Ubrzanje proizvoljne tačke krutog tijela koje učestvuje u kretanju u ravnini može se naći kao geometrijski zbir ubrzanja pola i ubrzanja ove tačke u rotacionom kretanju oko pola.

Da bismo dokazali ovaj stav, koristimo teoremu o dodavanju ubrzanja estrusa u složenom kretanju. Hajde da shvatimo. Pomeraćemo koordinatni sistem napred zajedno sa polom (slika 1.15 a). Tada će relativno kretanje biti rotacija oko pola. Dakle, poznato je da je Coriolisovo ubrzanje u slučaju prijenosnog translacijskog kretanja nula

Jer u translatornom kretanju, ubrzanja svih tačaka su identična i jednaka ubrzanju pola, imamo .

Pogodno je predstaviti ubrzanje tačke pri kretanju po krugu kao zbir centripetalne i rotacijske komponente:

.

Dakle

Smjerovi komponenti ubrzanja prikazani su na slici 1.15 a.

Normalna (centripetalna) komponenta relativnog ubrzanja određena je formulom

Njegova vrijednost je jednaka Vektor je usmjeren duž segmenta AB do pola A (centar rotacije oko je).

Rice. 1. 15. Teorema o sabiranju ubrzanja (a) njene posljedice (b)

Tangencijalna (rotaciona) komponenta relativnog ubrzanja određena je formulom

.

Veličina ovog ubrzanja nalazi se kroz ugaono ubrzanje. Vektor je usmjeren okomito na AB u smjeru ugaonog ubrzanja (u smjeru ugaone brzine ako je kretanje ubrzano i u suprotnom smjeru od rotacije ako je kretanje sporo).

Veličina ukupnog relativnog ubrzanja određena je Pitagorinom teoremom:

.

Vektor relativnog ubrzanja bilo koje tačke ravne figure odstupa od prave linije koja povezuje dotičnu tačku sa polom pod uglom određenim formulom

Slika 1.15 b pokazuje da je ovaj ugao isti za sve tačke tijela.

Korolar teoreme ubrzanja.

Krajevi vektora ubrzanja tačaka pravolinijskog segmenta na ravnoj figuri leže na istoj pravoj liniji i dijele je na dijelove proporcionalne udaljenostima između tačaka.

Dokaz ove tvrdnje slijedi iz slike:

.

Metode za određivanje ubrzanja tačaka tijela za vrijeme njegovog kretanja u ravnini identične su odgovarajućim metodama za određivanje brzina.

Instant Acceleration Center

U svakom trenutku u ravnini pokretne figure postoji jedna jedina tačka čije je ubrzanje nula. Ova tačka se zove centar trenutnog ubrzanja (ICC).

Dokaz slijedi iz metode za određivanje položaja ove tačke. Uzmimo tačku A kao pol, pod pretpostavkom da je njeno ubrzanje poznato. Kretanje ravne figure rastavljamo na translacijsko i rotacijsko. Koristeći teorem sabiranja ubrzanja, zapisujemo ubrzanje željene tačke i izjednačavamo ga sa nulom.

Iz toga slijedi da je , tj. relativno ubrzanje tačke Q jednako ubrzanju pola A po veličini i usmjereno je u suprotnom smjeru. To je moguće samo ako su uglovi nagiba relativnog ubrzanja i ubrzanja pola A na pravu liniju koja povezuje tačku Q sa polom A isti.

, , .

Primjeri pronalaženja MCU-a.

Hajde da razmotrimo načine da pronađemo poziciju MCU.

Primjer br. 1: , , su poznati (slika 1.16 a).

Određivanje ugla . Odvajamo ugao u smjeru ugaonog ubrzanja (tj. u smjeru rotacije pri ubrzanoj rotaciji i naspram njega pri sporoj rotaciji), iz smjera poznatog ubrzanja tačke i konstruiramo zrak. Na konstruisanu zraku crtamo segment dužine AQ.

Rice. 1. 16. Primjeri pronalaženja MCU: primjer br. 1 (a), primjer br. 2 (b)

Primjer br. 2. Poznata su ubrzanja dvije tačke A i B: i (slika 1.16 b).

Uzimamo jednu od tačaka sa poznatim ubrzanjem kao pol i geometrijskim konstrukcijama određujemo relativno ubrzanje druge tačke. Mjerenjem nalazimo ugao i pod tim uglom izvlačimo zrake iz poznatih ubrzanja. Tačka presjeka ovih zraka je MCU. Ugao se odlaže od vektora ubrzanja u istom smjeru kao ugao od vektora relativnog ubrzanja do prave linije BA.

Treba napomenuti da su MCS i MCS različite tačke tela, a ubrzanje MCS nije jednako nuli i brzina MCS nije jednaka nuli (slika 1.17).

Rice. 1. 17. Položaj MCC i MCU u slučaju kotrljanja valjka bez klizanja

U slučajevima kada su ubrzanja tačaka paralelna jedna s drugom, mogući su sljedeći posebni slučajevi pronalaženja MCU (slika 1.17)

Rice. 1. 18. Posebni slučajevi pronalaska MCU:
a) ubrzanja dvije tačke su paralelna i jednaka; b) ubrzanja dvije tačke su antiparalelna; c) ubrzanja dvije tačke su paralelna, ali nisu jednaka

STATICS

UVOD U STATIKU

Osnovni pojmovi statike, njihov opseg

Statika je grana mehanike koja proučava uslove ravnoteže materijalnih tijela i uključuje doktrinu sila.

