otkriva niti opisuje suštinu procesa koji se u njoj odvijaju. Simulacijski MM se široko koriste u tehničkoj kibernetici, naučnoj oblasti koja proučava upravljačke sisteme za složenu tehničku opremu.

U smislu prezentacijske forme, primjer je simulacija MM algoritamski matematički model, budući da se veza u njemu između eksternih i izlaznih parametara TO može opisati samo u obliku algoritma pogodnog za implementaciju u obliku kompjuterskog programa. Na osnovu toga, šira klasa funkcionalnih i strukturnih MM se klasifikuje kao algoritamska. Ako se veze između parametara TO mogu izraziti u analitičkom obliku, onda govorimo o analitički matematički modeli. Kada konstruišu hijerarhiju MM za isti TO, oni obično nastoje da osiguraju da se pojednostavljena verzija MM (vidi 1.2) predstavi u analitičkom obliku koji omogućava tačno rešenje koje bi se moglo koristiti za poređenje kada se testiraju rezultati dobijeni korišćenjem više potpune i stoga složenije MM opcije.

Jasno je da MM određenog TO-a, u smislu njegovog oblika prezentacije, može uključivati ​​karakteristike i analitičkog i algoritamskog MM. Štaviše, u fazi kvantitativnog istraživanja, prilično složena analitička MM i kompjuterski eksperiment na osnovu njega se razvija algoritam koji se implementira u vidu kompjuterskog programa, tj. u procesu matematičkog modeliranja, analitički MM se pretvara u algoritamski MM.

2.5. Teorijski i empirijski

Po načinu prijema matematički modeli(MM) podijeljeno sa teorijski I empirijski. Prvi se dobijaju kao rezultat proučavanja svojstava tehnički objekat(TO) i procesa koji se u njemu odvijaju, a potonji su rezultat obrade rezultata promatranja vanjskih manifestacija ovih svojstava i procesa. Jedan od načina da se konstruišu empirijski MM je sprovođenje eksperimentalnih studija u vezi sa merenjem fazne varijable TO, te u naknadnoj generalizaciji rezultata ovih mjerenja u algoritamskom obliku ili u obliku analitičkih zavisnosti. Stoga, empirijski MM u obliku reprezentacije može sadržavati karakteristike kao što su algoritamski, tako i analitički matematički model. Dakle, konstrukcija empirijskog MM se svodi na rješavanje problemi identifikacije.

Prilikom konstruiranja teorijskih MM prije svega nastoje koristiti poznate temeljne zakone održanja takvih supstanci kao što su masa, električni naboj, energija, impuls i ugaoni moment. Osim toga, privlače konstitutivni odnosi(takođe se zove jednačine stanja), koje mogu igrati tzv fenomenološki zakoni(Na primjer, Clapeyronova jednadžba- Mendeljejev stanje savršen gas, Ohmov zakon o odnosu između jačine struje u vodiču i pada električnog napona, Hookeov zakon o odnosu između deformacije i mehaničkog naprezanja u linearno elastičnom materijalu, Fourierov zakon o odnosu između gradijenta temperature u tijelu i gustine toplotnog toka, itd.).

Kombinacija teorijskih razmatranja kvalitativne prirode sa obradom rezultata posmatranja spoljašnjih manifestacija svojstava proučavanog TO dovodi do mešovitog tipa MM, tzv. poluempirijski. Prilikom konstruisanja takvih MM koriste se osnovni principi dimenzionalne teorije, uključujući tzv. P-teorem (Pi teorema*): ako između n parametara koji karakterišu predmet koji se proučava, postoji zavisnost koja ima fizičko značenje, tada se ta zavisnost može predstaviti kao zavisnost između = n- To njihove bezdimenzionalne kombinacije, gdje To- broj nezavisnih mjernih jedinica kroz koje se mogu izraziti dimenzije ovih parametara. U isto vreme n određuje broj nezavisnih (koji se međusobno ne mogu izraziti) bezdimenzionalnih kombinacija, koje se obično nazivaju kriterijuma sličnosti.

Objekti za koje su vrijednosti odgovarajućih kriterija sličnosti jednake smatraju se sličnim. Na primjer, bilo koji trokut je jedinstveno određen dužinama a, b i sa njegovih strana, tj. n= 3, a k= 1. Prema tome, prema -teoremi, skup sličnih trouglova može biti specificiran vrijednostima = p - k= 2 kriterijuma sličnosti. Kao takav kriterijum može se izabrati bezdimenzionalni odnos dužina stranica: b /A I s/a ili bilo koja druga nezavisna odnosa. Budući da su uglovi trokuta jedinstveno povezani sa omjerima stranica i bezdimenzionalne su veličine, skup sličnih trokuta može se odrediti jednakošću dva odgovarajuća ugla ili jednakošću ugla i omjerom dužina susjednih trokuta. strane. Sve navedene opcije odgovaraju poznatim karakteristikama sličnosti trouglova.

Za uspješnu primjenu P-teoreme na konstrukciju TO modela, potrebno je imati kompletan skup parametara koji opisuju predmet koji se proučava, a izbor ovih parametara treba biti zasnovan na razumnoj kvalitativnoj analizi tih svojstava i karakteristika. TO, čiji je uticaj značajan u ovom konkretnom slučaju. Napomenimo da je takva analiza neophodna za bilo koju metodu konstruisanja MM, a mi ćemo ovu poziciju ilustrovati primerima.

Primjer 2.1. Razmotrimo dobro poznato shema dizajna matematičko klatno (slika 2.1) u obliku materijalne tačke mase obješene na bestežinski štap konstantne dužine, koja može slobodno rotirati oko horizontalne ose koja prolazi kroz tačku O. Odstupanje klatna za ugao od njegovog vertikalnog položaja

ravnoteža će dovesti do povećanja potencijalne energije materijalne tačke za iznos gdje je ubrzanje slobodnog pada. Ako se, nakon otklona, ​​klatno počne kretati, tada će u nedostatku otpora, zbog zakona održanja energije, vršiti neprigušene oscilacije u odnosu na ravnotežni položaj (tačka A na sl. 2.1). Prilikom prolaska ravnotežnog položaja, brzina v materijalna tačka je najveća po apsolutnoj vrijednosti, budući da je u ovoj poziciji kinetička energija ove tačke jednaka , dakle

Neka bude potrebno instalirati zavisnost period T oscilacija klatno (tj. najkraći vremenski period nakon kojeg se klatno vraća u neki fiksni položaj koji se ne poklapa sa ravnotežnim položajem) na parametrima (parametar v treba isključiti iz razmatranja, jer se može izraziti kroz gore navedene parametre). Dimenzije [.] četiri navedena parametra i period T oscilacija mogu se izraziti kroz k = 3 nezavisne standardne jedinice: [T] = s, [t] = kg, [l]= ms, = 0 I [g] = m/s 2 . Stoga, na osnovu P-teoreme iz n= 5 parametara, mogu se praviti bezdimenzionalne kombinacije, a ugao je jedan od njih, budući da je bezdimenzionalan. Druga bezdimenzionalna kombinacija ne može uključivati ​​masu m materijalna tačka, pošto je jedinica mase (kg) uključena samo u dimenziju mase. Dakle, vrijednost m nije argument za željenu zavisnost, koja se može uspostaviti pri konstruisanju teorijske MM klatna koje se razmatra (videti primer 5.12). Nakon isključivanja parametra m imamo n = 4 i k = 2, tj. opet n = 2, tako da zajedno sa bezdimenzionalnim parametrom ostalo

Primjer 2.3. Neka tok nestišljivog fluida teče oko nepokretnog čvrstog tijela datog oblika, karakteristične veličine i konstantne temperature To (slika 2.3). Brzina v i temperatura Tf > ona tečnosti na visokom nivou (u poređenju sa ja) udaljenost od tijela ostaje konstantna. Neophodan za neki fiksni položaj tijela u odnosu na smjer vektora v brzinu, pronađite količinu toplote Q koja se prenosi u jedinici vremena od tečnosti do tela i zove toplotni tok.

