И Савельева .

При поступательном движении тела (§ 60 в учебнике Е. М. Никитина) все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения.

Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.

Рассматривая в какой-либо задаче движение автомобиля (задача 147) или тепловоза (задача 141), фактически рассматриваем движение их центров тяжести.

Вращательное движение тела (Е. М. Никитин , § 61) нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Ось любого вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.

Движение материальной точки или поступательное движение тела характеризуют в зависимости от времени линейные величины s (путь, расстояние), v (скорость) и а (ускорение) с его составляющими a t и a n .

Вращательное движение тела в зависимости от времени t характеризуют угловые величины : φ (угол поворота в радианах), ω (угловая скорость в рад/сек) и ε (угловое ускорение в рад/сек 2).

Закон вращательного движения тела выражается уравнением
φ = f (t).

Угловая скорость - величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени
ω = dφ/dt = f" (t).

Угловое ускорение - величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости
ε = dω/dt = f"" (t).

Приступая к решению задач на вращательное движение тела, необходимо иметь в виду, что в технических расчетах и задачах, как правило, угловое перемещение выражается не в радианах φ, а в оборотах φ об.

Поэтому необходимо уметь переходить от числа оборотов к радианному измерению углового перемещения и наоборот.

Так как один полный оборот соответствует 2π рад, то
φ = 2πφ об и φ об = φ/(2π).

Угловая скорость в технических расчетах очень часто измеряется в оборотах, произведенных в одну минуту (об/мин), поэтому необходимо отчетливо уяснить, что ω рад/сек и n об/мин выражают одно и то же понятие - скорость вращения тела (угловую скорость), но в различных единицах - в рад/сек или в об/мин.

Переход от одних единиц угловой скорости к другим производится по формулам
ω = πn/30 и n = 30ω/π.

При вращательном движении тела все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной неподвижной прямой (ось вращающегося тела). Очень важно при решении задач, приведенных в этой главе, ясно представлять зависимость между угловыми величинами φ, ω и ε, характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами s, v, a t и a n , характеризующими движение различных точек этого тела (рис 205).

Если R - расстояние от геометрической оси вращающегося тела до какой-либо точки А (на рис. 205 R=OA), то зависимость между φ - углом поворота тела и s - расстоянием, пройденным точкой тела за то же время, выражается так:
s = φR.

Зависимость между угловой скоростью тела и скоростью точки в каждый данный момент выражается равенством
v = ωR.

Касательное ускорение точки зависит от углового ускорения и определяется формулой
a t = εR.

Нормальное ускорение точки зависит от угловой скорости тела и определяется зависимостью
a n = ω 2 R.

При решении задачи, приведенной в этой главе, необходимо ясно понимать, что вращением называется движение твердого тела, а не точки. Отдельно взятая материальная точка не вращается, а движется по окружности - совершает криволинейное движение.

§ 33. Равномерное вращательное движение

Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным.

Уравнение равномерного вращения имеет вид
φ = φ 0 + ωt.

В частном случае, когда начальный угол поворота φ 0 =0,
φ = ωt.

Угловую скорость равномерно вращающегося тела
ω = φ/t
можно выразить и так:
ω = 2π/T,
где T - период вращения тела; φ=2π - угол поворота за один период.

§ 34. Равнопеременное вращательное движение

Вращательное движение с переменной угловой скоростью называется неравномерным (см. ниже § 35). Если же угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным . Таким образом, равнопеременное вращение тела - частный случай неравномерного вращательного движения.

Уравнение равнопеременного вращения
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,
(2) ω = ω 0 + εt
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.

В эти формулы входят всего шесть величин: три постоянных для данной задачи φ 0 , ω 0 и ε и три переменных φ, ω и t. Следовательно, в условии каждой задачи на равнопеременное вращение должно содержаться не менее четырех заданных величин.

Для удобства решения некоторых задач из уравнений (1) и (2) можно получить еще две вспомогательные формулы.

Исключим из (1) и (2) угловое ускорение ε:
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

Исключим из (1) и (2) время t:
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

В частном случае равноускоренного вращения, начавшегося из состояния покоя, φ 0 =0 и ω 0 =0. Поэтому приведенные выше основные и вспомогательные формулы принимают такой вид:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Неравномерное вращательное движение

Рассмотрим пример решения задачи, в которой задано неравномерное вращательное движение тела.

