Наибольшее и наименьшее значения
Функция, ограниченная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области.
Для нахождения наибольшего или наименьшего значений функции необходимо:
1. Найти стационарные точки, лежащие внутри данной области, и вычислить в них значение функции.
2. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области.
3. Сравнить все полученные значения функции: самые большее (меньшее) и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в данной области.
Пример 2 . Найти наибольшее (наименьшее) значение функции: в круге .
Решение .
точка стационарная; .
2 .Границей данной замкнутой области является окружность или , где .
Функция на границе области становится функцией одной переменной: , где . Найдем наибольшее и наименьшее значения этой функции.
При x=0 ; (0,-3) и (0,3)- критические точки.
Вычислим значения функции на концах отрезка
3 . Сравнивая между собой значения получаем,
В точках Aи B.
В точках C и D.
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, заданной неравенством:
Решение . Область представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой x+y=1.
1. Находим стационарные точки внутри области:
; ; у = - 1/ 8 ; х = 1/ 8.
Стационарная точка не принадлежит рассматриваемой области, поэтому значение z в ней не вычисляем.
2 .Исследуем функцию на границе. Так как граница состоит из трех участков, описанных тремя разными уравнениями, то исследуем функцию на каждом участке отдельно:
а ) на участке 0A: y=0- уравнение 0A, тогда ; из уравнения видно, что функция возрастает на 0A от 0 до 1. Значит .
б ) на участке 0B: x=0 - уравнение 0B, тогда ; –6y+1=0; - критическая точка.
в ) на прямой x+y = 1: y=1-x, тогда получим функцию
Вычислим значение функции z в точке B(0,1).
3 .Сравнивая числа получаем, что
На прямой AB.
В точке B.
Тесты для самоконтроля знаний.
1 . Экстремум функции - это
а) ее производные первого порядка
б) ее уравнение
в) ее график
г) ее максимум или минимум
2. Экстремум функции нескольких переменных может достигаться:
а) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка больше нуля
б) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка меньше нуля
в) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка не равны нулю
г) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка равны нулю
3. Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений:
а) в стационарных точках
б) или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области
в) в точках, лежащих на границе области
г) во всех точках
4. Стационарными точками для функции нескольких переменных называются точки:
а) в которых все частные производные первого порядка не равны нулю
б) в которых все частные производные первого порядка больше нуля
в) в которых все частные производные первого порядка равны нулю
г) в которых все частные производные первого порядка меньше нуля
§ Экстремумы, Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных - страница №1/1
§ 8. Экстремумы, Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных.
1. Экстремумы функций нескольких переменных.
плоскости
,
– точка этой области.
Точка
называется точкой максимума
функции
, если для любой точки
выполняется неравенство
.
Аналогично точка
называется точкой минимума
функции
, если для любой точки
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство
.
Замечания
. 1) По смыслу определений функция
должна быть определена в некоторой окрестности точки
. Т.е. точкой максимума и точкой минимума функции
могут быть только внутренние точки области
.
2) Если существует окрестность точки
, в которой для любой точки
отличной от
выполняется неравенство
(
), то точку
называют точкой строгого максимума
(соответственно точкой строгого минимума
) функции
. В связи с этим, определенные выше точки максимума и минимума называют иногда точками нестрого максимума и минимума.
Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума . Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумами и минимумами , или, короче, экстремумами этой функции.
Понятия экстремумов носят локальный характер: значение функции в точке
сравнивается со значениями функции в достаточно близких точках. В данной области функция может совсем не иметь экстремумов, а может иметь несколько минимумов, несколько максимумов и даже бесчисленное множество и тех и других. При этом некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых ее максимумов. Не следует смешивать максимумы и минимумы функции с ее наибольшим и наименьшим значениями.
Найдем необходимое условие экстремума. Пусть, например,
– точка максимума функции
. Тогда по определению существует gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-окрестность точки
такая, что
для любой точки
из этой окрестности. В частности,
(1)
где
,
, и
(2)
где
,
. Но (1) означает, что функция одной переменной
имеет в точке максимум или является на интервале
постоянной. Следовательно,
или
– не существует,
⇒
или
– не существует.
Аналогично из (2) получаем, что
или
– не существует.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 8.1. (необходимые условия экстремума). Если функция
в точке
имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из этих частных производных не существует.
Геометрически теорема 8.1 означает, что если
– точка экстремума функции
, то касательная плоскость к графику этой функции в точке либо параллельна плоскости
, либо вообще не существует. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, как найти уравнение касательной плоскости к поверхности (см. формулу (4.6)).