Proces prijenosa topline je lokaliziran na površini tijela i ne zavisi samo od navedenih parametara, već i od volumetrijskog toplotnog kapaciteta With i koeficijent toplotne provodljivosti tečnosti, budući da ovi parametri karakterišu sposobnost tečnosti da snabdeva toplotnu energiju i prenosi je na površinu tela. Opskrba tijela toplotnom energijom zavisi i od raspodjele brzine fluida na njegovoj površini. U slučaju idealne (neviskozne) tekućine, ona je jednoznačno određena fiksnim položajem tijela u odnosu na vektor v, a za viskoznu tekućinu ovisi i o odnosu između sila viskoznosti i inercije, okarakterizirane po koeficijentu viskoznosti , pozvao kinematička i mjereno u m 2 /s.

Uz relativno bliske vrijednosti Tf i To, prirodno je pretpostaviti da protok topline ne ovisi o svakoj od ovih temperatura, već o njihovoj razlici. Zatim u slučaju idealnog fluida imamo n = 6 dimenzionalnih parametara, čije se dimenzije mogu izraziti k = 4 nezavisne standardne jedinice: [l] = m, [v] = m/s,

K, [Q]=J/s=W=n m/s, [c]=J/(m 3 K)=kg/(m s 2 K), =W/(m K)=kg m/( sa 3 K), gdje su J (džul) i W (vat) jedinice za energiju (rad) i snagu, respektivno, a K (kelvin) je jedinica temperature na apsolutnoj skali. Na osnovu P-teoreme, iz ovih parametara moguće je samo sastaviti p = p - k = 2 nezavisne bezdimenzionalne kombinacije, na primjer i . Kao rezultat, dolazimo do funkcionalne zavisnosti

osnovao je 1915. godine J.W. Strutt.

Stav q = Q/S zove se prosječna po površini S površine tijela gustina toplotnog toka i mjereno u W/m2. Budući da za geometrijski slična tijela , onda (2.7) možemo predstaviti u obliku

gde je Ki termički kriterijum Kirpičev, a Pe Pekletov kriterijum. Intenzitet prijenosa topline na površini tijela obično se karakteriše prosjekom koeficijent prolaza toplote - , mjereno u W/(m 2 K). Tada umjesto (2.8) dobijamo

gdje je Nu Nuseltov kriterijum (broj). Oblik funkcije u (2.7)-(2.9) ne može se ustanoviti u okviru teorije dimenzija i mora se odrediti obradom eksperimentalnih rezultata, iako je u nekim jednostavnim slučajevima moguće konstruirati teorijske MM procesa prijenosa topline.

U slučaju viskozne tečnosti imamo n = 7 dimenzionalne parametre, čije se dimenzije još mogu izraziti k = 4 nezavisne mjerne jedinice, tj. broj nezavisnih bezdimenzijskih kombinacija je jednak . Onima o kojima se raspravljalo iznad, trebali biste dodati bilo koju kombinaciju bez dimenzija koja uključuje novi parametar I. Ova kombinacija se može odabrati, na primjer, kao ili . U prvom slučaju se zove Reynoldsov kriterijum (broj) i označimo Re = , a u drugom - Prandtlov kriterijum (broj) i označimo Pr = . Prandtlov kriterijum karakteriše samo svojstva fluida, a Reynoldsov kriterijum karakteriše odnos između inercijalnih sila i sila viskoznog trenja. Kao rezultat, umjesto (2.9) dobijamo

Pošto je Pe = RePr, onda se u slučaju viskoznog fluida Nuseltov kriterijum može predstaviti kao funkcija bilo koja dva od tri argumenta Pe, Re, Pr.

Jasno je da u prisustvu tri ili više bezdimenzionalnih kombinacija parametara, konstrukcija poluempirijskog MM postaje značajno komplikovanija. U ovom slučaju se najčešće izoluje tzv. definisani kriterijum (u primeru 2.3 to je Ki ili Nu), a preostali kriterijumi se klasifikuju kao definitivni i sprovodi se nekoliko serija eksperimentalnih merenja da bi se ustanovila funkcionalna zavisnost definisanog kriterijuma. na dva ili više definirajućih, koji se smatraju argumentima tražene funkcije (u (2.10) to su funkcije ). U svakoj seriji mjerenja dimenzionalni parametri se mijenjaju na način da se mijenja vrijednost samo jednog od definirajućih kriterija. Zatim obrada rezultata takve serije mjerenja omogućava identifikaciju funkcionalne ovisnosti kriterija koji se utvrđuje o jednom od argumenata s fiksnim vrijednostima ostalih. Kao rezultat toga, u određenom rasponu promjena vrijednosti kriterija za definiranje, moguće je konstruirati željenu funkciju sa određenim stupnjem aproksimacije, tj. riješiti problem identifikacije poluempirijskog MM.

Imajte na umu da nam primjena teoreme na analitičke MM, predstavljene u obliku jednačina, omogućava da ih svedemo na bezdimenzionalni oblik i smanjimo broj parametara koji karakteriziraju TM koji se proučava. Ovo pojednostavljuje kvalitativnu analizu i omogućava nam da procenimo uticaj pojedinačnih faktora čak i pre sprovođenja kvantitativne analize (videti D.2.2). Osim toga, bezdimenzionalni oblik MM omogućava da se rezultati njegove kvantitativne analize prikažu u kompaktnijoj formi.

2.6. Karakteristike funkcionalnih modela

Jedna od karakterističnih karakteristika funkcionalni matematički model(MM) je prisustvo ili odsustvo slučajnih varijabli među njegovim parametrima. U prisustvu takvih količina, MM se zove stohastički, a u njihovom odsustvu - deterministički.

