Rice. 1. Predmeti iz života koji imaju oblik krnjeg konusa

Šta mislite odakle dolaze novi oblici u geometriji? Sve je vrlo jednostavno: čovjek u životu naiđe na slične predmete i smisli im ime. Pogledajmo štand na kojem sjede lavovi u cirkusu, komad šargarepe koji se dobije kada odsiječemo samo dio, aktivni vulkan i, na primjer, svjetlo baterijske lampe (vidi sliku 1).

Rice. 2. Geometrijski oblici

Vidimo da su sve ove figure sličnog oblika - i ispod i iznad su ograničene krugovima, ali se sužavaju prema gore (vidi sliku 2).

Rice. 3. Odsijecanje vrha konusa

Izgleda kao konus. Samo nedostaje vrh. Zamislimo mentalno da uzmemo konus i jednim zamahom oštrog mača odsiječemo mu gornji dio (vidi sliku 3).

Rice. 4. Krnji konus

Rezultat je upravo naša figura, zove se skraćeni konus (vidi sliku 4).

Rice. 5. Presjek paralelan s osnovom konusa

Neka je dat konus. Nacrtajmo ravan paralelnu ravni osnove ovog konusa i koja seče konus (vidi sliku 5).

To će podijeliti konus na dva tijela: jedno od njih je manji konus, a drugo se zove skraćeni konus (vidi sliku 6).

Rice. 6. Dobijena tijela sa paralelnim presjekom

Dakle, skraćeni konus je dio konusa zatvoren između njegove baze i ravni paralelne bazi. Kao i kod konusa, skraćeni konus može imati krug u svojoj osnovi, u kom slučaju se naziva kružnim. Ako je prvobitni konus bio ravan, tada se skraćeni konus naziva ravan. Kao iu slučaju čunjeva, razmatrat ćemo isključivo ravne kružne krnje čunjeve, osim ako nije posebno navedeno da je riječ o indirektnom krnjem konusu ili njegove osnove nisu kružnice.

Rice. 7. Rotacija pravokutnog trapeza

Naša globalna tema su tijela rotacije. Skraćeni konus nije izuzetak! Sjetimo se da smo za dobijanje konusa smatrali pravougli trokut i rotirali ga oko kraka? Ako je rezultirajući konus presječen ravninom paralelnom s bazom, tada će trokut ostati pravokutni trapez. Njegova rotacija oko manje strane će nam dati skraćeni konus. Napomenimo ponovo da je, naravno, riječ samo o ravnom kružnom konusu (vidi sliku 7).

Rice. 8. Osnove krnjeg konusa

Hajde da damo nekoliko komentara. Osnova potpunog konusa i kružnica koja nastaje kao rezultat presjeka stošca ravninom nazivaju se osnovama krnjeg stošca (donja i gornja) (vidi sliku 8).

Rice. 9. Generatori krnjeg konusa

Segmenti generatora potpunog konusa, zatvoreni između osnova krnjeg konusa, nazivaju se generatorima krnjeg konusa. Pošto su svi generatori prvobitnog konusa jednaki i svi generatori odsečenog konusa jednaki, onda su i generatori skraćenog konusa jednaki (ne mešajte odsečeni i odsečeni!). To implicira da je aksijalni presjek trapeza jednakokračan (vidi sliku 9).

Segment ose rotacije zatvoren unutar krnjeg konusa naziva se osa krnjeg konusa. Ovaj segment, naravno, povezuje centre svojih baza (vidi sliku 10).

Rice. 10. Osa krnjeg konusa

Visina skraćenog konusa je okomica povučena iz tačke jedne od osnova na drugu osnovu. Najčešće se visina skraćenog konusa smatra njegovom osom.

Rice. 11. Aksijalni presjek krnjeg konusa

Aksijalni presjek krnjeg konusa je presjek koji prolazi kroz njegovu osu. Ima oblik trapeza, malo kasnije ćemo dokazati da je jednakokračan (vidi sliku 11).

Rice. 12. Konus sa uvedenim oznakama

Nađimo površinu bočne površine skraćenog konusa. Neka osnovice skraćenog konusa imaju poluprečnike i , a generatrisa je jednaka (vidi sliku 12).

Rice. 13. Oznaka generatrise odsječenog konusa

Nađimo površinu bočne površine krnjeg konusa kao razliku između površina bočnih površina originalnog konusa i odsječenog. Da bismo to učinili, označimo sa generatricom odsječenog konusa (vidi sliku 13).