Govoreći o ravnoteži, moramo imati na umu da su „svi mir, sva ravnoteža relativni, imaju smisla samo u odnosu na jedan ili drugi specifičan oblik kretanja“. Na primjer, tijela koja miruju na Zemlji kreću se s njom oko Sunca. Tačnije i tačnije treba govoriti o relativnoj ravnoteži. Uslovi ravnoteže su različiti za čvrsta, tečna i gasovita, deformabilna tela.

Većina inženjerskih konstrukcija može se smatrati niskim deformacijama ili krutim. Apstrakcijom možemo uvesti koncept apsolutno krutog tijela: udaljenosti između tačaka koje se ne mijenjaju tokom vremena.

U statici apsolutno krutog tijela riješit će se dva problema:

· sabiranje sila i dovođenje sistema sila u njegov najjednostavniji oblik;

· određivanje uslova ravnoteže.

Sile imaju drugačiju fizičku prirodu, često nejasne do kraja i u današnje vrijeme. Prateći Njutna, silu ćemo shvatiti kao kvantitativni model, meru interakcije materijalnih tela.

Newtonov model sile određuju tri glavne karakteristike: veličina, smjer djelovanja i tačka njene primjene. Eksperimentalno je utvrđeno da ovako uvedena veličina ima vektorska svojstva. O njima se detaljnije govori u aksiomima statike. U međunarodnom sistemu SI jedinica, koji se koristi u skladu sa GOST-om, jedinica sile je njutn (N). Slika i oznaka sila prikazana je na slici 2.1 a

Skup sila koje djeluju na bilo koje tijelo (ili sistem tijela) naziva se sistem sila.

Tijelo koje nije vezano za druga tijela i koje se može kretati u bilo kojem smjeru naziva se slobodnim.

Sistem sila koji u potpunosti zamjenjuje drugi sistem sila koje djeluju na slobodno tijelo bez promjene stanja kretanja ili mirovanja naziva se ekvivalentnim.

Rice. 2. 1. Osnovni pojmovi o silama

Sistem sila pod čijim se djelovanjem tijelo može mirovati naziva se ekvivalentnim nuli ili uravnoteženim.

Jedna sila koja je ekvivalentna sistemu sila naziva se njena rezultanta. Rezultanta ne postoji uvijek; na primjer, u slučaju prikazanom na slici ne postoji.

Jedna sila, jednaka po veličini rezultanti, ali usmjerena suprotno od nje, naziva se balansiranjem za originalni sistem sila (slika 2.1 b).

Sile koje djeluju između čestica jednog tijela nazivaju se unutrašnjim, a sile koje djeluju iz drugih tijela nazivaju se vanjskim.

Aksiomi statike

Razmatrajući ravno gibanje ravne figure kao zbir translacijskog kretanja, u kojem se sve točke figure kreću ubrzanjem A pol A, a rotacijskim

kretanje oko ovog pola, dobijamo formulu za određivanje ubrzanja bilo koje tačke B ravne figure u obliku

a B =		a A +		aBA =		a A + a BAv +	a BAc .
Evo a						ubrzanje	polovi A; a		Ubrzanje

rotaciono kretanje tačke B oko pola A, koje je, kao i u slučaju rotacije tela oko fiksne ose, vektorsko

sastoji se od rotacijskog ubrzanja a BA in i centralnog

brzo ubrzanje a BA c . Moduli ovih ubrzanja određeni su formulama

modul ugaonog ubrzanja. Rotacijsko ubrzanje a BA in usmjereno je okomito na segment AB prema lučnoj strelici ε, a centripetalno ubrzanje a BA c usmjereno je duž prave AB od tačke B do pola A (slika 12). Modul ukupnog ubrzanja a BA tačke B u odnosu na pol A zbog uslova a BA u BA c izračunava se po formuli

Slika 12. Određivanje ubrzanja tačke B

koristeći stub A.

Da biste pronašli ubrzanje a B koristeći formulu (2.18)

preporučuje se upotreba analitička metoda. U ovoj metodi se uvodi pravougaoni Dekartov koordinatni sistem (sistem Bxy na slici 12) i izračunavaju se projekcije a Bx , a By

željeno ubrzanje kao algebarski zbroj projekcija ubrzanja uključenih u desnu stranu jednakosti (2.18):

(a in

(a c

a cosα

ts;

(a in

(a c

sinα

gdje je α ugao između vektora a A

i Bx os. Prema pronađenim

Opisana metoda za određivanje ubrzanja tačaka ravne figure primjenjiva je na rješavanje zadataka u kojima se specificira kretanje pola A i kut rotacije figure.

jednačine (2.14). Ako je ovisnost kuta rotacije o vremenu nepoznata, tada je za dati položaj figure potrebno odrediti trenutnu kutnu brzinu i trenutno kutno ubrzanje. O metodama za njihovo određivanje dalje se govori u primjerima zadatka 2.

Imajte na umu da se pri određivanju ubrzanja tačaka ravne figure može koristiti centar za trenutno ubrzanje– tačka čije je ubrzanje u datom trenutku nula. Međutim, upotreba trenutnog centra ubrzanja povezana je s prilično radno intenzivnim metodama za pronalaženje njegovog položaja, stoga se preporučuje da se ubrzanja tačaka ravne figure odredi pomoću formule

2.4 Zadatak 2. Određivanje brzina i ubrzanja tačaka ravnog mehanizma

Mehanizmi (vidi str. 5) nazivaju se ravni ako se sve njegove tačke kreću u istim ili paralelnim ravnima, inače se mehanizmi nazivaju prostornim

nym.

IN zadatak 2.1planetarni zupčanici,

u zadatku 2.2 - koljenasti mehanizmi, au zadatku

2.3, pored dva navedena tipa, proučava se kretanje mehanizama drugih tipova. Većina razmotrenih mehanizama jeste mehanizama sa jednim stepenom slobode,

u kojoj je za određivanje kretanja svih karika potrebno postaviti zakon kretanja jedne karike.