Nisu svi parametri stvarni tehničkih objekata(TO) se može okarakterizirati dobro definiranim vrijednostima. Stoga, MM-ove takvih TO-a, striktno govoreći, treba klasifikovati kao stohastičke. Na primjer, ako je predmet koji se proučava je proizvod masovne proizvodnje i njegov interni parametri onda može uzeti nasumične vrijednosti unutar tolerancija utvrđenih u odnosu na nominalne vrijednosti izlazni parametri ONDA će biti slučajne varijable. Vrijednosti također mogu biti nasumične vanjski parametri kada je TO izložen faktorima kao što su udari vjetra, turbulentne pulsacije, signali u pozadini buke, itd.

Za analizu stohastičkih MM potrebno je koristiti metode teorije vjerovatnoće, slučajnih procesa i matematičke statistike. Međutim, glavna poteškoća u njihovoj upotrebi obično je povezana s činjenicom da su vjerovatnoća karakteristike slučajnih varijabli (očekivanja, varijanse, zakoni raspodjele) često nepoznate ili poznate sa malom preciznošću, tj. MM ne zadovoljava zahtjev o MM produktivnost. U takvim slučajevima je efikasnije koristiti MM koji je grublji od stohastičkog, ali i otporniji na nepouzdanost početnih podataka, tj. više zadovoljavaju zahtjeve robusnost.

Bitna karakteristika klasifikacije MM je njihova sposobnost da opišu promjene parametara TO tokom vremena. MM razmjene toplote između tijela i okoline, razmatran u primjeru 2.4, uzima u obzir takvu promjenu i klasificira se kao nestacionarni(ili evolucijski) matematički modeli. Ako MM odražava utjecaj inercijskih svojstava TO, onda se obično naziva dinamičan. Nasuprot tome, naziva se MM, koji ne uzima u obzir promjenu parametara održavanja u vremenu statički. MM razmatrani u primjerima 2.2 i 2.3 su statični. Unatoč kretanju protoka zraka i tekućine koja struji oko profila krila i zagrijanog tijela, svi parametri koji karakteriziraju ove procese ostaju konstantni tokom vremena.

Ako se promjena parametara TO događa tako sporo da se u razmatranom fiksnom trenutku ta promjena može zanemariti, onda govorimo o kvazistatički matematički model. Na primjer, u mehaničkim procesima koji se sporo odvijaju, inercijalne sile se mogu zanemariti, pri maloj brzini promjene temperature - toplinska inercija tijela, a uz sporo promjenjivu jačinu struje u električnom kolu - induktivnost elemenata ovog kola. . Stacionarni matematički modeli opisati održavanje u kojem se vrši tzv uspostavljeni procesi, one. procesi u kojima su izlazni parametri koji nas zanimaju konstantni tokom vremena. Utemeljeni uključuju periodični procesi, u kojoj neki izlazni parametri ostaju nepromijenjeni, dok drugi prolaze kroz fluktuacije. Na primjer, MM matematičkog klatna (vidi primjer 2.1) je stacionaran u odnosu na vremenski nezavisan period I poluopseg oscilacija, iako se materijalna tačka kreće u vremenu u odnosu na svoj ravnotežni položaj.

Ako se izlazni parametri TO-a koji nas zanimaju mijenjaju sporo i u određenom trenutku u razmatranju takva promjena se može zanemariti, onda govorimo o kvazistacionarni matematički model. Prilikom opisivanja nekih procesa, nestacionarni MM se može transformisati u kvazistacionarni odgovarajućim izborom koordinatnog sistema. Na primjer, kod elektrolučnog zavarivanja, temperaturno polje u čeličnim limovima koji se zavaruju u blizini elektrode koja se kreće konstantnom brzinom u stacionarnom koordinatnom sistemu opisuje se nestacionarnim MM, a u pokretnom koordinatnom sistemu koji je povezan sa elektrodu, kvazi-stacionarnim MM.

Važno svojstvo MM sa stanovišta naknadne analize je njegova linearnost. IN Tada su njegovi parametri povezani linearnim odnosima. To znači da kada se promijeni bilo koji vanjski (ili interni) TO parametar, linearni MM predviđa linearnu promjenu izlaznog parametra koja zavisi od njega, a kada se promijene dva ili više parametara, dodaje se njihov utjecaj, tj. takav MM ima svojstvo superpozicije(od latinske riječi superpositio - nametanje). Ako MM nema svojstvo superpozicije, onda se zove nelinearne.

Za kvantitativnu analizu linearnih MM razvijen je veliki broj matematičkih metoda, dok su mogućnosti analize nelinearnih MM uglavnom povezane sa metodama računarske matematike. Da bi se analitičke metode mogle koristiti za proučavanje nelinearnog MM TO, obično se linearizira, tj. nelinearne veze između parametara zamjenjuju se približnim linearnim i tzv linearizovani matematički model smatrana TO. Budući da je linearizacija povezana sa unošenjem dodatnih grešaka, rezultate analize linearizovanog modela treba tretirati sa određenim oprezom. Činjenica je da linearizacija MM može dovesti do gubitka ili značajnog izobličenja stvarnih svojstava TO. Uzimanje u obzir nelinearnih efekata u MM je posebno važno, na primjer, pri opisivanju promjena oblika kretanja ili ravnotežnih položaja vozila, kada male promjene vanjskih parametara mogu uzrokovati kvalitativne promjene u njegovom stanju.

Svaki TO parametar može biti dva tipa - kontinuirano se mijenja u određenom rasponu svojih vrijednosti ili uzima samo neke diskretne vrijednosti. Moguća je i srednja situacija, kada u jednom području parametar uzima sve moguće vrijednosti, au drugom samo diskretne. S tim u vezi ističu kontinuirano, diskretno I mješoviti matematički modeli. U procesu analize, MM-ovi ovih tipova mogu se konvertovati iz jednog u drugi, ali prilikom takve konverzije treba pratiti ispunjenje zahtjeva. adekvatnost MM dotičnu TO.

2.7. Hijerarhija matematičkih modela i oblici njihovog predstavljanja

Kada je matematičko modeliranje prilično složeno tehnički objekat(ONDA) opišite njegovo ponašanje s jednim matematički model(MM), po pravilu, ne uspijeva, a kada bi se takav MM konstruirao, ispao bi previše složen za kvantitativnu analizu. Stoga se takvi TO obično primjenjuju princip dekompozicije. Sastoji se od uslovne podjele TO na zasebne jednostavnije blokove i elemente koji omogućavaju njihovo samostalno proučavanje uz naknadno razmatranje međusobnog utjecaja blokova i elemenata jedan na drugi. Zauzvrat, princip dekompozicije se može primijeniti na svaki odabrani blok do nivoa prilično jednostavnih elemenata. U ovom slučaju postoji MM hijerarhija međusobno povezani blokovi i elementi.

Hijerarhijski nivoi se takođe razlikuju za pojedinačne tipove MM. Na primjer, među strukturni matematički modeli TO je klasifikovan na višem nivou hijerarhije topološki matematički modeli, i na niži nivo, karakteriziran većim detaljima održavanja, - geometrijski matematički modeli.

Među funkcionalni matematički modeli hijerarhijski nivoi odražavaju nivo detalja u opisu procesa koji se dešavaju u tehničkoj opremi, njenim blokovima ili elementima. Sa ove tačke gledišta, obično se razlikuju tri glavna nivoa: mikro-, makro- i meta-nivo.