Onda ono što tražite.

Rice. 14. Slični trouglovi

Ostaje samo da se izrazi.

Imajte na umu da iz sličnosti trouglova, odakle (vidi sliku 14).

Bilo bi moguće izraziti , dijeljenjem s razlikom polumjera, ali nam to ne treba, jer se proizvod koji tražimo pojavljuje u željenom izrazu. Zamjena , konačno imamo: .

Sada je lako dobiti formulu za ukupnu površinu. Da biste to učinili, samo dodajte površinu dva kruga baza: .

Rice. 15. Ilustracija za problem

Neka se skraćeni konus dobije rotacijom pravougaonog trapeza oko njegove visine. Srednja linija trapeza je jednaka , a velika bočna strana je jednaka (vidi sliku 15). Pronađite bočnu površinu rezultujućeg skraćenog konusa.

Rješenje

Iz formule to znamo .

Generator konusa će biti veća strana originalnog trapeza, odnosno poluprečnici stošca su osnove trapeza. Ne možemo ih naći. Ali ne treba nam: potreban nam je samo njihov zbir, a zbir osnova trapeza je dvostruko veći od njegove srednje linije, odnosno jednak je . Onda .

Imajte na umu da smo, kada smo govorili o konusu, povukli paralele između njega i piramide - formule su bile slične. I ovdje je isto, jer je krnji stožac vrlo sličan krnjoj piramidi, pa su formule za površine bočnih i ukupnih površina krnjeg konusa i piramide (a uskoro će postojati formule za volumen) slične.

Rice. 1. Ilustracija za problem

Polumjeri baza skraćenog konusa jednaki su i , a generatriksa je jednaka . Pronađite visinu skraćenog konusa i površinu njegovog aksijalnog presjeka (vidi sliku 1).

Definicija. Vrh konusa je tačka (K) iz koje potiču zraci.

Definicija. Baza konusa je ravan formirana presjekom ravne površine i svih zraka koje izlaze iz vrha konusa. Konus može imati baze kao što su krug, elipsa, hiperbola i parabola.

Definicija. Generator konusa(L) je svaki segment koji povezuje vrh stošca sa granicom baze stošca. Generator je segment zraka koji izlazi iz vrha stošca.

Formula. Dužina generatora(L) pravog kružnog konusa kroz poluprečnik R i visinu H (preko Pitagorine teoreme):

Definicija. Vodič konus je kriva koja opisuje konturu osnove konusa.

Definicija. Bočna površina konus je ukupnost svih sastojaka konusa. Odnosno, površina koja nastaje kretanjem generatrikse duž konusne vodilice.

Definicija. Površina Konus se sastoji od bočne površine i osnove konusa.

Definicija. Visina konus (H) je segment koji se proteže od vrha konusa i okomit je na njegovu osnovu.

Definicija. Axis konus (a) je prava linija koja prolazi vrhom konusa i središtem osnove konusa.

Definicija. Konus (C) konus je odnos prečnika osnove konusa i njegove visine. U slučaju krnjeg konusa, ovo je omjer razlike u promjerima poprečnih presjeka D i d krnjeg konusa i udaljenosti između njih: gdje je R polumjer osnove, a H visina konus.

Uzmimo proizvoljan konus i nacrtamo reznu ravan okomitu na njegovu osu (slika 72). Ova ravan se siječe sa konusom u krugu i dijeli ga na dva dijela. Jedan od dijelova je konus, a drugi se naziva krnji konus. Osnova prvobitnog konusa i kružnica dobijena u presjeku ovog konusa ravninom nazivaju se osnove krnjeg konusa, a segment koji povezuje njihove centre je visina krnjeg konusa.

Dio konične površine koji omeđuje krnji konus naziva se bočna površina, a segmenti generatrisa konusne površine, zatvoreni između baza, nazivaju se formirajući skraćeni konus. Svi generatori krnjeg konusa su međusobno jednaki.

Skraćeni konus se može dobiti okretanjem pravokutnog trapeza oko njegove stranice okomito na baze. Na slici je prikazan skraćeni konus dobijen rotacijom pravougaonog trapeza ABCO oko stranice CO okomite na osnovice AO i BC (slika 73). U ovom slučaju, bočna površina nastaje rotacijom bočne stranice AB, a osnova krnjeg konusa rotacijom osnova CB i OA trapeza.