Zadatak 2.1

U planetarnom mehanizmu (slika 13), radilica 1 dužine OA = 0,8 (m) rotira oko fiksne ose O, okomito na ravan figure, prema zakonu

ϕ OA (t) = 6t − 2t 2 (rad). U tački A ručica je okretno povezana

sa središtem diska 2 poluprečnika r = 0,5 (m), koji je u unutrašnjem zahvatu sa nepokretnim točkom 3, koaksijalno sa

Crank OA. Na disku 2 u trenutku t 1 = 1 (s) određena je tačka B, čiji je položaj određen rastojanjem AB = 0,5 (m) i uglom α = 135°. (U datom trenutku, ugao α se meri od ose Ax u smeru suprotnom od kazaljke na satu za α > 0 ili u suprotnom smeru za

α < 0).

13. Planetarni mehanizam i način za postavljanje položaja tačke B.

Odredite u trenutku t 1

1) brzina tačke B na dva načina: korišćenjem centra trenutne brzine (IVC) diska 2 i pomoću pola A;

2) ubrzanje tačke B pomoću pola A.

1) Određivanje brzine tačke B.

Prvo morate napraviti grafički prikaz

mehanizam na odabranoj skali (na primjer, 1 cm slike - 0,1 m segmenta OA i polumjera r) i pokažu navedenu poziciju tačke B (slika 14).

Slika 14. Određivanje brzine tačke B pomoću centra trenutne brzine P i pola A.

Prema datom zakonu rotacije radilice OA, nalazimo brzinu centra A diska 2. Određujemo ugaonu brzinu radilice u datom trenutku t 1 = 1 (c):

ω OA = ϕ ! OA = (6 t −				6 − 4 t ;	ω OA (t 1) = 2 (rad/s).

Rezultirajuća vrijednost ω OA (t 1 ) je pozitivna, pa strelicu ω OA usmjeravamo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, odnosno u pozitivnom smjeru ugla ϕ.

Izračunavanje modula brzine

v A = ω OA (t 1 ) OA = 2 0,8 = 1,6 (m/s)

i konstruisati vektor brzine v A okomit na OA u pravcu strelice luka ω OA.

strelica luka ω OA i vektor v A su nacrtani u suprotnom smjeru, a modul se koristi za izračunavanje v A

ω OA (t 1 ) .

Trenutni centar brzina (tačka P) diska 2 nalazi se u tački njegovog kontakta sa točkom 3 (vidi paragraf 5 na str. 34). Odredimo trenutnu kutnu brzinu ω diska iz pronađene vrijednosti brzine v A:

ω = v A / AP = v A / r = 1,6 / 0,5 = 3,2 (rad / s)

a na slici okažite njegovu lučnu strelicu (sl. 14).

Da bismo odredili brzinu tačke B koristeći MCS, nalazimo udaljenost BP koristeći kosinusni teorem od trokuta ABP:

BP = AB2 + AP2 − 2 AB AP cos135 " =

0,5 2 + 0,52 − 2 0,52 (− 2 / 2) ≈ 0,924 (m).

Brzina v B je jednaka po veličini

v B = ω PB = 3,2 0,924 ≈ 2,956 (m/s)

i usmjeren je okomito na segment RV prema lučnoj strelici ω.

Isti vektor v B se može naći pomoću pola A koristeći formulu (2.15): v B = v A + v BA. Pomerimo vektor v A u tačku B i konstruišemo vektor v BA okomito na segment AB i usmereno prema lučnoj strelici ω. Modul

da je ugao između vektora v A i v BA 45°. Zatim pomoću formule (2.16) nalazimo

vB = vA 2 + vBA 2 + 2 vA vBA cos 45 " =

1,6 2 + 1,62 + 2 1,62 ( 2 / 2) ≈ 2,956 (m / s).

Na slici vektor v B mora se poklapati sa dijagonalom paralelograma čije su stranice vektori v A i v BA. Ovo se postiže konstruisanjem vektora v A, v B i v BA u odabranom

na normalnoj skali (na primjer, 1 cm na slici odgovara 0,5 m/s). Imajte na umu da se skale date u razmatranom primjeru mogu mijenjati i dodjeljivati ​​nezavisno.

2). Određivanje ubrzanja tačke B.

Ubrzanje tačke B određuje se formulom (2.18) pomoću pola A, čije je ubrzanje vektorski zbroj tangencijalnog i normalnog ubrzanja:

a B = a A + a BA in + a BA c = a τ A + a A n + a BA in + a BA c.

Koristeći dati zakon rotacije poluge OA, nalazimo njeno ugaono ubrzanje:

ε OA = ω ! OA = (6 − 4t ! ) = − 4 (rad / s 2 ).

Rezultirajuća vrijednost ε OA je negativna, pa usmjeravamo strelicu ε OA u smjeru kazaljke na satu, a zatim

je u negativnom smjeru, te ćemo u daljnjim proračunima ovu vrijednost uzimati po modulu.

Moduli tangencijalnog i normalnog ubrzanja pola A u datom trenutku t 1 nalaze se pomoću formula (2.11):

a τ A = ε OA OA = 4 0,8 = 3,2 (m/s 2 ); a n A = ω OA 2 OA = 22 0,8 = 3,2 (m/s 2 ).

Tangencijalno ubrzanje a τ A usmjereno je okomito na radilicu OA prema lučnoj strelici ε OA, a normalno ubrzanje a A n je od tačke A do tačke O u bilo kojem smjeru ugaone brzine radilice (slika 15). Ukupno ubrzanje a A nije potrebno određivati.