Matematički modeli mikrorazina opisati procese u sistemima sa distribuiranim parametrima (in kontinualni sistemi), A matematički modeli na makro nivou- u sistemima sa pauširanim parametrima (in diskretni sistemi). U prvom od njih fazne varijable može zavisiti i od vremena i od prostornih koordinata, a drugo - samo od vremena.

Ako je u MM na makro nivou broj faznih varijabli reda 10 4 -10 5 , tada kvantitativna analiza takvog MM postaje glomazna i zahtijeva značajne računske resurse. Osim toga, sa tako velikim brojem faznih varijabli, teško je identificirati bitne karakteristike TO i karakteristike njegovog ponašanja. U ovom slučaju, kombinovanjem i uvećanjem elemenata kompleksnog održavanja, nastoje se smanjiti broj faznih varijabli isključivanjem iz razmatranja interni parametri elemenata, ograničen samo na opis međusobnih veza između uvećanih elemenata. Ovaj pristup je tipičan za matematički modeli na meta-nivou.

MM na meta-nivou se obično nazivaju najvišim nivoom hijerarhije, MM na makro nivou kao srednji nivo, a MM na mikro nivou kao najniži. Najčešći oblik prezentacije dinamički (evolucijski) matematički model mikrorazina je formulacija graničnog problema za diferencijalne jednadžbe matematičke fizike. Ova formulacija uključuje parcijalne diferencijalne jednadžbe i granične uslove. Zauzvrat, granični uslovi sadrže početne uslove - distribuciju željenih faznih varijabli u nekom trenutku vremena, uzetu kao početnu, u prostornom regionu, čija konfiguracija odgovara razmatranom TO ili njegovom elementu - i granične uslove na granicama ove regije. Prilikom predstavljanja MM, preporučljivo je koristiti bezdimenzionalne varijable (nezavisne i tražene) i koeficijente jednačina, smanjujući broj parametara koji karakteriziraju razmatrani TO (vidjeti D.2.2).

Mikro-nivo MM se zove jednodimenzionalni, dvodimenzionalni ili trodimenzionalni, ako tražene fazne varijable zavise od jedne, dvije odnosno tri prostorne koordinate. Posljednje dvije vrste MM su kombinovane u multidimenzionalni matematički modeli na mikro nivou. Jednodimenzionalni MM na mikro nivou, u kojem fazne varijable ne zavise od vremena, predstavljen je kao sistem ODE sa datim graničnim uslovima (u najjednostavnijem slučaju jedne fazne varijable, takav MM uključuje samo jedan ODE i granicu uslovi).

Budući da se granični problem koji sadrži parcijalne diferencijalne jednadžbe i granične uvjete može povezati s integralnom formulacijom, mikrorazina MM također može biti predstavljena u integralnom obliku. Pod određenim uslovima, integralni oblik graničnog problema može se svesti na varijantnu formulaciju u obliku funkcionala, koji se može razmatrati na određenom skupu funkcija koje sadrže željenu funkciju. U ovom slučaju govore o varijacioni oblik modela mikro nivo. Tražena funkcija pretvara varijaciju funkcionala na nulu, tj. je njegov stacionarna tačka.

Konstrukcija funkcionalnog i odgovarajućeg varijacionog oblika modela na mikro nivou obično se zasniva na nekom varijacionom principu mehanike kontinuuma ili elektrodinamike koji je smislen sa fizičke tačke gledišta (na primer, na principu minimalne potencijalne energije kontinualni sistem u ravnotežnom položaju ili na principu minimalnog vremena prolaska svetlosnog snopa između dve tačke optički heterogene sredine). U ovom slučaju, stacionarna tačka funkcije odgovara njenoj ekstremnoj (posebno minimalnoj) vrednosti na dozvoljenom skupu funkcija. Ovaj oblik modela mikro nivoa, tzv ekstremne varijacije, omogućava, uspoređivanjem vrijednosti funkcionala na bilo koje dvije funkcije iz dopuštenog skupa, da se u integralnom smislu procijeni blizina ovih funkcija željenoj. Ovo svojstvo ekstremnog varijacionog oblika modela važno je u kvalitativnoj analizi MM i u poređenju različitih aproksimativnih rješenja odgovarajućeg graničnog problema*.

Ako su zadovoljena određena ograničenja, moguće je izgraditi dualni varijacioni oblik modela mikrorazina, uključujući par funkcija koje dostižu jednake alternativne ekstremne vrijednosti (minimalne i maksimalne) u istoj stacionarnoj točki. Ovaj oblik MM omogućava da se na osnovu razlike u vrijednostima ovih Funkcionala, izračunatih na nekoj funkciji iz dozvoljenog skupa, kvantifikuje greška koja nastaje pri odabiru ove funkcije kao željene.

Glavni oblik dinamičkog (evolucionog) MM na makro nivou su ODE ili njihovi sistemi zajedno sa datim početnim uslovima. Nezavisne varijable u takvim MM će biti vrijeme, a tražene će biti fazne varijable koje karakteriziraju stanje održavanja (na primjer, pomak, brzina i ubrzanje elemenata mehaničkih uređaja, kao i sile i momenti koji se primjenjuju na te elemente; pritisak i brzina protoka tečnosti ili gasa u cevovodu naprezanja i jačine struje u električnim krugovima, itd.); U nekim slučajevima, MM na makro nivou može se predstaviti u integralnom obliku pomoću Hamiltonov princip- Ostrogradsky ili ekstremne varijacije Hamiltonov princip.

Ako je evolucija TO određena njegovim stanjem ne samo u trenutnom trenutku vremena t, već iu nekom prethodnom trenutku t - τ, tada MM na makro nivou uključuje ODE oblika

u odnosu na željenu funkciju u(t). Takve ODE se nazivaju jednadžbe retardiranog i neutralnog tipa, respektivno, i klasificirane su kao diferencijalne funkcionalne jednadžbe*(DFU) (ili diferencijalne jednadžbe sa devijairajućim argumentom). DFU i njihovi sistemi su najšire zastupljeni u MM sistema automatskog upravljanja i regulacije. Osim toga, DFU nalaze primjenu u modelima bioloških i ekonomskih procesa.

Odgođeni odgovor TO-a na promjenu njegovog stanja može se odrediti u više od jednog vremenskog intervala. Tada će DFU uključiti ne jedno, već nekoliko diskretnih kašnjenja. U općenitijem slučaju, kašnjenje može biti kontinuirano u vremenu, što dovodi, na primjer, do linearni matematički model do integro-diferencijalne jednačine(IMU) tip

Specificirana funkcija K(t,r) se naziva jezgrom ovog IMU-a, a smatra se da TO ima pamćenje, budući da njegova evolucija ovisi o cjelokupnoj praistoriji promjena u stanju TO-a.