Точки, удовлетворяющие условиям теоремы 8.1, называются критическими точками
функции
. Также как и для функции одной переменной, необходимые условия экстремума не является достаточным. Т.е. не всякая критическая точка функции будет ее точкой экстремума.
ПРИМЕР.
Рассмотрим функцию
. Точка
является для этой функции критической, так как в этой точке обе ее частные производные первого порядка
и
равны нулю. Однако она не будет точкой экстремума. Действительно,
, но в любой окрестности точки
есть точки, в которых функция принимает положительные значения и точки, в которых функция принимает отрицательные значения. В этом легко убедиться, если построить график функции – гиперболический параболоид.
Для функции двух переменных наиболее удобные достаточные условия дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 8.2. (достаточные условия экстремума функции двух переменных). Пусть
– критическая точка функции
и в некоторой окрестности точки
функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим
,
,
.
Тогда 1) если
, то точка
не является точкой экстремума;
Если с помощью теоремы 8.2 исследовать критическую точку
не удалось (т.е. если
или функция вообще не имеет в окрестности точки
непрерывных частных производных нужного порядка), ответ на вопрос о наличии в точке
экстремума даст знак приращения функции в этой точке.
Действительно, из определения следует, что если функция
имеет в точке
строгий максимум, то
для всех точек
из некоторой окрестности точки
, или, иначе
при всех достаточно малых
и
. Аналогично, если
– точка строгого минимума, то при всех достаточно малых
и
будет выполняться неравенство
.
Таким образом, чтобы выяснить, является ли критическая точка
точкой экстремума, необходимо исследовать приращение функции в этой точке. Если при всех достаточно малых
и
оно будет сохранять знак, то в точке
функция имеет строгий экстремум (минимум, если
, и максимум, если
).
Замечание
. Правило остается верным и для нестрого экстремума, но с поправкой, что при некоторых значениях
и
приращение функции будет нулевым
ПРИМЕР. Найти экстремумы функций:
1)
; 2)
.
1) Функция
и
тоже существуют всюду. Решая систему уравнений
,
найдем две критические точки
и
.
Для исследования критических точек применим теорему 8.2. Имеем:
,
,
.
Исследуем точку
:
,
,
,
;
.
Следовательно, в точке
данная функция имеет минимум, а именно
.
Исследуем критическую точку
:
,
,
,
.
Следовательно, вторая критическая точка не является точкой экстремума функции.
2) Функция
определена всюду. Ее частные производные первого порядка
и тоже существуют всюду. Решая систему уравнений
,
найдем единственную критическую точку
.
Для исследования критической точки применим теорему 8.2. Имеем:
,
,
,
,
,
,
.
Установить наличие или отсутствие экстремума в точке
с помощью теоремы 8.2 не удалось.
Исследуем знак приращения функции в точке
:
Если
, то
;
если
, то
.
Поскольку
не сохраняет знак в окрестности точки
, то в этой точке функция не имеет экстремума.
Определения максимума и минимума и необходимые условия экстремума легко переносятся на функции трех и более числа переменных. Достаточные условия экстремума для функции (
) переменных ввиду их сложности в данном курсе не рассматриваются. Определять характер критических точек в этом случае мы будем по знаку приращения функции.
2. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Пусть функция двух переменныхопределена в некоторой области
плоскости
,
,
– точки этой области. Значение функции в точке
называется наибольшим , если для любой точки
из области
выполняется неравенство
.
Аналогично значение функции в точке
называется наименьшим
, если для любой точки
из области
выполняется неравенство
.
Ранее, мы уже говорили, что если функция непрерывна, а область
– замкнута и ограничена, то функция принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения. При этом точки
и
могут лежать как внутри области
, так и на ее границе. Если точка
(или
) лежит внутри области
, то это будет точка максимума (минимума) функции
, т.е. критическая точка функции внутри области
. Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
в области
нужно:
.
Экстремум функции – это свойство местного, локального характера (см. определение). Не следует смешивать максимум (минимум) с наибольшим (наименьшим) значением функции в замкнутой области D .
Определение. Допустим, функция z = f (x, y ) определена и непрерывна в некоторой области D , имеет в этой области конечные частные производные. Тогда в этой области найдутся точки, в которых функция достигает наибольшего и наименьшего значения остальных значений. Эти точки могут лежать внутри области или на ее границе.
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, нужно:
1) Найти стационарные точки, расположенные внутри области, и вычислить значения функции в этих точках.