Slika 15. Određivanje ubrzanja tačke B pomoću pola A.

ω = v A / r = ω OA (OA / r).
	po definiciji ugaoni	ubrzanje	disk (ako
OA/r = const) jednako
ε = ω ! =	ω! OA (OA / r) = ε OA (OA / r) = −	4 (0.8 / 0.5) =	− 6,4 (rad/s 2 ).

usmjeravamo ugaonu strelicu ε u smjeru suprotnom od lučne strelice ω.

Izračunajmo module rotacijskih i centripetalnih ubrzanja tačke B u odnosu na pol A koristeći formule

a BAv						AB =	6,4 0,5 = 3,2 (m/s2);
a BAC						2 AB =	3,22 0,5 = 5,12 (m/s2).

Vektor a BA in usmjeren je okomito na segment AB prema

strelica luka ε, a vektor a BA c - od tačke B do pola A

Nalazimo ubrzanje tačke B iz njenih projekcija na osu koordinatnog sistema Axy:

a Bx = (a τ A ) x +					(a An ) x + (a BAv ) x + (a BAs ) x =
	0 − a n A −			a BA u cos 45" +			a BAC	cos 45" =
		3.2 −				/ 2 + 5.12		2 / 2 ≈	− 1,84 (m/s2);
a By = (a τ A ) y +					(a An ) y + (a BAv ) y + (a BAs ) y =
		a τ A +	0 −		a BAv	cos45"	− a BA c cos 45" =
		3.2 −				/ 2 − 5.12		2 / 2 ≈	− 9,08 (m/s2).
Modul a B =		a Bx2			a By2	≈ 9,27 (m/s2).
					ubrzanje		a τ A ,	a A n ,	a BA u , potreban je BA q

oslikati u odabranoj skali i konstruisati vektor a B u istoj skali prema pronađenim projekcijama (sl. 15).

Početni podaci za samostalno izvršavanje zadatka 2.1 dati su u tabeli na str. 44.

				Kinematika krutog tijela
		ϕ OA (t), rad				α, st	t 1 , s
		t2 + 3t
		8t – 3t2
		t2 - 4t
		3t – 2t2
		2t2 - t
		4t – t2
		2t2 - 6t
		2t – 3t2
		3t2 - 4t
		8t – 2t2
		4t2 - 6t
		3t – 4t2
		4t2 - 2t
		6t – t2
		2t2 - 4t
		4t – 3t2
		2t2+t
		4t – 2t2
		3t2 - 10t
		t – 2t2
		3t2 + 2t
		6t – 3t2
		3t2 - 8t
		2t – 4t2

Predavanje 3. Ravnoparalelno kretanje krutog tijela. Određivanje brzina i ubrzanja.

Ovo predavanje pokriva sljedeća pitanja:

1. Ravnoparalelno kretanje krutog tijela.

2. Jednačine ravnoparalelnog kretanja.

3. Dekompozicija kretanja na translacijsko i rotacijsko.

4. Određivanje brzina tačaka ravne figure.

5. Teorema o projekcijama brzina dvije tačke tijela.

6. Određivanje brzina tačaka ravne figure koristeći trenutni centar brzina.

7. Rješavanje zadataka na određivanje brzine.

8. Plan brzine.

9. Određivanje ubrzanja tačaka ravne figure.

10. Rješavanje problema ubrzanja.

11. Centar za trenutno ubrzanje.

Proučavanje ovih pitanja neophodno je u budućnosti za dinamiku ravninskog kretanja krutog tela, dinamiku relativnog kretanja materijalne tačke, za rešavanje zadataka u disciplinama „Teorija mašina i mehanizama” i „Mašinski delovi”. .

Ravnoparalelno kretanje krutog tijela. Jednačine ravnoparalelnog kretanja.

Dekompozicija kretanja na translatorno i rotaciono

Ravnoparalelno (ili ravno) kretanje krutog tijela naziva se takvo da se sve njegove točke kreću paralelno s nekom fiksnom ravninom P(Sl. 28). Ravno gibanje izvode mnogi dijelovi mehanizama i mašina, na primjer kotrljajući točak na ravnom dijelu puta, klipnjača u mehanizmu radilice, itd. Poseban slučaj ravnoparalelnog kretanja je rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose.

Fig.28 Sl.29

Hajde da razmotrimo deo S tela nekog aviona Oxy, paralelno sa ravninom P(Sl. 29). U ravno-paralelnom kretanju, sve tačke tijela leže na pravoj liniji MM', okomito na tok S, odnosno avioni P, kreću se identično.

Odavde zaključujemo da je za proučavanje kretanja cijelog tijela dovoljno proučiti kako se ono kreće u ravnini Ohoo odjeljak S ovo tijelo ili neka ravna figura S. Stoga ćemo u daljem tekstu, umjesto ravnog gibanja tijela, razmatrati kretanje ravne figure S u svojoj ravni, tj. u avionu Ohoo.

Položaj figure S u avionu Ohoo određuje se položajem bilo kojeg segmenta nacrtanog na ovoj slici AB(Sl. 28). Zauzvrat, položaj segmenta AB može se odrediti poznavanjem koordinata x A i y A bodova A i ugao koji je segment AB forme sa osom X. Tačka A, odabran za određivanje položaja figure S, dalje ćemo ga zvati motkom.

Prilikom pomicanja cifre veličine x A i y A i promeniće se. Poznavati zakon kretanja, odnosno položaj figure u ravni Ohoo u svakom trenutku morate znati zavisnosti

Jednačine koje određuju zakon tekućeg kretanja nazivaju se jednadžbama kretanja ravne figure u njenoj ravni. One su takođe jednačine ravnoparalelnog kretanja krutog tela.