IN statički matematički model makro nivo ne uključuje vrijeme. Dakle, uključuje samo konačnu (općenito, nelinearnu) jednačinu ili sistem takvih jednačina (posebno sistem linearnih algebarskih jednačina - SLAE). Imaju isti izgled kvazistatički, stacionarni I kvazistacionarni matematički modeli makro nivo.

Ako je za predmetni TO moguće identificirati neko važno svojstvo ili kombinaciju takvih svojstava koja se može kvantificirati (pouzdanost, izdržljivost, težina, cijena, bilo koja od determinanti kvaliteta TO) izlazni parametri) i uspostavi njihovu vezu sa faznim varijablama pomoću realne funkcije, onda možemo govoriti o optimizaciji TO prema kriteriju izraženom ovom funkcijom. Naziva se ciljnom funkcijom, jer njene vrijednosti karakteriziraju mjeru (ili stupanj) postizanja određenog cilja poboljšanja održavanja u skladu s odabranim kriterijem.

Zbog ograničene dostupnosti resursa u realnoj situaciji, smisla imaju samo one ekstremne vrijednosti funkcije cilja koje se postižu u području mogućih promjena faznih varijabli TO, obično ograničenih sistemom nejednakosti. Ove nejednakosti, zajedno sa ciljnom funkcijom i statičkim MM TO u obliku konačne nelinearne jednačine ili sistema takvih jednačina, uključene su u matematičku formulaciju problema optimizacije TO prema odabranom kriteriju, nazvanom (u opšti slučaj) problem nelinearnog programiranja. U posebnom slučaju linearni matematički model TO u obliku SLAE, linearne ciljne funkcije i nejednakosti govore o problemu linearnog programiranja. Takvim problemima se obično pristupa kada se razmatraju problemi tehničkog i ekonomskog sadržaja. Optimizacijski problem održavanja opisan dinamičkim (evolucijskim) MM na makro nivou klasifikovan je kao klasa problema optimalnog upravljanja.

MM na meta-nivou karakterišu iste vrste jednačina kao i MM na makro nivou, ali ove jednačine uključuju fazne varijable koje opisuju stanje uvećanih elemenata složenih tehničkih sistema. Ako se utvrdi zakon kontinuiranog prijelaza TO-a iz jednog stanja u drugo, tada se za analizu MM-ova na meta-nivou često koristi aparat prijenosnih funkcija*, a kada se razmatraju stanja TO-a u diskretnim trenucima vremena, ODE i njihovi sistemi pretvaraju se u jednadžbe razlike u odnosu na vrijednosti faznih varijabli u ovim trenucima vremena. U slučaju diskretnog skupa TO stanja, aparat matematičke logike i konačnih mašina.

Matematički model b je matematički prikaz stvarnosti.

Matematičko modeliranje- proces konstruisanja i proučavanja matematičkih modela.

Sve prirodne i društvene nauke koje koriste matematički aparat u suštini se bave matematičkim modeliranjem: oni zamenjuju stvarni objekat njegovim matematičkim modelom, a zatim ga proučavaju.

Definicije.

Nijedna definicija ne može u potpunosti pokriti stvarnu aktivnost matematičkog modeliranja. Uprkos tome, definicije su korisne jer pokušavaju da istaknu najbitnije karakteristike.

Definicija modela prema A. A. Lyapunovu: Modeliranje je posredno praktično ili teorijsko proučavanje objekta, u kojem nas direktno ne zanima sam objekt, već neki pomoćni umjetni ili prirodni sistem:

nalazi u nekoj objektivnoj korespondenciji sa spoznajnim objektom;

sposoban da ga zameni u određenim aspektima;

koji, kada se proučava, na kraju daje informacije o objektu koji se modelira.

Prema udžbeniku Sovjetova i Jakovljeva: „model je zamjenski objekat za originalni objekt, koji omogućava proučavanje nekih svojstava originala.” “Zamjena jednog objekta drugim kako bi se dobile informacije o najvažnijim svojstvima originalnog objekta pomoću objekta modela naziva se modeliranje.” „Pod matematičkim modeliranjem podrazumijevamo proces uspostavljanja korespondencije između datog stvarnog objekta i nekog matematičkog objekta, koji se naziva matematički model, i proučavanje ovog modela, koji omogućava da se dobiju karakteristike stvarnog objekta u pitanju. Vrsta matematičkog modela zavisi kako od prirode stvarnog objekta, tako i od zadataka proučavanja objekta i zahtevane pouzdanosti i tačnosti rešavanja ovog problema.”

Prema Samarskom i Mihajlovu, matematički model je „ekvivalent” objekta, koji u matematičkom obliku odražava njegova najvažnija svojstva: zakone kojima se povinuje, veze svojstvene njegovim sastavnim delovima, itd. On postoji u trijadama “ model-algoritam-program” . Nakon što je kreirao trijadu „model-algoritam-program“, istraživač dobija univerzalni, fleksibilan i jeftin alat, koji se prvo otklanja i testira u probnim računarskim eksperimentima. Nakon što je utvrđena adekvatnost trijade originalnom objektu, s modelom se izvode različiti i detaljni „eksperimenti“ koji daju sva tražena kvalitativna i kvantitativna svojstva i karakteristike objekta.

Prema Myshkisovoj monografiji: „Pređimo na opštu definiciju. Pretpostavimo da ćemo istražiti neki skup S svojstava realnog objekta a with

koristeći matematiku. Da bismo to uradili, biramo „matematički objekat“ a" - sistem jednačina, ili aritmetičke relacije, ili geometrijske figure, ili kombinaciju oboje, itd. - čije proučavanje pomoću matematike treba da odgovori na postavljena pitanja o svojstva S. U ovim uslovima a" se naziva matematičkim modelom objekta a u odnosu na skup njegovih svojstava S."

Prema Sevostyanovu A.G.: „Matematički model je skup matematičkih odnosa, jednačina, nejednakosti, itd. koji opisuju osnovne obrasce svojstvene procesu, objektu ili sistemu koji se proučava.”

Nešto manje opštu definiciju matematičkog modela, zasnovanu na idealizaciji ulazno-izlaznog stanja pozajmljenoj iz teorije automata, daje Vikirečnik: „Apstraktni matematički prikaz procesa, uređaja ili teorijske ideje; koristi skup varijabli za predstavljanje ulaza, izlaza i internih stanja, te skup jednačina i nejednakosti da opiše njihove interakcije.”

Konačno, najsažetija definicija matematičkog modela je: "Jednačina koja izražava ideju."

Formalna klasifikacija modela.

Formalna klasifikacija modela zasniva se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često se konstruiše u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija:

Linearni ili nelinearni modeli; Koncentrisani ili distribuirani sistemi; Deterministički ili stohastički; Statički ili dinamički; Diskretno ili kontinuirano.

i tako dalje. Svaki konstruisani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički,... Naravno, mogući su i mješoviti tipovi: koncentrirani u jednom pogledu, raspoređeni u drugom itd.

Klasifikacija prema načinu na koji je predmet predstavljen.