Замечание. Присоединить к стационарным точкам точки, в которых производные бесконечны или не существуют (если такие имеются).
2) Найти стационарные точки на границе области и вычислить значения функции в этих точках.
3) Найти значения функции в угловых точках – точках пересечения граничных линий.
4) Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 1.22. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
z = 2x 2 – xy + + y 2 + 7x в замкнутой области D : –3 x 3, –3 y 3 (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Область исследования D
Решение. 1) Находим стационарные точки
Отсюда у = –1, х = –2, стационарная точка М 0 (–2, –1) D , z (М 0) = –7.
2) Исследуем функцию на границе области, которая состоит из отрезков AB, DC, CB, AD .
а) На прямой AB : у = 3, а функция имеет вид
z = 2x 2 + 3x + 9 + 7x =
= 2x 2 + 10x + 9, x [–3, 3].
Эта функция одной независимой переменной.
Определим стационарные точки данной функции:
следовательно, х = –2,5.
Определяем z при х = –2,5, а также на концах отрезка [-3, 3]:
z (–2,5; –3) = –3,5; z (– 3, –3) = –3; z (3, –3) = 57,
значит = 3,5, а = 57.
б) Рассмотрим отрезок ВС : х = 3.
z = у 2 – 3у + 39; у [–3, 3],
= 2у – 3; 2у – 3 = 0 у = 3/2.
Находим z (3, 3/2) = , z (– 3, 3) = 15, z (3, 3) = 39.
в) На отрезке CD : у = 3, z = 2x 2 + 4x + 9; у [–3, 3],
= –4x + 4 = 0 Þ x = –1; z (–1, 3) = 7, z (– 3, 3) = 15, z (3, 3) = 39;
Функции нескольких переменных
1. Основные определения
Определение 1. Соответствие, которое каждой паре (x; y) значений переменных x и y, принадлежащей некоторому множеству пар D, сопоставляет одно и только одно число zÎR, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R. При этом пишут z = f(x;y). D = D(f) – область определения функции f.
2. Частные и полное приращения функции двух переменных
Если в функции z = f(x; y) двух переменных x и y зафиксировать значение одной из них, например y = y 0 , то получим функцию z = f(x; y 0), зависящую от одной переменной х.
Аналогично, если зафиксировать переменную x = x 0 , получим функцию z = f(x 0 ; y) одной переменной у.
Определение 2. Величина D x z = f(x 0 +Dx; y 0) - f(x 0 ; y 0) называется частным приращением функции z = f(x; y) в точке (x 0 ; y 0) по аргументу х.
Определение 3. Величина D y z = f(x 0 ; y 0 +Dy) - f(x 0 ; y 0) называется частным приращением функции z = f(x; y) в точке (x 0 ; y 0) по аргументу y.
Определение 4. Величина Dz = f(x 0 +Dx; y 0 +Dy) - f(x 0 ; y 0) называется полным приращением функции z = f(x; y) в точке (x 0 ; y 0).
3. Частные производные функции двух переменных
Пусть дана функция z = f(x; y) двух независимых переменных x и y. Фиксируя одну из них, например, полагая у = const, приходим к функции одной переменной x. Тогда можно ввести понятие производной полученной функции по x, которую обозначим . Согласно определению производной функции одной переменной имеем:
Определение 5. Предел отношения частного приращения D x z функции z=f(x; y) по переменной x к приращению Dx переменной x при Dx, стремящимся к нулю, называется частной производной функции по x и обозначается ; ;
Аналогично определяется и обозначается частная производная функции z = f(x; y) по переменной y.
Пример 1. Найти частные производные функций:
1. f(x; y) = x 3 + x 2 y 2 + y 3 + 3;
2. z = x y + y x .
Решение
1. Полагая y = const, и считая при этом x независимой переменной, найдем
Аналогично при x = const, получим .
2. При y = const
;
при x = const
Все сказанное можно распространить на функции любого числа переменных.
Пример 2. Найти частные производные функции
u = f(x; y; z) = cos(x 2 + y 2 + z 2).
Решение
Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2x, y = const, z = const;
Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2y, x = const, z = const;
Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2z, x = const, y = const.
Поскольку частные производные от функции нескольких переменных также являются, вообще говоря, функциями нескольких переменных, то для них можно также вычислять частные производные. Эти производные называют частными производными высших порядков .
Например, для функции f(x; y) двух переменных имеются следующие типы производных второго порядка:
- вторая частная производная по x;
и = - смешанные частные производные
- вторая частная производная по у.