Prve dvije jednačine kretanja određuju kretanje koje bi figura napravila ako je =const; ovo će očito biti translacijsko kretanje, u kojem se sve točke figure kreću na isti način kao i pol A. Treća jednačina određuje kretanje koje bi figura napravila ako i , tj. kada je stub A nepomičan; to će biti rotacija figure oko pola A. Iz ovoga možemo zaključiti da se u opštem slučaju kretanje ravne figure u njenoj ravni može smatrati translatornim kretanjem, u kojem se sve tačke figure kreću na isti način kao i pol. A, i od rotacionog kretanja oko ovog pola.

Glavne kinematičke karakteristike kretanja koje se razmatra su brzina i ubrzanje translacionog kretanja, jednake brzini i ubrzanju pola, kao i ugaona brzina i ugaona akceleracija rotacionog kretanja oko pola.

Određivanje brzina tačaka na ravnoj figuri

Primjećeno je da se kretanje ravne figure može smatrati translatornim kretanjem, u kojem se sve točke figure kreću brzinom pola. A, i od rotacionog kretanja oko ovog pola. Pokažimo da je brzina bilo koje tačke M lik je formiran geometrijski od brzina koje tačka prima u svakom od ovih kretanja.

U stvari, pozicija bilo koje tačke M figure su definisane u odnosu na ose Ohoo radijus vektor (slika 30), gdje je radijus vektor pola A, - vektor koji definira poziciju točke M u odnosu na osi koje se kreću sa motkom A translatorno (kretanje figure u odnosu na ove ose je rotacija oko pola A). Onda

Određivanje brzina tačaka na ravnoj figuri

Napomenuto je da se kretanje ravne figure može smatrati kao translatorno kretanje, u kojem se sve tačke figure kreću brzinom. stubovi A, i od rotacionog kretanja oko ovog pola. Pokažimo da je brzina bilo koje tačke M Figura se formira geometrijski od brzina koje tačka prima u svakom od ovih kretanja.

U stvari, pozicija bilo koje tačke M figure su definisane u odnosu na ose Ohoo radijus vektor(Sl. 3), gdje - radijus vektor pola A , - vektor koji definiše poziciju tačke M u odnosu na ose, krećući se sa motkom A translatorno (kretanje figure u odnosu na ove ose je rotacija oko pola A). Onda

U rezultirajućoj jednakosti količinaje brzina motke A; iste veličine jednak brzini , koja tačka M prima na, tj. u odnosu na ose, ili, drugim riječima, kada se figura okreće oko pola A. Dakle, iz prethodne jednakosti to zaista slijedi

Brzina , koja tačka M dobijeno rotiranjem figure oko motke A :

gdje je ω - ugaona brzina figure.

Dakle, brzina bilo koje tačke M ravna figura je geometrijski zbir brzine neke druge tačke A, uzeto kao pol, a brzina koja je tačka M dobijeno rotiranjem figure oko ovog pola. Modul i smjer brzinenalaze se konstruisanjem odgovarajućeg paralelograma (slika 4).

Sl.3Sl.4

Teorema o projekcijama brzina dviju tačaka na tijelu

Određivanje brzina tačaka ravne figure (ili tijela koje se kreće ravnoparalelno) obično uključuje prilično složene proračune. Međutim, moguće je dobiti niz drugih, praktično praktičnijih i jednostavnijih metoda za određivanje brzina tačaka figure (ili tijela).

Sl.5

Jedna od ovih metoda je data teoremom: projekcije brzina dviju tačaka krutog tijela na osu koja prolazi kroz ove tačke su jedna drugoj. Hajde da razmotrimo neke dve tačke A I IN ravna figura (ili tijelo). Uzimam poen A po polu (slika 5), ​​dobijamo. Dakle, projektiranje obje strane jednakosti na os usmjerenu duž AB, i s obzirom da je vektorokomito AB, mi nalazimo

i teorema je dokazana.

Određivanje brzina tačaka na ravnoj figuri koristeći centar trenutne brzine.

Još jedna jednostavna i vizualna metoda za određivanje brzina tačaka ravne figure (ili tijela u ravninskom kretanju) zasniva se na konceptu trenutnog centra brzina.

Centar trenutne brzine je tačka ravne figure čija je brzina u datom trenutku nula.

Lako je to provjeriti ako se figura pomjeri neprogresivno, onda takva tačka u svakom trenutku vremena tpostoji i, štaviše, jedini je. Neka u trenutku t bodova A I IN ravne figure imaju brzinu I , nisu paralelne jedna s drugom (slika 6). Onda pokažite R, koji leži na presjeku okomica Ahh na vektor I IN b na vektor , i od tada će biti centar trenutne brzine. Zaista, ako to pretpostavimo, zatim teoremom o projekciji brzine vektormora biti i okomita i AR(jer) I VR(jer), što je nemoguće. Iz iste teoreme jasno je da nijedna druga tačka figure u ovom trenutku ne može imati brzinu jednaku nuli.

Fig.6

Ako sada u ovom trenutku shvatimo poentu R iza motke, zatim brzinu tačke Aće

jer . Sličan rezultat se dobija za bilo koju drugu tačku na slici. Prema tome, brzine tačaka ravne figure određene su u datom trenutku vremena kao da je kretanje figure rotacija oko trenutnog centra brzina. Gde

Iz jednakosti također slijedi datačke ravne figure su proporcionalne njihovoj udaljenosti od MCS.

Dobijeni rezultati dovode do sljedećih zaključaka.