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju po načinu na koji predstavljaju objekt:

Strukturni modeli predstavljaju objekat kao sistem sa svojom strukturom i mehanizmom funkcionisanja. Funkcionalni modeli ne koriste takve reprezentacije i odražavaju samo spoljašnje percipirano ponašanje objekta. U svom ekstremnom izrazu, oni se nazivaju i modelima „crne kutije“ Mogući su i kombinovani tipovi modela, koji se ponekad nazivaju i „sivim kutijama“.

Gotovo svi autori koji opisuju proces matematičkog modeliranja ukazuju na to da se prvo gradi posebna idealna struktura, smisleni model. Ovdje nema utvrđene terminologije, a drugi autori ovaj idealni objekt nazivaju konceptualnim modelom, spekulativnim modelom ili predmodelom. U ovom slučaju, konačna matematička konstrukcija naziva se formalni model ili jednostavno matematički model dobijen kao rezultat formalizacije ovog smislenog modela. Konstrukcija smislenog modela može se izvesti pomoću skupa gotovih idealizacija, kao u mehanici, gdje idealne opruge, kruta tijela, idealna klatna, elastični mediji, itd. daju gotove strukturne elemente za smisleno modeliranje. Međutim, u oblastima znanja u kojima ne postoje potpuno završene formalizovane teorije, stvaranje smislenih modela postaje dramatično teže.

Rad R. Peierlsa daje klasifikaciju matematičkih modela koji se koriste u fizici i, šire, u prirodnim naukama. U knjizi A. N. Gorbana i R. G. Khleboprosa ova je klasifikacija analizirana i proširena. Ova klasifikacija je prvenstveno fokusirana na fazu konstruisanja smislenog modela.

Ovi modeli “predstavljaju okvirni opis fenomena, a autor ili vjeruje u njegovu mogućnost ili ga čak smatra istinitim.” Prema R. Peierlsu, to su, na primjer, model Sunčevog sistema prema Ptolomeju i Kopernikanov model, Rutherfordov atomski model i model Velikog praska.

Nijedna hipoteza u nauci ne može se dokazati jednom za svagda. Richard Feynman je ovo vrlo jasno formulirao:

“Uvijek imamo priliku da opovrgnemo teoriju, ali imajte na umu da nikada ne možemo dokazati da je tačna. Pretpostavimo da ste iznijeli uspješnu hipotezu, izračunali kuda ona vodi i ustanovili da su sve njene posljedice eksperimentalno potvrđene. Da li to znači da je vaša teorija tačna? Ne, to jednostavno znači da to niste uspjeli opovrgnuti.”

Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da je on privremeno prepoznat kao istina i da se može koncentrirati na druge probleme. Međutim, to ne može biti poenta istraživanja, već samo privremena pauza: status modela prvog tipa može biti samo privremen.

Fenomenološki model sadrži mehanizam za opisivanje fenomena. Međutim, ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može se dovoljno potvrditi dostupnim podacima ili se ne uklapa dobro sa postojećim teorijama i akumuliranim znanjem o objektu. Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još uvijek nepoznat i da se potraga za “pravim mehanizmima” mora nastaviti. Peierls uključuje, na primjer, kalorijski model i kvarkov model elementarnih čestica kao drugi tip.

Uloga modela u istraživanju se može promijeniti tokom vremena, može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i da se na njih nadograđuju

status hipoteze. Isto tako, nova znanja mogu postepeno doći u sukob sa hipotezama prvog tipa, a mogu se prevesti u drugu. Dakle, model kvarka postepeno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici nastao je kao privremeno rešenje, ali je tokom istorije postao prvi tip. Ali eterski modeli su prošli put od tipa 1 do tipa 2 i sada su izvan nauke.

Ideja pojednostavljivanja je vrlo popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje dolazi u različitim oblicima. Peierls identificira tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Ako je moguće konstruisati jednačine koje opisuju sistem koji se proučava, to ne znači da se one mogu rešiti čak i uz pomoć računara. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je korištenje aproksimacija. Među njima su modeli linearnog odziva. Jednačine se zamjenjuju linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.

Ako koristimo model idealnog plina da opišemo dovoljno razrijeđene plinove, onda je ovo model tipa 3. Pri većim gustinama plina, također je korisno zamisliti jednostavniju situaciju s idealnim plinom za kvalitativno razumijevanje i procjene, ali onda je ovo već ukucaj 4.

U modelu tipa 4, detalji koji mogu značajno i ne uvijek kontrolirano utjecati na rezultat se odbacuju. Iste jednadžbe mogu poslužiti kao model tipa 3 ili 4, ovisno o fenomenu koji se model koristi za proučavanje. Dakle, ako se koriste modeli linearnog odziva u nedostatku složenijih modela, onda su to već fenomenološki linearni modeli i pripadaju sljedećem tipu 4.

Primjeri: primjena modela idealnog plina na neidealan plin, van der Waalsova jednadžba stanja, većina modela fizike čvrstog stanja, tekućine i nuklearne fizike. Put od mikroopisa do svojstava tijela koja se sastoje od velikog broja čestica vrlo je dug. Mnogi detalji se moraju odbaciti. To dovodi do modela tipa 4.

Heuristički model zadržava samo kvalitativnu sličnost sa stvarnošću i predviđa predviđanja samo „po redu veličine“. Tipičan primjer je aproksimacija srednjeg slobodnog puta u kinetičkoj teoriji. On daje jednostavne formule za koeficijente viskoznosti, difuzije i toplotne provodljivosti, koje su u skladu sa realnošću po redu veličine.

Ali kada se gradi nova fizika, nije odmah moguće dobiti model koji daje barem kvalitativni opis objekta - model petog tipa. U ovom slučaju, model se često koristi analogno, odražavajući stvarnost barem u nekim detaljima.

R. Peierls daje istoriju upotrebe analogija u prvom članku W. Heisenberga o prirodi nuklearnih sila. “Ovo se dogodilo nakon otkrića neutrona, i iako je sam W. Heisenberg shvatio da je moguće opisati jezgra koja se sastoje od neutrona i protona, on se još uvijek nije mogao riješiti ideje da se neutron na kraju mora sastojati od protona i protona. elektron. U ovom slučaju je nastala analogija između interakcije u sistemu neutron-proton i interakcije atoma vodika i protona. Upravo ta analogija ga je dovela do zaključka da između neutrona i protona moraju postojati razmjenske sile interakcije, koje su slične silama izmjene u H - H sistemu uzrokovanim prijelazom elektrona između dva protona. ... Kasnije je ipak dokazano postojanje razmjenskih sila interakcije između neutrona i protona, iako one nisu u potpunosti iscrpljene

interakcija između dvije čestice... Ali, slijedeći istu analogiju, W. Heisenberg je došao do zaključka da ne postoje nuklearne sile interakcije između dva protona i da postulira odbijanje između dva neutrona. Oba ova potonja nalaza su u suprotnosti s novijim studijama."