Rice. 73 Fig.74

Nađimo formulu za površinu bočne površine krnjeg konusa, znajući poluprečnike r, r 1 baza i generatricu krnjeg konusa l (slika 74).

Bočna površina krnjeg konusa je razlika između površina velikog i malog konusa formiranog poprečnim presjekom.

Ukupna površina krnjeg stošca jednaka je zbroju površine bočne površine, površine donje osnove i površine gornje baze

Dobiva se kombinovanjem svih zraka koje izlaze iz jedne tačke ( vrhovi konus) i prolazi kroz ravnu površinu. Ponekad je konus dio takvog tijela koji se dobija spajanjem svih segmenata koji povezuju vrh i tačke ravne površine (potonje se u ovom slučaju naziva osnovu konus, a konus se zove oslanjajući se po ovoj osnovi). Ovo je slučaj koji će biti razmotren u nastavku, osim ako nije drugačije navedeno. Ako je osnova konusa poligon, konus postaje piramida.

"== Povezane definicije ==

• Segment koji povezuje vrh i granicu baze naziva se generatrisa konusa.
• Unija generatora konusa se zove generatrix(ili strana) konusna površina. Formirajuća površina konusa je konusna površina.
• Segment koji je spušten okomito iz vrha na ravan baze (kao i dužina takvog segmenta) naziva se visina konusa.
• Ako osnova stošca ima centar simetrije (na primjer, to je krug ili elipsa) i ortogonalna projekcija vrha stošca na ravan baze poklapa se s tim centrom, tada se konus naziva direktno. U ovom slučaju naziva se ravna linija koja povezuje vrh i centar baze konus osi.
• Kosi (skloni) konus - konus čija se ortogonalna projekcija temena na bazu ne poklapa sa njegovim centrom simetrije.
• Kružni konus- konus čija je osnova kružnica.
• Pravi kružni konus(često se jednostavno naziva konus) može se dobiti rotiranjem pravokutnog trokuta oko linije koja sadrži krak (ova linija predstavlja os konusa).
• Konus koji počiva na elipsi, paraboli ili hiperboli naziva se respektivno eliptični, parabolic I hiperbolički konus(poslednja dva imaju beskonačan volumen).
• Dio stošca koji leži između baze i ravni paralelne bazi i koji se nalazi između vrha i baze naziva se skraćeni konus.

Svojstva

• Ako je površina baze konačna, tada je i volumen konusa konačan i jednak jednoj trećini proizvoda visine i površine baze. Dakle, svi stošci koji počivaju na datoj osnovi i imaju vrh koji se nalazi na datoj ravni paralelnoj bazi imaju jednak volumen, jer su im visine jednake.
• Težište bilo kog stošca sa konačnim volumenom nalazi se na četvrtini visine od baze.
• Čvrsti ugao na vrhu pravog kružnog konusa jednak je

Gdje - ugao otvaranja konus (to jest, udvostručiti ugao između ose konusa i bilo koje prave linije na njegovoj bočnoj površini).

• Bočna površina takvog konusa jednaka je

gdje je polumjer baze, je dužina generatrise.

• Zapremina kružnog konusa je jednaka

• Presjek ravni s pravim kružnim konusom je jedan od konusnih presjeka (u nedegeneriranim slučajevima - elipsa, parabola ili hiperbola, ovisno o položaju rezne ravnine).

Generalizacije

U algebarskoj geometriji konus je proizvoljan podskup vektorskog prostora nad poljem, za koji je za bilo koji

Vidi također

• konus (topologija)

Wikimedia fondacija.

2010.

Pogledajte šta je "ravni kružni konus" u drugim rječnicima:

Pravi kružni konus. Direktno i... Wikipedia

Desni kružni konus Konus je tijelo dobiveno spajanjem svih zraka koje izlaze iz jedne tačke (vrh konusa) i prolaze kroz ravnu površinu. Ponekad je konus dio takvog tijela koji se dobija spajanjem svih segmenata koji povezuju ... Wikipedia Konus - Pravi kružni konus. KONUS (od latinskog conus, od grč. konos konus), geometrijsko tijelo omeđeno okruglom konusnom površinom i ravninom koja ne prolazi kroz vrh konične površine. Ako vrh leži na ... ...