1. Da biste odredili trenutni centar brzina, trebate znati samo smjerove brzina I neke dve tačke A I IN ravna figura (ili putanja ovih tačaka); Trenutni centar brzina nalazi se u tački presjeka okomica konstruiranih iz tačaka A I IN na brzine ovih tačaka (ili na tangente na trajektorije).

2. Da biste odredili brzinu bilo koje tačke na ravnoj figuri, morate znati veličinu i smjer brzine bilo koje tačke A figure i smjera brzine njegove druge tačke IN. Zatim, vraćanje iz tačaka A I IN okomite na I , konstruirajmo centar trenutne brzine R i u pravcuOdredimo smjer rotacije figure. Nakon ovoga, znajući, hajde da pronađemo brzinubilo koju tačku M ravna figura. Usmjereni vektorokomito RM u smjeru rotacije figure.

3. Ugaona brzinaravne figure jednak je u svakom datom trenutku vremena omjeru brzine bilo koje tačke figure i udaljenosti od trenutnog centra brzina R :

Razmotrimo neke posebne slučajeve određivanja centra trenutne brzine.

a) Ako se ravnoparalelno kretanje vrši kotrljanjem bez klizanja jednog cilindričnog tijela po površini drugog nepokretnog, tada je tačka R kotrljajućeg tijela koje dodiruje stacionarnu površinu (slika 7), u datom trenutku, zbog odsustva klizanja, ima brzinu jednaku nuli (), i stoga je trenutni centar brzina. Primjer je točak koji se kotrlja po šini.

b) Ako su brzine tačaka A I IN ravne figure su paralelne jedna s drugom, a linija AB nije okomito(Sl. 8, a), tada trenutni centar brzina leži u beskonačnosti i brzine svih tačaka su paralelne. Štaviše, iz teoreme o projekcijama brzine slijedi da tj. ; sličan rezultat se dobija za sve ostale tačke. Prema tome, u slučaju koji se razmatra, brzine svih tačaka figure u datom trenutku su jednake jedna drugoj i po veličini i po pravcu, tj. figura ima trenutnu translacijsku distribuciju brzina (ovo stanje kretanja tijela se naziva i trenutno translacijski). Ugaona brzinatijelo u ovom trenutku, naizgled jednako nuli.

Fig.7

Fig.8

c) Ako su brzine tačaka A I IN ravne figure su paralelne jedna s drugom i u isto vrijeme prava AB okomito, zatim centar trenutne brzine R je određena konstrukcijom prikazanom na slici 8, b. Pravednost konstrukcija proizilazi iz proporcije. U ovom slučaju, za razliku od prethodnih, pronaći centar R Osim smjernica, morate znati i module brzine.

d) Ako je vektor brzine poznatneka tačka IN figure i njene ugaone brzine, zatim položaj centra trenutne brzine R, ležeći okomito na(Slika 8, b), može se naći kao.

Rješavanje zadataka na određivanje brzine.

Da bi se odredile potrebne kinematičke karakteristike (ugaona brzina tijela ili brzine njegovih tačaka), potrebno je znati veličinu i smjer brzine bilo koje tačke i smjer brzine druge točke poprečnog presjeka. ovo tijelo. Rješenje treba započeti određivanjem ovih karakteristika na osnovu podataka problema.

Mehanizam čije se kretanje proučava mora biti prikazan na crtežu u položaju za koji je potrebno odrediti odgovarajuće karakteristike. Prilikom izračunavanja, treba imati na umu da se koncept trenutnog centra brzina primjenjuje na dato kruto tijelo. U mehanizmu koji se sastoji od nekoliko tijela, svako netranslacijsko pokretno tijelo ima svoj vlastiti centar trenutne brzine u datom trenutku R i njegovu ugaonu brzinu.

Primjer 1.Tijelo u obliku zavojnice kotrlja se svojim srednjim cilindrom po stacionarnoj ravni tako da(cm). Radijusi cilindra:R= 4 masovni medij r= 2 cm (slika 9). .

Fig.9

Rješenje.Odredimo brzinu tačaka A, B I WITH.

Trenutni centar brzina je u tački kontakta zavojnice sa ravninom.

Speedpole WITH .

Ugaona brzina zavojnice

Tačkaste brzine A I IN su usmjerene okomito na prave segmente koji povezuju ove tačke sa trenutnim centrom brzina. Brzine:

Primjer 2.Radius wheel R= 0,6 m rolne bez klizanja duž pravog dijela staze (slika 9.1); brzina njegovog centra C je konstantna i jednakavc = 12 m/s. Pronađite ugaonu brzinu točka i brzinu krajeva M 1 , M 2 , M 3 , M 4 vertikalna i horizontalna prečnika točkova.

Sl.9.1

Rješenje. Točak vrši ravno-paralelno kretanje. Trenutni centar brzine točka nalazi se u tački M1 kontakta sa horizontalnom ravninom, tj.

Ugaona brzina kotača

Pronađite brzine tačaka M2, M3 i M4

Primjer3 . Pogonski točak automobila radijusa R= 0,5 m rolne sa klizanjem (sa klizanjem) duž pravog dijela autoputa; brzina njegovog centra WITH je konstantan i jednakvc = 4 m/s. Trenutni centar brzina kotača je u tački R na daljinu h = 0,3 m od ravnine kotrljanja. Pronađite ugaonu brzinu točka i brzinu tačaka A I IN njegov vertikalni prečnik.

Sl.9.2

Rješenje.Ugaona brzina kotača

Pronalaženje brzina tačaka A I IN

Primjer 4.Pronađite ugaonu brzinu klipnjače AB i brzinu poena IN i C kolenastog mehanizma (slika 9.3, A). Zadana je ugaona brzina radilice O.A. i veličine: ω OA = 2 s -1, O.A. =AB = 0,36 m, AC= 0,18 m.