4. Полный дифференциал функции двух переменных
Определение 6. Полным дифференциалом функции z=f(x;y) двух переменных x и y называется главная часть полного приращения Dz, линейная относительно приращений аргументов Dx и Dy.
C учетом того, что Dx = dx и Dy = dy полный дифференциал функции z = f(x; y) вычисляется по формуле
Пример 3. Вычислить полный дифференциал функции
z = ln (x 2 + y 2).
Решение . Найдем частные производные и данной функции
После их подстановки в формулу (3.5) получим
dz =
Найти частные производные функций
284. z = x 2 + 2xy + y 2 + 5 285. z = (x + y) 3
286. z = 287. z =
288. z = x 3 y - y 3 x 289. z = 2y
290. z = x y ln(x + y) 291. z = ln
292. z = ln + ln x·y 293. z =
294. z = e y/x – e x/y 295. z = x y + sin
296. z = sin(x 2 y + xy 2) 297. z = y x + arctg
Найти частные производные второго порядка
298. z = x 4 + 4x 2 y 3 + 7xy + 1 299. z = x 2 y
300. z = 4x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 301. z = xy + sin(x + y)
302. z = sin x cos y 303. z =
304. z = xe y 305. z = x + y +
306. z = x 2y 307. z = ln(x + e xy)
Проверить, что
308. z = 309. z = ln(x - 2y)
310. z = 311. z = x 2 sin
312. z = 313. z = arctg
Найти полный дифференциал функций
314. z = xy 3 - 3x 2 y 2 + 2y 4 +1 315. z = 3x 2 y 5
316. z = sin(x 2 + y 2) 317. z = x y
318. z = e xy 319. z = e x cos y
320. z = e y cos x 321. z = cos + sin
5. Экстремумы функции двух переменных
Основные определения
Определение 1. Точка М(x 0 ; у 0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x; y), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек (x; y) из этой окрестности выполняется неравенство:
f(x 0 ; y 0) ³ f(x; y), .
Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума) . Если дифференцируемая функция z = f(x; y) достигает экстремума в точке М(x 0 ; y 0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е. ;
Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными иликритическими точками.
Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума)
Пусть функция z = f(x; y):
а) определена в некоторой окрестности точки (x 0 ; y 0), в которой и ;
б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка
;
Тогда, если D = АС - B 2 > 0, то в точке (x 0 ; y 0) функция z = f(x; y) имеет экстремум, причем, если А < 0 (или С < 0) – максимум, если А > 0 (или С > 0) – минимум. В случае D = АС - В 2 < 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если D = AC - B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).
Пример 1. Найти экстремум функции z = x 2 + xy + y 2 - 3x - 6y.
Решение . Найдем частные производные первого порядка:
Воспользуемся необходимым условием существования экстремума:
Решая систему уравнений, находим координаты x и y стационарных точек: x = 0; y = 3, т. е. М(0; 3).
Вычислим частные производные второго порядка и найдем их значения в точке М.
А = = 2; С = = 2;
Составим дискриминант D = АС - В 2 = 2 × 2 - 1 > 0, A = 2 > 0. Следовательно, в точке М(0; 3) заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке z min = -9.
Найти экстремумы функций
322. z = x 2 + y 2 + xy - 4x - 5y 323. z = y 3 - x 3 - 3xy
324. z = x 2 - 2xy + 4y 3 325. z = - y 2 - x + 6y
326. z = x y (1 - x - y) 327. z = 2xy - 4x - 2y
328. z = e - x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3 - 6xy + 1
330. z = 3x 2 y - x 3 - y 4 331. z = 3x + 6y - x 2 - xy + y 2
Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
В замкнутой области
Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо:
1) найти критические точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;
2) найти критические точки на границе области и вычислить наибольшее и наименьшее значения функций в них;
3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = в круге x 2 + y 2 £ 1.
Решение . Найдем координаты критических точек, расположенных внутри рассматриваемой области, для чего вычислим частные производные первого порядка функции z и приравняем их к нулю.
откуда x = 0, y = 0 и, следовательно, М(0; 0) – критическая точка.
Вычислим значение функции z в точке М(0; 0): z(0; 0) = 2.
Найдем критические точки на границе области - окружности, заданной уравнением x 2 + y 2 = 1. Подставляя у 2 = 1 - x 2 в функцию z = z(x; y), получим функцию одной переменной
z = ;
причем xÎ[-1; 1].