Кинематика твердого тела

В отличие от кинематики точки в кинематике твердых тел решаются две основные задачи:

Задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;

Определение кинематических характеристик точек тела.

Способы задания и определения кинематических характеристик зависят от типов движения тел.

В настоящем пособии рассматриваются три типа движения: поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси и плоско-параллельное движение твердого тела

Поступательное движение твердого тела

Поступательным называют движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению (рис.2.8).

Доказана теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения (рис.2.8).

Вывод: Поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки.

Рис. 2.8 Рис. 2.9

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Вращательным вокруг неподвижной оси называют движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.

Положение тела определяется углом поворота (рис.2.9). Единица измерения угла - радиан. (Радиан - центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2 радиана.)

Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси = (t). Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования

Угловая скорость, рад/с; (2.10)

Угловое ускорение, рад/с 2 (2.11)

При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси его точки, не лежащие на оси вращения, движутся по окружностям с центром на оси вращения.

Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точка М, то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R (рис. 2.9). За время dt происходит элементарный поворот на угол, при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние.Определим модуль линейной скорости:

Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим, см.(2.8)

Подставляя в формулы выражение (2.12) получим:

где: - тангенциальное ускорение,

Нормальное ускорение.

Плоско - параллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным называется движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных одной неподвижной плоскости (рис.2.10). Для изучения движения тела достаточно изучить движение одного сечения S этого тела плоскостью, параллельной неподвижной плоскости. Движение сечения S в своей плоскости можно рассматривать как сложное, состоящее из двух элементарных движений: а) поступательного и вращательного; б) вращательного относительно подвижного (мгновенного) центра.

В первом варианте движение сечения может быть задано уравнениями движения одной его точки (полюса) и вращением сечения вокруг полюса (рис.2.11). В качестве полюса может быть принята любая точка сечения.

Рис. 2.10 Рис. 2.11

Уравнения движения запишутся в виде:

Х А = Х А (t)

Y А = Y А (t) (2.14)

А = А (t)

Кинематические характеристики полюса определяют из уравнений его движения.

Скорость любой точки плоской фигуры, движущейся в своей плоскости слагается из скорости полюса (произвольно выбранной в сечении точки А ) и скорости вращательного движения вокруг полюса (вращение точки В вокруг точки А ).

Ускорение точки движущейся плоской фигуры складывается из ускорения полюса относительно неподвижной системы отсчета и ускорения за счет вращательного движения вокруг полюса.

Во втором варианте движение сечения рассматривается как вращательное вокруг подвижного (мгновенного) центра P (рис.1.12). В этом случае скорость любой точки В сечения будет определяться по формуле для вращательного движения

Угловая скорость вокруг мгновенного центра Р может быть определена если известна скорость какой либо точки сечения, например точки А.

Рис.2.12

Положение мгновенного центра вращения может быть определено на основании следующих свойств:

Вектор скорости точки перпендикулярен радиусу;

Модуль скорости точки пропорционален расстоянию от точки до центра вращения (V= R ) ;

Скорость в центре вращения равна нулю.

Рассмотрим некоторые случаи определения положения мгновенного центра.

1. Известны направления скоростей двух точек плоской фигуры (рис.2.13). Проведем линии радиусов. Мгновенный центр вращения Р находится на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторам скоростей.

2. Скорости точек А и В известны, причем вектора и параллельны друг другу, а линия АВ перпендикулярна (рис. 2. 14). В этом случае мгновенный центр вращения лежит на линии АВ . Для его нахождения проведем линию пропорциональности скоростей на основании зависимости V= R .

3. Тело катится без скольжения по неподвижной поверхности другого тела (рис.2.15). Точка касания тел в данный момент имеет нулевую скорость в то время, как скорости других точек тела не равны нулю. Точка касания Р будет мгновенным центром вращения.

Рис. 2.13 Рис. 2.14 Рис. 2.15

Кроме рассмотренных вариантов скорость точки сечения может быть определена на основании теоремы о проекциях скоростей двух точек твердого тела.

Теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, проведенную через эти точки, равны между собой и одинаково направлены .

Доказательство: расстояние АВ изменяться не может, следовательно,

V А cos не может быть больше или меньше V В cos (рис.2.16).

Рис. 2.16

Вывод: V А cos =V В cos. (2.19)

Сложное движение точки

В предыдущих параграфах рассматривалось движение точки относительно неподвижной системы отсчета, так называемое абсолютное движение. В практике встречаются задачи, в которых известно движение точки относительно системы координат, которая движется относительно неподвижной системы. При этом требуется определить кинематические характеристики точки относительно неподвижной системы.

Принято называть: движение точки относительно подвижной системы - относительным , движение точки вместе с подвижной системой - переносным , движение точки относительно неподвижной системы - абсолютным . Соответственно называют скорости и ускорения:

Относительные;- переносные; -абсолютные.

Согласно теореме о сложении скоростей абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей (рис.).

Абсолютное значение скорости определяется по теореме косинусов

Рис.2.17

Ускорение по правилу параллелограмма определяется только при поступательном переносном движении

При непоступательном переносном движении появляется третья составляющая ускорения, называемое поворотным или кориолисовым.

Кориолисово ускорение численно равно

где - угол между векторами и

Направление вектора кориолисова ускорения удобно определять по правилу Н.Е. Жуковского: вектор спроектировать на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, проекцию повернуть на 90 градусов в сторону переносного вращения. Полученное направление будет соответствовать направлению кориолисова ускорения.

Вопросы для самоконтроля по разделу

1. В чем состоят основные задачи кинематики? Назовите кинематические характеристики.

2. Назовите способы задания движения точки и определение кинематических характеристик.

3. Дайте определение поступательного, вращательного вокруг неподвижной оси, плоскопараллельного движения тела.

4. Как задается движение твердого тела при поступательном, вращательном вокруг неподвижной оси и плоскопараллельном движении тела и как определяется скорость и ускорение точки при этих движениях тела?

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие – нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно связанные с ним), остаются во все время движения неподвижными (рис. 2.2).

Рисунок 2.2

Проходящая через неподвижные точки А иВ прямая называетсяосью вращения. Так как расстояние между точками твердого тела должны оставаться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси будут неподвижны, а все остальные будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси. Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направлена осьAz , полуплоскостьІ – неподвижную и полуплоскостьІІ врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним. Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком угломφ между этими плоскостями, который назовемуглом поворота тела. Будем считать уголφ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца осиAz ), а отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять уголφ будем в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость углаφ от времениt , т.е.

.

Это уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорениеε.

9.2.1. Угловая скорость и угловое ускорение тела

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью.

Если за промежуток времени
тело совершает поворот на угол
, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет
. В пределе при
получим

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени.

Правило знаков: когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω> 0, а когда по ходу часовой стрелки, тоω< 0.

или, так как радиан – величина безразмерная,
.

В теоретических выкладках удобнее пользоваться вектором угловой скорости , модуль которого равени который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки. Этот вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела.

Если за промежуток времени
приращение угловой скорости равно
, то отношение
, т.е. определяет значение среднего ускорения вращающегося тела за время
.

При стремлении
получаем величину углового ускорения в моментt :

Таким образом, числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела во времени.

В качестве единицы измерения обычно применяют или, что тоже,
.

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным , а если убывает, -замедленным. Когда величиныω иε имеют одинаковые знаки, то вращение будет ускоренным, когда разные – замедленным.По аналогии с угловой скоростью угловое ускорение также можно изобразить в виде вектора, направленного вдоль оси вращения. При этом

.

Если тело вращается ускоренно направление совпадает с, и противоположнопри замедленном вращении.

Если угловая скорость тела остается во время движения постоянной (ω= const ), то вращение тела называетсяравномерным .

Из
имеем
. Отсюда, считая, что в начальный момент времени
угол
, и беря интегралы слева отдо, а справа от 0 доt , получим окончательно

.

При равномерном вращении, когда =0,
и
.

Скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость междуn об/мин иω 1/с. При одном обороте тело повернется на 2π, а приn оборотах на 2π n ; этот поворот делается за 1 мин, т.е.t = 1мин=60с. Из этого следует, что

.

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (ε= const ), то вращение называетсяравнопеременным .

В начальный момент времени t =0 угол
, а угловая скорость
(- начальная угловая скорость).
;
=ε
. Интегрируя левую часть отдо, а правую от 0 доt , найдем

Угловая скорость ω этого вращения
. Если ω и ε имеют одинаковые знаки, вращение будетравноускоренным , а если разные –равнозамедленным.

В природе и технике мы часто сталкиваемся с проявлением вращательного движения твердых тел, например, валов и шестерен. Как в физике описывают этот тип движения, какие формулы и уравнения для этого применяются, эти и другие вопросы освещаются в данной статье.

Что такое вращение?

Каждый из нас интуитивно представляет, о каком движении пойдет речь. Вращение - это процесс, при котором тело или материальная точка движется по круговой траектории вокруг некоторой оси. С геометрической точки зрения твердого тела - это прямая, расстояние до которой в процессе перемещения остается неизменным. Это расстояние называют радиусом вращения. Далее будем обозначать его буквой r. Если ось вращения проходит через центр масс тела, то ее называют собственной осью. Примером вращения вокруг собственной оси является соответствующее движение планет Солнечной системы.

Чтобы вращение происходило, должно существовать центростремительное ускорение, которое возникает за счет центростремительной силы. Эта сила направлена от центра масс тела к оси вращения. Природа центростремительной силы может быть самой разной. Так, в космическом масштабе ее роль выполняет гравитация, если тело закреплено нитью, то сила натяжения последней будет центростремительной. Когда тело вращается вокруг собственной оси, роль центростремительной силы играет внутреннее электрохимическое взаимодействие между составляющими тело элементами (молекулами, атомами).

Необходимо понимать, что без присутствия центростремительной силы тело будет двигаться прямолинейно.

Описывающие вращение физические величины

Во-первых, это динамические характеристики. К ним относятся:

• момент импульса L;
• момент инерции I;
• момент силы M.

Во-вторых, это кинематические характеристики. Перечислим их:

• угол поворота θ;
• скорость угловая ω;
• ускорение угловое α.

Кратко опишем каждую из названных величин.

Момент импульса определяется по формуле:

Где p - линейный импульс, m - масса материальной точки, v - ее линейная скорость.

Момент инерции материальной точки рассчитывается с помощью выражения:

Для любого тела сложной формы величина I рассчитывается, как интегральная сумма моментов инерции материальных точек.

Момент силы M вычисляется так:

Здесь F - внешняя сила, d - расстояние от точки ее приложения до оси вращения.

Физический смысл всех величин, в названии которых присутствует слово "момент", аналогично смыслу соответствующих линейных величин. Например, момент силы показывает возможность приложенной силы сообщить системе вращающихся тел.

Кинематические характеристики математически определяются следующими формулами:

Как видно из этих выражений, угловые характеристики аналогичны по своему смыслу линейным (скорости v и ускорению a), только они применимы для круговой траектории.

Динамика вращения

В физике изучение вращательного движения твердого тела осуществляется с помощью двух разделов механики: динамики и кинематики. Начнем с динамики.

Динамика изучает внешние силы, действующие на систему вращающихся тел. Сразу запишем уравнение вращательного движения твердого тела, а затем, разберем его составные части. Итак, это уравнение имеет вид:

Который действует на систему, обладающую моментом инерции I, вызывает появление углового ускорения α. Чем меньше величина I, тем легче с помощью определенного момента M раскрутить систему до больших скоростей за малые промежутки времени. Например, металлический стержень легче вращать вдоль его оси, чем перпендикулярно ей. Однако, тот же стержень легче вращать вокруг оси, перпендикулярной ему, и проходящей через центр масс, чем через его конец.