A) b)

Sl.9.3

Rješenje. Crank O.A.vrši rotacijski pokret, klipnjača AB- ravnoparalelno kretanje (slika 9.3, b).

Pronalaženje brzine tačke A veza O.A.

Tačkasta brzina IN usmjerena horizontalno. Poznavanje smjera brzina tačaka A I IN klipnjača AB, odrediti položaj njegovog centra trenutne brzine - tačke R AV.

Ugaona brzina veze AB i brzinu poena IN i C:

Primjer 5.Kernel AB klizi svoje krajeve duž međusobno okomitih pravih linija tako da pod uglom brzina (Sl. 10). Dužina štapa AB = l. Odredimo brzinu kraja A i ugaonu brzinu štapa.

Fig.10

Rješenje.Nije teško odrediti smjer vektora brzine tačke A klizanje duž vertikalne prave linije. Ondanalazi se na presjeku okomica i (slika 10).

Ugaona brzina

Tačkasta brzina A :

I brzina centra štapa WITH, na primjer, usmjeren okomito jednak:

Plan brzine.

Neka su poznate brzine nekoliko tačaka ravnog preseka tela (slika 11). Ako se ove brzine nacrtaju na skali od određene tačke O i spojite njihove krajeve pravim linijama, dobićete sliku koja se zove plan brzine. (Na slici) .

Fig.11

Svojstva plana brzine.

a) Stranice trouglova na planu brzina su okomite relevantan pravo na ravan tela.

stvarno, . Ali što se tiče brzina. Sredstva i okomito AB, dakle.Upravo isto.

b) Stranice plana brzina su proporcionalne odgovarajućim ravnim segmentima na ravni tijela.

Jer, onda slijedi da su stranice plana brzina proporcionalne ravnim segmentima na ravni tijela.

Kombinacijom ovih svojstava možemo zaključiti da je plan brzine sličan odgovarajućoj figuri tijela i da je rotiran za 90˚ u odnosu na nju u smjeru rotacije.Ova svojstva plana brzina omogućavaju vam da grafički odredite brzine tačaka tijela.

Primjer 6.Slika 12 prikazuje mehanizam za skaliranje. Poznata ugaona brzina veza OA.

Fig.12

Rješenje.Da bi se napravio plan brzine, brzina jedne tačke i barem smjer vektora brzine druge moraju biti poznati. U našem primjeru možemo odrediti brzinu točke A : i smjer njegovog vektora.

Fig.13

Položite (slika 13) od tačke O u skaliSmjer vektora brzine klizača je poznat IN- horizontalno. Crtamo po planu brzine iz tačke O direktnoIu smjeru brzine, gde treba da se nalazi tačkab, koji određuje brzinu ove tačke IN. Pošto su strane plana brzine okomite na odgovarajuće karike mehanizma, onda iz tačke A nacrtati pravu liniju okomito AB prije raskrsnice sa pravom linijom I. Tačka presjeka će odrediti tačkub, a time i brzina tačke IN : . Prema drugom svojstvu plana brzine, njegove stranice su slične karikama mehanizma. Dot WITH deli AB na pola, što znači With mora podijeliti A bna pola. Dot With odredit će na planu brzine veličinu i smjer brzine(Ako With spojiti na tačku O).

Speedpoints E jednaka je nuli, dakle tačka e na planu brzine poklapa se sa točkom O.

Sledeće.Trebalo bi I . Crtamo ove linije i nalazimo njihovu tačku presekad.Linijski segment O d će odrediti vektor brzine.

Primjer 7.U artikulisanom četvoro-linkOABC pogonska radilicaO.A.cm ravnomjerno rotira oko ose O sa ugaonom brzinomω = 4 s -1 i pomoću klipnjače AB= 20 cm uzrokuje rotaciju poluge Ned oko ose WITH(Sl. 13.1, A). Odredite brzinu tačaka A I IN, kao i ugaone brzine klipnjače AB i ručica Ned.

A) b)

Fig.13.1

Rješenje.Tačkasta brzina A ručica O.A.

Uzimam poen A iza pola, napravimo vektorsku jednačinu

Gdje

Grafičko rješenje ove jednačine dato je na slici 13.1 ,b(brzinski plan).

Koristeći plan brzine koji dobijamo

Ugaona brzina klipnjače AB

Tačkasta brzina IN može se naći pomoću teoreme o projekcijama brzina dviju tačaka tijela na pravu liniju koja ih povezuje

B i ugaona brzina radilice NE

Određivanje ubrzanja tačaka ravne figure

Pokažimo da je ubrzanje bilo koje tačke M ravne figure (kao i brzina) sastoji se od ubrzanja koje tačka prima tokom translacionog i rotacionog kretanja ove figure. Položaj tačke M u odnosu na ose O xy (vidi sliku 30) je određena radijus vektor- ugao između vektorai segment MA(Sl. 14).

Dakle, ubrzanje bilo koje tačke M ravna figura je geometrijski sastavljena od ubrzanja neke druge tačke A, uzeto kao pol, i ubrzanje, što je tačka M dobijeno rotiranjem figure oko ovog pola. Modul i smjer ubrzanja, nalaze se konstruisanjem odgovarajućeg paralelograma (slika 23).

Međutim, računica i ubrzanje neka tačka A ovaj broj u ovom trenutku; 2) putanja neke druge tačke IN figure. U nekim slučajevima, umjesto putanje druge tačke figure, dovoljno je znati položaj trenutnog centra brzina.