A. Ajnštajn je bio jedan od velikih majstora misaonih eksperimenata. Evo jednog od njegovih eksperimenata. Izumljena je u njegovoj mladosti i na kraju je dovela do izgradnje specijalne teorije relativnosti. Pretpostavimo da se u klasičnoj fizici krećemo iza svjetlosnog vala brzinom svjetlosti. Promatraćemo elektromagnetno polje koje se periodično menja u prostoru i konstantno je u vremenu. Prema Maxwellovim jednačinama, to se ne može dogoditi. Otuda je mladi Ajnštajn zaključio: ili se zakoni prirode menjaju kada se promeni referentni sistem, ili brzina svetlosti ne zavisi od referentnog sistema. Odabrao je drugu - ljepšu opciju. Još jedan poznati Einsteinov misaoni eksperiment je paradoks Einstein-Podolsky-Rosen.

Ovdje dolazi tip 8, koji je široko rasprostranjen u matematičkim modelima bioloških sistema.

Ovo su također misaoni eksperimenti sa imaginarnim entitetima, koji pokazuju da je navodni fenomen u skladu s osnovnim principima i interno konzistentan. To je glavna razlika u odnosu na modele tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije.

Jedan od najpoznatijih takvih eksperimenata je geometrija Lobačevskog. Drugi primjer je masovna proizvodnja formalno kinetičkih modela hemijskih i bioloških vibracija, autotalasa, itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen je zamišljen kao model tipa 7 kako bi se demonstrirala nekonzistentnost kvantne mehanike. Na potpuno neplanski način, na kraju se pretvorio u model tipa 8 – demonstraciju mogućnosti kvantne teleportacije informacija.

Zamislite mehanički sistem koji se sastoji od opruge pričvršćene na jednom kraju i mase m pričvršćene na slobodni kraj opruge. Pretpostavit ćemo da se opterećenje može kretati samo u smjeru ose opruge. Hajde da napravimo matematički model ovog sistema. Stanje sistema ćemo opisati rastojanjem x od centra tereta do njegovog ravnotežnog položaja. Hajde da opišemo interakciju opruge i opterećenja koristeći Hookeov zakon, a zatim koristimo Newtonov drugi zakon da to izrazimo u obliku diferencijalne jednadžbe:

gdje znači drugi izvod od x u odnosu na vrijeme..

Rezultirajuća jednačina opisuje matematički model razmatranog fizičkog sistema. Ovaj model se naziva "harmonički oscilator".

Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamičan, koncentrisan, kontinuiran. U procesu njegove izgradnje napravili smo mnoge pretpostavke koje se u stvarnosti možda neće ispuniti.

U odnosu na stvarnost, najčešće se radi o modelu pojednostavljenja tipa 4, jer su neke bitne univerzalne karakteristike izostavljene. Do neke aproksimacije, takav model prilično dobro opisuje pravi mehanički sistem, jer

odbačeni faktori imaju zanemarljiv uticaj na njeno ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih faktora. To će dovesti do novog modela sa širim rasponom primjene.

Međutim, prilikom usavršavanja modela, složenost njegovog matematičkog istraživanja može se značajno povećati i učiniti model praktično beskorisnim. Često jednostavniji model omogućava bolje i dublje istraživanje stvarnog sistema od složenijeg.

Ako model harmonijskog oscilatora primenimo na objekte daleko od fizike, njegov sadržajni status može biti drugačiji. Na primjer, kada se ovaj model primjenjuje na biološke populacije, najvjerovatnije ga treba klasificirati kao analogiju tipa 6.

Tvrdi i mekani modeli.

Harmonski oscilator je primjer takozvanog “tvrdog” modela. Dobija se kao rezultat snažne idealizacije realnog fizičkog sistema. Da bismo riješili pitanje njegove primjenjivosti, potrebno je razumjeti koliko su značajni faktori koje smo zanemarili. Drugim riječima, potrebno je proučavati “meki” model koji se dobija malim perturbacijom “tvrdog”. Može se dati, na primjer, sljedećom jednadžbom:

Ovdje je određena funkcija koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stepenu njenog rastezanja, ε je neki mali parametar. Eksplicitni oblik funkcije f trenutno nas ne zanima. Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela suštinski ne razlikuje od ponašanja tvrdog, problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. Inače, primjena rezultata dobivenih proučavanjem krutog modela zahtijevat će dodatna istraživanja. Na primjer, rješenje jednadžbe harmonijskog oscilatora je funkcija oblika

Odnosno, oscilacije sa konstantnom amplitudom. Da li iz ovoga slijedi da će pravi oscilator oscilirati neograničeno s konstantnom amplitudom? Ne, jer s obzirom na sistem sa proizvoljno malim trenjem, dobićemo prigušene oscilacije. Ponašanje sistema se kvalitativno promijenilo.

Ako sistem održava svoje kvalitativno ponašanje pod malim poremećajima, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonski oscilator je primjer strukturno nestabilnog sistema. Međutim, ovaj model se može koristiti za proučavanje procesa u ograničenom vremenskom periodu.

Raznovrsnost modela.

Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo univerzalnosti: fundamentalno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na oprugu, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije klatna, fluktuacije u nivou tekućine u posudi u obliku slova U. , ili promjena jačine struje u oscilatornom krugu. Dakle, proučavanjem jednog matematičkog modela, mi odmah proučavamo čitavu klasu fenomena opisanih njime. Upravo je ovaj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima naučnog znanja inspirisao Ludwiga von Bertalanffyja da stvori „Opću teoriju sistema“.

Direktni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo morate smisliti osnovni dijagram modeliranog objekta, reproducirati ga u okviru idealizacije ove nauke. Tako se vagon pretvara u sistem ploča i složeniji

tijela od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija, nakon čega se sastavljaju jednadžbe, usput se neki detalji odbacuju kao nevažni, vrše se proračuni, upoređuju sa mjerenjima, usavršava se model, itd. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je rastaviti ovaj proces na njegove glavne komponente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: direktni i inverzni.

Direktan zadatak: struktura modela i svi njegovi parametri smatraju se poznatim, glavni zadatak je provesti studiju modela kako bi se izvukla korisna znanja o objektu. Koje će statičko opterećenje most izdržati? Kako će reagovati na dinamičko opterećenje, kako će avion savladati zvučnu barijeru, hoće li se raspasti od treperenja - to su tipični primjeri direktnog problema. Postavljanje ispravnog direktnog problema zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postavljaju prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je izgrađen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. godine u Velikoj Britaniji srušio metalni most preko rijeke Tay, čiji su projektanti napravili model mosta, izračunali da ima 20-struku sigurnosnu granicu za djelovanje korisnog tereta, ali su zaboravili na vjetrove stalno duva na tim mestima. I nakon godinu i po dana je propao.

IN U najjednostavnijem slučaju, direktni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednadžbe.

Inverzni problem: poznato je mnogo mogućih modela, potrebno je odabrati određeni model na osnovu dodatnih podataka o objektu. Najčešće je poznata struktura modela i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. Dodatne informacije mogu se sastojati od dodatnih empirijskih podataka ili zahtjeva za objekt. Dodatni podaci mogu stizati nezavisno od procesa rešavanja inverznog problema ili biti rezultat posebno planiranog eksperimenta tokom rešavanja.