Закон сохранения величины L

Выше была введена эта величина, она называется моментом импульса. Уравнение вращательного движения твердого тела, представленное в предыдущем пункте, часто записывают в иной форме:

Если момент внешних сил M действует на систему в течение времени dt, то он вызывает изменение момента импульса системы на величину dL. Соответственно, если момент сил равен нулю, тогда L = const. Это и есть закон сохранения величины L. Для нее, используя связь между линейной и угловой скоростью, можно записать:

L = m*v*r = m*ω*r 2 = I*ω.

Таким образом, при отсутствии момента сил произведение угловой скорости и момента инерции является постоянной величиной. Этот физический закон используют фигуристы в своих выступлениях или искусственные спутники, которые необходимо повернуть вокруг собственной оси в открытом космосе.

Центростремительное ускорение

Выше, при изучении вращательного движения твердого тела, уже была описана эта величина. Также была отмечена природа центростремительных сил. Здесь лишь дополним эту информацию и приведем соответствующие формулы для расчета этого ускорения. Обозначим его a c .

Поскольку центростремительная сила направлена перпендикулярно оси и проходит через нее, то момента она не создает. То есть эта сила не оказывает совершенно никакого влияния на кинематические характеристики вращения. Тем не менее, она создает центростремительное ускорение. Приведем две формулы для его определения:

Таким образом, чем больше угловая скорость и радиус, тем большую силу следует приложить, чтобы удержать тело на круговой траектории. Ярким примером этого физического процесса является занос автомобиля во время поворота. Занос возникает, если центростремительная сила, роль которой играет сила трения, становится меньше, чем центробежная сила (инерционная характеристика).

Три основные кинематические характеристики были перечислены выше в статье. твердого тела формулами следующими описывается:

θ = ω*t => ω = const., α = 0;

θ = ω 0 *t + α*t 2 /2 => ω = ω 0 + α*t, α = const.

В первой строке приведены формулы для равномерного вращения, которое предполагает отсутствие внешнего момента сил, действующего на систему. Во второй строке записаны формулы для равноускоренного движения по окружности.

Отметим, что вращение может происходить не только с положительным ускорением, но и с отрицательным. В этом случае в формулах второй строки следует перед вторым слагаемым поставить знак минус.

Пример решения задачи

На металлический вал в течение 10 секунд действовал момент силы 1000 Н*м. Зная, что момент инерции вала равен 50 кг*м 2 , необходимо определить угловую скорость, которую придал валу упомянутый момент силы.

Применяя основное уравнение вращения, вычислим ускорение вала:

Поскольку это угловое ускорение действовало на вал в течение времени t = 10 секунд, то для вычисления угловой скорости применяем формулу равноускоренного движения:

ω = ω 0 + α*t = M/I*t.

Здесь ω 0 = 0 (вал не вращался до действия момента сил M).

Подставляем в равенство численные значения величин, получаем:

ω = 1000/50*10 = 200 рад/с.

Чтобы это число перевести в привычные обороты в секунду, необходимо его поделить на 2*pi. Выполнив это действие, получаем, что вал будет вращаться с частотой 31,8 об./с.

В этой статье описывается важный раздел физики - "Кинематика и динамика вращательного движения".

Основные понятия кинематики вращательного движения

Вращательным движением материальной точки вокруг неподвижной оси называют такое движение, траекторией которого является окружность, находящаяся в плоскости перпендикулярной к оси, а центр ее лежит на оси вращения.

Вращательное движение твердого тела - это движение, при котором по концентрическим (центры которых лежат на одной оси) окружностям движутся все точки тела в соответствии с правилом для вращательного движения материальной точки.

Пусть произвольное твердое тело T совершает вращения вокруг оси O, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберем на данном теле точку M. При вращении эта точка будет описывать вокруг оси O круг радиусом r .

Через некоторое время радиус повернется относительно исходного положения на угол Δφ.

За положительное направление поворота принято направление правого винта (по часовой стрелке). Изменение угла поворота со временем называется уравнением вращательного движения твердого тела:

φ = φ(t).

Если φ измерять в радианах (1 рад - это угол, соответствующий дуге, длиной равной ее радиусу), то длина дуги окружности ΔS, которую пройдет материальная точка M за время Δt, равна:

ΔS = Δφr.

Основные элементы кинематики равномерного вращательного движения

Мерой перемещения материальной точки за небольшой промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота dφ .