Ilustrovani enciklopedijski rječnik - (latinski conus; grčki konos). Tijelo ograničeno površinom formiranom inverzijom prave linije, čiji je jedan kraj nepomičan (vrh konusa), a drugi se kreće duž obima date krive; izgleda kao vekna šećera. Rečnik stranih reči, ... ...

Rečnik stranih reči ruskog jezika- (1) u elementarnoj geometriji, geometrijsko tijelo ograničeno površinom formiranom kretanjem prave linije (koja stvara konus) kroz fiksnu tačku (vrh konusa) duž vodilice (osnova konusa). Formirana površina je zatvorena između... Velika politehnička enciklopedija

- (ravno kružno) geometrijsko tijelo formirano rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne od kateta. Hipotenuza se naziva generator; fiksna visina nogu; krug opisan rotirajućom nogom sa bazom. Bočna površina K....... Enciklopedija Brockhausa i Efrona

- (ravno kružno K.) geometrijsko tijelo nastalo rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne od kateta. Hipotenuza se naziva generator; fiksna visina nogu; krug opisan rotirajućom nogom sa bazom. Bočna površina...

- (ravno kružno) geometrijsko tijelo formirano rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne od kateta. Hipotenuza se naziva generator; fiksna visina nogu; krug opisan rotirajućom nogom sa bazom. Bočna površina K... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

- (latinski conus, od grčkog konos) (matematika), 1) K., ili konusna površina, geometrijski lokus pravih (generatora) prostora koji povezuje sve tačke određene prave (vodiče) sa datom tačkom (vrhom) prostora.... Velika sovjetska enciklopedija

Konus (od grčkog "konos")- šišarka. Konus je poznat ljudima od davnina. Godine 1906. otkrivena je knjiga “O metodi”, koju je napisao Arhimed (287-212. p. n. e.), koja daje rješenje za problem zapremine zajedničkog dijela cilindara koji se ukrštaju. Arhimed kaže da ovo otkriće pripada starogrčkom filozofu Demokritu (470-380 pne), koji je, koristeći ovaj princip, dobio formule za izračunavanje zapremine piramide i konusa.

Konus (kružni konus) je tijelo koje se sastoji od kružnice - osnove stošca, tačke koja ne pripada ravni ove kružnice - vrha stošca i svih segmenata koji povezuju vrh stošca i tačaka osnovni krug. Segmenti koji spajaju vrh konusa sa tačkama osnovne kružnice nazivaju se generatori konusa. Površina konusa se sastoji od baze i bočne površine.

Konus se naziva pravim ako je prava linija koja spaja vrh konusa sa središtem osnove okomita na ravan osnove. Pravi kružni konus se može smatrati tijelom dobivenim rotiranjem pravokutnog trokuta oko svoje noge kao ose.

Visina konusa je okomica koja se spušta od njegovog vrha do ravni baze. Za pravi konus, osnova visine poklapa se sa središtem baze. Osa pravog konusa je prava linija koja sadrži njegovu visinu.

Presjek konusa ravninom koja prolazi kroz tvornicu stošca i okomita na aksijalni presjek povučen kroz ovu generatricu naziva se tangentna ravan konusa.

Ravan okomita na os konusa siječe konus u kružnici, a bočna površina siječe kružnicu sa središtem na osi konusa.

Ravan okomita na osu konusa odsijeca manji konus od njega. Preostali dio naziva se skraćeni konus.

Zapremina konusa jednaka je jednoj trećini proizvoda visine i površine baze. Dakle, svi stošci koji počivaju na datoj osnovi i imaju vrh koji se nalazi na datoj ravni paralelnoj bazi imaju jednak volumen, jer su im visine jednake.

Bočna površina stošca može se pronaći pomoću formule:

S strana = πRl,

Ukupna površina stošca nalazi se po formuli:

S con = πRl + πR 2,

gdje je R polumjer baze, l je dužina generatrise.

Zapremina kružnog konusa je jednaka

V = 1/3 πR 2 H,

gdje je R polumjer osnove, H je visina konusa

Bočna površina krnjeg konusa može se pronaći pomoću formule:

S strana = π(R + r)l,

Ukupna površina krnjeg stošca može se pronaći pomoću formule:

S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

gdje je R radijus donje baze, r je polumjer gornje baze, l je dužina generatrise.

Volumen skraćenog konusa može se naći na sljedeći način:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

gdje je R radijus donje baze, r je polumjer gornje baze, H je visina konusa.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.