Jedan od prvih primjera majstorskog rješenja inverznog problema uz potpunu upotrebu dostupnih podataka bila je metoda koju je konstruirao I. Newton za rekonstrukciju sila trenja iz uočenih prigušenih oscilacija.

IN Drugi primjer je matematička statistika. Zadatak ove nauke je da razvije metode za snimanje, opisivanje i analizu opservacijskih i eksperimentalnih podataka kako bi se izgradili probabilistički modeli masovnih slučajnih pojava. One. skup mogućih modela je ograničen na probabilističke modele. U specifičnim zadacima skup modela je ograničeniji.

Sistemi za kompjutersko modeliranje.

Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su kompjuterski matematički sistemi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućavaju da kreirate formalne i blok modele jednostavnih i složenih procesa i uređaja i lako mijenjate parametre modela tokom modeliranje. Blok modeli su predstavljeni blokovima, čiji je skup i veza određen dijagramom modela.

Dodatni primjeri.

Stopa rasta je proporcionalna trenutnoj veličini populacije. Opisuje se diferencijalnom jednadžbom

gdje je α određeni parametar određen razlikom između nataliteta i stope smrtnosti. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija x = x0 e. Ako stopa nataliteta premašuje stopu smrtnosti, broj stanovnika se povećava neograničeno i vrlo brzo. Jasno je da se to u stvarnosti ne može dogoditi zbog ograničenja

resurse. Kada se dostigne određeni kritični obim populacije, model prestaje da bude adekvatan, jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Rafiniranje Malthusovog modela može biti logistički model, koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom

gdje je xs „ravnotežna“ veličina populacije pri kojoj je stopa nataliteta tačno kompenzirana stopom smrtnosti. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti xs, a ovo ponašanje je strukturno stabilno.

Recimo da na određenom području žive dvije vrste životinja: zečevi i lisice. Neka je broj zečeva x, broj lisica y. Koristeći Malthusov model sa potrebnim amandmanima uzimajući u obzir ishranu zečeva od strane lisica, dolazimo do sljedećeg sistema koji nosi naziv Lotka-Volterra modela:

Ovaj sistem ima ravnotežno stanje kada je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do fluktuacija u broju zečeva i lisica, slično fluktuacijama harmonijskog oscilatora. Kao iu slučaju harmonijskog oscilatora, ovo ponašanje nije strukturno stabilno: mala promjena u modelu može dovesti do kvalitativne promjene ponašanja. Na primjer, stanje ravnoteže može postati stabilno, a fluktuacije u brojevima će izumrijeti. Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od ravnotežnog položaja dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Volterra-Lotka model ne daje odgovor na pitanje koji se od ovih scenarija realizuje: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

vektor izlaznih varijabli, Y=t,

Z je vektor vanjskih utjecaja, Z=t,

t - vremenska koordinata.

Izgradnja matematički model sastoji se u utvrđivanju veza između pojedinih procesa i pojava, stvaranju matematičkog aparata koji omogućava kvantitativno i kvalitativno izražavanje odnosa između pojedinih procesa i pojava, između fizičkih veličina od interesa za specijaliste i faktora koji utiču na konačni rezultat.

Obično ih ima toliko da je nemoguće uvesti cijeli njihov skup u model. Prilikom izgradnje matematički model Prije studije postavlja se zadatak identificirati i isključiti iz razmatranja faktore koji ne utiču značajno na konačni rezultat ( matematički model obično uključuje znatno manji broj faktora nego u stvarnosti). Na osnovu eksperimentalnih podataka postavljaju se hipoteze o odnosu između veličina koje izražavaju konačni rezultat i faktora koji se unose u matematički model. Takva veza se često izražava sistemima diferencijala parcijalne diferencijalne jednadžbe(na primjer, u problemima mehanike čvrstih tijela, tekućina i plinova, teorije filtracije, toplotne provodljivosti, teorije elektrostatičkih i elektrodinamičkih polja).

Krajnji cilj ove faze je formulacija matematičkog problema, čije rješenje, s potrebnom tačnošću, izražava rezultate od interesa za specijaliste.

Forma i principi prezentacije matematički model zavisi od mnogo faktora.

Po principima gradnje matematički modeli podijeljeno na:

1. analitički;
2. imitacija.

U analitičkim modelima, procesi funkcionisanja stvarnih objekata, procesa ili sistema zapisani su u formi eksplicitnog funkcionalne zavisnosti.

Analitički model je podijeljen na tipove ovisno o matematičkom problemu:

1. jednadžbe (algebarske, transcendentalne, diferencijalne, integralne),
2. problemi aproksimacije (interpolacija, ekstrapolacija, numerička integracija I diferencijaciju),
3. problemi optimizacije,
4. stohastički problemi.

Međutim, kako objekt modeliranja postaje složeniji, izgradnja analitičkog modela pretvara se u nerješiv problem. Tada je istraživač primoran da koristi simulacija.

IN simulacijsko modeliranje funkcionisanje objekata, procesa ili sistema opisano je skupom algoritama. Algoritmi simuliraju stvarne elementarne pojave koje čine proces ili sistem dok ih čuvaju logička struktura i redosled dešavanja tokom vremena. Simulacijsko modeliranje omogućava vam da dobijete informacije o izvornim podacima stanja procesa ili sistema u određenim trenucima vremena, ali je ovdje teško predvidjeti ponašanje objekata, procesa ili sistema. Može se reći da simulacijski modeli- izvode se na računaru kompjuterski eksperimenti With matematički modeli, simulirajući ponašanje stvarnih objekata, procesa ili sistema.

U zavisnosti od prirode stvarnih procesa i sistema koji se proučavaju matematički modeli može biti:

1. deterministički,
2. stohastički.

U determinističkim modelima pretpostavlja se da nema slučajnih uticaja, elementi modela (varijable, matematičke veze) su prilično precizno uspostavljeni, a ponašanje sistema se može tačno odrediti. Prilikom konstruisanja determinističkih modela najčešće se koriste algebarske jednadžbe, integralne jednadžbe i matrična algebra.

Stohastički model uzima u obzir slučajnu prirodu procesa u objektima i sistemima koji se proučavaju, što se opisuje metodama teorije vjerovatnoće i matematičke statistike.

Na osnovu vrste ulaznih informacija, modeli se dijele na:

1. kontinuirano,
2. diskretno.

Ako su informacije i parametri kontinuirani, a matematičke veze stabilne, onda je model kontinuiran. I obrnuto, ako su informacije i parametri diskretni, a veze nestabilne, onda matematički model- diskretno.

Na osnovu ponašanja modela tokom vremena, oni se dijele na:

1. statično,
2. dinamičan.

Statički modeli opisuju ponašanje objekta, procesa ili sistema u bilo kojem trenutku. Dinamički modeli odražavaju ponašanje objekta, procesa ili sistema tokom vremena.

Prema stepenu korespondencije između