Вычислив производную и приравняв ее нулю, получим критические точки на границе области x 1 = 0, x 2 = , x 3 =
Найдем значение функции z(x) = в критических точках и на концах отрезка [-1; 1]: z(0) = ; = ; ; z(-1) = ; z(1) =
Выберем наибольшее и наименьшее среди значений функции z в критических точках, расположенных внутри и на границе круга.
Итак, z наиб. = z(0; 0) = 2
z наим. = z
Условный экстремум
Определение 2. Условным экстремумом функции z = f(x; y) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y связаны уравнением j(x; y) = 0 (уравнение связи). , y = .
Таким образом, гипотенуза имеет наименьшее значение, если катеты треугольника равны между собой.
Найти наибольшее и наименьшее значения функций:
332. z = x 2 - xy + y 2 - 4x в замкнутой области, ограниченной прямыми x = 0, y = 0, 2x + 3y - 12 = 0.
333. z = xy + x + y в квадрате, ограниченном прямыми x = 1, x = 2, y = 2, y = 3.
334. z = x 2 + 3y 2 + x - y в треугольнике, ограниченном прямыми x = 1, y = 1, x + y = 1.
335. z = sin x + sin y + sin (x + y) в области 0 £ x £ , 0 £ y £ .
336. z = xy в круге x 2 + y 2 £ 1.
337. z = 1 - x 2 - y 2 в круге (x - 1) 2 + (y - 1) 2 £ 1.
338. z = x 2 + y 2 в круге (x - ) 2 + (y - ) 2 £ 9.
339. Найти экстремум функции z = x 2 + y 2 , если x и y связаны уравнением = 1.
340. Из всех треугольников, имеющих периметр Р, найти наибольший по площади.
341. Из всех прямоугольников с заданной площадью S найти такой, периметр которого имеет наименьшее значение.
342. Определить размеры открытого бассейна объемом V, имеющего наименьшую поверхность.
343. Найти размеры прямоугольного параллелепипеда, имеющего при данной полной поверхности S максимальный объем.
344. Определить размеры цилиндра наибольшего объема при условии, что его полная поверхность S = 6p.
* Под понятиями выпуклость и вогнутость графика функции следует понимать выпуклость вверх и вниз соответственно.
Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y) D . ТочкаM 0 (x 0 ;y 0 ) - внутренняя точка областиD .
Если в D присутствует такая окрестностьUM 0 точкиM 0 , что для всех точек
то точка M 0 называется точкой локального максимума. А само значениеz(M 0 ) - локальным максимумом.
А если же для всех точек
то точка M 0 называется точкой локального минимума функцииz(x,y) . А само значениеz(M 0 ) - локальным минимумом.
Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y) . На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума:M 0 - точка максимума, так как на поверхностиz =z (x,y) соответствующая ей точкаC 0 находится выше любой соседней точкиC (в этом локальность максимума).
Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В ), которые находятся вышеC 0 , но эти точки (например,В ) не являются "соседними" с точкойC 0 .
В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:
Аналогично определяется и глобальный минимум:
Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.
Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).
Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y) D . ТочкаM 0 (x 0 ;y 0 D - точка локального экстремума.
Если в этой точке существуют z" x иz" y , то
Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C 0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом0° к осиОх и к осиОу .
Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):
что и требовалось доказать.
Определение 1.12.
Если в точке M 0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функцииz (x,y) .
Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).
Пусть задана z =z (x,y), (x,y) D , которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точкиM 0 (x 0 ,y 0 ) D . ПричемM 0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:
Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.
Пример 1.13.
Исследовать на экстремум:
1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):
то есть найдены четыре стационарные точки. 2.
по теореме 1.4 в точке – минимум. Причём
по теореме 1.4 в точке
Максимум. Причём
§10 Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
Теорема 1.5 Пусть в замкнутой области D задана функция z=z(x,y) , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. ГраницаГ областиD является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в областиD функцияz(x,y) достигает своего наибольшегоM и наименьшегоm значений.
Без доказательства.
Можно предложить следующий план нахожденияM иm . 1. Строим чертёж, выделяем все части границы областиD и находим все "угловые" точки границы. 2. Находим стационарные точки внутриD . 3. Находим стационарные точки на каждой из границ. 4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшееM и наименьшееm значения.
Пример 1.14 Найти наибольшее M и наименьшееm значения функцииz = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой областиD , ограниченной:x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .
1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскостиОху .
Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0) .
Граница Г областиD состоит из трёх частей:
2. Найдём стационарные точки внутри области D :
3. Стационарные точки на границах l 1 , l 2 , l 3 :
4. Вычисляем шесть значений:
Из полученных шести значений выбираем наибольшее и наименьшее.