Угловая скорость материальной точки или тела - это физическая величина, которая определяется отношением вектора элементарного поворота к продолжительности этого поворота. Направление вектора можно определить правилом правого винта вдоль оси О. В скалярном виде:

ω = dφ/dt.

Если ω = dφ/dt = const, то такое движение называется равномерное вращательное движение. При нем угловую скорость определяют по формуле

ω = φ/t.

Согласно предварительной формуле размерность угловой скорости

[ω] = 1 рад/с.

Равномерное вращательное движение тела можно описать периодом вращения. Период вращения T - физическая величина, определяющая время, за которое тело вокруг оси вращения выполняет один полный оборот ([T] = 1 с). Если в формуле для угловой скорости принять t = T, φ = 2 π (полный один оборот радиуса r), то

ω = 2π/T,

поэтому период вращения определим следующим образом:

T = 2π/ω.

Число оборотов, которое за единицу времени совершает тело, называется частотой вращения ν, которая равна:

ν = 1/T.

Единицы измерения частоты: [ν]= 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.

Сравнивая формулы для угловой скорости и частоты вращения, получим выражение, связывающее эти величины:

ω = 2πν.

Основные элементы кинематики неравномерного вращательного движения

Неравномерное вращательное движение твердого тела или материальной точки вокруг неподвижной оси характеризует его угловая скорость, которая изменяется со временем.

Вектор ε , характеризующий скорость изменения угловой скорости, называется вектором углового ускорения:

ε = dω/dt.

Если тело вращается, ускоряясь, то есть dω/dt > 0 , вектор имеет направление вдоль оси в ту же сторону, что и ω.

Если вращательное движение замедлено - dω/dt < 0 , то векторы ε и ω противоположно направлены.

Замечание . Когда происходит неравномерное вращательное движение, вектор ω может меняться не только по величине, но и по направлению (при повороте оси вращения).

Связь величин, характеризующих поступательное и вращательное движение

Известно, что длина дуги с углом поворота радиуса и его величиной связана соотношением

ΔS = Δφ r.

Тогда линейная скорость материальной точки, выполняющей вращательное движение

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Нормальное ускорение материальной точки, что выполняет вращательно поступательное движение, определим следующим образом:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Итак, в скалярном виде

a = ω 2 r.

Тангенциальное ускоренной материальной точки, которая выполняет вращательное движение

a = ε r.

Момент импульса материальной точки

Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой m i на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.

Момент импульса материальной точки (L i ) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через r i и υ i , и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора r i к υ i правый винт покажет направление вектора L i).

В скалярной форме

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные,

sin(υ i , r i) = 1.

Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид

L = m i υ i r i .

Момент силы, которая действует на i-ю материальную точку

Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.

В скалярной форме

M i = r i F i sin(r i , F i).

Считая, что r i sinα = l i , M i = l i F i .

Величина l i , равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы F i .

Динамика вращательного движения

Уравнение динамики вращательного движения записывается так:

M = dL/dt.

Формулировка закона следующая: скорость изменения момента импульса тела, которое совершает вращение вокруг неподвижной оси, равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к телу.

Момент импульса и момент инерции

Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой

L i = m i υ i r i .

Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую:

υ i = ωr i ,

то выражение для момента импульса примет вид

L i = m i r i 2 ω.

Величина I i = m i r i 2 называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем:

L i = I i ω.

Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело:

L = Iω.

Момент силы и момент инерции

Закон вращательного движения гласит:

M = dL/dt.

Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением

ε = dω/dt,

получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции:

M = Iε.

Замечание. Момент силы считается положительным, если угловое ускорение, которым он вызван, больше нуля, и наоборот.

Теорема Штейнера. Закон сложения моментов инерции

Если ось вращения тела через центр масс его не проходит, то относительно этой оси можно найти его момент инерции по теореме Штейнера:
I = I 0 + ma 2 ,

где I 0 - начальный момент инерции тела; m - масса тела; a - расстояние между осями.

Если система, которая совершает обороты округ неподвижной оси, состоит из n тел, то суммарный момент инерции такого типа системы будет равен сумме моментов, ее составляющих (закон сложения моментов инерции).