Prilikom rješavanja zadataka tijelo (ili mehanizam) mora biti prikazano u položaju za koji je potrebno odrediti ubrzanje odgovarajuće tačke. Proračun počinje određivanjem, na osnovu podataka o problemu, brzine i ubrzanja tačke koja se uzima kao pol.

Plan rješenja (ako su dati brzina i ubrzanje jedne tačke ravne figure i smjer brzine i ubrzanja druge tačke figure):

1) Nađite trenutni centar brzina konstruisanjem okomitih na brzine dve tačke ravne figure.

2) Odrediti trenutnu ugaonu brzinu figure.

3) Određujemo centripetalno ubrzanje tačke oko pola, izjednačavajući nuli zbir projekcija svih članova ubrzanja na osu okomitu na poznati smjer ubrzanja.

4) Pronađite modul rotacijskog ubrzanja izjednačavanjem nule sume projekcija svih članova ubrzanja na osu okomitu na poznati smjer ubrzanja.

5) Odredite trenutno ugaono ubrzanje ravne figure iz pronađenog ubrzanja rotacije.

6) Pronađite ubrzanje tačke na ravnoj figuri koristeći formulu raspodjele ubrzanja.

Prilikom rješavanja problema možete primijeniti "teoremu o projekcijama vektora ubrzanja dvije tačke apsolutno krutog tijela":

„Projekcije vektora ubrzanja dvije tačke apsolutno krutog tijela, koje vrši ravnoparalelno kretanje, na pravu, rotiranu u odnosu na pravu liniju koja prolazi kroz ove dvije tačke, u ravni gibanja ovog tijela pod uglomu smjeru kutnog ubrzanja, jednaki su.”

Ovu teoremu je zgodno primijeniti ako su poznata ubrzanja samo dvije tačke apsolutno krutog tijela, i po veličini i po smjeru, poznati su samo smjerovi vektora ubrzanja drugih tačaka ovog tijela (geometrijske dimenzije tijela nisu poznati), nisu poznati I – prema tome, projekcije vektora ugaone brzine i ugaonog ubrzanja ovog tela na osu okomitu na ravan kretanja, brzine tačaka ovog tela nisu poznate.

Postoje još 3 poznata načina za određivanje ubrzanja tačaka ravne figure:

1) Metoda se zasniva na diferenciranju dva puta u vremenu zakona ravnoparalelnog kretanja apsolutno krutog tijela.

2) Metoda se zasniva na korištenju trenutnog centra ubrzanja apsolutno krutog tijela (o trenutnom centru ubrzanja apsolutno krutog tijela će biti riječi u nastavku).

3) Metoda se zasniva na korištenju plana ubrzanja za apsolutno kruto tijelo.

Pokažimo da je ubrzanje bilo koje tačke M ravne figure (kao i brzina) sastoji se od ubrzanja koje tačka prima tokom translacionog i rotacionog kretanja ove figure. Položaj tačke M u odnosu na ose Oxy(vidi sliku 30) je određen radijus vektorom gdje je . Onda

Na desnoj strani ove jednakosti, prvi član je ubrzanje pola A, a drugi član određuje ubrzanje koje točka m dobije kada se figura okreće oko pola A. dakle,

Vrijednost , kao ubrzanje točke rotirajućeg krutog tijela, definirana je kao

gdje su i ugaona brzina i ugaono ubrzanje figure, i ugao između vektora i segmenta MA(Sl. 41).

Dakle, ubrzanje bilo koje tačke M ravna figura je geometrijski sastavljena od ubrzanja neke druge tačke A, uzeto kao pol, i ubrzanje, što je tačka M dobijeno rotiranjem figure oko ovog pola. Modul i smjer ubrzanja nalaze se konstruiranjem odgovarajućeg paralelograma (slika 23).

Međutim, računanje pomoću paralelograma prikazanog na slici 23 otežava proračun, jer će prvo biti potrebno pronaći vrijednost ugla , a zatim ugao između vektora i . Zbog toga je pri rješavanju problema pogodnije zamijeniti vektor sa svojim tangentnim i normalnim komponentama i predstaviti ga u obliku

U ovom slučaju, vektor je usmjeren okomito AM u smjeru rotacije ako je ubrzan, a protiv rotacije ako je spor; vektor je uvijek usmjeren od tačke M do stupa A(Sl. 42). Brojčano

Ako je stub A ne kreće se pravolinijski, onda se njegovo ubrzanje može predstaviti i kao zbir tangente i normalne komponente, tada

Fig.41 Sl.42

Konačno, kada je tačka M kreće krivolinijsko i njegova putanja je poznata, onda se može zamijeniti zbrojem .

Pitanja za samotestiranje

Koje se kretanje krutog tijela naziva planarno? Navedite primjere karika mehanizama koji izvode kretanje u ravnini.

Koja jednostavna kretanja čine ravno kretanje krutog tijela?

Kako se određuje brzina proizvoljne tačke tijela u kretanju u ravnini?

Koje se kretanje krutog tijela naziva ravnoparalelno?

Složeno kretanje tačke

Ovo predavanje pokriva sljedeća pitanja:

1. Kompleksno kretanje tačke.

2. Relativna, prenosiva i apsolutna kretanja.

3. Teorema adicije brzine.

4. Teorema sabiranja ubrzanja. Coriolisovo ubrzanje.

5. Složeno kretanje krutog tijela.

6. Cilindrični zupčanici.

7. Dodavanje translacijskih i rotacijskih pokreta.

8. Spiralno kretanje.

Proučavanje ovih pitanja neophodno je u budućnosti za dinamiku ravninskog kretanja krutog tela, dinamiku relativnog kretanja materijalne tačke, za rešavanje zadataka u disciplinama „Teorija mašina i mehanizama” i „Mašinski delovi”. .